Анализ линейных стохастических систем с постоянными запаздываниями и дискретно-непрерывными возмущениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 3(22)

УДК 519.2

Анализ линейных стохастических систем с постоянными запаздываниями и дискретно-непрерывными возмущениями

И. Е. Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул.Букирева, 15 polosk@psu.ru; тел. (342) 239-65-60

Рассматривается задача расчета первых моментных функций вектора состояния линейной стохастической дифференциально-разностной системы с аддитивными винеровски-ми и пуассоновскими флуктуациями на входе. На основе схемы, сочетающей классический метод шагов и расширение пространства состояния, строится цепочка интегро-дифференциальных уравнений Колмогорова - Феллера для совместных плотностей вероятности, а затем и система обыкновенных дифференциальных уравнений для искомых моментов без запаздываний.

Ключевые слова: стохастический анализ; линейная динамическая система; запаздывание; вектор состояния; моментные функции; винеровский процесс; пуассоновский процесс.

Введение

Несмотря на то что первые исследования, связанные с учетом влияния последействия на динамику систем различных классов, начались еще в середине двадцатого столетия, только в последние годы такие исследования стали интенсивно развиваться, в первую очередь вследствие потребностей практики: сначала это были задачи управления, а затем и биологии, механики, физики, химии, медицины, экономики, атомной энергии, теории информации и т.д.

Математическими моделями соответствующих процессов служат функционально-

© Полосков И. Е., 2013

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 1.25.11),

дифференциальные уравнения (ФДУ) и, в частности, дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами [1-6], в т.ч. уравнения с запаздыванием и нейтрального типа. Такие уравнения применяются для описания гибридных моделей, процессов автоматического регулирования и управления техническими системами, химико-технологических и других производственных процессов (холодная прокатка стали) генерации сигналов в радиосхемах и лазе pax, горения в жидкостно-реактивных дви гателях, замедления нейтронов; работы се тевых систем, электростанций, систем навк гации, цепей туннельных диодов, в роботе технике, в экологии (контроль качества в< ды) и т.д.

В процессе развития методов анализа д терминированных систем с последействие возник интерес (начало 1960 гг., одна ] первых работ [7]) к стохастическим Ф¡В

разных типов [1,5,8-10], с помощью которых могут исследоваться новые эффекты (например, разрушение или формирование колебательных движений). Но анализ таг ких систем затруднен. Это привело к тому, что до последнего времени попытки анализа стохастических ФДУ ограничиваются качественными исследованиями поиска условий существования решения и устойчивости (стабилизации), стохастической управляемости и наблюдаемости.

Среди приближенных методов следует отметить технику перехода от немарковских систем с малыми запаздыванием т (в том числе переменным и случайным) или памятью с помощью-метода усреднения к марковским системам без запаздывания. Конечно, нельзя забывать и о прямом численном интегрировании стохастических ФДУ [10]. При этом даже алгоритм основного метода -простейшей схемы Эйлера - Маруямы с постоянным шагом, приводящий к значительным объемам расчетов, существенно сложнее своего аналога, предназначенного для анализа стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) без запаздывания [11].

Среди стохастических ФДУ можно выделить класс линейных СДУ с постоянными запаздываниями и смешанными случайными возмущениями - непрерывными ви-неровскими и -скачкообразными составными пуассоновскими стохастическими процессами. СДУ со скачками описывают изменения цен опционов, процессы хеджирования и управления в финансах [12-14], внезапное изменение структуры и параметров динамических систем во многих технических системах из-за отказов, резких возмущений, внезапных вибраций рабочего режима [14], процессы фильтрации [15], изменения надежности [16,17] и др. Процедурами исследования таких систем являются различные схемы методов конечных элементов [18], Эйлера - Маруямы [19], включая неявные [20], Мильштейна [21], Рунге - Кутты [22], обобщенного спектрального метода [23] и др.

В ряде наших предыдущих работ была предложена схема, сочетающая классический метод шагов и расширение фазового пространства (МШРФП), в приложении к исследованию стохастических систем с по-

стоянным запаздыванием [24-27]. Ниже рассматривается методика исследования линейных СДУ с постоянными запаздываниями и смешанными случайными возмущениями, основанная на модификации указанной схемы.

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) Ито с запаздываниями т = const > 0 следующего вида:

dX(t) = [Q(t) • X(t) + R(t) - X(t - r)+ + c(t)] dt + G(t) • dW(t) + H(t) ■ dP(t),

t > h = tQ + r, (1.1)

где X(t) = {Xi(t), г = T7n}T - вектор состояния; W(t) = {Wi(t), г = l,m }T - вектор независимых стандартных случайных вине-ровских процессов:

E[W(t)} = 0,

E[Ty(*i)Wr(i2)] =I-min(tbfe);

P(t) = {Pi(t), i = lTr }T - вектор независимых составных случайных пуассонов-ских процессов [28], представляющих собой последовательности случайных импульсов прямоугольного вида постоянной ширины [18]:

Ni(t)

Pi(t)= *(*-*«),

причем случайные амплитуды импульсов V^ имеют плотности вероятности pvi(v), сами импульсы появляются с постоянными интен-сивностями А* > 0, а их число на полуотрезке (<о,<] равно Ni(t). Здесь и далее Т - символ транспонирования матрицы, Е[-] - оператор математического ожидания, I - единичная матрица.

Предположим, что векторные случайные процессы W(t) и P(t) независимы, а на интервале (to,t\] вектор состояния Х(£) удовлетворяет системе СДУ без запаздывания

dX(t) = [Q0(t) • X(t) + соОО] dt+

+ Go(t) ■ dW(t) + Ho(t) • dP(t), (1.2) X(tQ) = X°,

причем в уравнениях (1.1) и (1.2)

Q(i) = Mt)}, Q0(i) = {«>«(*)}.

G(t) = foy(t)}. Go(t) = {доцШ H (t) = {^(i)} = {#,(*)}, Ho(t) =.{hotjÎt) - {H0j(t)}>

. R(i) = {ry(i)}

И

c(i) - {*(*)}, c0(t) = {C0i(t)}

- известные непрерывные матрицы-функции и векторы-функции. Кроме того, будем считать, что заданы все необходимые числовые характеристики случайного вектора Х°. В частности, пусть в начальный момент времени to для вектора X известны вектор математических ожиданий

тп° = Е[ЛГ°] и ковариационная матрица

С0 = Е[(Х° — т°)(Х° — гп°)т].

Задачей исследования является построение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания для компонентов вектора средних

m(t) =E[X(i)]

и ковариационной матрицы

С(t) = E[{X(t) - m{t)}{X(t) - m(t)}r]

вектора состояния X, имеющего плотность распределения p(x,t) при любом t > ¿о, причем p(x,to) = po(®,io) = Ро(®)-

2. Метод исследования

Если рассматривать систему уравнений (1.1) с точки зрения общей теории случайных процессов, то можно сделать вывод о том, что вследствие наличия запаздывания случайная вектор-функция X(t) - решение этой системы - не является векторным марковским случайным процессом, а следовательно, для получения статистических характеристик вектора X(t) не может быть применен хорошо известный аналитический аппарат теории марковских процессов [29].

Как и в предыдущих наших работах, для того чтобы получить СДУ без запаздывания, применим сочетание метода расширения (в данном случае) пространства состояния и метода шагов, что позволит преобразовать немарковский векторный процесс в марковский посредством расширения пространства состояния системы (МШРПС).

Рассмотрим равномерную временную сет-ку tq = to + q • г, q = 0, 1, 2, ..., N, ... и введем новую временную переменную s, изменяющуюся на промежутке [0, г], а также следующие обозначения:

Sq = S + tq, Aq = (tq, tq+1],

Xq(s)=X(Sq), Wq(s) = W(Sq), Pq(s) = P(sq), Y(S) = X°, Qq{8) = Q(S + tq), R q{s) = R (s + tg), G q{s) = G {S + tg), Hg(s) = H(* + tq), Cq(s) = C(s + tq), col(dbd2, ...,dx,_i,d¿) =

= {dll>dl2, .... C¡ln, -..,dz,-l,bdL-l,2»

db-1 ,nt d/Л, d>L2, ..', dLn }T;, причем для всех ç ^ 1

X9(0) = X,_i(r), Wq( 0) =

P,(0)=P,_i(t).

Здесь и далее равенство сечений соответствующих компонент векторных случайных процессов понимается в смысле "почти наверное".

Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов) Ад.

На сегменте До систему СДУ для вектора Z0(s) = col(Y(s),Xo(s)) представим в виде

dY(s) = 0. У (0) = Xo, dXo(s) = [QoW • X0(e)+

+ co(e)] ds + Go (s). (¿Wo(s)+ (2.1) + E0(s) -dPo(s), X0{0) = Xo.

Рассмотрим, теперь. полуинтервалы До и Ai. Систему СДУ для вычисления компонент вектора "Z\(s) = col (Y (s). X0(s). Xi(s)) можно представить так:

dY (s) - О, У (0) = Xo,

dXo(s) = [Qo(e) ■ X0(s)+

+ Со (s)] ds + Go(a) • dW0(s)+

+ Mo(s)-dPo(s), dX1(t)^[Q1(s)-X1(s)+

+ Ei(s) • Xo(s) 4- Ci (s)] ds+

+ Gx(e) •dW1(e)+ (2.2)

+ Hi(e) -dPi(s), X0(0) = X°. Хх(0) = Х0 (r).

Определенный-на полуинтервалах До, Ai и Д2 вектор

Z2(s) = col(Zi(s),X2(s))

будет удовлетворять системе СДУ (2.2), к которой добавлены уравнения следующего вида:

dX2{t)=[Q2{8)-X2(8)+ + R2(s)-Xi(s) + c2(s)] ds+ + G 2{s)-dW2{s)+ (2.3)

+ H 2{s)-dP2{s).

x2(o ) = ад.

Обозначая через Z~i¿\s), k = 3, 4, ..., TV, ..., вектор

col(Zk-i(s),Xk(s))

и применяя к нему излагаемую схему, находим, что вектор Zk(s), представляющий поведение вектора состояния X(t) на сегментах До, Дъ Д2, —? Afcî будет решением системы СДУ^полученной добавлением к уравнениям для вектора Zk-i(s) уравнений следующего вида:

dXk{t) = [Qib(a) • Xk(a)+ + Rk(8)'Xk-1(8) + ck{8)] ds+ + (2.4)

Xk(0)=Xkl х(г)Г

Итак, получена цепочка систем линейных СДУ для расширенных векторов состояния Яо, Zl, ... увеличивающейся раз-

мерности Ьк = п(к + 2), к — 0, 1, 2, N. ..., и одинаковой структуры без запаздывания, для дальнейшего исследования которой можно применить различные пригодные для данного класса уравнений методы [30].

3. Уравнения для моментных функций

В частности, построенную последовательность систем линейных СДУ без запаздывания можно использовать для получения новой цепочки уравнений - ОДУ для первых моментов (математических ожиданий и ковариационных матриц) векторов Zo, Zl^ Z2, ....

Выясним структуру этих систем. Для этого воспользуемся интегро-дифференциальным уравнением Колмогорова - Феллера для одноточечной плотности вероятности вектора Zk(s) в форме [12], которое в нашем случае примет следующий вид:

dpk(zk,s)

ьк

ds

—Е

d[akiPk(zk,s)]

i—1

dzki

+

1 у.

2 ¿1 dzkidzkj

Lk

9[bkijpk{zk.s)]

(3.1)

r{k+2)

+ H Xt / Pb(zk~ dke,s)-

11 -oo

где

ak = col(aki,г = 1, Lk) =

Bfc = {bkij,i,j = 1, Lk } =

= G+(5)>G+T(5),

(3.2)

dki = col{dkit, i = 1, Lk ) =

= Pvï(vî), = A¿. г = mod(£,r), Í > r?

а матрицы G^£(s) и Н£(а) =

а также вектор с ¿(в) будут иметь блочную структуру, которая формируется следующим образом:

где

О

О О о Qo(e)

Qt(s) =

Q ?(«)•=

о

о Qo(e) О

О О

. Qí-i(e) о 0|R*(e) Qfc(e)

Gt(s) = О

о о о Go(e)

G t(s) =

Gt(s) = Е$(а)

Н +(*) =

Щ{8) =

=

cj-(í) = C+W =

О О О Go(a) о О О Gi(e)

G¡t-i(*) О О Gfc(e)

О О О Но (в)

0 0 о

О Яо(а) 0

О О Hi(s) _

Н+_1(в) О О Щ(в)

О

со(в) О

со(«) . ci(s) .

'í-iW

с*(я)

Отсюда можно увидеть, что для любого Ек, к — О, 1, 2, ..., N.... структуры соответствующих систем ОДУ будут иметь вид

mk{s) = Q+(s)- mk(s) + с+(я) +

+ H+(s)-rñ+fc,

Cfc(e) = В*+ <#(«)• С*(а) +

+

Q+(S)-Cfc(S)l + É+(s)-Éf»,

(3-3)

(3-4)

m*(a) = E [Zk] =

= соЦту.тх^тпх!,...,»?!**), Cfc(e) = e[(Z* - mk) {zk - то*)1] =

Суу Сухо ¿VXi

CjJfoK CxqXO Cx0xi

C-XiY CxiXo CXi A'i

CX,Y CXkX o C^Xj

CYXk CX0Xk

Cx iXh

CXkXk .

m

+ _

= coi (a;

I ' m~pí

+oo

, t = l, r(fc + 2)),

mpe = I ve PvÁve ) dve ■

•H-*« =

' Hte

■Ф

mP2( >

m

Р21

+00

= J (vt)2Pve(4)dvi

Теперь определим вид начальных условий для построенных ОДУ:

,о

тк(0)

Со(0) -

mv m° т0(т)

. mk-i(r) m С0 С0

с° с0

(3.5)

Сi(0) = Ск(0) -

С° СУХо(т)

С" Сух0(т) Cxoy(T) CXoY(T) CXoXo(r) J

(3.6)

С*-х(0) С12 С21 Сл^-Л-Л7") .

С21 = [^„^(т) СХк_1У(т)

Схк_ 1Х„(т) ... Сх^х^(г)], Си = [Сух^Дг) Сух^Дт)

сХоХк^{г) ... Сх^х^От)] .

Итак, полученные в данном разделе уравнения (3.3), (3.4) с начальными условиями (3.5), (3.6) полностью определяют математические ожидания и ковариации компонент

вектора состояния на любом заданном вре-меннбм промежутке.

Заключение

В работе представлена схема исследования линейных стохастических систем с запаздываниями, на вход которой подаются смешанные случайные дискретно-непре-рывные возмущения. В отличие от известных методов изложенная схема не предполагает предварительного изменения уравнений исследуемого объекта с целью исключения запаздывания или разработки специальных интеграторов. Точность расчетов полностью определяется погрешностью применяемых стандартных процедур численного решения систем ОДУ, причем ошибка метода отсутствует. При необходимости более глубокого изучения подобных систем, например, для того чтобы проанализировать негауссову структуру-вектора состояния, изложенная схема может быть применена для построения систем ОДУ для высших моментов компонент этого вектора.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахма-туллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

3. Хейл Дж.. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

4. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 288 с.

5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

6. Егпеих Т. Applied delay differential equations. N.Y.: Springer-Verlag, 2009. 204 p.

7. Красоеский H.H., Лидский Э.А. Анаг литическое конструирование регуляторов в

системах со случайными свойствами // Автоматика и телемеханика. 1961. Т.22, № 9. С. 1145-1150.

8. Рубаник В. П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во "Университетское", 1985. 143 с.

9. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

10. Kushner H.J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhauser, 2008. XIX, 281 p.

11. Baker C.T.H., Buchwar E. Exponential stability in p-th mean of solutions, and of convergent Euler-type solutions, of stochastic delay differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2005. Vol. 184, № 2. P. 404-427.

12. Hanson F.B. Applied stochastic processes and control for jump-diffusions. Modeling, analysis, and computation. Philadelphia: SI-AM, 2007. XXIX, 443 p.

13. Situ K. Theory of stochastic differential equations with jumps and applications: Mathematical and analytical techniques with applications to engineering. New York, NY: Springer Science+Business Media, Inc., 2005. XX, 434 p.

14. Luan XLiu F., Shi P. Neural network based stochastic optimal control for nonlinear Markov jump systems // Intern. Journal of Innovative Computing, Information and Control. 2010. Vol. 6, № 8. P. 3715-3723.

15. Mahmoud M.S., Shi P. Methodologies for control of jump time-delay systems. N.Y.: Kluwer Academic Publishers, 2003. VII, 464 p.

16. Маланин В.В., Полосков И.Е. Об одной задаче теории надежности динамических систем // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь, 1983. С. 88-93.

17. Маланин В.В., Полосков И.Е. Об одной задаче теории надежности систем с внезапными отказами // Роботы и робото-технические системы, Иркутск: ИПИ, 1983. С. 144-150.

18. Ndprstek JKrdl R. Numerical solution of modified Fokker - Planck equation with Poissonian input // Engineering mechanics. 2008. Vol. 17, № 3-4. P. 251-268.

19. Bao JМао XYuan С. Rate of convergence for numerical solutions to SFDEs with jumps // arXiv:0906.3455 [math.PR] (Submitted on 18.06.2009). 17 p.

20. Higham D.J., Kloeden P.E. Numerical methods for nonlinear stochastic differential equations with jumps // Numerische Mathe-matik. 2005. Vol. 101, № 1. P. 101-119.

21. Lin E., Siqing G. Stability of the Mil-stein method for stochastic differential equations with jumps // J. Appl. Math. & Informatics. 2011. Vol. 29, № 5-6. P. 1311-1325.

22 .Buckwar ERiedler M.G. Runge -Kutta methods for jump-diffusion differential equations // Journal-of Computational and Applied Mathematics. 2011. Vol. 236, № 6. P. 1155-1182.

23.Кожевников А.С., Рыбаков К.А. О применении спектрального метода анализа систем со случайным периодом квантования в модели Мертона // Модернизация и инновации в авиации и космонавтике / под ред. проф. Ю.Ю.Комарова. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010. С. 299-305.

24. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. № 9. С. 58-73.

25. Полосков И.Е. Движение транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания // Математическое моделирование. 2005. Т. 17, № 3. С. 3-14.

26. Полосков И.Е. Компьютерное моделирование динамики загрязнения бассейна реки с учетом запаздывания и случайных факторов // Вычислительные технологии. 2005. Т. 10, № 1. С. 103-115.

27. Malanin V. VPoloskov I.E. About some schemes of study for systems with different forms of time aftereffect // Proc. of the IUTAM Symposium on Nonlinear Stochastic Dynamics and Control / Eds. W.Q.Zhu, Y.K.Lin, G.C.Cai. IUTAM Bookseries, Vol. 29. Dordrecht: Springer, 2011. P.55-64.

28. Ширяев A.H. Основы стохастической финансовой математики. Т.1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. 512 с.

29. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. 486 с.

30. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах: учеб. пособие. Ижевск: РХД, 2005. 296 с.

An analysis of linear stochastic systems with constant delays and discrete and continuous fluctuations

I- E. Poloskov

Perm State National Research University, 614990, Perm, Bukirev St., 15 polosk@psu.ru; (342) 2396560

In the paper, we consider a problem of calculation of the first moment functions for the state vector of linear stochastic difference-differential system excited by random Wiener and Poisson processes. The technique combining the classic method of steps and the scheme of phase space extension is used to derive a chain of integro-differential Kolmogorov - Feller equations satisfied by joint probability density functions and then to obtain ordinary differential equations for required moment functions without delays.

Keywords: stochastic analysis; linear dynamic system; delay; state vector; moment functions; the Wiener process; the Poisson process.