Адаптация схемы мшрпс для анализа одного линейного стохастического дифференциального уравнения в частных производных с постоянным временным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Информатика. Механика

Вып. 4(23)

УДК 519.2

Адаптация схемы МШРПС для анализа одного линейного стохастического дифференциального уравнения в частных производных с постоянным временным запаздыванием

И. Е. Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 polosk@psu.ru; тел. (342) 239-65-60

Процедура, комбинирующая классический метод шагов с расширением пространства состояния (МШРПС) и предложенная ранее для анализа систем стохастических (обыкновенных) дифференциальных уравнений с одним постоянным временным запаздыванием, адаптируется для анализа уравнений с частными производными. В работе описывается методика построения уравнений для первых моментов случайного поля, представляющего собой решение линейного стохастического параболического дифференциального уравнения с запаздыванием, и приводятся некоторые результаты численно-аналитических расчетов для модельной задачи.

Ключевые слова: стохастический анализ; линейная динамическая система; уравнение в частных производных; постоянное запаздывание; вектор состояния; моментные функции; винеровский процесс.

Введение

Уже более полустолетия значительный интерес вызывают проблемы, которые связаны с необходимостью анализа явлений, описываемых (обыкновенными) функционально-дифференциальными уравнениями (ОФДУ) и их частными формами, такими как ДУ с запаздыванием (ОДУсЗ), ОДУ нейтрального типа (ОДУНТ), интегро-диф-

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-01-96024).

©Полосков И. Е., 2013

ференциальные уравнения (ОИДУ) и др. [1-4] (такие уравнения называют еще и ДУ с отклоняющимися аргументами). Сначала это были задачи управления, а затем и биологии, механики, физики, химии, медицины, экономики, атомной энергетики, теории информации и т.д.

В настоящее время имеется ряд основных направлений исследования ОФДУ, где ведутся интенсивные научные разработки: качественный анализ существования и устойчивости решений ОФДУ; получение аналитических результатов для линейных и нелинейных систем на основе метода шагов; использование процедур усреднения ОДУ с учетом малости запаздывания; различные

численные интеграторы и другие методики для получения частных решений задач [4-6] и др.

Наряду с обыкновенными ФДУ и исходя из необходимости более полного и качественного изучения явлений природы и общества, после 1970 г. множество исследователей обратилось к математическим моделям в форме функционально-дифференциальных уравнений в частных производных (ФДУв-ЧП). Их классификация в основном сходна с приведенной выше для ОФДУ, но имеет свою специфику, связанную с наличием нескольких аргументов у искомого решения, по каждому из которых в принципе может быть отклонение. К настоящему времени основными процедурами анализа ФДУв-ЧП являются качественные методы [7,8], количественные же (аналитические, приближенные, приближенно-аналитические или численно-аналитические) развиты недостаточно.

К классу дифференциальных уравнений в частных производных с постоянным запаздыванием т (ДУвЧПсЗ) относятся уравнения реакции-диффузии, распространения волн, динамики популяций, теории управления [7], обратной связи, горения в печи, передачи тепла в материалах с памятью, окисления оксида углерода, химических и биохимических реакций; изменения климата, динамической метеорологии, экономики; экологии; адвекции-диффузии (роение насекомых, образование косяков рыб), поступления воды с запаздыванием (конвективный член в уравнении Бюргерса), фронта распространяющейся волны (диффузионное уравнение Николсона для описания размножения мясных мух с учетом изменений в пространстве и возрасте), пространственных диффузионных моделей Лотки - Вольтерры взаимодействия видов, взросления и деления клеток, диффузионной модели с ограниченностью объема пищи в биологии и др. К рассматриваемому классу относятся обобщенные формы известных уравнений Фишера (логистического или Колмогорова - Петровского - Пискунова) и Хатчисона динамики популяций с диффузией, транспортного уравнения первого порядка с запаздыванием, которое описывает динамику размера

сообщества, и др. Запаздывание в подобных уравнениях появляется естественным образом, например, в биологии это время регенерации ресурсов, взросления, вскармливания, реакции на раздражение и др.

Задачами анализа ДУвЧПсЗ являются проблемы расчета динамики, оценки устойчивости/неустойчивости, анализа бифуркаций устойчивых состояний, существования, ограниченности и единственности решений и др.

Для исследования процессов, математическими моделями которых являются ДУвЧПсЗ, используются различные методы. Так, для качественного исследования ДУвЧПсЗ применяют групповой анализ [9]. Но, как и в других областях науки, аналитические решения прикладных уравнений такого типа редки. Поэтому основной интерес в этой области обращен на приближенные методы поиска решений.

Такие методы, применяемые и для расчета числовых характеристик стохастических систем, можно разделить на два основных класса: 1) схемы прямого интегрирования ДУвЧПсЗ (явные и неявные варианты конечно-разностных методов [10], включая многосеточные [11]; метод перекрытия Шварца [12]; асимптотические методы [13]; метод ренормализации [14]; методы волновой релаксации [11], подобные итерационным процедурам Пикара и Гаусса - Зейде-ля; неявная сеточная схема с кусочно-постоянной интерполяцией [15]; схема на основе идеи разделения текущего состояния и функции-предыстории [16]; аналог метода переменных направлений [17], разностные схемы с нелинейной предысторией [18]; аналоги алгоритмов с весами схем; схема с сеткой, в которой шаг по времени непропорционален запаздыванию); 2) приближенные алгоритмы, сводящие задачу решения ДУвЧПсЗ к интегрированию конечной системы ОДУсЗ (спектральные [19] и псевдоспектральные [20] схемы, в том числе на основе метода Галеркина [21]; различные процедуры метода прямых [11, 15]; методы предиктор-корректор [22] и коллокаций [23]).

К сожалению, как правило, указанные выше алгоритмы наряду с погрешностью дискретизации вносят дополнительную ошибку

интерполяции при вычислении значении решения в точке Ь — т.

Наряду с детерминированными ДУвЧП-сЗ и обыкновенными стохастическими ДУсЗ (СДУсЗ) [24-27], в настоящее время актуален анализ стохастических ДУвЧПсЗ (СДУвЧПсЗ). При изучении таких уравнений (основные понятия и строгую постановку см. в [28]) получено значительное количество качественных результатов для решений СДУвЧПсЗ [29,30]. Например, была доказана теорема об экспоненциальной устойчивости в среднеквадратичном для сильных решений линейных уравнений с конечными постоянными запаздываниями; для эволюционных уравнений рассматривалась устойчивость сильных решений квазилинейных уравнений; изучались существование и устойчивость слабых решений на основе теорем сравнения, неравенства Гронуолла, принципа неподвижной точки и др. Существенно меньше результатов получено для уравнений нейтрального типа.

СДУвЧПсЗ являются моделями поведения различных физических, биологических, инженерных и социальных систем [31], например, описывают явления самоорганизации, распространение тепловых фронтов в бистабильных системах типа реакции-диффузии [32], влияние случайных возмущений на электрический ток в нанострук-турных полупроводниках [33], распределение лекарственных средств, функционирование сердца совместно с кровяной системой и др.

Если остановиться на специфичных для СДУвЧПсЗ методах, то спектр их невелик и включает, в первую очередь, процедуры, основанные на методе Монте-Карло (например, явный одношаговый метод [34]), итерационные методы, основанные на применении полугрупп операторов [35] и др.

Ранее в ряде наших предыдущих работ была предложена схема, сочетающая классический метод шагов и расширение пространства состояния (МШРПС), в приложении к исследованию систем обыкновенных детерминированных и стохастических ДУсЗ [36,37]. Эта схема затем была доработана для анализа явлений, описываемых детерминированными ДУсЧП с постоянными

запаздываниями [38]. Ниже рассматривается методика исследования линейных СДУвЧПсЗ. Эта методика является адаптацией МШРПС на новый класс моделей. В работе описывается методика построения уравнений для первых моментов случайного поля, представляющего собой решение линейного параболического уравнения с одним постоянным запаздыванием.

1. Постановка задачи

Рассмотрим линейное стохастическое дифференциальное уравнение Стратонови-ча [39] в частных производных (параболического типа) с запаздываниями т = const > 0 следующего вида:

dU (x,t) . д 2U (x,t)

v ' ' + a U(x, t) = v —

dt

dx2

+ в и(х,Ь — т)+ 7 V(х, Ь), х е (0,1), Ь>Ь1 = Ьо + т, (1.1)

где Ь0 = 0 и(х, Ь) - случайное поле, представляющее состояние системы с распределенными параметрами; V(х, Ь) - пространственно-временной белый шум:

Е^ (х,Ь)] = 0,

Е [V(х, Ь) V(х', Ь')] = $(х — х') 5(Ь — Ь'),

а Е[-] - оператор математического ожидания.

Предположим, что на интервале (Ьо^\] поле и (х, Ь) удовлетворяет уравнению того же типа, что и (1.1), но без запаздывания:

ди (х,Ь) . д2и (х,Ь)

+ 70 V(х,Ь), х е (0,1), и (х,Ьо) = и0(х), (1.2)

и пусть для любого Ь ^ Ьо заданы однородные краевые условия:

и (0,Ь) = и (1,Ь) = 0, (1.3)

а в уравнениях (1.1) и (1.2) а > 0 ао > 0, в, 7, 70, V > 0 Щ > 0 - постоянные. Кроме того, будем считать, что заданы все необходимые числовые характеристики (функции) случайного поля и°(х). В частности, пусть в начальный момент времени Ьо для поля и(х,Ь) известны математическое ожидание

т0(х) = Е[и 0(х)]

и коррелятор

О0(х,у) = Е[{и0(х) - т0(х)}х

х{и 0 (у) - т0 (у)}].

Задачей исследования является построение систем дифференциальных уравнений в частных производных без запаздывания (ДУвЧП) для математического ожидания

т(х,Ь) = Е[и (х,г)] и коррелятора

Б(х, у,Ь) = Е [{и(х, Ь) - т(х, г)}х

х {и(у,г) - т(у,г)}]

поля и(х,Ь), имеющего функционал плотности вероятности Р(и, Ь), для любо го Ь > Ьо, причем Р(и, Ь0) = Р0(и, Ь0) = Р0(и). При этом вследствие заданных краевых условий

т(0,Ь) = т(1,Ь) = 0

о(0,у,г) = о(1,у,1) =

= Б(х, 0,Ь) = Б(х, 1,Ь) =0.

2. Метод исследования

Как и в предыдущих наших работах, для того чтобы получить СДУ без запаздывания, применим сочетание метода расширения (в данном случае) пространства состояния и метода шагов, что позволит преобразовать немарковское случайное поле и(х,Ь) в марковское посредством расширения пространства состояния системы (МШРПС).

Рассмотрим равномерную временную сетку Ьд = Ь0 + д • т, д = 0, 1, 2, ..., N ... и введем новую временную переменную в, изменяющуюся на промежутке [0, т], а также следующие обозначения:

вд = в + Ьд, Ад = (Ьд ,tg+]\,

ид (х,в) = 11 (х,вд), Уд (х, в) = V (х, в д), и *(х,в) = и0(х),

причем для всех д ^ 1

ид (х, 0) = ид-х(х,т), Уд (х, 0) = Уд-^, Т).

Здесь и далее равенство сечений соответствующих компонент случайных полей понимается в смысле "почти наверное".

Рассмотрим последовательность полуин-

Ад А0

для компонент векторного случайного поля и0(х,в) = {и*(х, в),и0(х, в)}Т представим в виде

0,

дЦ*(х,8) _ дв

и*(х, 0) = и0 (х), ди0(х, в)

дв

+ а0 С/о (ж,«) =

д2 ио(х,в) щ——--

(2.1)

дх2

ио(х, 0) = и0(х).

1°. Рассмотрим теперь полуинтервалы Ао и А1. Систему СДУвЧП для вычисления компонент для компонент поля и1(х, в) = {и*(х, в), и0(х, в), и]_(х, в)}Т можно записать так:

0,

ди*(х,з) _ дв

и*(х, 0) = и0 (х), ди0(х, в)

дв

= V0

+ а0 и0(х, в) =

д2и0(х, в)

дх2

Щ(х, 0) = и0(х). ди1 (х, в)

+ 70 У>(х,в),

(2.2)

дв

+ а С/1 (ж, 8) = д2и1(х,в) птт . .

V-„V 7 + /3 С/о (ж, в)+

дх2

+ 7У1(х,в), Щ(х, 0) = Щ(х,т).

А0

А1 А2

&2 (х,в) = {и *(х,в),и (х,в),

и (х,в),и2(х,в)}Т

будет удовлетворять системе СДУвЧП (2.2), к которой добавлено уравнение следующего вида:

ди2(х, в)

дв

+ аЩ(х,в) =

д2и2(х,в) птт . .

= У дх2 +РЫХ, 8)+ (2.3)

+ YV2(x,в), и2(х, 0) = иг(х,т).

к°. Обозначая через Мк(х,в), к = 3, 4, ..., N векторное поле

Мк(х, в) = {и*(х, в), ио(х, в), и(х, в),

и2(х, в),..., ик-1(х, в), и(х, в)}т

и применяя к нему излагаемую схему, находим, что вектор Мк(х,в), представляющий поведение поля и(х, Ь) на сегментах До, А\, Д2, ..., Дк, будет решением системы СДУвЧП, полученной добавлением к уравнениям для векторного поля М^^х, в) уравнения

дик(х, в)

дв

+ аик(х, в) =

д2ик(х, в)

= V----

дх2

+ ^У,к (х, в),

+ вик-г(х,в)+ ^.4)

Для построения такой цепочки можно воспользоваться обобщенным уравнением Фок-кера - Планка - Колмогорова [39] для одноточечного функционала плотности вероятности. В нашем случае это уравнение для функционала Р, (и,,в) векторного поля Мк(х, в) примет следующий вид (Ю = (0,1)):

дРк дв

Е

г=0

Б

5иг (х)

йх+

52{Ьг,¥к) 2 /^о 1 ) 6щ(х)6щ(у)

гу=0 Б Б

(3.1)

+ Е

йх йу,

где коэффициенты сноса и диффузии вычисляются из соотношений

аг(ик, х, в) = —аг щ(х)+

д2иг (х)

дх2

+ ь'г

+ вг иг-1 (х),

Ьгу(ик,х,у,в) = 7г 1з 5гу,

а, V, в, 7, г > 0,

аг^г, вг ,Ъ =

ао^о, 0,7о,

г = 0

(5гу - символ Кронекера).

При этом уравнения для первых моментов векторного поля будут иметь вид [40]:

ик(х, 0) = ик-1(х,т).

Результом выкладок стала цепочка систем линейных СДУвЧП (2.1)-(2.4) для расширенных векторных полей состояния

Мо, М-1, М.2, ..., , ...

увеличивающейся размерности и одинаковой структуры без запаздывания, для дальнейшего исследования которой можно применить различные пригодные для данного класса уравнений методы.

3. ДУвЧП для моментных функций

Построенную последовательность систем линейных СДУвЧП без запаздывания можно использовать для получения новой цепочки уравнений - ДУвЧП для первых моментов (математических ожиданий и корреляторов) векторных полей Мо, М2, ...,

дтг(х, в) дв

= ! аг(ик, х, в) Р(ик,в) йик,

дв

= !{ [иг(х) — тг(х, в)] ау(ик, у, в) + + [щ (у) — ту (у, в)] аг (ик ,х,в)+

+ Ьгу (ик, х, у, в) | Р(ик, в) йик,

г,3 =0,1,2,..., к.

Для рассматриваемой задачи эти уравнения примут следующую форму:

дт*(х, в)

дв

дтг(х, в)

= 0,

(3.2)

дв

= —аг тг(х,в) +

+ Пд ' ^ + & тг-\{х, в), (3.3)

dD**(x,y,s) ds

dDj (x,y,s)

0,

(3.4)

D12 = \D*,k-l{x, y, T) D*ik-i(x,y,r)

= -aj D*j(x,y,s) + + --я!,,2'"' ~' + Pj i(x, y, s),

ds

_ d2D*j(x,y,s)

dy2

(3.5)

dDi*(x,y,s)

ds

+ Vi

= -ai Di* (x,y,s)+

d2Pj *(x,y,s) dx2

+ Pi Di-i*(x, y, s), (3.6)

dDij (x,y,s)

= -aj Dij(x,y,s) +

дв 1 г1 д2Оц (х,у,в) - ^ + ^-ду2 + & У, *) +

+ * + А У, «Ь

- а* А.? (х,у,в)+ 7г 7,- 6г1. (3.7)

Теперь определим структуру начальных условий для неизвестного векторного поля математических ожиданий:

mk (x, 0) =

Do(x,y, 0) =

m°(x) m0(x) mo(x,T)

mk-i(x,T)

D0(x,y) D0(x,y) D0(x,y) D0(x,y)

(3.8)

D°(x, y) D*o(x,y,T) D0(x,y) D*o (x,y,T)

Di (x,y, 0) =

D0(x,y) D0(x,y)

Do*(x, y, t) Do*(x,y,T) D00(x,y,T)

Vk(x,y, 0) =

T>k-i(x,y, 0) V12

V21 Dk-i,k-i(x,y,T)

(3.9)

V21 = [.Dk-i,*(x,y,T) Dk-i,*(x, y, t)

Dk-i,o(x, y, t) ... Dk-i,k-2(x,y,T)],

Б0,к-1(х,у,т) ... Би-2,к-1(т)]Т.

Заметим, что для всех моментных функций краевые условия будут однородными.

Итак, полученные в данном разделе уравнения (3.2)-(3.7) с начальными условиями (3.8), (3.9) полностью определяют математические ожидания и корреляторы компонент векторного поля состояния на любом заданном временном промежутке.

Заключение

В работе представлена схема исследования одной линейной стохастической системы с распределенными параметрами и запаздыванием. В отличие от известных методов изложенная схема не предполагает предварительного изменения уравнений исследуемого объекта с целью исключения запаздывания и может быть использована для анализа и других классов систем.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рах-матуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

3. Хейл Док.. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

4. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

b.Bellen A., Zennaro М. Numerical methods for delay differential equations. Oxford Univ. Press, 2005. 412 p.

6. Sham,pine L.F., Gladwell I., Thompson S. Solving ODEs with Matlab. Cambridge: University Press, 2003. 272 p.

7. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York: Springer, 1996. 439 p.

8.Gourley S.A., So J.W.-H., Wu J.H. Nonlocalitv of reaction-diffusion equations induced by delay: biological modeling and nonlinear dynamics // Journal of Mathematical Sciences. 2004. Vol. 124, № 4. P. 5119 -5153.

9. Tanthanuch J., Meleshko S. V. On definition of an admitted Lie group for functional differential equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2004. Vol. 9. P. 117-125.

10. Agarwal S., Bahuguna D. Exact and approximate solutions of delay differential equations with nonlocal history conditions // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 2005. Vol. 2005, № 2. P. 181-194.

11. Van Lent J. Multigrid methods for time-dependent partial differential equations: PhD thesis. Leuven: Katholieke Universiteit, 2006. 204 p.

12. Vandewalle S., Gander M.J. Optimized overlapping Schwarz methods for parabolic PDEs with time-delay // Domain Decomposition Methods in Science and Engineering: Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Vol. 40. Berlin, Heidelberg: Springer, 2005. P. 291-298.

13.Fowler A.C. Asymptotic methods for delay equations // Journal of Engineering Mathematics. 2005. Vol. 53. P. 271-290.

14. Goto S.-itiro. Renormalization reductions for systems with delay. URL: http://arxiv. org/abs/0706.2238.pdf (дата обращения: 20.07.2013).

15. Пименов В.Г. Численные методы решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Вести. Удмурт, ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. № 2. С. 113-116.

16. Пименов В.Г., Ложников А.Б. Разностные схемы численного решения уравнения теплопроводности с последействием / / Тр. ИММ УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. С. 178189.

17. Ложников А.Б. Пименов В.Г. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. С. 102-118.

18. Пименов В.Г. Разностные схемы в моделировании эволюционных управляемых систем с последействием // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 5. С. 151-158.

19. Wiener J. Boundary value problems for partial differential equations with piecewi-se constant delay // Intern. Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 1991. Vol. 14, № 2. P. 363-380.

20. Breda D., Vermiglio S.M.R. Pseudospectral differencing methods for characteristic roots of delay differential equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2005. Vol. 27, № 2. P. 482-495.

21. Smaoui N., Mekkaoui M. The generalized Burgers equation with and without a time delay // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 2004. Vol. 2004, № 1. P. 73-96.

22. Houwen van der P. J., Sommeijer B.P., Baker C.T.H. On the stability of predictor-corrector methods for parabolic equations with delay // IMA Journal of Numerical Analysis. 1986. Vol. 6, № 1. P. 1-23.

23. Jackiewicz Z., Zubik-Kowal B. Spectral collocation and waveform relaxation methods for nonlinear delay partial differential equations // Applied Numerical Mathematics. 2006. Vol. 56, № 3-4. P. 433-443.

24. Красовский H.H., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. 22, № 9. С. 1145-1150.

25. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во "Университетское", 1985. 143 с.

26. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

27. Kushner H.J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhauser, 2008. XIX. 281 p.

28. Chang M.-H. Weak infinitesimal generator for a stochastic partial differential equation with time delay // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 1995. Vol. 8, № 2. P. 115-138.

29. Chen if. Integral inequality and exponential stability for neutral stochastic partial differential equations with delays // Journal of Inequalities and Applications. 2009. Vol. 2009:297478. 15 p.

30. Pu X. Existence and stability of solutions for nonautonomous stochastic functional evolution equations // Journal of Inequalities and Applications. 2009. Vol. 2009:785628. 27 p.

31. Balasubramaniam P., Ntouyas S.K. Global existence for semilinear stochastic delay evolution equations with nonlocal conditions 11 Soochow J. Math. 2001. Vol. 27, № 3. P. 331 342.

32. Jasaitis V., Ivanauskas F., Bakanas R. Front dynamics with delays in a spatially extended bistable system: computer simulation // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. 2008. Vol. 13, № 4. P 433-438.

33. Majer N., Schôll E. Resonant control of stochastic spatiotemporal dynamics in a tunnel diode by multiple time-delayed feedback // Physical Review. 2009. Vol. E79, № 011109. P. 1-8.

34. Ahmed H.M. Numerical analysis for some stochastic delay differential equations // Advances in Applied Mathematical Analysis. 2008. Vol. 3, № 1. P. 67-73.

35. Govindan Т.Е. A new iteration procedure for stochastic neutral partial functional differential equations // Intern. Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009. Vol. 56, № 2. P. 285-298.

36. Полосков II. /•,'. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. № 9. С. 58-73.

37. Полосков И.Е. Движение транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания // Математическое моделирование. 2005. Т. 17, № 3. С. 314.

38. Полосков И.Е. Применение схемы расширения фазового пространства для анализа систем с распределенными параметрами и запаздыванием // Вестник Пермского ун-та. Информационные системы и технологии. 2011. Вып. 12 (38). С. 64-69.

39. Шмелев А.Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей. М.: Изд-во МФТИ, 1998. 208 с.

40. Полосков И.Е. Расчет первых моментов случайной концентрации вещества речного загрязнения // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. VII, № 2 (18). С. 103-110.

An adaptation of the MSESS scheme for an analysis of linear stochastic partial differential equations with constant time delay

I. E. Poloskov

Perm State National Research University, 614990, Perm, Bukirev St., 15 polosk@psu.ru; (342) 2396560

A procedure combining the classical method of steps with the expansion of state space (MSESS) and previously proposed for an analysis of systems of stochastic (ordinary) differential equations with one time constant delay is adapted for an analysis of partial differential equations. In the paper, the method of constructing of equations for the first moments of a random field, that satisfies a linear parabolic stochastic differential equation with delay.

Keywords: stochastic analysis; linear dynamic system; partial differential equation; constant delay; state vector; moment functions; the Wiener process.