К анализу линейных стохастических систем с кусочно-постоянными запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Информатика. Механика Вып. 2(5)

УДК 517.9:531.31

К анализу линейных стохастических систем с кусочно-постоянными запаздываниями

И. Е. Полосков

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул.Букирева, 15 [email protected]

Рассматривается проблема вычисления первых моментов фазового вектора линейной стохастической динамической системы со специальной формой переменных запаздываний - кусочно-постоянной. На основе последовательно развиваемой в работах автора процедуры расширения фазового пространства строится цепочка стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания, а затем и уравнения для искомых моментов.

В качестве примеров исследованы переходные процессы, описываемые двумя системами различной размерности. Численно-аналитические расчеты осуществлялись с помощью программ на входном языке пакета Ма'ЪЬета'Ыса.

Ключевые слова: стохастический анализ, линейная динамическая система, запаздывание, фазовый вектор, моментные функции

Введение

Несмотря на то, что первые исследования, связанные с учетом влияния последействия на динамику систем различных классов, начались еще в середине двадцатого столетия (пионерские работы А.Д.Мышкиса, Е.М.Райта, Р.Беллмана относятся к 40-м годам XX в., а еще ранее Л.Эйлер, И.Бернулли и П.Лаплас занимались подобными проблемами), только в последние 30..40 лет такие исследования стали интенсивно развиваться и, в первую очередь, вследствие потребностей практики: сначала это были задачи управления, а затем и биологии, механики, физики, химии, медицины, экономики, атомной энергии, теории информации и т.д.

Причинами возникновения последействия являются транспортные, технологические, информационные и инерционные задержки при передаче вещества, энергии, сигнала, информации на расстояние; конечность скорости движения носителей электрических зарядов; несвоевременность реакции в системах с человеком-

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты N 09-01-99006).

©И. Е. Полосков, 2011

оператором и др.

Математическими моделями соответствующих процессов служат функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) и, в частности, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом [1-9], в т.ч. запаздывающим, и уравнения нейтрального типа. Такие уравнения применяются для описания процедур автоматического регулирования и управления техническими системами, химико-технологических и других производственных процессов, развития экономических и социальных систем; генерации сигналов в радиосхемах и лазерах, горения в жидкостно-реактивных двигателях, замедления нейтронов; автономной стабилизации курса судов, колебаний в ламповых генераторах и линиях передач, борьбы видов за существование и динамики популяций в биологии, динамики эпидемий, работы прокатных станов, нейродинамики, управления поточным производством и т.д.

Как правило, обычные схемы исследования нелинейных систем (линейный анализ устойчивости, изучение бифуркаций, стандартные методы возмущений) непригодны для анализа ФДУ, решения которых обладают новыми свойствами (например, возможна автосинхронизация с временным запаздыванием, даже в системах первого порядка допустимы колебательные режимы за счет наличия периодических запаздыва-

ний). Присутствие последействия может приводить к неустойчивой и неудовлетворительной работе технических объектов, а также их плохой управляемости [10].

В процессе развития методов анализа детерминированных систем с последействием возник интерес к стохастическим ФДУ разных типов [1,5,11-14], в которых, в свою очередь, также могут наблюдаться новые эффекты (например, разрушение или формирование колебательных движений). Но исследование таких систем затруднено. Это привело к тому, что до последнего времени попытки анализа стохастических ФДУ ограничиваются качественными исследованиями существования решения и устойчивости.

Среди приближенных методов следует отметить технику перехода от немарковских систем с малыми запаздыванием т (в том числе переменным и случайным) или памятью с помощью метода усреднения к марковским системам без запаздывания. Конечно, нельзя забывать и о прямом численном интегрировании стохастических ФДУ [14]. При этом алгоритм основного метода

- простейшей схемы Эйлера-Маруямы с постоянным шагом, приводящий к значительным объемам расчетов, существенно сложнее своего аналога, предназначенного для анализа стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) без запаздывания [15].

В ряде наших предыдущих работ была предложена схема расширения фазового пространства в приложении к исследованию стохастических систем с постоянным запаздыванием [16-19]. Ниже рассматривается методика исследования линейных (афинных [20]) стохастических дифференциальных систем с кусочнопостоянными запаздываниями, основанная на модификации указанной схемы. Применение этой методики демонстрируется на примерах.

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с кусочно-постоянными запаздываниями тг (£) ^ 0 следующего вида:

х(г) = Р(г) х(г) + ^2 (ь) х(г - тг)+

г = 1 (1)

+е(г) + И(г) £(г), г>г0,

где х € Мп - фазовый век тор; £ € Мт - вектор независимых случайных функций типа белого шума с единичными интенсивностями (МИ =

0 М[^т] = Е);

Тг (£) = Мгд т, 1Ч-1 <г < 1Ч, Мгд €{0, 1, 2,...},

tq = to + q • т, т = const > 0, q =1, 2,

(T и M [•] - символы транспонирования матрицы и математического ожидания соответственно, E - единичная матрица).

Например, одна из регулярных форм функций t — тг (t) имеет в ид [t — d\, где d = 0, 1, 2, ..., [z\ - целая часть z [21].

Заметим, что в последнее время наблюдается значительный интерес к анализу детерминированных систем типа (1). Среди них преобладают работы, посвященные исследованию устойчивости [22,23], осциллируемости решений [23], стабильности моделей экономики [24] и др.

Будем считать, что на интервале (to,to), где

t0 = min (t — Nrq т) = to — N0t, N0 ^ 0,

t>to ,r,q

фазовый вектор x(t) удовлетворяет системе СДУ без запаздывания

X(t) = Po(t) x(t) + co(t) + Ho(t) £o(t),

(2)

x(to) = x0,

причем в уравнениях (1) и (2) P(t), Qr(t), H(t), Po(t), Ho(t) и c(t), co(t) - известные непрерывные матрицы- и вектор-функции. Кроме того, предположим, что известны все необходимые

числовые характеристики случайного вектора xo

мени to для вектора x заданы вектор математических ожиданий mo = M [xo] и ковариационная матрица Ko = M [(xo — mo)(xo — mo)T].

Примечания. 1. В излагаемой методике ничего не изменится, если в правых частях уравнений (2) будут отсутствовать случайные возмущения. 2. По аналогии с детерминированными дифференциально-разностными уравнениями промежуток [to, to) можно называть начальным множеством.

Задачей исследования является построение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания для компонентов вектора средних m(t) = Ml [x(t)] и ковариационной вщтрицы K(t) = M[(x(t) — m(t))(x(t) — m(t))T] фазового век тора x при люб ом t > to и демонстрация данной схемы на примерах.

2. Метод исследования

Как и в предыдущих наших работах, для того чтобы получить СДУ без запаздывания, применим сочетание метода расширения фазового пространства и метода шагов.

Рассмотрим равномерную временную сетку tq = to + q • т, q = 0, 1, 2, ..., N, ... и введем новую временную переменную s, изменяющуюся на промежутке [0, т], а также следующие обозначения:

можно записать так:

sq — 5 + tq—1, Дq — (tq—1, tq^

ХЧ (в) = x(sq ), ^ (в) = £К ),

Хq (0) = Хq-1(т), ^ (0) = ^-1(т),

С01(Х1, ..., Хм-1, Хм) = {ЖЦ,Ж12, ...,Х1п, ...,

Хм-1,1, Хм-1,2, ..., Хм-1,п, Хм 1, Хм2, ..., ХМп}Т. Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов)

10. На сегменте Д1 систему СДУ

Х 1(в) = Ро(51) Х1(в) + со(й 1) + Ио(в1) £1(5),

решением которой является случайная векторная функция z1(s) = Х1(в), можно записать в следующем виде (здесь и далее точкой обозначена производная по переменной в):

2 1(в) = [Р1 (в) + 01 (в)] 2^в) + f 1(в) +

+ Н 1(в)

21(в) = Х1(5) П1(в) = £1(в)

Р1 (в) = Рц(в) = Ро(в1), 01(5) = о,

р 1(в) = / 1(в) = со^Д Н 1(5) = Н11 (в) = Но(в1).

20. На промежутках Д1 и Д2 систему СДУ Х 1(в) = Ро(в1) Х1(в) + со(в 1) + Но(в1) £1(5),

Х2 (в) = Ро(в2) Х2(в) + Со(в2) + Но(в2) £2(5)

можно представить так:

2 2(5) = [Р 2 (в) + 0 2(в)] 22(в) + Н 2(в) +

+ Н2(в) n2(s),

22(в) =

Х1(в) Х2 (в)

£1(5)

£2(в)

Р2(в)=

Р11(в)

о

Р 22(5)

П2(в) =

Р 22(5) = Ро(в2),

о о о о

Н 2(5)

Н 2(в) =

' Н11(в) о

/ 1(в) f 2(в)

о

Н22 (в)

/ 2(в) = со(в2 ^

Н22 (в) = Но(в2).

(К0)0. На полуинтервалах Д1; Д2, Дм0

систему СДУ

Х 1(в) = Р о(в1) Х1(в) + со(в 1) + Но(в1) £1(5),

Х2 (в) = Р о(52) Х2(в) + Со(в2) + Но(в2) £2(5)

Хмо (в) = Р о(вмо ) Хмо (в) + Со(вмо ) +

+ Но (5мо ) £мо (в)

2мо (в) = [ Рмо(в) + 0мо (в)] ZМо (в) +

+ Нмо (в) + Нмо (в) Пмо (в),

Х1(в) ' £1(5) '

2мо (в) Х2(в) , Пмо (в) = £2(в)

_ Хмо (в) £ мо ( 5 )

Рмо (в) =

0мо (в)

Р мо-1(в)

о

о

Р момо (в)

0мо-1(в) о

о о

Н мо(в):

f 1(в) f 2(в)

f мо (в)

, f мо (в) = со(вмо ),

Нмо(в) =

Н мо-1(5) о

о Нмомо(в)

Рмомо (в) = Ро(вмо ), Нмомо (в) = Но(вмо ).

(К0 + 1)° На иолуотрезках Д1; Д2, ..., Дмо, Дмо+1 система СДУ

Х 1(в) = Ро(в1) Х1 (в) + со(в 1) + Но(в1) £1(5),

Х2(в) = Ро(в2) Х2(в) + со(в2) + Но(в2) £2(5)

Хмо (в) = Ро (вмо ) Хмо (в) + со(вмо ) +

+ Но(вмо ) £мо (в) Хмо + 1(в) = Р(вмо + 1) Хмо + 1(в) +

+ г (вмо + 1) Хмо + 1-мг1 (в) +

г =1

+ с(вмо + 1) + Н(вмо + 1) £мо + 1(в)

принимает вид

2мо + 1(в) = [Рмо + 1(в) + 0мо + 1(в)] 2мо + 1(в) + + Нмо + 1(в) + Нмо + 1(в) nМо + 1(s),

2мо + 1(в) пмо + 1(в) = Р мо + 1(в) =

2мо (в) Хмо + 1(в)

Пмо (в) £мо + 1(в)

Р мо(в) о

о Рмо + 1,мо + 1(в)

Рмо + 1,мо + 1(в) = Р(вмо + 1)

0 мо + 1(в) =

°мо + 1(в)= [0мо + 1,1(в) 0мо + 1,2(в) ...

0 мо(в) о

_ °мо + 1(5) 0мо + 1,мо + 1(в)

■■■ (в)] ,

!°^ + 1,к (в) = '^2 <3т (в№о + і) ^й,№о + І-№гі,

QNfc(s) = ^ (sN ) -N-11

к = 1,

к = 1, 2, ■■■, N0 + 1,

/ N0(

Н N0(в)

^о + 1(в)

Н N (в)

N0 + 1(в) = с(вЩ + 1),

Н N-1(в) / N (в)

, ^N (в) = c(sN),

Н N0 (в) о

0 |Н^ + 1^о + 1(в)

Н N0+1( 5 ) =

Н% + 1^0 + 1(в) = Щ^о + О^

Н N («) 0

0 HNN(s)

НN («) =

HwN(s) = H(sN )■

К0 На сегментах Д15 Д2, ..., Д^, ДNо+1, •••,

ДN система СДУ

Ж 1(в) = Ро(«1) Ж1(«) + Со (51) + Щ^) ^(в),

Ж2(5) = Ро(«2) Х2(в) + Со(в2) + ) £2^)

35N0 («) = Р0 («N0 ) ^N0 («) + Со(я^ ) +

+ ^ (^«N0 ) ^N0 (в) 35N0 + 1(5) = Р(ЗДо + 0 Ж^ + 1(в) +

+ У^ ^ (ЗДо + 0 ^N0 + 1-N-1 (в) +

Г = 1

Итак, получена цепочка систем линейных СДУ для расширенных фазовых векторов г1; z2, ..., zN, ... увеличивающейся размерности и одинаковой структуры без запаздывания.

3. Вывод уравнений для моментов

Теперь построенную последовательность систем линейных СДУ без запаздывания можно использовать для получения новой цепочки уравнений - ОДУ для первых моментов векторов Zl, Z2, ZN, ■■■ И z+ = СОІ(Жо, Zl), z+ = со1(Жо, Z2), ..., zN = со1(Жо, ZN), • ••, причем

тк(в) = М [z^ = со1(тЖ1, тХ2, ■■■, тХк),

т

+ (в) = М ^+] = со1(то, ти (в))

+ c(sNо + 1) + Ч^о + О £^ + 1(в) Ки (в ) = М [(zи - тк) (zи - ти

КХ1 Хі КХ1Х2 ■■■ КХ1Хк

КХ2 Х1 КХ2Х2 ■■■ КХ2Хк

ЖN (в) = Р^) ЖN (в) +

КХк Х1 КХк Х2 ■■■ КХк Хк

+ Qr (^) ЖN-Nrі (в) + г = 1 К+ («) = Ко Кк (в) . КТ (в) Ки (в) _

+ c(sN) + H(sN) £N(в) Кк (в) = [ КХоХ1 (в) КХоХ2 (в) ■■■ КХ

записывается так:

ZN («) = [РN («) + QN («)] ZN (в) + к= 1, 2,■■■,N,■■■

ZN («) = VN (в) =

+ НN (в) + НН N (в) nN (s),

ZN-1(«)

ЖN (в)

П N-1(в)

£N (в)

НN («)

Н N-1(5) о

0 Р NN(5)

Р NN(5) = Р(ЗД ),

^N-1(5) 0

QN (в) QNN(s)

В связи с тем, что вектор ти (в) и матрица Ки(в) являются блоками вектора т+ (в) и матрицы К+ (в) соответственно, достаточно вычислить только последние, а затем выбрать их необходимые элементы.

Из предыдущих рассуждений и из соответствующих соотношений [25] следует, что числовые характеристики вектора z+ удовлетворяют следующим системам ОДУ:

т +(в) = (Р + + Н+В • т+(в) + Н+,

+ _і_ Н+в

К + («) = (Р + + Р + ) ^+(5) +

QN(в) = [QN 1(5) QN2(«) ■■■

■■■ QN,N-l(s)

+ [(Р + + Q+) •£+ (в)] Т+H + • Н+Т

т+(0)

то

то

, К+(0)

Ко Ко Ко Ко

в ) =

и

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

0 2 4 6 8 10 12

Рис.1

Рис.2

Рис.З

Рис.4

где

0 0 0 Р1

0

Р1

д + =

о о о д і

о о “

0 Р1

Подобные уравнения для вектора z+ выглядят так:

т 2 (в) = (Р+ + д+) • т+ (в) + р+ с + (3) = (р + + д+) • с++ (*) +

)

+ [ (р ++д+) •с+($)] +р + ^+т,

с+ (0) =

т+(0) Со Со

то

то

тХ1 (т)

Со

Со

Сх0Х1 (т ) Сх0Х1 (т ) СхіХ0 (т) С

х1хо (т) Сх1х1 (т)

где

р + = р2 =

о о

о р 2

о о

о д 2

0 Н + = о о

. Р 2 . 2 о Р 2

И наконец, числовые характеристики вектора г N найдем из следующих систем ОДУ:

тN(й) = (рN + дN • ^(в) + р с+(в) = (р N + д N) • с+(в) +

+ [(рN + рN •с1ч(в)] +рN ^рN,

то

то

тх1 (т)

тх

-1(т)

сN (0) =

CN-1(8) = [С

с N-і(0) с-і(т)

с N-і(т ) Схм

-1ХЫ-1 (т) ]

) (8) СХМ — 1 Хо (8)

СХМ—1Х1 (в) ■■■ СХМ — 1ХМ — 2 (в)] ,

где

Р N

о о о Р N

0 Р N

д+

N

Р N

о о

о д N

о о о Н N

4. Примеры

Для демонстрации применимости представленной схемы было проанализировано поведе-

2 п 3 п 4 п 5 п

Рис.5

і

6 п

2.0 Л

1.5 1 1 - 1 1 1 і 1 !і

1.0 ||| _ і і 1 і * IIі! 1 1 | 1 1 1 /' I

0.5 і і! і 1 і і 1 -1 ' 11 1 1 \1 1 і 11 1 1 1 і ..і і, * і 1

0.0 \-А 'А

2п 3п

Рис.6

4п

5п

і

6 п

ние нескольких стохастических систем различной размерности. Некоторая часть полученных результатов приводится ниже. Все численноаналитические расчеты были проведены с помощью программ на входном языке пакета Ма'ЪЬета'Ыса [26].

В качестве первой исследуемой модели была выбрана система

Х(Ь) = рх(Ь)+

+ дх (Ь — [_10 я1п2 Ь\ • т) + Н£(Ь),

Ь > 0;

Х(Ь) = 0, Ьо <1 < 0;

т(Ьо) = то, К(^о) = Ко,

где р,д,К постоянные. На рис.1 и 2 изображено поведение математического ожидания и дисперсии х(Ь) при следующих значениях параметров:

р = —1, д = 0,2, н = 0,2, го = —3,

то = 5, Ко = 0,25,

1) т = 0,5, 2) т = 0,25,

причем случаю 1) соответствуют кривые, изображенные непрерывными линиями, а случаю 2)

- штриховыми.

Уравнения второй из представленных систем выглядели так:

Х(Ь) + 2 а\ Х(Ь) + 2 а2 Х(Ь — т1(Ь))+

+ в1 х(Ь) + в2 х(Ь — Т2(4)) = (Ь), Ь> 0;

Х = 0, Ь < 0;

т(Ьо) = то,

ВД = Ко,

где а^ ви 7 ~ постоянные. На рнс.З, 4 и 5, 6 изображено поведение компонент вектора математических ожиданий и ковариационной матрицы

для фазового вектора х(і) = {х1,х2}Т = {х, X}т при следующих значениях параметров:

а1 = 0,125, а2 = -0,1, 7 = 0,1,

в1 =4, в2 = 1, т = п/4,

то =

о

0,25 0

0 0,16

Рисунки слева соответствуют случаю, когда для запаздываний т^Ь) и т2(Ь) константы КГС1 образуют циклические последовательности

- {1, 3, 5, 7, 5, 3,1, 3, 5, 7, 5, 3,1},

- {0, 2, 4, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 4, 2,0},

а справа -

- {1,1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 5, 5, 3, 3,1,1},

К2ч - {0, 0, 2, 2,4, 4, 6, 6,4, 4, 2, 2, 0, 0}.

При этом на рнс.З и 4 математические ожидания Х1(£) и Х2 (Ь) изображены непрерывной и штриховой линиями, а на 5 и 6 кривые вида---,....и

----демонстрируют поведение функций Кц(Ь),

К12(Ь) и К22(Ь) соответственно.

Заключение

В работе представлена схема исследования линейных стохастических систем с запаздыванием нейтрального типа. В отличие от известных методов [27] изложенная схема не предполагает предварительного изменения уравнений исследуемого объекта с целью исключения запаздывания или разработки специальных интеграторов. Точность расчетов полностью определяется погрешностью применяемых стандартных процедур численного решения систем ОДУ, причем ошибка метода отсутствует.

0

0

п

п

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматул-лина Л.Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциальноразностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

3. Хейл Д.in-. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

4. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 288 с.

5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

6. Agarval R.P., Bohner М., Li W.-T. Nonoscillation and oscillation: Theory for functional differential equations. New York: Marcel Dekker, 2004. 371 p.

7. Ernem T. Applied delay differential equations. New York: Springer-Verlag, 2009. 204 p.

8. Gyory I., Ladas G. Oscillation theory of delay differential equations with applications. New York: Oxford University Press, 1991. 384 p.

9. Tung C. On asymptotic stability of solutions of third-order nonlinear differential equations with retarded argument // Communications in Applied Analysis. 2007. Vol.ll. P.515-528.

10. Boukas E.K. Control of stochastic systems with time-varying multiple time-delays: An LMI approach // Les Cahiers du GERAD. G-2002-26.

2002. 16 p.

11. Кореневский Д.Г. Устойчивость решений детерминированных и стохастических дифференциально-разностных уравнений (алгебраические критерии). Киев: Наукова думка, 1992. 208 с.

12. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во "Университетское", 1985. 143 с.

13. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

14. Kushner H.J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhau-ser, 2008. XIX, 281 p.

15. Baker C.T.H., Buchwar E. Exponential stability in p-th mean of solutions, and of convergent Euler-type solutions, of stochastic delay differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2005. Vol. 184, N 2. P.404-427.

16. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциальноразностных систем со случайным входом / / Автоматика и телемеханика. 2002. N 9. С.58-73.

17. Полосков И.Е. Движение транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания / / Математическое моделирование. 2005. Т. 17, N 3. С.3-14.

18. Полосков И.Е. Компьютерное моделирование динамики загрязнения бассейна реки с учетом запаздывания и случайных факторов / / Вычислительные технологии. 2005. Т. 10, N 1. С.103-115.

19. Malanin V.V., Poloskov I.E. About some schemes of study for systems with different forms of time aftereffect // Proc. of the IUTAM Symposium on Nonlinear Stochastic Dynamics and Control (Hangzhou, China, May 10-14, 2010) / W.Q.Zhu, Y.K.Lin, G.C.Cai (Eds.): IUTAM Bookseries, Vol.29. Dordrecht: Springer, 2011. I’.55-6 1.

20. Riedle M. Solutions of affine stochastic functional differential equations in the state space // Journal of Evolution Equations. 2008. Vol.8, N 1. P.71-97.

21. Gopalsamy K., Gyory I., Ladas G. Oscillations of a class of delay equations with continuous and piecewise constant arguments / / Funkcialaj Ekvacioj. 1989. Vol.32. P.395-406.

22. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Условия конечномерности оператора монодромии для периодических систем с последействием / / Известия вузов. Математика. 2003. N 4 (491). С.27-39.

23. Gopalsamy К. Stability and oscillations

in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht/Boston/London: Kluwer

Academic Publishers, 1992. XII + 501 p.

24. Симонов П.М. Исследование устойчивости решений некоторых динамических моделей микро- и макроэкономики / / Вестник Пермского ун-та. Математика. Информатика. Механика.

2003. Вып.5. С. 88-93.

25. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах: Учеб. пособие. Ижевск: РХД, 2005. 296 с.

26. Wolfram S. The Mathematica Book: 5th ed. Champaign, II: Wolfram Media, 2003. 1488 p.

27. Elbeyli O., Sun J.Q., Unal G. A semi-discretization method for delayed stochastic systems / / Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2005. Vol. 10, N 1. P.85-94.

On analysis of linear stochastic differential systems with piecewise constant delays

I. E. Poloskov

Perm State University, 614990, Perm, Bukirev St., 15 [email protected]

In the paper, a problem of computation of the first moment functions for the phase vector of linear stochastic differential system with the special form of variable delays, notably with piecewise constant delays, is considered. The phase space extension technique successively being developed by the author is used to derive a chain of stochastic differential equations without delays and equations for required moment functions too. As examples, transition processes described by two special systems with different phase space dimensions were studied. Symbolic-numeric calculations were produced by computer algebra package Mathematica-code programs.

Keywords: stochastic analysis, linear dynamic system, delay, phase vector, moment functions