НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2015

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Информатика. Механика

Вып. 3 (30)

УДК 519.21:004.94

Некоторые классы дифференциальных систем со случайными запаздываниями и методы их исследования

И. Е. Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул.Букирева, 15 polosk@psu.ru; тел. (342) 239-65-60

схемы анализа некоторых из определенных выше систем, основанные

В работе рассматриваются некоторые подходы к приближенному анализу линейных и нелинейных динамических систем, описываемых детерминистическими и стохастическими дифференциальными уравнениями со случайными запаздываниями. Используемые подходы базируются на сочетании классического метода шагов, расширения пространства состояния и метода статистического моделирования (Монте-Карло). В некоторых случаях это позволяет упростить задачу и привести исходные уравнения к системам стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания.

Ключевые слова: стохастический анализ; динамическая система; случайное запаздывание; моделирование; вектор состояния; переходный процесс.

Введение

В последние десятилетия в различных областях прикладной математики активно используются уравнения с последействием (запаздыванием, запозданием, сдвигом, лагом), подклассы которых именуются функционально-дифференциальными уравнениями (ФДУ), дифференциально-разностными уравнениями (ДРУ), дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, уравнениями с запаздыванием, нейтральными уравнениями, интегро-дифференциальными уравнениями [1-9] и т.д.

Реальные явления могут моделироваться системами уравнений с последействием и

©Полосков И. Е., 2015

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект N 14-01-96019.

более сложной структуры, например уравнениями, содержащими несколько дискретных запаздываний, распределенные и случайные запаздывания и их иные комбинации. Различные формы учета запаздывания в дифференциальных уравнениях используются для математического моделирования эволюции во многих приложениях, где требуется принимать во внимание влияние событий прошлого.

Так, составные части с чистым (транспортным) запаздыванием часто встречаются в различных процессах, например, когда что-то перемещается из одной точки в другую с помощью ленточного транспортера, в системах магнитной записи и воспроизведения и др. [10]. Процессы в системах с транспортным запаздыванием описываются дифференциально-разностными уравнениями. Во многих тепловых процессах, а так-

же при передаче сигналов на большие расстояния электрическими, гидравлическими и другими линиями наблюдается запаздывание, которое распределено по всей длине линии и, в отличие от чистого запаздывания, часто ведет к искажению передаваемого сигнала.

Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) с запаздыванием и, в частности, дифференциально-разностные уравнения (СДРУ) являются обобщениями и детерминистических уравнений с запаздыванием, и стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) [11-15]. Функционально-дифференциальные уравнения, учитывающие эффекты последействия, представляют собой более реалистичные модели явлений из множества областей науки, таких как проблемы народонаселения, материалы с памятью и др., чем их одноточечные аналоги. Задачи с временным лагом имеют более богатую структуру, но, как правило, у них отсутствуют аналитические решения в замкнутой форме, даже содержащей интегралы или суммы бесконечных рядов, а также возможности точного расчета точек равновесия и бифуркации, которые в виде явных аналитических формул удается получить лишь в исключительных случаях. Поэтому для интегрирования даже детерминистических ДРУ требуются приближенные численные процедуры, а анализ явлений с запаздыванием является, в основном, количественным. Дополнительный уровень адекватности (но и усложнения) вводится, если перейти от детерминистических к стохастическим моделям (соответственно к СОДУ, СДРУ и др.). Круг основных стохастических концепций и их теоретические основания, включая СОДУ, рассматриваются в [12,16-24]. Численные схемы анализа детерминистических ДРУ [25,26] и СОДУ [27,28] являются основой соответствующих алгоритмов для исследования СДРУ.

Следующим шагом в сторону усложнения моделей различных процессов является трактовка запаздываний как случайных величин и функций. В частности, модели такого вида возникают при описании систем, меняющих свою структуру под воздействием случайных факторов. Несмотря на широ-

кие поля приложений (см. ниже), уравнения подобного вида недостаточно исследованы.

При изучении стохастических систем с запаздыванием можно использовать следующую терминологию [29]: если на систему со случайными запаздываниями действуют случайные возмущения, то модель такой системы называется системой стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием,; если случайны только входные воздействия, а все остальные параметры, включая запаздывания, детерминистические, то системой со случайным,и входными воздействиями; если параметры, входные воздействия и начальная функция детерминистические, а запаздывание случайно, то системой со случайным запаздыванием. При этом сложность исследования систем с переменными детерминистическими запаздываниями и случайными возмущениями обычно близка к сложности анализа динамических систем, находящихся под влиянием случайных флуктуаций. Специфику здесь определяет наличие начальной функции, которая требует особого определения и которая может быть как детерминистической, так и случайной.

Обычно целями исследования указанных выше систем является получение различных вероятностных характеристик векторов состояния систем как векторных случайных процессов. Наиболее полным будет решение, приводящее к определению одноточечной или многоточечной (переходной) плотности вероятности, а также характеристической функции изучаемого процесса, которые в зависимости от постановки задачи могут быть получены с разной степенью детализации.

Но, как правило, на практике ограничиваются числовыми характеристиками вектора состояния, включающими вектор функций математических ожиданий, матрицу функций ковариации (дисперсии) и матрицу ковариационных функций.

Далее в работе представлен спектр явлений, для математического описания которых требуется учет случайности запаздывания в различных формах, краткий обзор решавшихся задач и существующих методов исследования, а затем предлагают-

ся схемы анализа некоторых из определенных выше систем, основанные на сочетании классического метода шагов [5], расширения пространства состояния [30-32] и метода статистического моделирования (Монте-Карло) [33].

1. Объекты со случайным запаздыванием и методы их анализа

Необходимость рассмотрения случайности запаздывания при анализе различных физических, технологических, экономических и других явлений исследователями была установлена еще в середине XX в. Прежде всего такой вывод был сделан по отношению к транспортному запаздыванию, где проявление эффекта последействия зависит из конечности скорости электрических зарядов, передачи сигналов и энергии на расстояние в неоднородной среде (например, при наличии препятствий, отражений и вообще в неоднородных средах акустические сигналы приходят в точку наблюдения многократно отраженными и искаженными по сравнению со своим первоначальным видом), протекания различных процессов и др.

Среди физических процессов (электроника, использование сверхвысоких частот), анализ которых связан с учетом влияния рассматриваемого эффекта, отметим следующие: возникновение тока в газе с нерегулярной задержкой по времени при подаче на разрядник (электроды) напряжения, превышающего пробивное [34], причем запаздывание обусловлено вероятностным характером выхода из катода электронов, инициирующих развитие лавин; электрический разряд в твердых, жидких и газообразных диэлектриках [35]; срабатывание реле, реверсивных устройств и дифференциаторов; подобные ситуации в других газоразрядных и электронно-лучевых приборах, в т.ч. в газовых ионизационных детекторах [34], газоразрядных стабилитронах и импульсных водородных тиратронах, в низковакуумных газоразрядных электронных пушках [36]; импульсные режимы электронных индикаторов и датчиков; работа газоразрядных индикаторных панелей [37], полупроводниковых лазеров с запаздывающей об-

ратной связью, сильноточных генераторов плазмы [38], функционирующих при атмосферном давлении; пробой воздушной или жидкой изоляции; намагничивание спина, на который действует внешнее магнитное поле, и никель-цинк-кобальтовых ферритов; испытание вязкоупругих материалов, в которых случайны времена запаздывания и релаксации деформаций и напряжений; задержка приливов вследствие того, что приливное трение смещает прилив в направлении вращения Земли, в результате чего максимум приливного горба в данном месте запаздывает по времени относительно прохождения внешнего тела через местный меридиан; процессы размножения нейронов, делающие возможным осуществление цепной реакции деления, при этом небольшое количество нейтронов, вылетающих не в момент акта деления, а несколько позже, называются запаздывающим,и] атмосферная турбулентность, вызывающая задержку оптических сигналов, передаваемых по воздуху, что влияет на точность измерения лазерных дальномеров [39]; та же причина, искажающая характеристики радиосигналов и импульсов пикосекундных лазеров, используемых для определения расстояний до наземных, воздушных и космических объектов [40] и др.

Необходим учет случайности запаздывания в задачах биологии, например при оценке сроков беременности у людей и других живых существ из-за условий существования и внешнего влияния [41], времен заражения [42] и иммунного ответа [43], генетических изменений [44]; в моделях динамики эпидемий и миграции населения [45], регуляции генов, физиологических процессов, контроля осанки, рождения-гибели [46]. В нейронных сетях статистически задержки появляются вследствие наличия расстояний между нейронами, синаптических связей между ними, зависящих от распространения биопотенциала на значительные расстояния [45].

В экономике и финансах присутствуют задержки заказов товаров и их доставки на рынок [47], поступления платежей по поставкам товаров, возврата кредитов [44, 48] и информации на фондовой бирже [44,49],

учета коррупции и подобных действий после обнаружения [44]; необходимо принимать во внимание случайное запаздывание в моделях типа Ь.т-жа I Поу па Мер гона Самуэлсона [50,51] и др.

Большинство современных систем автоматического управления (САУ) представляют собой технически сложные устройства, включающие в свой состав большое количество подсистем и обязанные обеспечивать решение комплексных задач [52,53]. В современных промышленных системах компоненты САУ (объекты управления, регуляторы, датчики, исполнительные элементы) практически невозможно расположить в одном месте. Поэтому обычно эти компоненты размещены на некотором расстоянии друг от друга, а для связи компонентов используются сетевые каналы связи, а сами системы называются сетевыми системами управления (ССУ) [54]. В отличие от традиционных САУ с прямой обратной связью, ССУ обладают многими преимуществами: низкой стоимостью, простотой установки и диагностики, возможностью изменения конфигурации, высокой надежностью и быстродействии, меньшими весом и затратами энергии. Но наличие в ССУ сетей связи в цепи управления обладает и рядом недостатков, таких как случайные задержки передачи данных, потери пакетов данных, многопакетная передача и разупорядочение пакетов, что приводит к неустойчивости ССУ и низкой эффективности [55,56].

В связи с важностью человеческого фактора с позиции управляющей системы оператор САУ может рассматриваться как "инерционное звено с переменной (случайной) задержкой", реализующее переданные оператору некоторые функции автоматического управления, которые невозможно или нежелательно применять в автоматическом режиме.

Чтобы компенсировать недостатки ССУ, как и при решении других проблем, необходимо строить математические модели случайных лагов, которые обычно выбираются в форме независимых случайных величин, однородных и неоднородных, дискретных и непрерывных цепей Маркова, скрытых цепей Маркова [55], линейной функции

случайных величин, имеющих распределение Бернулли, а также в виде более общих стационарных и нестационарных случайных процессов, в том числе и функций векторов состояния динамических систем. В статье [57] предлагается схема генерации случайных запаздываний, которая увеличивает десинхронизацию по сравнению со случайными лагами равномерно распределенной длины.

В коммуникационных сетях присутствуют переменные случайные задержки сигналов обратной связи при прохождении через информационные сети [58] (что требует синхронизации элементов в сети [59]), в больших распределенных вычислительных системах с разнесенными в пространстве узлами - значительные по величине случайно меняющиеся лаги. К переменности случайных лагов приводят динамические смены станций и переключения коммуникационных каналов сетевых мобильных систем контроля наземного, воздушного и водного транспорта. Мобильный агент (беспилотный летательный аппарат, станция связи на транспортном средстве (ТС) и т.п.) перемещается по району с изменяющимся ландшафтом (здания, другие ТС, различные погодные условия). Сигналы, в том числе отраженные от ландшафта, транслируются от агента по множеству различных путей передачи и, наконец, собираются в приемнике (другом мобильном агенте). Задержки сигналов меняются случайным образом из-за динамично меняющейся среды, выстрых и медленных стохастических возмущающих источников и др.

И наконец, отметим случайные опоздания транспорта (поездов, самолетов, автобусов), включая специальный (машины скорой помощи, пожарные машины), вследствие флуктуаций дорожного и воздушного трафика; случайные задержки подачи топлива в двигатель автомобиля при разгоне, движении, торможении и остановках; задачи актуарной математики (страхования) и др.

Но заметим, что последействие может оказывать не только отрицательное, но иногда и положительное воздействие, например, случайные задержки, включая синхро-

низацию, применимы для получения эффективных протоколов многоадресной передачи при обслуживании мобильным оператором [60], подавления хаотических возмущений и стабилизации устройств управления и др.

Вопросы, связанные с влиянием случайных запаздыванием на динамику детерминистических и стохастических систем, привлекли внимание теоретиков уже более пятидесяти лет назад. Среди работ, где рассматривались такие вопросы, отметим следующие: [61] (запаздывание - непрерывный справа марковский скачкоообразный процесс, исследовались достаточные условия асимптотической устойчивости вектора состояния по вероятности в терминах функционала Ляпунова); [62] (запаздывание - однородный чисто скачкоообразный марковский процесс, анализировалась асимптотическая устойчивость по вероятности вектора состояния нелинейной системы по первому приближению); [63, 64] (исследование нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка со случайным запаздыванием); [65] (запаздывание - сумма константы и случайного процесса с малой интенсивностью; в работе изучалось влияние случайного запаздывания на колебательные процессы в нелинейных системах, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка с помощью асимптотических методов нелинейной механики и метода уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, ФПК-уравнения); [66] (запаздывание - неограниченное случайное; в статье исследовалось существование и единственность решения случайного дифференциального уравнения, которое порождает коцикл, и показано существование аттрактора, что позволяет доказать порождение случайной динамической системы решением этого уравнения); [67] (запаздывание - случайный процесс, имеющий в каждый момент времени Ь равномерное распределение на промежутке [0,Ь]; в работе продемонстрирована эквивалентность исходных детерминистических дифференциальных уравнений и-го порядка с таким запаздыванием ОДУ (и + 1)-го порядка); [68] (запаздывание - случайная дискретная последовательность; в статье рас-

пространена мультипликативная эргодиче-ская теорема Оселедеца о спектре Ляпунова и подпространствах Оселедеца на линейные случайные разностные уравнения со случайным запаздыванием, доказано, что случайная динамическая система, порожденная разностным уравнением со случайным запаздыванием, не может иметь бесконечно много показателей Ляпунова).

В работе [69] доказано существование стационарного случайного решения случайной обыкновенной дифференциальной системы с запаздыванием, которое притягивает все другие решения. Уравнение содержит односторонний диссипативный член Липшица без запаздывания, в то время как случайное запаздывание появляется в глобально липшицевом другом. При этом требуется, чтобы функция запаздывания была непрерывной во времени. Кроме того, утверждается, что расщепленная неявная схема Эйлера-Маруямы, связанная со случайной дифференциальной системой с запаздыванием, порождает дискретную по времени случайную динамическую систему, которая обладает стохастическим стационарным решением с тем же притягивающим свойством, и которая сходится к стационарному решению случайного дифференциального уравнения с запаздыванием потраекторно в случае, когда длина шага стремится к нулю.

К этому спектру задач изучения систем со случайным запаздыванием добавим прикладные области: проблему фильтрации (оценки состояния), которая решается с помощью преобразования системы к форме без запаздывания [70,71]; анализ стохастического резонанса в ионном канале, описываемого линейным уравнением Ланжевена с дробной производной [72], и в бистабильной системе [73]; задачу оценки влияния запаздывания на систему взаимосвязанных частиц, включая анализ бифуркаций [74]. В работе [53] решается задача стабилизации модельной ССУ в условиях возможного появления запаздывания передачи данных и потери пакетов данных в сетевом канале, причем в качестве моделей случайных лагов использованы однородные дискретные цепи Маркова; анализ влияния случайных запаздываний на сихронизацию простой модели

хаотических осцилляторов и стохастической линейной устойчивости нейронной сети рассматривается в [45]. В работе [75] изучаются условия моментной экспоненциальной устойчивости С СУ, моделируемой системой со случайными запаздываниями - непрерывными цепями Маркова, и критерии устойчивости ССУ в зависимости от запаздываний. В [76] рассматривается устойчивость линейной неопределенной ССУ со случайными задержками времени связи в виде марковских процессов, предложен автоматический регулятор, зависящий от состояния.

В связи со сложностью задач методы исследования стохастических систем со случайным запаздыванием нетривиальны и немногочисленны. Прямые аналитические схемы анализа таких систем типа ФПК-уравнения отсутствуют, а приближенные ориентируются на исключение случайного запаздывания или полностью (например, с помощью процедуры усреднения, см. ниже, что возможно далеко не всегда и существенно искажает вероятностные характеристики вектора состояния), или сведением к системам с неслучайным постоянным или переменным запаздыванием (к СДУ с запаздыванием или нейтральным СДУ), а также на чисто численные схемы типа Эйлера-Маруямы, причем в отличие от систем с неслучайными запаздываниями, алгоритмы, отличные от различных вариаций схемы Эйлера-Маруямы, в научной литературе отсутствуют. При этом только при применении процедуры усреднения для вычисления характеристик вектора состояния не требуется совмещение выбранной схемы исследования с методом Монте-Карло.

На практике целью построения численных интеграторов для СДУ, СДРУ и других классов стохастических уравнений является вычисление после дискретизации этих уравнений с использованием метода статистического моделирования (Монте-Карло) [33] дискретных представлений {хк} (к = 1, 2,..., N одной или многих реализаций х(Ь) вектора состояния системы в узлах сетки. Во втором случае эти реализации служат для оценки вероятностных характеристик вектора X (Ь) на основе методов математической статистики.

В монографии [29], посвященной исследованию как детерминистических, так и стохастических систем с переменным запаздыванием, рассмотрен ряд задач и для ДУ и СДУ со случайными запаздываниями.

Сначала в § 26 представлен приближенный метод определения дисперсии выхода линейного уравнения п-го порядка с переменными коэффициентами и единственным термом Х{Ь — Т(Ь)) с запаздыванием, величина которого флуктуирует относительно некоторого постоянного значения: Т(Ь) = т0 + 0(Ь), где то = со^, а 0(Ь) - малая центрированная случайная функция с заданной ковариационной функцией. После замены

Х(Ь — Т(Ь)) - Х(Ь — тое — Х'(Ь — то) 0(Ь)

решение преобразованного уравнения представляется в виде суммы неслучайной и случайной составляющей. Для этих составляющих строятся свои уравнения, после решения которых с использованием последовательных приближений и определяется искомая характеристика.

Еще более узкая задача рассматривается во второй части § 26, а именно, вычисление дисперсии широкополосной радиотехнической системы с запаздыванием в виде узкополосного случайного процесса.

В § 27 рассматривается представление периодического процесса в нелинейной системе со случайным запаздыванием методом гармонического баланса с целью определения плотности вероятности выходного процесса системы. Полученные уравнения (теперь это уже СДУ без запаздывания) для амплитуды-фазы в § 28 позволяют применить аппарат диффузионных марковских процессов [77] для определения плотности вероятности распределения амплитуды и фазы выходного процесса нелинейной системы.

В монографии [78], наряду с другими рассмотренными задачами, упоминается более общая проблема, чем в [29, §28], исследования системы дифференциально-разностных уравнений с одним или многими запаздываниями, которые представляют собой случайные функции времени типа Тк (Ь) = тко + еак 0к(ь) (X(Ь) = 0 при Ь — Тк(Ь) < 0), где 0к (Ь) - центрированный стационарный

случайный процесс, 1 ^ к ^ г; е - малый параметр; а - постоянная величина. Для анализа одночастотных и многочастотных случайных колебаний рекомендуется сначала привести систему к стандартному виду (с помощью процедуры усреднения), а затем применить аналитический метод ФПК-уравнений.

В работе [79] исследуется СДУ с запаздыванием, которое зависит от вектора состояния, а этот вектор, в свою очередь, от момента времени, сдвинутого в прошлое от текущего на случайную величину. Результатом исследования является доказательство существования решения, строгой сходимости (обеспечивающей единственность решения) модификации приближенной схемы Эйлера-Маруямы и применение разработанной модификации для моделирования вола-тильности с использованием метода Монте-Карло.

Авторы [47] рассматривают рынок одного товара, описываемый модификацией динамической модели Вальраса [80], в которую внесено изменение, учитывающее то, что объем продаж зависит от цены товара в некоторый предыдущий момент времени, отстоящий от текущего на время т, а запаздывание (временной лаг) т появляется в силу того, что на заказ товара и на доставку его на рынок требуется некоторое время, причем это время может быть случайным. Для анализа указанной и других моделей в работе предлагается метод решения, обобщающий метод Эйлера-Маруямы с уравниванием при отсутствии запаздывания, при постоянном запаздывании на случай переменного (в том числе случайного) запаздывания. Идея разработанной схемы заключается в решении уравнения на каждом элементарном отрезке методом последовательных приближений (простых итераций). Реализация этого метода применяет в качестве предиктора решение, полученное по явной схеме Эйлера, и использует вычисление стохастических интегралов по формуле прямоугольников, а также линейную интерполяцию решений внутри соответствующего отрезка.

В работе [81] система дифференциальных уравнений со случайным запаздыва-

нием дискретизируется, после чего предполагается, что запаздывание представляется случайной последовательностью, реализация которой строится на основе заданного дискретного распределения.

2. Нелинейные стохастические системы со случайными запаздываниями в виде случайных величин

2.1. Расширение пространства состояния

Рассмотрим систему СДРУ вида

Х(Ь) = f (X(Ь), X(Ь -Т),Ь) +

+ 9(Х(Ь), X(Ь - Т),Ь) V(Ь), (2.1)

Ь0 <Ь ^ Т < +с,

где X = Хт(•) £ Мп - вектор состояния, V(•) £ Мт - вектор независимых гауссовых белых шумов с единичными интенсивностя-ми,

ЕV(Ь)] =0, Е [V(Ь) Vт(О] = Е 5(Ь - Ьг)

(Т и Е - символы транспонирования и математического ожидания, Е - единичная мат-Т

личина (запаздывание) с заданным законом распределения Тт(т), возможные зна-т

Кв [ттгп, ттах])

f = {¡г}Т : М2п х (Ьо, с) Мп

и

д = {ду }: М2п х (Ь0, с) Мп х Мт

- детермининистические векторная и матричная функции соответственно. Предположим, что при Ь ^ Ьо вектор состояния X (Ь) почти наверное (п.п.) совпадает с векторной случайной величиной (СВ) 3 с известными вероятностными характеристиками, в частности, с заданной плотностью вероятности р0(х). Случайное возмущение V(Ь), величину Т и вектор 3 считаем независимыми.

Задача исследования состоит в вычислении необходимых статистических характеристик векторного случайного процесса X(t).

Для того чтобы применить аналитический аппарат ФПК-уравнения для решения

данной задачи, заметим, что для каждого

тТ

Т

вращается в систему СДРУ с постоянным т

сочетание метода шагов и схемы расширения вектора состояния.

Итак, будем считать, что мы проводим серию из некоторого (вообще говоря - бесконечного) числа опытов, состоящих в разыг-Т

нимает значения т[£] € [ттгп,ттах], где £ -формальный индекс. Тогда условный вектор состояния для фиксированного значения Т = т[£] будем обозначать так:

X Чь) = X т=т т(Ь).

Для того чтобы изучить случайное изменение вектора X (Ь) при значениях времени Ь > Ь0 посредством преобразования немарковского векторного процесса в марковский, мы расширяем фазовое пространство системы. В процессе реализации этой процедуры введем дополнительные обозначения:

* € МЧ ь[£] = Ьо + д • т 1, т,

N

^ = q = 0,1, 2,...,N>f],

[f ]

s[£ ]

S q+1

= s +

xq\s) = X (s^), Vq(s) = V (s^), p[f\x,s) = p[f\x,s[f]), pi\x, 0)= p0(x), Xо ] = S, ZP=col(Z^, Xf]),

Z

[f ]

Z

[f ]

co\(Z f], X 2f]),

X [V](0)= X['Ut V]), Vq (0)= Vq.1(r[f]),

р^](х, 0)= Р—ХУ1),

со1(^) - вектор, состоящий из компонентов векторов-аргументов.

Рассмотрим последовательность полуотрезков А1д ], д = 0,1, 2,...,мТ].

1°. Начнем с а\°], А^]. Определенный на Ао А1

] (в) удовлетворяет системе СДУ (точкой

[f ]

-[f h

здесь и далее обозначена производная по пе-s

X 0\s) = 0, X 0 ](0) = S п. п., XXf](s) = f (X^](s), X0\s),sP)+

+ G(X[V](s), X¡f \s),s[V]) V¿s).

ФПК-уравнение для плотности распределения расширенного вектора состояния ](t) имеет вид

dp\zi,s) т[е ]_[f ] — qs-= Li Pl (*i>s)>

pi](zi, 0)= p0(xo) SX - xo),

где

1 ^ dHbl]^) _ ^ d^pfI)

2 dzudzij

i,j = i

i=1

dzu

aii =

2n 2m n [f ]

[*] _ At] | 1 srsr^iik je] hi +2 dz j=1k=1 J

2m

b1ij = ^2 g1ikg1jk,

k=1

f f \z1,s)

G1](z1,s) =

f (x1, xo, s

[f ])

о д{х\, хо8]) 2°. Проанализируем поведение системы на полуотрезках а\°], ] и ]- СДУ для вычисления вектора co1(Xо, XX2) можно представить так:

X о ](*) = 0, X о ](0) = 3 п. п.,

-[f ],

XV(s) = f (X 1\s), X0f](s),s1])+

Jf h

+ G(X lf\s), X ¡](s),s1]) V 1(s)

[f ]/

[f h

■[f ],

X 2](*) = / (X 2о](*), X 1](*),*2])+

+ д(X 2о ](*), X1 ](8),8[2]) V 2(8).

Поэтому плотность распределения вектора 22 будет удовлетворять ФПК-уравнению вида

[f ],

Jf h

dp2f \z2,s)

ds

Lfpf(z2,s),

p 2

[f ],

(z2, 0) = p 1f ] (x1, x2,T[f ]) S(x1 - xo),

0

2

где

1[е Р' 1

^2 Р2

1 ^ ^ д(а%№])

2 ,4ч

= 1

Л' 1

% =

г=1

1 3п 3т п [' ]

Л*] | 1 д9ък М Ьг + 2 дг 92]к

3=1 к=1

3т

Ь2гу = ^ д2гкд2;/7с,

к=1

f 2' ^2,8) =

f Р(*1,8)

f (Х2, Х1,8

[' 1)

д2'1 («1,8) =

д1'1 («1,8)

о д (х2, х 1,821)

№. Рассмотрим временные полуотрезки ДО'\ Д'\ ..., АN (Ж = жТ1). Построим систему СДУ для вектора 2N6 виде

X 0' ](8) = 0, X 0' 1(0) = з п. п., X1%)= f (X '(8), X 0'1(8),81'1) +

+ д(X '(8), X 0'1(8),81'1) V 1(8),

['

X2»= f (X'(8), X 11(8),821) +

+ д(X 2'1 (8), X' (8),8[' ) V 2(8),

['

['

а{£] _ Ле\ , Л V V

['

п(М +1) т(И+1) ['1

1 ^ ^ д9тк Л£]

2

3=1 к=1

дгму

дМ3к,

т(М+1)

ь['1 = V д['1 д['1 к=1

f N (ZN,8) =

дN (ZN ,8) =

/ £ ]-l(zN -1,8) f(xN, ХN-1,8\N )

д^-1,8) о од

N

д*и = д (хм, хм-1,8N).

2.2. Оценка характеристик

Получить необходимые условные момен-тные характеристики можно воспользовавшись как построенными ФПК-уравнениями, так и напрямую получить ОДУ для этих мо-ментных функций. Обозначим через

та (8) = Е [ф] =

8

ад! ач2 ®д,п(я+1) гд1 V ...гд,п(д+1)

У(я + 1) ! г<14 Рд] («д ,8) Лхо ...йхд

смешанную моментную функцию порядка

X 8)= f (X '(8), X N ^-1(8),8^ ) +

+ д(X '(8), X N -^Д1) V N (8),

Тогда плотность распределения случайного вектора 2N будет удовлетворять уравнению

^ ,8) г['1 _['Ь ч

рN ^, 0) =

= Р['-1(х1, х2, ..., хМ ,т['1) 6(х1 - хо) В этом уравнении

- - V

^мРм - О / ,

г,3 = 1

2 дzNiдzNj

¡>(<Ш})

г=1

К \ = ад1 + ад2 + ... + ад,п(д+1)

(ад = {ад1,ад2,...,ад>п(д+1)}, адг ^ 0). При этом у выделенных моментов нужно заме-

8

В первом случае достаточно последовательно на участках Ад'1, я = 1, 2, ..., Ж^1, вычислить только требуемые моментные функ-['

ции тпдщ{8), представляющие моменты вектора состояния X['1 (Ь) до некоторого порядка (\ад\ ^ К0):

ад = {0,..., 0, ад>дп+1, адудп+2, ■■■, ад;Т1(д+1)}.

К сожалению, получить решение многомерного ФПК-уравнения в неограниченной области с приемлемой точностью даже на современных компьютерах удается лишь в редких случаях.

Во втором случае необходимо шаг за шагом на участках А[,°], д = 1, 2, ..., №], строить и решать последовательность систем уравнений увеличивающейся размерности следующего вида:

п(д+1)

тя1 (в)= агЕ

г=1

'\е] ач-а адг ¿Я

+

+

п(д+1)

У] адг(адг-1)£

г=1

п(д+1)-1 п(д+1)

+ Е аяг Е

г=1 3=г+1

ь[е.] «д-2ен

идгг ¿д

+

иду ¿Я

а затем, как и выше, отобрать из всех только требуемые моментные функции, исключив вспомогательные.

Кроме собственно вывода уравнений для конкретных нелинейных систем, в процессе которого обязательно потребуется проводить процедуру урезания числа моментных функций [21], технически сложной проблемой на этом пути является реализация схемы задания начальных условий для неизвестных функций Шдс!д (в) при в = 0 по участкам. Продемонстрируем эту схему для первых двух этапов и п = 2:

т

1 ]

1,«01«02«11 «12

(0) =

= J Мжо1,жо2) Р°(хо1,хо2) dX01 йХо2 —

К2

где

Мхо1,хо2) = X,

= т о

— «01+^11 ,«02 +"12 '

_ ™«01 +«11 ™ «02 +«12.

о1 хо2 ;

1 ]

11 2,а01«02«11 «12 «21 «22

(0) =

= / ¿а2 ](*2, 0) йг2 =

К6

= 1 ¿а2 р1 ](Х1, Х2,т[е]) 5(х1 — хо) йг2 =

К6

= J Л-2(хЬ Х2) Р1 ](Х1, Х2 ,т[1 ]) йХ1 йх2 =

= т

1 ]

1,«01+а11,«02 +«12,«21«22

(т[г]),

где

Ъ.2 (Х1, Х2) = X

«01+«11 ™«02+«12 ™«21 ™«22

11

X

12

Х21 Х22

Если бы вычисления для обоих случаев можно было выполнить с т1 ] как символьным параметром, то для расчета безусловных плотностей вероятности и моментных функций были бы пригодны следующие соотношения:

Рд(гд ,8)= ! РЯ] (г д, в) А7т (т),

т

дад

(*)= ! т

тц (в) йГт (т).

Как правило, даже для не очень сложных задач указанная процедура невозможна. Поэтому вероятностное усреднение должно быть заменено статистическим. А именно, будем проводить серию из М моделирований, состоящих в компьютерном разыг-Т

ваниях будет принимать значения Р1 ], £ = 1, 2, ... , М

ров состояния, плотностей вероятности и моментных функций для Т = Р1 ] обозначить так:

X1 \ь)= X т=9т(Ь),

рд] (гд ,в) = Р[д ](г д ,в)

т=т

-1 ]

тдад (в) = т[Я1ч (в)

т=?[*]

то расчетные формулы для оценок безусловных их аналогов примут следующие формы:

X (Ь)

1

м

м

р д(гд,

1

1=1 м

в) =

[1] я

1 Р1 ]/ ч

(2.2)

1=1

м

т

д ад

р 1 ] (\ тдад(в).

1=1

В заключение этого раздела заметим, что существует достаточно много ситуаций, когда построить уравнения даже для моментных функций по СДПУ (2.1) затруднительно, и основным инструментом количественного анализа становятся методы прямого

численного интегрирования таких уравнений. Определим такую процедуру в рамках изложенной выше схемы. С целью достижения приемлемого по точности результата разобьем точками к:

¿к= Ь- + кН['\ к = 0,1,...,Ь['1

_ положительное целое) каждый уча-['

сток Ад на части настолько малой длины Л,'1 = (Ь^' - Ь^-^/Ь['^, чтобы в рамках этих частей вектор X['1 (Ь) можно было бы считать неизменным, т.е. векторной случайной

['

величиной. Обозначим через Xз значения приближенного решения уравнения (2.1) в точке к, где 3 = яЬ['^ + к.

Тогда модификацию хорошо известной явной одноточечной схемы Эйлера-Маруя-мы [27] для вычисления реализации жз вектора Xз из этих уравнений можно будет записать так:

х['1 = х['1 + хз+1 = хз +

+ Л'1 f{.

хЗ'1, х['1,Г/1,Ы ) +

Ь['1

+ д(хI'1,х^З) х

х (Л['1 )1/2Дг

дЦ'+1 = w['\ф - )

[' , к+1,

(2.3)

з = Ь['1,..., ь['Хк' + 1) -1

х

['

= х['1, 3 = 0,1,...,ь['1,

(2.4)

['

где х _ результат статистического разыгрывания векторной СВ з в £-м моделировании, - величина, рассчитанная с помощью датчика псевдослучайных стандартных нормально расределенных чисел. После расчета всех М временных разверток {х' },

е = Т^м, з = од,..., ьЩ N^+1) с помощью формул типа (2.2) можно определить оценки всех необходимых вероятностных характеристик вектора состояния, например, оценки математического ожидания и дисперсии компоненты Хг (Ь) вектора состояния будут выглядеть так:

т

гз

М

(2.5)

Б

1

гз

М ( )

'=1

(2.6)

а для аппроксимации плотностей вероятности можно применять ядерные оценки [82].

Замечание. В общем случае ^к Для Раз~ ных £ совпадать не будут. При малом расхождении различия можно игнорировать, а при относительно большом для приведения вычисленных величин к единой сетке предлагается использовать интерполяцию.

2.3. Нелинейные системы со случайными запаздываниями в виде случайных величин

Самый простой вариант расширения пространства может быть применен в случае, когда исследуемая система со случайным запаздыванием является детерминистической, т.е.

:^(ь) = f (X(Ь), X(Ь - Т),Ь), Ь0 <Ь ^ Т < +с.

(2.7)

Как и выше, предположим, что при Ь ^ Ьо вектор состояния X(Ь) п.н. совпадает с векторной случайной величиной (СВ) с известными вероятностными характеристиками.

Заметим, что при фиксировании возможных значений т СВ Т и £ СВ з система (2.7) превращается в систему детерминистических ДРУ с постоянными запаздыванием тз применить изложенную выше схему для вычисления необходимых статистических характеристик векторного случайного процесса X (Ь). При этом в качестве численного интегратора можно выбрать любую стандартную схему для ОДУ, а для получения оценок характеристик - применить формулы типа (2.5), (2.6).

3. Линейные стохастические системы со случайными запаздываниями в виде случайных величин

3.1. Расширение пространства состояния

Воспользовавшись предположениями и обозначениями из предыдущего раздела, ес-

з

ли не оговорено противное, рассмотрим систему СДРУ вида

^С(Ь) = Я(ь) X (Ь) + к(г) X (Ь — Т)+

+ с(Ь) + Н(Ь) V(Ь), (3.1)

Ьо <Ь ^ т < +ж,

где

с(Ь) = {сг}: (Ьо, ж) Кп

и

Я = {дгз}, Щ = {Пз} : (Ьо, ж) Кп х Кп,

Н = {Ыз }: (Ьо, ж) Кп х Кт

- детермининистические векторная и матричные функции соответственно.

Учитывая, что для каждого возможного тТ

Т

нейную систему СДРУ с постоянным неслу-

т

при практически любом распределении 3 с течением времени происходит нормализация процесса X (Ь), что позволяет в рамках настоящего исследования ограничиться оценкой функций математического ожидания

тх (Ь) = Е {X (Ь)]

и ковариации

т,

2°. Рассмотрим поведение системы на полуотрезках Ац ], А^] и А^]- СДУ для вычисления вектора co1(Xо, X1, X2) можно представить так:

X о1 ](в) = 0,

X 1\в) = я(8?) X Мм*- Щв?) X Ц\в) +

[1]

+ св ]) + Н(81]) V 1(8),

[1 ] [1 ]

X 2» = еда X 2](8)+ П(8[1]) X ^(8)+ + с(в2])+ Н(в[2]) V2(8).

№. Рассмотрим временные полуотрезки А^1 ], А{1 \ ..., аЦ] N = N1 ]). Построим систему СДУ для вектора 2N в виде

X о1](8) = 0,

X 1\в) = Яв1]) X ^1](8)+ Щв?) X Ц](8) +

+ с*])+ Н(в^) V 1(8), ,1К ттР]

1 Ь

-1 ],

X 2» = еда X 2](8)+ П(8[1]) X ^(8)+ + с(в2])+ Н(в[2]) V2(8),

Сх(Ь) = Е Х(Ь) X (Ь)

векторного случайного процесса X (Ь) ^^ = X(Ь) — тх(Ь)) и применить сочетание метода шагов и схемы расширения вектора состояния.

Как и выше, рассмотрим последовательность полуотрезков АЯ], д = 0,1, 2,..., №]. 1°. Стартуем сразу же с Ао1 ], А[1]. Опре-

д[1] д[1]

А0 А1

ный вектор 21°](в) удовлетворяет системе 1

X о] (*) = 0,

XX ?\в) = Я(8[1]) X ?\в) + Щв!]) X Ц](8)+

+ с(811 ])+ Н(811]) V 1(8).

X 1](8) = Я(8^]) XN4*)+ Щв\1]) XN-1(8) +

+ с(8N ])+ Н(8N]) V N (8).

3.2. Оценка моментных функций

Получим необходимые условные момен-тные функции из ОДУ для этих моментных функций, для чего построим требуемые уравнения на основе цепочки уравнений для векторных случайных процессов 2д ] (Ь).

Для функций условного математического ожидания

х]д(в) = Со1(m[X]0(8), тХ1(8), ..., тХд(в))

т\

на участке А^], д = 1, 2, ..., №], система управляющих уравнений будет выглядеть так:

тХд (в) = Яд (в) тХ]д(в) + Сд(8),

а для условных ковариаций

%\(8) =

['] (8) ['] (8) С Х 00 (8) СХ 01(8)

СХ10 (8) СХ11(8)

СХд0 (8) 0Хдх(8)

на том же участке -

[']

сХ 0, (8) СХ1, (8)

4' 1

СХд(8) = Яд(8) С',(8) +

+ [Яд (8) СД (8)У+Нд (8) НТ (8)

т

где

що?1) жо?1)

о о

Щ82'1) 1)

['] 2

Н'(8) = о о о Н(811) о о

о

о

о о

Н(8')

о

о о о

С(4'1)

о о о

Н(8')

После решения этих систем, как и выше, необходимо отобрать из всех только требуемые моментные функции, исключив вспомогательные.

Если бы эти вычисления можно было выполнить с т['1 как символьным параметром, то для расчета безусловных математического ожидания и ковариаций были бы пригодны следующие соотношения:

ГПХд(8) = I т1'\(8) ¿Тт(т)

СХд(8)= I С1'д(8) ¿Тт(т). -ж

Как уже было отмечено выше, даже для не очень сложных задач такая процедура

невозможна. Поэтому и здесь вероятностное усреднение должно быть заменено статистическим. А именно, будем проводить серию М

Т

симулированиях будет принимать значения т[' \ £ = 1, 2,...,М. Если оценки для условных математического ожидания и ковариаций для Т = т['1 обозначить так:

[' ] [' ] т Х д(8) = т Х д(8'

Т=тГ1 ]'

[']

С Х д(8)= хЦ(8)

Т =тГ? ]'

то расчетные формулы для оценок безусловных их аналогов примут следующие формы:

М

М

т

['1 д

(8),

'=1

М

1 ^ 1

(3.2)

(3.3)

'=1

3.3. Линейные системы со случайными запаздываниями в виде случайных величин

Еще один простой вариант расширения пространства может быть применен в случае, когда исследуемая линейная система со случайным запаздыванием детерминистическая, т.е.

^С(Ь) = Я(Ь) X(Ь) + П(Ь) X(Ь -Т)+ с(Ь), Ь0 <Ь ^ Т < +с, X (Ь) = з, Ь < Ь0.

При фиксировании возможных значений т СВ Т и £ СВ з эта система превращается в систему линейных детерминистических ДРУ с постоянными запаздыванием тз применить рассматриваемую схему для вычисления необходимых статистических характеристик векторного случайного процесса X(Ь). При этом, как и в нелинейном случае, в качестве численного интегратора можно выбрать любую стандартную схему для ОДУ, а для получения оценок характеристик - применить формулы типа (3.2), (3.3).

Заключение

В данной работе представлен аппарат анализа линейных и нелинейных систем СДУ со случайными запаздываниями в виде случайных величин. В дальнейшем предполагается продолжить разработки в этом направлении и, в первую очередь, рассмотреть адаптацию схемы расширения пространства состояния для анализа линейных параметрических систем СДУ со случайными запаздываниями в виде случайных величин и систем СДУ с запаздываниями в виде конечных дискретных цепей Маркова. Кроме того, требует своей разработки направление построения удобной процедуры вывода уравнений для моментных уравнений более высокого порядка (выше второго) для линейных систем СДУ с запаздываниями рассмотренного типа. Необходимость такой разработки диктуется тем, что наличие указанных запаздываний приводит к негауссово-сти вектора состояния X (Ь), а следовательно, ограничиться только функциями математического ожидания и ковариаций для более или менее адекватного описания X (Ь) не представляется возможным.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рах-матуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

3. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

4. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 288 с.

5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

6. Driver R.D. Ordinary and delay differential equations. New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1977. IX+501 p.

7. Hale J.K, Lunel S.M. V. Introduction to functional differential equations. New York: Springer Science+Business Media, 1993. X+447 p.

8. Lakshmanan M., Senthilkumar D. V. Dynamics of nonlinear time-delay systems. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. XVII+313 p.

9. Fridman E. Introduction to time-delay systems: Analysis and control. Basel: Bir-khauser, 2014). XVIII+362 p.

10. Медведев Ю.И. Курс лекций по теории автоматического управления: учебное пособие. Томск: Том. ун-т, 2006. Ч. 2. 87 с.

11. Рубаник В. П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во "Университетское", 1985. 143 с.

12. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

13. Kushner H.J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhauser, 2008. XIX+281 p.

14. Baker C.T.H., Buckwar E. Introduction to the numerical analysis of stochastic delay differential equations // MCCM Numerical Analysis Report № 345. Manchester University, 1999. 25 p.

15. Buckwar E. Introduction to the numerical analysis of stochastic delay differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol. 125, № 12. P. 297-307.

16. Свешников А.А. Прикладные методы, теории случайных функций. М.: Наука, ГРФМЛ, 1968. 464 с.

17. Arnold L. Stochastic differential equations (theory and applications). New York: John Wiley & Sons, 1974. XVII+228 p.

18. Mohammed S.E.A. Stochastic functional differential equations. Boston, London: Pitman Publishing, 1984. 1X 2 15 p.

19. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 528 с.

20. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация. М.: Наука, 1990. 630 с.

21. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах: Аналитические и численные методы исследования. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 160 с.

22. Кляцкин В.И. Динамика стохастических систем: курс лекций. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003. 240 с.

23. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах: учеб. пособие. Ижевск: РХД, 2005. 296 с.'

24. Мао X. Stochastic differential equations and applications. Oxford: Woodhead Publishing, 2010. Will 122 p.

25. Bellen A., Zennaro M. Numerical methods for delay differential equations. Oxford: Oxford University Press, 2003. XIV 395 p.

26. Шампайн Л.Ф., Гладвел П., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: учеб. пособие. СПб.: Изд-во "Лань", 2009. 304 с.

27. Kloeden Р.Е., Platen Е. Numerical solution of stochastic differential equations. Berlin: Springer-Verlag, 1995. XXXV+ 632 p.

28. Milstein G.N., Tretyakov M. V. Stochastic numerics for mathematical physics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2004. XIX 591 p.

29. Солодов А.В., Солодова E.A. Системы с переменным запаздыванием. М.: Наука, 1980. 384 с.

30. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. № 9. С. 58-73.

31. Poloskov I.E. Symbolic-numeric algorithms for analysis of stochastic systems with different forms of aftereffect // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM). 2007. Vol. 7, № 1. P. 2080011-2080012.

32. Полосков И.Е. Численно-аналитические схемы анализа динамических систем с последействием // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 2 (6). С. 5158.

33. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование: Классика CS. 3-е изд. СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. 847 с.

34. Энгель Л. Ионизованные газы. М.: ГИФМЛ, 1959. 333 с.

35. Сканави Г.И. Физика диэлектриков (область сильных полей). М.: ГИФМЛ, 1958. 907 с.

36. Тутык В.А. Исследование явления запаздывания зажигания высоковольтного тлеющего разряда для повышения рабочего давления газоразрядных электронных пушек // Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine. 2008. № 11. C. 86-91.

37. Светцов В.И., Холодков И.В. Физическая электроника и электронные приборы: учеб. пособие / Ивановский государственный химико-технологический университет. Иваново, 2008. 494 с.

38. Сысоев Ю.А., Планковский С.П., Лоян А.В. и др. Возбуждения дугового разряда в сильноточном генераторе плазмы // Авиационно-космическая техника и технология. 2006. № 10. С. 61-66. URL: http: //nbuv.gov.ua/j-pdf/aktit_2006_10 _16.pdf (дата обращения 08.07.2015).

39. Krai L., Prochazka I., Hamal К. Random fluctuations of optical signal path delay in the atmosphere // Proceedings SPIE. Conference Vol. 6364 "Optics in Atmospheric Propagation and Adaptive Systems" IX / A. Kohnle, K. Stein (eds.). 2006. URL: http://proceedings.spiedigitallibrary.org/ volume.aspx?volume id=1042 (дата обращения 08.07.2015).

40. Prochazka I., Krai L., Blazej J. Picosecond laser pulse distortion by propagation through a turbulent atmosphere // Coherence and Ultrashort Pulse Laser Emission / F.J. Duarte (ed.). Rijeka, Croatia: InTech, 2010. P. 445-448.

41. Forde J.E. Delay differential equation models in mathematical biology. PhD thesis. University of Michigan, 2005. 94 p.

42. Lara-Sagahon A. V., Kharchenko V., Jose M. V. Stability analysis of a delay-difference SIS epidemiological model // Applied Mathematical Sciences. 2007. Vol. 1, № 26. P. 1277-1298.

43. Cooke K.L., Kuang Y., Li B. Analysis of an antiviral immune response model with time delays // Canadian Applied Mathematics Quarterly 1998. Vol. 6. P. 321-354.

44. Crauel H., Son D.T., Siegmund S. Difference equations with random delay // Journal of Difference Equations and Applications. 2009. Vol. 15, № 7. P. 627-647.

45. Masoller C., Marti A.C. Random delays and the synchronization of chaotic maps // Physical Review Letters. 2005. Vol. 94, № 13. P. 134102-1-134102-4.

46. Lafuerza L.F., Toral R. Stochastic description of delayed systems // Philosophical Transactions of the Royal Society. Series A. Mathematical Physical and Engineering Sciences. 2013. Vol. 371, № 1999. P. 20120458.

47. Поддубный В.В., Романович О.В. Динамическая модель рынка вальрасов-ского типа со случайными запаздываниями в поставках товара // Сб. науч. тр. по материалам международной научно-практической конференции "Современные направления теоретических и прикладных исследований'2007". Одесса: Черноморье, 2007. Т. 21. Физика и математика. География. Геология. С. 20-26.

48. Chang H.-J., Dye C.-Y. An inventory model with stock-dependent demand under conditions of permissible delay in payments // Journal of Statistics and Management Systems. 1999. Vol. 2, № 2/3. P. 117 126.

49. Shepp L. A model for stock price fluctuations based on information // IEEE Transactions on Information Theory. 2002. Vol. 48, № 6. P. 1372-1378.

50. Arriojas M., Ни Y., Mohammed S.-E. et al. A delayed Black and Scholes formula

// Stochastic Analysis and Applications. 2007. Vol. 25, № 2. P. 471-492.

51. Kazmerchuk Y., Swishchuk A., Wu J. The pricing of options for securities markets with delayed response // Mathematics and Computers in Simulation. 2007. Vol. 75, № 3/4. P. 69-79.

52. Huang D., Nguang S.K. Robust control for uncertain networked control systems with random delays. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2009. X+158 p.

53. Валов С.А. Стабилизация 20-системы итеративного обучающего управления при передаче данных по каналу сети со случайным запаздыванием и потерей пакетов данных // Управление большими системами. М.: ИПУ РАН, 2013. Вып. 41. С. 113-145.

54. Yiiksel S., Ba§ar Т. Stochastic networked control systems: Stabilization and optimization under information constraints. New York: Springer Science+Business Media, 2013. XVIII+482 p.

55. Ge Y., Chen Q., Jiang M. et al. Modeling of random delays in networked control systems // Journal of Control Science and Engineering. 2013. Vol. 2013, Article ID 383415. 9 p.

56. Андриевский В.P., Матвеев А.С., Фрад-ков А.Л. Управление и оценивание при информационных ограничениях: к единой теории управления, вычислений и связи // Автоматика и телемеханика. 2013. № 4. С. 34-99.

57. Tunstall М., Benoit О. Efficient use of random delays in embedded software // Information Security Theory and Practices. Smart Cards, Mobile and Ubiquitous Computing Systems / Lecture Notes in Computer Science, Vol. 4462. Berlin, Heidelberg: Springer, 2007. P. 27-38.

58. Moegel A., Schwarz W. Modeling of random delay in LAN-based feedback control systems // 2005 Intern. Svmp. on Nonlin. Theory and its Appl. (NOLTA2005). I KICK. 2005. P. 517-520. URL: Imp: ww w.ieice.org/proceedings/NOLTA2005/НТ MLS/paper/7063.pdf (дата обращения 08.07.2015).

59.Marti A.C'., Ponce M., Masoller C. Ste-adv-state stabilization due to random de-

lavs in maps with self-feedback loops and in globally delaved-coupled maps // Physical Review E. 2005. Vol. 72, № 6. P. 066217-1-066217-10.

60. Levendovszky J., Koncz I., Boros P. Optimization of communication protocols by stochastic delay mechanisms // International Journal of Applied Science, Engineering and Technology. 2006. Vol. 2, № 4. P. 192-197.

61. Лидский Э.А. Об устойчивости движений системы со случайными запаздываниями // Дифференциальные уравнения. 1965. Т. 1,№ 1. С. 96-101.

62. Кац И.Я. Об устойчивости по первому приближению систем со случайным запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31, вып. 3. С. 447-452.

63. Коломиец В.Г., Кореневский Д.Г. О возбуждении колебаний в нелинейных системах со случайным запаздыванием // Украинский математический журнал. 1966. Т. 18, № 3. С. 51-57.

64. Кореневский Д.Г., Коломиец В.Г. Некоторые вопросы теории нелинейных колебаний квазилинейных систем со случайным запаздыванием // Математическая физика. Киев, 1967. Вып. 3. С. 91-113.

65. Новаковская Л.И. Построение асимптотических решений для дифференциальных уравнений первого порядка со случайным запаздыванием // Украинский математический журнал. 1989. Т. 41, № 11. С. 1569-1563.

66. Garrido-Atienza M.J., Ogrowsky A., Schmalfuss В. Random differential equations with random delay // Stochastics and Dynamics. 2011. Vol. 11, № 2/3. P. 369 -388.

67. Krapivsky P.L., Luck J.M., Mallick K. On stochastic differential equations with random delay // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2011. Vol. 2011, № 10. P10008.

68. Cong N.D., Doan T.S., Siegmund S. On Lvapunov exponents of difference equations with random delay // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series В (DCDS-B). 2015. Vol. 20,'№ 3. P. 861-874.

69. Caraballo Т., Kloeden P.E., Real J. Discretization of asymptotically stable stationary solutions of delay differential equations with a random stationary delay // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2006.'Vol. 18, № 4. P. 863-880.

70. Zhang H., Feng G., Han C. Linear estimation for random delay systems // Systems k Control Letters. 2011. Vol. 60, № 7. P. 450-459.

71. Wang W., Han C., He F. White noise estimation for discrete-time systems with random delay and packet dropout // Journal of Systems Science and Complexity. 2014. Vol. 27, № 3. P. 476-493.

72. Gao Sh.-L. Generalized stochastic resonance in a linear fractional system with a random delay // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2012. Vol. 2012, № 12. P12011.

73. Gao Sh.-L., Wei K., Zhong S.-Ch. et al. Stochastic resonance induced by the memory of a random delay // Phvsica Scripta. 2012. Vol. 86, № 2. P. 025002.

74. Mier-y-Teran-Rom,ero L., Lindley В., Schwartz I.B. Statistical multi-moment bifurcations in random-delay coupled swarms // Physical Review E. 2012. Vol. 86, № 5. P. 056202.

75. Wu F., Yin G., Wang L.Y. Moment exponential stability of random delay systems with two-time-scale Markovian switching // Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2012. Vol.'13, № 6. P. 2476-2490.

76. Huang D., Nguang S.K. State feedback control of uncertain networked control systems with random time delays // IEEE Transactions on Automatical Control. 2008. Vol. 53, № 3. P. 829-834.

77. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977. 488 с.

78. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: На-укова думка, 1970. 440 с.

79. Kazmerchuk Y.I., Wu J.H. Stochastic state-dependent delay differential equations with applications in finance // Functional Differential Equations. 2004. Vol. 11, № 1/2. P. 77-86.

80. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Морозов В. И. Микроэкономика. В 2-х т. / Под общей ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2002. Т.1. 349 с.

81. Зайцев В.В., Карлов-мл. A.B., Телегин С. С. ДВ-модель системы "хищник-

жертва"// Вестник СамГУ. Естествен-нонаучн. сер. 2009. № 6 (72). С. 139-148.

82. Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика: учебное пособие. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 472 с.

Some families of differential systems with random delays and methods of their analysis

I. E. Poloskov

Perm State University, 614990, Perm, Bukirev St., 15 polosk@psu.ru; (342) 239 65 60

In this paper we consider some schemes for an aproximate analysis of linear and nonlinear dynamic systems described by deterministic and stochastic differential equations with random delays. The schemes are based on the classical step method, an extension of state space and a statistical modelling. In a number of cases such the scheme allows to transform the original equations to a system of stochastic differential equations without delays.

Keywords: stochastic analysis; dynamic system,; random delay; modelling; state vector, transition process.