CC BY
42014
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Информатика. Механика
Вып. 4(27)
УДК 539.5:519.21:004.94
Применение схемы МШРПС для анализа линейных стохастических систем с распределенными и конечными сосредоточенными запаздываниями
И. Е. Полосков
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул.Букирева, 15 polosk@psu.ru; тел. (342) 239-65-60
Рассматривается проблема построения обыкновенных дифференциальных уравнений для первых моментов вектора состояния линейной стохастической динамической системы со специальными формами запаздываний - с распределенными и конечными сосредоточенными. На основе последовательно развиваемой в работах автора схемы, сочетающей классический метод шагов и расширение пространства состояния (МШРПС), строится цепочка стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания, а затем и уравнения для искомых моментов.
Ключевые слова: стохастический анализ; линейная динамическая система; запаздывание; сосредоченное запаздывание; неограниченное запаздывание; вектор состояния; моментные функции.
Введение
Несмотря на то что первые исследования, связанные с учетом влияния последействия на динамику систем различных классов, начались много лет назад, только в последние годы такие исследования стали интенсивно развиваться, в первую очередь вследствие потребностей практики: сначала это были задачи управления, а затем и биологии, механики, физики, химии, медицины, экономики, атомной энергии, теории инфор-
Математическими моделями соответствующих процессов служат функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) и их
©Полосков И. Е., 2014
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 14-01-96019.
частные формы, такие как ДУ с запаздыванием, ДУ нейтрального типа, интегро-дифференциальные уравнения и др. [1-6]. Такие уравнения применяются для описания гибридных моделей, процессов автоматического регулирования и управления техническими системами, химико-технологических и других производственных процессов (например, холодной прокатки стали); генерации сигналов в радиосхемах и лазерах, горения в жидкостно-реактивных двигателях, замедления нейтронов; работы сетевых систем, электростанций, систем навигации, цепей туннельных диодов, в робототехнике, в экологии (контроль качества воды) и т.д.
В процессе развития методов анализа детерминированных систем с последействием возник интерес (начало 1960-х гг., одна из первых работ [7]) к стохастическим ФДУ разных типов [1,5, 8-10], с помощью кото-
рых могут исследоваться новые эффекты (например, разрушение или формирование колебательных движений). Но исследование таких систем вызывает значительные трудности. В настоящее время существует только несколько областей исследования стохастических ФДУ, где ведутся интенсивные научные разработки. Среди них качественный анализ существования и устойчивости решений (стабилизации) ФДУ, стохастической управляемости и наблюдаемости, прямое количественное исследование линейных систем, в первую очередь, на основе применения классического метода шагов; использование процедур усреднения ДУ с учетом малости запаздывания; построение различных численных интеграторов и других методик для получения частных решений задач [4,11,12] и т.д.
Среди приближенных методов следует отметить технику перехода от немарковских систем с малыми запаздыванием т (в том числе переменным и случайным) или памятью с помощью метода усреднения к марковским системам без ЗЭЛЭЗДЫВЭ.НИЯ. Конечно, нельзя забывать и о прямом численном интегрировании стохастических ФДУ [10]. При этом даже алгоритм основного метода - простейшей схемы Эйлера-Маруямы с постоянным шагом, приводящий к значительным объемам расчетов, существенно сложнее своего аналога, предназначенного для анализа стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) без запаздывания [13].
Среди стохастических ФДУ можно выделить класс линейных и нелинейных СДУ с распределенными и конечными сосредоточенными запаздываниями. Детерминированные аналоги таких уравнений могут принимать форму смешанных дифференциальных уравнений с запаздыванием (сосредоточенные запаздывания) и интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ, распределенное запаздыванием) [14], а использоваться при моделировании различных процессов [17] в электрических цепях и химических реакторах [18], для регулирования соотношения глюкоза-инсулин при диабете [19], анализа поведения нейронных сетей, человеческих чувств и др. Кроме того, системы стохастических ИДУ часто появляются как ре-
зультат применения процедур типа метода конечных элементов или метода конечных разностей к стохастическим ИДУ в частных производных [15], которые описывают непрерывную вязкоупругую среду. Заметим, что общую теорию и первичную классификацию детерминированных ИДУ, обыкновенных и в частных производных, разработал В.Вольтерра [16] в первой половине XX в. Основными задачами анализа подобных детерминированных систем являются поиск критериев существования решения и оценка устойчивости как самих решений этих уравнений, так и схем их численного интегрирования.
Естественно, что усложнение используемого математического аппарата ведет и к усложнению применяемых методов и, в первую очередь, приближенных, так как возможности получения точных аналитических решений серьезных проблем, включая указанные выше, весьма ограничены. Поэтому в последние десятилетия значительное внимание специалистов уделяется диктуемой практикой разработке эффективных приближенных методов решения ИДУ. Отметим, что основными приближенными методами в этой области являются конечно-разностные процедуры, различные варианты методов Рунгс Купы, трапеций, колло-кации [14, 20, 21] и др. Несмотря на наличие некоторого количества результатов, связанных с построением алгоритмов решения стохастических ИДУ (см. [15,22-24]), методы численного или приближенного аналитического интегрирования стохастических систем рассматриваемой структуры развиты недостаточно. При этом полезно адаптировать существующие методы анализа детерминированных ИДЕ для изучения стохастических, так как основная часть алгоритмов качественного и количественного исследования явлений, описываемых стохастическими ИДУ (СИДУ), состоит из детерминированных схем.
Был разработан ряд других процедур для получения численных аппроксимаций решений детерминированных и стохастических ИДУ. При анализе стохастических задач приближенные алгоритмы, как правило, используются для прямого построения реа-
лизации случайных процессов как решении стохастических ИДУ. Среди таких схем отметим:
- полностью численные методы (классические и модифицированные гибридные), такие как явные и неявные (обратные) схемы Эйлера [25], метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод полудискретизации [25,26], тау-метод [27,28], одно-шаговые методы Рунге-Кутты и многошаговые схемы для ИДУ [29-34], метод Рунге-Кутты [35] для вычисления ковариационных функций, экстраполяционные схемы [36], методы Галеркина [37], метод итераций на последнем шаге [38], использование вейвле-тов [39], глобально определенные базисные 5тс-функции [40], приближенное преобразование СИДУ в СДУ на основе усреднения ядра [15, 41, 42] и разложений гамма-распределения [43], метод прямоугольников и более сложные схемы интегрирования [44];
- приближенно-аналитические методы, включающие методы рядов Тейлора [45], метод последовательных приближений для вычисления функции Грина [46], асимптотический метод [47,48] для ИДУ, детерминированный и стохастический методы усреднения для СИДУ [49-51], метод многих масштабов Хи, метод коллокаций [21, 53], теория возмущений [54], принцип неподвижной точки на основе биортогональных систем для банаховых пространств [55], итерационный метод [56], непрерывные методы Рунге-Кутты, основанные на методе коллокаций [57], преобразование Лапласа для одномерной ограниченной пространственной области [58], методы Эйлера-Чебышева [59] и др.
Наша схема анализа некоторых классов систем стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с различными типами запаздывания [60-67] базируется на комбинации метода шагов и расширении пространства состояния (МШРПС) и позволяет строить процедуры исследования различных форм ФДУ с одной точки зрения. При этом в большинстве вариантов схемы ошибка метода отсутствует. Кроме того, исчезают многие проблемы, возникающие при реализации процедур прямого численного интегрирования ДУ с запаздыванием. В данной работе мы представляем детали этого мето-
да для анализа систем линеиных стохастических систем с распределенными и конечными сосредоточенными запаздываниями, основанной на модификации указанной схемы.
1. Постановка задачи
Рассмотрим систему линейных стохастических дифференциальных уравнений Ито с распределенными и конечными сосредоточенными т > 0 запаздываниями следующего вида:
X(t) = P(t) X(t) + R(t) X(t - т) + t
+ Q(t) j X(в) de + c(t) + (1.1)
to
+ H(t) V(t), t>ti = to + т,
где X € Rn - вектор состояния; V € Rm - вектор независимых случайных белых шумов с единичными интенсивностями:
E [V (t)] = 0, E[V(t!) VT(t2)] = IS(t2 - ti);
T и E[•] - символы транспонирования матрицы и математического ожидания соответственно, I - единичная матрица.
Будем считать, что на интервале (to, ti] вектор состояния X (t) удовлетворяет системе СДУ без сосредоточенного запаздывания
X(t)= Po(t) X(t)+
t
+ Qo(t) j X(в) de + co(t) +
to
(1.2)
+ По(г) V (г), х (го) = х0,
причем в уравнениях (1.1) и (1.2) V(г), 'Я-(г),
Я(г), Н(г), Ро(г), Яо(г), Но (г) и с(г), со(г)
- известные непрерывные матричные и векторные функции. Кроме того, предположим,
что известны все необходимые числовые ха-
хо
частности, пусть в начальный момент вре-
го х
матических ожиданий
т0 = е [X0]
и ковариационная матрица
С0 = е [(Х0 - т0)(х0 - т0)Т] .
Задачей исследования является построение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания для компонентов вектора средних
тх (г) = Е\Х (г)]
и ковариационной матрицы
Сх(г) = Е[{X(г) - т(г)}{х(г) - т(г)}Т]
вектора состояния X при люб ом г > го-
2. Метод исследования
Для того чтобы решить поставленную задачу, как и в ряде предыдущих наших работ, применим сочетание классического метода шагов и расширения пространства состояния.
Рассмотрим равномерную временную сетку гд = г0 + д ■ т, д = 0, 1, 2, ..., N, ... и введем новую временную переменную в, изменяющуюся на промежутке [0,т], а также следующие обозначения:
вд = в + гд, Ад = (гд ,гд+1],
X д (в) = X (вд ), Шд (в) = Ш (вд ), Xд(0)= Xд-l(т), д > 1, Шд(0) = Шд-г(т), д > 1,
Yq(s) = j X (в) de = J Xq(в) dd,
tq 0
Zq (S) = Zq = Yq-l(T), q > 1,
Z o(s) = Z о = X0, co\(di, d2,■ ■■, dL-i, dL) =
= {dll,d\2, ■■■, din, d2\,d22, ■■■, d2n, ■■■, dL-l,l,dL-l,2, ■■■, dL
, ■■■, dLn}T ■
Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов) Дд, д = 0, 1, ..., N.
На сегменте До систему СДУ для вектора
и+(в) = ио(в) = со¡(Xо(в), Уо(в), Zо(в)) представим так:
X о (в) = Ро (во) X о (в) + Со(во)+
+ Qo(so) Yo(s)+ Ho(so) Vо(s),
X о(0) = X0,
Yo(s)= X o(s), Yo(0)=0,
Zo(s) = 0, Zo(0) = X0■
В свою очередь, на полуинтервалах До, А\ систему СДУ для вектора
U+(s)=co\(Uo(s), Ui(s)),
Ul(s)=co\(X 1(s), Y 1(s), Z 1(s)), запишем в виде
Xo(s) = Po(so) Xо(s) + co(so) + + Qo(so) Yo(s) + Ho(so) Vo(s), X о(0) = X
Y o(s) = X о (s), Yo (0) = 0, Zo(s) = 0, Zo(0) = Xо■
Xi(s) = P(si) Xi(s) + + R(si) Xо(^)+ + Q(si) [Zi(s)+ Yi(s)] + + c(si)+ H(si) Vi(s), X i(0) = X о(т),
Y i(s) = X о (s), Y i (0) = 0,
Z i(s) = 0, Z i(0) = Y о(т )■
Здесь учтено, что для t G (ti,t2] t ti t J x (в) de = j x (в) de + J x (в) de =
to to ti
= Y о(т) + Y i(s) = Z i(s)+ Y i(s)■
Определенный на сегментах До Дl и Д2 вектор U+(s) = col(U+(s), U2(s)), где U2(s) = co\(X2(s), Y2(s), Z2(s)), будет удовлетворять системе СДУ (2.1), к которой добавлены уравнения следующего вида:
X 2(s)= P (s2) X 2 (s) +
+ R(s2) Xi(s) +
(2.1)
t
s
+ а(в2) &г(з) + Z2(s) + У2(5) + + с(52) + Н(52) V2(5),
X 2(0) = х \(т), *2(5)= X 2(5), У 2(0) = 0, ¿2 (5)=0, Z 2(0) = У \(т).
Наконец, обозначая через и N (5) вектор со1( X N (5), У N (), Z N (5)), находим, что вектор UN(5) = col(UN_1(5), UN(5)), представляющий поведение вектора состояния X(г) на сегментах Д0, Д1, Д2, ■■■, ^N7 будет решением системы СДУ, полученной добавлением к уравнениям для вектора иN_ 1(5) уравнений следующего вида:
XN (5)= V^) XN (5) + + П^) XN-1(5) +
N
+
т
(5)= Р+(5) т+(5) + С+(5),
С +(5)= Р+ (5) С+(5) +
+
Т
Р+(5) С+(5) +Н+(5) Н+Т(5),
(3.1)
(3.2)
т
+
(5)= е [и+] ^
= со1 (ти0, ти1, ти2,..., тцк),
8
и + - т+) и + -
т+)
Т
Си0и0 Си0и1 Си0и2 Си1и0 Си1и1 Си1и2 Си2и0 Сии Сии
Си0иК Си1им Си2им
+ ЯЫ ) Zí(s)+ У N (5)
1=1
+ c(sN) + H(SN) VN(5), X N (0)= X N-1(т ), У N (5) = X N (5), У N (0) = 0, Z N (5)=0, Z N (0)= У N-1^).
Итак, получена цепочка систем линейных СДУ для расширенных фазовых векторов и + , и + , и + , ..., и N увеличивающейся размерности и подобной структуры без запаздывания, для дальнейшего исследования которой можно применить стандартные для данного класса уравнений методы [68].
3. Уравнения для моментных функций
В частности, построенную последовательность систем линейных СДУ без запаздывания можно использовать для получения новой цепочки уравнений - ОДУ для первых моментов (компонент векторов математических ожиданий и ковариационных матриц) векторов и + , и + , и + ,..., иN■ Несложно увидеть, что для любого и + , к = 0, 1, 2, ..., N структуры соответствующих систем ОДУ будут иметь вид:
Сим и0 Сим и Сим и2 ■■■ Сим им ти1 (5) = со1(тц(5), т^)),
С;11 С; 12 С; 13 Сии = С; 21 С;22 Су 23 С;31 С;32 С;33
{X, У, Z} ~ {1, 2, 3}.
При этом матрицы Р+(5), Н+(5) и вектор С++(5) имеют блочную структуру, которая формируется следующим образом:
Р+ф = Р00 (5) =
Р0Ы Я0Ы 0 I 0 0 0 0 0
Н+(5) = Н00 (5) =
П0Ы 0 0 0 0 0 0 0 0
= С0(5) =
С0(50) 0 0
Р+(5) =
Р11(5) =
Р+(5) Р01 Р10 Р11(5)
V (51) Я(51) Я(51)
I 0 0 000
Р10 =
Р01 = О,
" 1)
0
0 0 0
00 00
к
к
Н+(в) = Ыц(в) =
Н+(в) 0
0 Ни (в)
Н(вг) 0 0 "
0 0 0
0 0 0
с+ (в) =
с+(в) с(в1) 0 0
Р+(в) =
Ркк (в) =
Р+-1(в) Рк-1,к Рк,к-1 Ркк(в)
Р(вк) Я(вк) Я(вк)
I 0 0 000
Рк-1,к = [ о I ■■■ I о | о ]
Т
Рк ,к-1 =
0 0 0 0 0 0
0 Я(вк)
00
00
Н+(в) =
Щвк) 0 я(вк) 000 000
Н+-1(в) 0 0 Нкк (в)
Т
Нкк (в) =
с+(в) =
о=
Н(вк) 0 0 0 0 0 0 0 0
с+-1(в)
С(вк) 0 0
0 0 0 000 000
С+(0) = Со(0) =
Со 0 Со 000
о 0 о
т+(0)
С+(0) =
т+(0) то1(т) 0
то2(т)
С+(0) Со1 Сю Сц
Со1 =
Сю =
Си =
Соо31(т) 0 Соо32(т) 000 Соо31(т) 0 Соо32(т)
Соо1з(т) 0 Соо1з(т) 000 Соо2з(т) 0 Соо2з(т)
Соои(т) 0 Соо12(т) 000 Соо21(т) 0 Соо22(т)
т+(0) =
т
+
-1(0) тк-1,1(т) 0
тк-1, 2 (т)
С+(0) =
С+_1(0) Ск-1,2
С2,к 1
Скк
Ск-1, 2 = Ст к-1 =
Со, к-1, з1(т) 0
з1(т) Со,к-1,11(т ) 0
Со,к-1,21(т )
Ск-2,к-1,11(т ) 0
Ск-2,к-1,21(т )
0 Со,к-1,32(т)
0
0
0 Со,к-1,32(т) 0 Со,к-1,12(т)
0
0
0 Со,к-1,22(т) 0 Ск-2,к-1,12(т)
0
0
0 Ск-2,к-1,22(т)
Скк =
Ск-1,к-1,11(т) 0 Ск-1,к-1,12(т) 000 Ск-1,к-1,21(т) 0 Ск-1,к-1,22(т)
А теперь представим вид начальных условий для построенных ОДУ:
то+(0)
то(0)
т 0 т
о
о
В связи с тем что вектор тик (в) и матрица Сикик (в) являются блоками вектора (в) и матрицы С+(в) соответственно, до-
т
+
статочно вычислить последние, а затем выбрать их необходимые элементы.
Заключение
В работе представлен аппарат исследования линейных стохастических систем с распределенными и постоянными сосредоточенными запаздываниями. В отличие от известных методов [69] изложенная схема не требует предварительного изменения уравнений исследуемого объекта с целью исключения запаздывания или разработки специальных алгоритмов численного интегрирования уравнений с различными формами запаздывания. Точность расчетов полностью определяется погрешностью применяемых стандартных процедур приближенного решения систем ОДУ, причем ошибка метода отсут-
Список литературы
1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахма-туллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.
3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.
4. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 288 с.
5. Эльсгольц Л.Э., Норкин C.B. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.
6. Erneux T. Applied delay differential equations. N.Y.: Springer-Verlag, 2009. 204 p.
7. Кра,совский H.H., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами // Автоматика и телемеханика. 1961. Т.22, № 9. С. 1145-1150.
8. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во «Университетское», 1985. 143 с.
9. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.
10. Kushner H.J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhauser, 2008. XIX, 281 p.
11. Bellen A., Zennaro M. Numerical methods for delay differential equations. Oxford: University Press, 2003. 416 p.
12. Shampine L.F., Gladwell I., Thompson S. Solving ODEs with Matlab. Cambridge: University Press, 2003. 272 p.
13. Baker C.T., Buchwar E. Exponential stability in p-th mean of solutions, and of convergent Euler-type solutions, of stochastic delay differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2005. Vol.184, № 2. P. К) I 127.
14. Huang C., Vandewalle S. An analysis of delay-dependent stability for ordinary and partial differential equations with fixed and distributed delays / / SIAM Journal of Scientific Computations. 2004. Vol.25, № 5. P.1608-1632.
15. Soize C., Poloskov I. Time-domain formulation in computational dynamics for linear viscoelastic media with model uncertainties and stochastic excitation // Computers &; Mathematics with Applications. 2012. Vol.64, № 11. P.3594-3612.
16. Волътерра В. Теория функционалов,интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.
17. Grigoriev Y.N., Ibragimov N.H., Kovalev V. F., et al. Symmetries of integro-dif-ferential equations with applications in mechanics and plasma physics. Dordrecht, Heidelberg: Springer Science+Busi-ness Media, 2010. XIII, 305 p.
18. Xu Y., Zhao J. J., Sui Z.N. Stability analysis of ^-methods for neutral multidelay integrodifferential system / / Discrete Dynamics in Nature and Society. 2007. Vol. 2007. Article ID 42540. 8 p.
19. Makroglou A., Li J., Kuang Y. Mathematical models and software tools for the glucose-insulin regulatory system and diabetes: an overview / / Applied Numerical Mathematics. 2006. Vol.56. P.559-573.
20. Huang C., Vandewalle S. Stability of Run-
ge-Kutta-Pouzet methods for Volterra in-tegro-differential equations with delays / / Frontiers of Mathematics in China. 2009. Vol.4, № 1. P.63-87.
21. Brunner H. Collocation methods for Volterra integral and related functional differential equations. Cambridge: University Press, 2004. 597 p.
22. Ilic D., Jankovic S. LP-approximation of solutions of stohastic integrodifferential equations // Univ. Beograd Publ. Elektor-tehn. Fak., Ser. Mat. 2001. Vol.12. P.52-60.
23. Laas K., Mankin II.. Reiter E. Influence of memory time on the resonant behavior of an oscillatory system described by a generalized Langevin equation// Int. Journal Math. Models Methods Appl. Sci. 2011. Vol.5, № 2. P.280-289.
24. Tuckerman M., Berne B.J. Vibrational relaxation in simple fluids: comparison of theory and simulation // Journal of Chem. Phys. 1993. Vol.98, № 9. P.7301-7316.
25. Chen C., Tsimin S. Finite element methods for integrodifferential equations. Singapore: World Scientific, 1998. XVII, 272 p.
26. Golla D.F., Hughes P.C. Dynamics of vis-coelastic structures - a time domain, finite element formulation // Journal of Appl. Mech. 1985. Vol.52. P.897-906.
27. Khani A., Moghadam M.M., Shahmorad S. Approximate solution of the system of non-linear Volterra integro-differential equations // Computational Methods in Applied Mathematics. 2008. Vol.8, № 1. P. 77-85.
28. Tart A., Rahimi M.Y., Shahmorad S., et al. Development of the Tau method for the numerical solution of two-dimensional linear Volterra integro-differential equations / / Computational Methods in Applied Mathematics. 2009. Vol. 9, № 4. P.421-435.
29. Day J. T. Note on the numerical solution of integro-differential equations // The Computer Journal. 1967. Vol.9, № 4. P.394-395.
30. Mehdiyeva G., Jmanova M., Lbrahimov V. Application of the hybrid methods to solving Volterra integro-differential equations // World Academy of Science. Engineering
and Technology. 2011. Vol.77. P.1083-1087.
31. Nguyen H.K., Bergman T.L., Cliff E.M. Approximations for a class of Volterra in-tegro-differential equations // Mathematical and Computer Modelling. 2005. Vol.42, № 5-6. P.659-672.
32. Wolkenfelt P.B.M. Modified multilag methods for Volterra functional equations // Mathematics of Computation. 1983. Vol. 40, № 161. P.301-316.
33. Паутов А. С. Численное интегрирование стохастических функционально-дифференциальных уравнений методом Эйлера // Известия Уральского государственного университета. 2005. № 38. С.104-121.
34. Potapov V.D. Nonlinear vibrations and stability of elastic and viscoelastic systems under random stationary loads // Mechanics of Solids. 2011. Vol.46, № 3. P.444-454.
35. Чайковский M.B., Янович JL.А. О численном нахождении корреляционных функций решения систем линейных ин-тегро-дифференциальных уравнений со случайно возмущенной правой частью // Дифференциальные уравнения. 1987. № 2. С.328-338.
36. Chang S.H. On certain extrapolation methods for the numerical solution of integrodifferential equations / / Mathematics of Computation. 1982. Vol.39, № 159. P.165-171.
37. Lin Т., Lin Y., Rao M., et al. Petrov-Galerkin methods for linear Volterra integ-ro-differential equations / / SIAM Journal on Numerical Analysis. 2001. Vol.38, № 3. P.937-963.
38. Велоцерковский C.M., Кочетков Ю.А., Красовский А.А. и др. Введение в аэро-автоупругость. М.: Наука, 1980. 383 с.
39. Danfu П., Xufeng Sh. Numerical solution of integro-differential equations by using CAS wavelet operational matrix of integration / / Applied Mathematics and Computation. 2007. Vol.194, № 2. P.460-466.
40. Jalaei K., Zarebnia M., Chalaki M.M. Development of the Sine method for nonlinear
integro-differential equations // Australian Journal of Basic and Applied Sciences. 2010. Vol.4, № 11. P.5508-5515.
41. Полосков И.Е. Об анализе некоторых классов стохастических интегро-дифференциальных уравнений // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2003. Вып. 35. С.99-106.
42. Полосков И.Е. О расчете первых моментов линейных интегро-дифференциальных систем с параметрическими возмущениями // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2006. Вып. 38. С.133-142.
43. Karmeshu, Gupta V., Kadambari K.V. Neuronal model with distributed delay: analysis and simulation study for gamma distribution memory kernel / / Biological Cybernetics. 2011. Vol.104, № 6. P.369-383.
44. ffutt A. The study of neural oscillations by traversing scales in the brain: Habilitation 'a diriger des recherches. Université Nice - Sophia Antipolis, 2011. 102 p.
45. Goldfine A. Taylor series methods for the solution of Volterra integral and integro-differential equations / / Mathematics of Computation. 1977. Vol.31, № 139. P.691-707.
46. Hu Sh., Lakshmikantham V. Monotone iterative technique for integro-differential equations // Асимптотические методы математической физики: Сб. науч. тр. / АН УССР. Ин-т математики. Киев: На-укова думка, 1988. С.263-270.
47. Нгуен Ван Дао Асимптотический метод исследования многочастотных колебаний в квазилинейных системах интегро-дифференциальных уравнений второго порядка // Украинский математический журнал. 1977. Т.29, № 3. С.404-410.
48. Плотников В.А., Рудык O.P. Об одной схеме усреднения в интегро-дифферен-циальных уравнениях / / Украинский математический журнал. 1989. Т.41, №7. С.995- 997.
49. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. 1 Т Т Т И т« ФАН, 1971. 282 с.
50. Нгуен Тиен Кхием. Нелинейные колебания вязкоупругих пластин под действием стационарных случайных сжимающих сил // Прикладная механика. 1986. Т.22. N 12. С.115-118.
51. Ariaratnam S.T. Stochastic bifurcation in hereditary systems // 8th ASCE Specialty Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability. 2000. PMC2000-163. 6 p.
52. Xu II".. Rong H., Fang T. Duffing oscillator with viscoelastic term under narrowband random excitation // Acta Mechani-ca Sinica. 2002. Vol.34, № 5. P.76 I 771 (in Chinese).
53. Brunner H. High-order methods for the numerical solution of Volterra integro-dif-ferential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1986. Vol.15. P.301-309.
54. Grossman S.I., Miller R.K. Perturbation theory for Volterra integrodifferential systems // Journal of Differential Equations. 1970. Vol.8. P.457-474.
55. Berenguer M.I., Garralda-Guillem A.I., Galdn M.R. Biorthogonal systems approximating the solution of the nonlinear Volterra integro-differential equation // Fixed Point Theory and Applications. 2010. Article ID 470149. 9 p.
56. Bonilla L.L., bind A. Relaxation oscillations, pulses, and travelling waves in the diffusive Volterra delay-differential equation // SIAM J. Appl. Math. 1984. Vol. 44, № 2. P.369-391.
57. Zhang W. Numerical analysis of delay differential and integro-differential equations: A thesis. St. John's, NL, Canada: Memorial University of Newfoundland, 1998. VIII, 138 p.
58. Jokinen 0. On non-monotone solutions of an integrodifferential equation in linear vi-scoelasticity // SIAM J. Numer. Anal. 1996. Vol. 33, № 4. P.1410-1424.
59. van der Houwen P. J., Sommeijer B.P. Eu-ler-Chebyshev methods for integro-diffe-rential equations / / Applied Numerical
Mathematics. 1997. Vol. 24, № 2-3. Р.203-218.
60. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. № 9. С.58-73.
61. Полосков И.Е. Движение транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания // Математическое моделирование. 2005. Т.17, № 3. С.3-14.
62. Полосков И.Е. Компьютерное моделирование динамики загрязнения бассейна реки с учетом запаздывания и случайных факторов // Вычислительные Тех. нологии. 2005. Т. 10, № 1. С.103-115.
63. Poloskov I.E. Symbolic-numeric algorithms for analysis of stochastic systems with different forms of aftereffect // Proc. in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM). 2007. Vol.7, Is.l. P.2080011-2080012.
64. Malanin V.V., Poloskov I.E. About some schemes of study for systems with different forms of time aftereffect // Proc. of the IUTAM Symposium on Nonlinear Stochastic Dynamics and Control (Hangzhou, China, May 10-14, 2010) / eds. W.Q.Zhu, Y.K.Lin, G.C.Cai. IUTAM Bookseries,
Vol. 29. Dordrecht: Springer, 2011. P.55-
64.
65. Malanin V. V., Poloskov I.E. On some methods for study of stochastic hereditary systems // Procedia IUTAM. 2013. V.6. P.60-68.
66. Полосков И.Е. Схема расширения вектора состояния для решения интегро-дифференциальных уравнений в частных производных / / Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып.2 (21). С.59-
65.
67. Полосков И.Е. Сочетание схемы МШРПС с процедурой линеаризации при анализе систем нелинейных стохастических дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием / / Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. Вып.2 (25). С.47-57.
68. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах: учеб. пособие. Ижевск: РХД, 2005. 296 с.
69. Elbeyli О., Sun J.Q., Unal G. A semi-discretization method for delayed stochastic systems // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2005. Vol.10, № 1. P.85-94.
An application of the MSESS scheme for an analysis of linear stochastic systems with distributed and finite lumped delays
I. E. Poloskov
Perm State University, 614990, Perm, Bukirev st., 15 polosk@psu.ru; (342) 2396560
In the paper, a problem of derivation of ordinary differential equations for the first moment functions of the state vector for linear stochastic differential system with the special forms of delays, notably with distributed and finite lumped lags, is considered. The technique combining the classic method of steps and the scheme of state space extension (MSESS) successively being developed by the author is used to derive a chain of stochastic differential equations without delays and equations for required moment functions too.
Keywords: stochastic analysis; linear dynamic system; delay; distributed delay; lumped delay; undounded delay; state vector; moment functions.
