Моделирование стохастических систем дифференциальных уравнений с переменными запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л'.;-'; 'л «

3 ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика. Информатика. Механика Вып. 3(11)

УДК 519.6 " * •■■■*'

Моделирование стохастических систем дифференциальных уравнений с переменными запаздываниями

С. С. Печёнова, И. Е. Полосков ' 5

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Россия, 614990, Пермь, ул.Вукирева, 15 polosk@psu.rii; тел. (342) 239-65-60

Рассматриваются вопросы использования метода статистического моделирования (Мон- ? те-Карло) для численного исследования нелинейных систем стохастических дифферен-5 циальных уравнений с переменными запаздываниями. Приведены примеры анализа си- -стем различного порядка. Произведено сравнение результатов расчетов для линейных систем с кусочно-постоянными запаздываниями, полученных рассматриваемым методом и на основе схемы расширения фазового пространства. Расчетные алгоритмы реализованы на входном языке пакета компьютерной алгебры Ма-ьЬета-Ьз.са. п

Ключевые слова: моделирование, стохастическое дифференциальное уравнение, запаздываниелинейная систем,а, нелинейная система, случайное, возмущение^ винеров-ский процесс, метод статистического моделирования, ,метод расширения фазового ;:-з пространства.

Введение

Важным классом моделей, описывающих явления окружающего нас мира., являются дифференциальные уравнения (ДУ) с отклоняющимися аргументами. Среди этих уравнений присутствуют уравнения с запаздыванием, нейтрального типа и с опережением [1]. Запаздывания в этих уравнениях, позволяющие учесть подчиненность будущего не только настоящему, но и прошлому, могут быть и постоянными, и изменяющимися

- функциями как независимой переменной, так и самой неизвестной функции и ее производных.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, проект № 11-01-96024.

©Печёнова С. С., Полосков И. Е., 2012

Исследования качественных и количественных свойств детерминированных уравнений с запаздыванием развиваются в различных направлениях. Полученные при этом результаты находят широкое применение в задачах моделирования процессов автоматического управления; биологии и экологии, радиолокации и радионавигации; динамики экономических и социальных систем; горения в жидкостно-реактивных двигателях: влияния излучений [1-4] и т.д. Как правило, точные аналитические решения ДУ с запаздыванием могут быть найдены очень редко, причем известный метод шагов [1] пригоден только для постоянного лага. Численное же интегрирование таких уравнений требует разработки специальных вариантов методов Рунге-Кутта для обычных и жестких систем уравнений, часто весьма изощренных [5,6].

Благодаря развитию методов анализа детерминированных систем, ставших уже

г

классическими, относительно недавно возник интерес к стохастическим ДУ (СДУ) с различными формами запаздывания [7-10]. Но исследование таких систем вызывает значительные трудности. Единственно более или менее широким классом стохастических систем с отклоняющимися аргументами, для которого процедура решения не очень с лож-, на* является множество линейных систем с аддитивными шумами и одним постоянным запаздыванием. Так, уравнения для первых моментов фазовых координат были построены и решались в работе [11] с помощью аналога классического метода шагов.

Универсальной приближенной схемой, позволяющей исследовать СДУ с запаздываниями всех классов, является метод Монте-Карло (статистического моделирования) [12-15]. Но различные алгоритмы, предназначенные для численного интегрирования даже простейших стохастических дифференциально-разностных уравнений, как правило, весьма сложны [16,17] и предназначены только для решения достаточно узких классов задач.

В настоящей работе рассматривается прямой алгоритм метода статистического моделирования для стохастических систем с переменными запаздываниями. Данный алгоритм базируется на стохастическом обобщении метода Хойиа (Иеип) [18]. Полученные в результате статистической обработки первые моменты векторов состояния линейных систем с кусочно-постоянными запаздываниями сравнивались с полученными с помощью комбинации метода шагов и расширения фазового пространства (МШРФП) [19]. Расчетные алгоритмы были реализованы на входном языке пакета компьютерной алгебры Ма-Ыхета-Ыса [20].

1. Постановка задали

-1 Рассмотрим систему, описываемую системой СДУ (в смысле Стратоновича [21]) с переменными запаздываниями ^ 0 (к = 1, 2, й) следующего вида;

dx(t)^f(x(t), Хп(*),хтй{ь). г) йРг

: +G(X(t)yXтl(t),...,Xrd(t).t)odW(t),

*>*0. Х(*о) = я-0;

dX{t) = fQ(X{t).t)dt+

+G0(X(t),t)odW(t), (2)

U<t<to, X(t')=:X*.

Здесь t - время, X(t) E Rn - векторный случайный процесс, характеризующий поведение исследуемой системы,

Xrk{t) = X(t-Tk)> v

U = min [t ~ rk{t%

t^to.k

X0 и X* - векторные случайные величины с известными распределениями, W (t) Е Штп ~ стандартный векторный нормальный вине-ровский случайный процесс [21]: EfW'(t)] —

0, E[W(i)Wr(*1)] = /(-, •,•),

/о(-, ■) и (?(■, •,•, •), Go(-, ■) - неслучайные векторные и матричные функции соответ-ственно, Е - символ математического ожидания, I - единичная матрица соответствующего порядка, Т - символ транспонирования матриц.

Заметим, что в стандартных постановках задач вместо уравнения (2), определяющего поведение вектора X (t) на. начальном множестве Е, обычно используются соотношения X(t) — h(t), где h(t)

- неслучайная вектор-функция. Несложно увидеть, что рассматриваемый случай содержит стандартные постановки. .. а.

Задача состоит в построении реализаций случайного вектора X (£), статистической обработке результатов моделирования и демонстрации переходных режимов в компактной форме.

2. Схема Хойна для СДУ с переменным запаздыванием

Для численного интегрирования системы СДУ с переменным запаздыванием (получения реализации векторного случайного процесса, описывающего состояние системы) воспользуемся стохастическим аналогом метода Хойна. Представим его расчетные формулы для: системы ДУ без запаздывания

dY{9) = f.{Y{e),0)M+

I C,iY[9).9) оdWJfi). в > во. (3) У(в0) У°

в следующем виде [18]:

+G*(y(0),9) и*(0), у{в + Д0) = у (9)+

+5 [/*(У(С'о) + f*(m,0 + Ав] А0+ +^lG*(y(e).,e) + G*(y(9),9 + A9)} х х «*(0). 9 > 6*о,

У{9о) = у0,

где Ав - шаг дискретизации, у0, у (в) и и*(9) — Aw*(в) - результаты моделирования векторных случайных величин У° и процессов Y(0). AW*(в) соответственно. Приближенное решение системы СДУ (3), вычисленное с помощью последних соотношений, сходится к точному в среднем квадратическом с первым порядком но Ав.

Простейшая схема интегрирования системы уравнений (1), (2) с помощью выбранного интегратора будет состоять в замене заданных переменных запаздываний кусочно-постоянными функциями со "ступеньками" ширины т — const > 0 и синхронизации шага интегратора At с т: для этой синхронизации обе эти величины выбираются одинаковыми, но так, чтобы они были достаточно малы. Это требуется для получения необходимой точности представления rk(t) и вычислений по формулам интегратора.

При таких условиях запаздывания Tfc(t) можно представить в виде

Tk{tj=NkqT, tg-l <t^ tg,

Nkq £ {0,1,2,...}, tq = to + q-T,

to ~ t* (4)

r = —, N0 = max Nkq,

iv 0 k,q

q = 1,2,...

Тогда замкнутые расчетные формулы для получения реализаций {х^} на равномерной временибй сетке tq ~ to + q ' г, q ~ О.

2, ЛГ0, iV0-f 1, N, .... £ = 1, 2, L,

будут выглядеть следующим образом:

1°. Для q — 0, 1, Nq — 1

Un •

Tl^l _ T * о —

2°. Для gf = Л/q, 1? N — 1, ...

ж I;’1 = ajj/1 + /,! T + Ggl Ug.

j*i ~xm+A

л<7+1 _ ^2

+ 9 (/,1 + /92) T+

+ 2(^1 + Gcfi) UQ'

Jl\ - To

XN0 ~ X 1

fql =

/<?2 = f(xlghxl^;..:,xljAg+1),

Ggl = G(x[e],x[g}....,x^},tq).

Gg2 = G{x^\ lij^ . X^J . tg+l), M _ XW] k — I 2 d

XQ-NkitJ_N0» л

ж

<//c

где ~ Л/Х0, т), г = 1,2, - нормаль-

но распределенные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями, равными т.

После получения реализаций {х\р} на основании соотношений описательной статистики на той же равномерной временной сетке можно вычислить несмещенные оценки компонент вектора математических ожиданий (г, $ == 1, 2, п)

__ 1 '1 Ш’Щ -

1=1

и ковариационной матрицы

ст = ТТТ X] _ т'г?) (*$ ~ '

£=1

тЕ-!'1

3. Схема МП1РФП

Рассмотрим систему линейных СДУ с кусочно-постоянными запаздываниями rk(t) следующего вида:

d

X(t) = P(t) X(t) + ]T xTk(t)+ k—1

+c{t) + H{t)W{t), t>t0, X{t0) = X°,

(5)

где вид запаздываний т/с определен в предыдущей секции. Будем считать, что на интервале (£*,£о) вектор состояния X (£) удовлетворяет системе СДУ без запаздывания:

X(t) = ?o{t)X(t) + co(t)+ ; + Н0 {t)W(t)> X(U) = X\

(6)

причем в уравнениях (5) и (6) P(t), Qr(t). H(^)j Po(t), H0(t) и c(t), c0(£) ~ известные непрерывные матричные и векторные функции. Кроме того, предположим, что известны все необходимые числовые характеристики случайных векторов Х° и X*. В частности, пусть в начальный момент времени t* для вектора X заданы вектор математических ожиданий т* — Е[Х*] и ковариационная матрица С* — Е[(Х* — т*)(Х* — т*)Т], а остальные. обозначения совпадают с введенными в первой секции.

Методика состоит в построении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания для компонентов вектора средних m(t) = Е[Х (t)} и ковариационной матрицы С it) — E[{X(t) — m(t)}{X(t) — m(t)}T] фазового вектора X при любом t ^ £*.

Для того чтобы получить СДУ без запаздывания, применим сочетание метода расширения фазового пространства и метода шагов.

Расс мотрим равно мерную временную сетку tg = U + q ’ т. q — 0, 1, 2, N. ... и введем новую временную переменную 5, из-меняющуюся на промежутке [0. т], а также следующие обозначения: > '

Sq — S tq~i, A.q = (tq—\,tq}.

Xq{s) = X{8q), Wg(8) = W{sq),

Xq(0) = X*_i(r), Wq(0) - WVi(r),

COl(Xb Xyv-l, X JSf) —

A/vi, Адг2, Xj\jn}T.

Обратимся к последовательности полуинтервалов (сегментов) Дд.

1°. На сегменте А\ систему СДУ

Xl(5) = Po(31)X1(s) + Co(5l) + Ho(51)W1(5),

решением которой является случайная векторная функция Zl(s) — Хх(з), можно записать в следующем виде (здесь и далее точкой обозначена производная по переменной <5):

ад = [ра(в) + 0і(в)] ад +

+ /1(з) + Н1(а)У1(в), гі(з) = х1{8), Уі(5) = т^і(в),

Рі(в) = Рц(в).= Ро(ві), Оі(в) = 0,

/і(й) = fl(s) = со(«і). ^

Ні(в) = Нц(з) = Но(ві). .......

2°. На промежутках Ді и Д2 систему

X1(5) = P0(s1)X1(e) + C0(5i) + H0(ei)Wi(s),

х2(s) = Po(s2) X2(S)+c0(s2) + H0(s2) W2(s)

можно представить так:

Z2(s)= [P2(a) + Q2(s)]Z2(s) + ’

: ! +/2(e) + H2(e)V2(e),

ад =

P2(s) =

Q 2(S) =

h(s) = H2(a) =

Xx(s)

X2(s)

Wi(s)

W2(s)

Pn(e) 0

0 P22(s)

0 0 ~

0 0

. v2{s) =

1 P22(s) = Po(S2).

w

/2W

Hn(s) 0 0 H‘2'2 (s)

. /2(5) = cq(s2),

, H22(s) = H0(e2).

(No)’. На полуинтервалах Дъ Д2; •••,

Apj0 систему СДУ

^i(s) = Po(si)X1(s)+co(si) + Ho(51)W1(s), X2{s) = Po(s2) X2(s) + Co(s2) + Ho(s2) W2(s),

Xnq(s) = + co(sn0)+ .

. ■- + Hq(s,v0) W;v0(s)

можно записать так:

^iVo(s) = [Pa’o(s) + Qa’o(*)J -^An(s) +

+ f No (s) + (s) ^ No (s)>

г'л/оОО-

0^о(5)==

Хг(8)

Х2{8)

С^о+1(5):

^!(в) Ж2(з)

fN0(в): НЛГ0(5)

^N„00 ]

Рлг0-1(5) 0

0 Р^а0(з)

§N0-1(5) О О О

Ш

/г(в)

1 fN0(s) = Со(яЛГо).

/л?0(«) .

Й N0-1(8) О

0 Н.ЛГомДз) ] ’

Р^^0(5) = Ро(«лг0)) N^N0(5) — Н()(ам>).

(N0 + 1)°. На полуотрезках Дь Д2, ..., Ддг0, Ддг||+1 система СДУ

Х1(в) = Ро(в1)Л:1(в)+со(в1) + Но(в1)1У1(я)1 Х2(в).= Ро(в2) Х2(3) + Со(52) + Но(52) Й^в),

-^N0(5) — РоС'З^о) -^N0(3) + со(зл/0) +

+ Но(в#0) И^о^),

XN0 + 1(3) = Р(5^о + 1) ^N0 + 1(5) +

сI

+ ^2(^к{з^+1) X^+1-^.л(з)+ к-1

+ С^о+О + Н(^у\/о+1) ^N0 + 1(5) принимает вид

^N0+1(5) = [Ряо+1(5) + Рл^о+1(5)] 2ы,+1(й)+ + /-N0+1(5) + Й/У0 + 1(й) ^^0+1(5),

^N0+1(5) = VN0+1(5) -Р/^о+1(«):

х N0+1(3)

Улг0(в)

. ^N0+1 (з) .

Ра0(з) О

о РN0+1,N0+1(5)

Р N0+1. N0+1(5) = Р(зм>+1)>

QNo(s) 0

_ 0^0+1 (з) <5^+1^о+1(з)

§N0+1(5) = ^N0+1,1(3) Чл/о+1,2(«)

••• <3^+1, N0(5)] -,

6

Р^+1,г(з) = ^2<^к(3К° + 1^Т’1Ч<>+1-М^' к=1

г = 1,2,;.., N0 + 1,

//У0(5')

/N0+1 (5);.

' Н^0(з) о

О NN0+1, N0+1(3)

Н^+1. N0+1(5) = Н(ял?о+1)-

/N0(5) NN0+1(5)

. /^+1(5) = с(з^+1).

№. На сегментах Дх, Д2, ..., Д^0, Д^+ь ..., Ддг система СДУ

х 1 («) - Ро(з, ) X ! (а) + С„(51) 4 Н0(«1) # 1 (*),

Х2(3) = Р0(52)Х2(5) + С0(52) + Н0(52)^2(.5),

^N0(5) = Ро(5л/о) ^N0(5) + Со(^0) +

+ Но(зд^0) лг0(з),

^N0+1(5) = р(зм0+1) -^N0+1(5)+

с/

+ Т 0а(з^)+1) ^М)+1-^х(з)+ к=1

+ с(5^о+1) + Н(вдг0+1) IVм0 + х(з),

Х^(в) = Р(5дг) Хм(з) +

л

+ ^ Q^:(5N) Хм-.]чк1(з) + к= 1

+ с(«^1/) + Н(5;у) ^N.(3) записывается так:

ЗДз) = [^N(3) + ^N(5)] ^/у(з) +

+ / N(5) + Нл^(в) V л:(з),

^N-1(5)

Хм(з)

Уы-1(5)

^N(5)

^N-1(5) О О Р NN(5)

#N(5) = Т>(в) =

р^5):

Рлгл/ («) = Р(«м)>

Рлг-і(«) 0

0]у(5) QNN(S)

'Флг(я) — [Олп(«) Ря2(«) •••

■■■ Раг.Л'-і^)] •

Рл?г(з) = Р/г(«лО ,

числовые характеристики вектора ZJ[ удовлетворяют следующим системам ОДУ:

™і (в) = (Р"іН + З*) ’ ті + /Ї’’

^(в) = (РЇ- + 0І-)

+ т+ъг)-сг(в)у+н1-нг.

к.=1

г = 1,2...., ІУ,

f N-l{s)

/ аК5)

/лг(^) =

НдК^) =

НлглК^) = И(з^)-

fN(s) = с(ад),

т1 (0) = где

р?- =

т

т*

О О О Рх

С+(0)

0^

с* с* с с* 0 _° о Оі

Нл^(в) 0 /+ = 0 • н+ = ' 0 0 •

0 Ніудг(з) , о і . /і - 0 Ні

со\(х°,гг

тг(з) = Е^г]= сої(тхршхз, ...,тХг), т.^(в) = Е[£*] = со1(т*, тДй)),

Сг(з) = Е[(2Г — тг) — тг)Т] =

С}

СхіХі ^ХіХі СхіХі Сх'іх2

С-ХіХг

СхъХг

. СхгХі Схгх2 ••■ Схгхг

С* Сг(з)

.Є? {в) Сг{8)

Ст{в) = [ Сх0Хі(в) СхоХііз) ••• £*0Хг(5) ]

Сг+(*)

В связи с тем, что вектор тт(з) и матрица Сг(б‘) являются блоками вектора, т* (в) и матрицы С+(з) соответственно, достаточно вычислить только последние, а затем выбрать их необходимые элементы.

Из предыдущих рассуждений и из соответствующих соотношений [21] следует, что

Подобные уравнения для вектора Z1r1 выглядят так:

Итак, получена цепочка систем линейных СДУ для расширенных векторов состояния Z\, 2/2, Z... увеличивающейся размерности и одинаковой структуры без запаздывания.

Теперь построенную последовательность систем линейных СДУ без запаздывания можно использовать для получения новой цепочки уравнений - ОДУ для первых моментов векторов Zr и Z~

= 1, 2, ... , причем

т

(в) = (р2+ + ол

Шп

/‘2 •

Н2+Г,

т2 (0)

С2 (0) =

т т*

тХі (т)

С* С* СХоХ1(т)

С* С* СХоХ1(т)

_ СХіХ()(т) СХ1Хо(Т) СХіХ] (г) _

где

р2+ =

/2+ =

‘ 0 0 у™ч - {- “ 0 0

_ 0 р2 ’ ^2 ~ 0 ^2

о

І2

Н2+

о о о н2

И наконец, числовые характеристики вектора Z1Ч найдем из следующих систем ОДУ:

т

N

(з) = (Р++Я £)-т+(*) + /£,

т^(0) =

С^(0) =

~~ (^ЛГ §Лг) ' ^Л'(5) +

+ [(Р]1 + ^)-ад]Г+Н+ •Н+г, "г^-і(0) 1

. гпхнЛт) ] ’ ^

С+_,( 0) С£_г(г) 1

^Лг і (г) СЛ-V .Л'.У іі'ї ] ’ Ся-і(в) = [Ооу-іХоО) Схх^хАя)

СХн_іХіі8) - С'Л\ч ;Л'д- :<(5)];

Ppic.1

где

■ 0 0 - Q +N = ' 0 0

.0 р* - 0 Q N

= г , ї“ = 1 ! 7 ■ 0 0 0 Ндг s

4. Результаты расчетов

Представленными в предыдущих секциях методы были применены для анализа ряда, стохастических систем различных порядков и форм запаздывания. Далее символом ПР отмечается ссылка на все, относящееся к методу Монте-Карло, литерами МПИ - к схеме: МШРФП.

Пример 1°. Изучим случайный переходный режим, описываемый стохастическим уравнением пантографа

X{t) = aX(t) + bX(/u,t) + cW(t),

О < * X(0) = x°

(a, b, c. f.i — const, 0 < p < 1), в системе с неограниченной памятью. Здесь г = t— fit — (1—fi) t ^ 0. Известно [22], что сильное решение уравнения (7) существует и единственно, а его детерминированный аналог применяется для описания многих явлений, например, динамики токоснймающего устройства электровоза и др.

Заметим, что fit ^ 0 при t ^ 0, а следователь по, начальное, множество для решения рассматриваемого уравнений! сводится к единственной точке t — 0 (£* = 0).

Программа, разработанная на основе алгоритма II, на каждом шаге в символьном виде генерировала соответств)аощие

Рис.2

ОДУ для элементов вектора математических ожиданий и матрицы ковариаций, а также требуемые начальные условия. Для численного интегрирования этой системы ОДУ использовалась стандартная процедура ГОЗоіує пакета Маі;1іета1;іса.

В процессе проведения расчетов использовались следующие значения параметров задачи:

г/ = 0.0001, ти = 0.005, Т = 1.5, с = 0.125, Ь = 2000, тп° = 5.0,' С0 = 0.25.

Результаты этих расчетов приведены на рис.1 (математические ожидания тх) и 2 (соответствующие дисперсии Т>х)- Кривые, обозначенные цифрами 1 и 2, соответствуют следующим значениям параметров а, 6, р: 1 - а = -2, Ь = -4, р — 0.5; 2-а — —2,

Ъ — —4. р = 0.1. Здесь и далее непрерывные и штриховые линии отображают результаты расчетов по алгоритмам I и II соответственно. На рис.1 штрих-пунктирные линии соответствуют приближенным решениям задач ДЛЯ ШхЙ: полученным с помощью разложения неизвестной функции в ряд Тейлора.

Несложно увидеть, что все эти результаты отличаются незначительно.

Пример 2°. Уравнения второй из представленных систем выглядели так:

Х{Ь) + 2 оц Х{і) + 2 а2 ХІІ ~~ п)+

+ /ЗіХ(і) + &Х(*-т*) =7^(<), £ > 0;

Х$) — о, £ < 0;

ш(і*) — га*, С(і*) “ С*,

где а*, /?*. 7 ~ постоянные. На рис.З, 4 и 5,

6 изображено поведение компонент вектора математических ожиданий и ковариационной матрицы для фазового вектора X (і) =

Рис.З

Рис. 4

Рис. 5

{Х\,Х2}Т — {X, Х}т при следующих значениях параметров:

с*! = 0,125, 02 = -0.1, Рг = 4, =

7 = 0.1, г/ = тг/2000, Ь = 1000. Г-Ютг, т*

' 5 ' ' 0.25 0

0 » 0 0.16

Рисунки слева соответствуют случаю, когда

п(£) = 0.5 вт22ж, г2(*) = 0.5 соз22я?г а справа -

п{1) == 0.5 вт24а?,! гг(<) = 0.5 со824ж.

При этом на рис.З и 4 математические ожидания и Х2(£) отмечены цифрами

1 и 2, а на рис.5 и 6 цифры 1, 2 и 3 указывают на функции Сц(£), С\2(Ь) и С22(£) соответственно .

Пример 3°. Последние из представленных результатов касаются двойной системы ван дер Поля. В отличие от классической формы

Рис.6

в рассматриваемых уравнениях присутствуют белые шумы и периодические переменные запаздывания в перекрестных термах:

Ш + 2 он [У?(г) - 1] Щ + =

- ДУз-^ - г3-<) + 3 #<(*)> £>0;

У*(г) = 0, £ < 0, г = 1,2;

т(и) = т*, С{и)—С*.

На рис.7 и 8 на фазовой плоскости изображены траектории математических ожиданий случайных векторов {Ух(£), ¥1^)} и соответственно. При этом параметры задачи имели следующие значения:

ос\ — 0.5, ао — 0.6. =2, Ш2 ~ 1,

Рх — —0.5, /32 = -0.8, 71-О.1. 72 == 0.2. т\{1) = 0.5 соБ22а:, Т2ОО = 0.5 зт22ж,

Ь = 1000, Т — 127Г, г = 7т /1000.

“ 1/16 0 0 0

__

0 1/25 0 0

0 0 1/36 0

0 0 0 1/25 _

пг* — [0 1 0 1.5]т.

Рис.7

Заключение

В работе представлена численная схема исследования нелинейных стохастических систем с переменными запаздываниями. В отличие от известных методов изложенная схема не предполагает предварительного изменения уравнений исследуемого объекта с целью исключения запаздывания или разработки сложных специальных интеграторов. Итоги статистической обработки результатов моделирования для линейных систем с кусочно-постоянными запаздываниями сравнивались с первыми моментными функциями, полученными с помощью схемы МШРФП. Анализ показал удовлетворительное совпадение результатов, полученных разными методами, только при очень мел ком: шаге т, что при использовании второго метода приводило к значительному увеличению расчетного времени и объема оперативной памяти.

Список литературы

1. Эльсгольц Л.Э., Норкии С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

2. Системы автоматического управления с запаздыванием; учеб. пособие / Ю.Ю.Громов. Н.А.Земской, А.В.Лагутин и др. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2007. 76 с.

Рис. 8

3. Хейм, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984 421 с.

4. Inspcrger ТStepan G. Semi-discretization for tirne-delay systems: Stability and engineering applications. New York: Springer Science-fBusiness Media, LLC, 2011. XIX, 404 p.

5. Bellen A., Zennaro M. Numerical methods for delay differential equations. Oxford Univ. Press, 2005. 412 p.

6. Шампайп Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MAT-LAB: учеб. пособие. СПб.: Изд-во "Лань", 2009. 304 с.

7. Рубаник В. П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во "Университетскоеп, 1985. 143 с.

8. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

9. Черпоусько Ф.Л., Колмаповский В.В. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978. 352 с.

10. Chang М.-Н. Stochastic control of systems and applications of hereditary. New York: Springer Science-fBusiness Media, LLC, 2008. X, 174 p.

11. Разевиг В.Д. Корреляционный анализ систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1973. №9. С.42-48.

12. Kalos М.Н., Whitlock P.A. Monte Carlo methods. Weinheim: Wilev-VCH Verlag, 2004. 195 p.

13. Милъштейп Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во Урал, ун-та, 1988, 224 с.

14. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. 3-е изд., испр. и доп. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. 800 с.

15. Kloeden Р.Е.} Platen Е. Numerical solution of stochastic differential equations. Springer-Verlag, 1995. XXXV. 632 p.

16. Kushner H.J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhauser, 2008. 295 p.

17. Baker Cl Т.Н., Buchwar E. Introduction to the numerical analysis of stochastic delay differential equations // Numerical analysis

report № 345 (revised). Univ. of Manchester, 2000. 25 p.

18. Garcia-Palacios, Lazaro F G. Lange-vin-dynamics study of the dynamical properties of small magnetic particles // Phys. Rev. B. 1998. Vol.58, № 22. P. 14937-14958.

19. Полосков И.Е. К анализу линейных стохастических систем с кусочно-постоянными запаздываниями // Вести. Перм. унта. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011, Вып.2 (5). С.76-83.

20. Wolframь S. The Mathernatica Book: 5th ed. Champaign. II: Wolfram Media, 2003. 1488 p.

21. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах: учеб. пособие. Ижевск: РХД, 2005. 296 с.

22. Baker С. Т.Н., Buchwar Е. Continuous ©-methods for the stochastic pantograph equation// Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2000. Vol. 11. P. 131-151,

Modeling of stochastic systems of differential equations with variable delays

S. S. Pechenova, I. E. Poloskov

Perm State National Research University, Russia, 614990, Perm, Bukirev St.,15 polosk@psu.ru

In the paper, a problem of using of the Monte Carlo method for numeric modeling of nonlinear systems of stochastic differential equations with variable delays is considered. Some examples of analysis of different systems are demonstrated. Wc compare results for linear systems with piecewise constant delays that were obtained by the method under consideration and the scheme of phase space extension. Computational algorithms were realized, by the computer algebra package Mathernatica language.

Keywords: modeling, stochastic differential equation, delay, linear system, nonlinear system, random fluctuation, Wiener process. the method of Monte. Carlo, the method of phase space extension.