Применение схемы мшрфп для анализа линейных стохастических систем с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_________________

Математика. Механика. Информатика Вып. 4(8)

УДК 517.9:531.31

Применение схемы МШРФП для анализа линейных стохастических систем с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями

И. £. Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 rolosk@psu.ru; (342) 2396560

Рассматривается проблема построения обыкновенных дифференциальных уравнений для первых моментов фазового вектора линейной стохастической динамической системы со специальными формами запаздываний - с конечными сосредоточенными и распределенными. На основе последовательно развиваемой в работах автора схемы, сочетающей классический метод шагов и расширение фазового пространства, строится цепочка стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания, а затем и уравнения для искомых моментов.

Ключевые слова: стохастический анализ; линейная динамическая система; запаздывание; фазовый вектор; моментные функции.

Введение

Несмотря на то что первые исследования, связанные с учетом влияния последействия на динамику систем различных классов, начались еще в середине двадцатого столетия, только в последние годы такие исследования стали интенсивно развиваться, в первую очередь вследствие потребностей практики: сначала это были задачи управления, а затем и биологии, механики, физики, химии, медицины, экономики, атомной энергии, теории информации и т.д.

Математическими моделями соответствующих процессов служат функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) и, п частности, дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами [1-6], в т.ч. уравнения с запаздыванием и нейтрального типа. Такие уравнения применяются для описания процессов автоматического регулирования и управления тех-

© И. Е. Полосков, 2011

’Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 1.25.11).

ническими системами, химико-технологических и других производственных процессов; генерации сигналов в радиосхемах и лазерах, горения в жидкостно-реактивных двигателях, замедления нейтронов и т.д.

В процессе развития методов анализа детерминированных систем с последействием возник интерес к стохастическим ФДУ разных типов [1, 5, 7-9], с помощью которых могут исследоваться новые эффекты (например, разрушение или формирование колебательных движений). Но анализ таких систем затруднен. Это привело к тому, что до последнего времени попытки анализа стохастических ФДУ ограничиваются качественными исследованиями поиска условий существования решения и устойчивости.

Среди приближенных методов следует отметить технику перехода от немарковских систем с малыми запаздыванием т (в том числе переменным и случайным) или памятью с помощью метода усреднения к марковским системам без запаздывания. Конечно, нельзя забывать и о прямом численном интегрировании стохастических ФДУ [9]. При этом даже алгоритм основного метода простейшей схемы Эйлера-Мару ямы

с постоянным шагом» приводящий к значительным объемам расчетов, существенно сложнее своего аналога, предназначенного для анализа стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) без запаздывания [10].

Среди стохастических ФДУ можно выделить класс линейных и нелинейных СДУ с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями. Детерминированные аналоги таких уравнений могут принимать форму как обыкновенных дифференциальных, так и дифференциальных уравнений в частных производных [11], а использоваться при моделировании различных процессов в электрических цепях и химических реакторах [12], для регулирования соотношения глюкоза - инсулин при диабете [14] и др. Основными задачами анализа подобных детерминированных систем являются поиск критериев существования решения и оценка устойчивости как самих решений этих уравнений, так и схем их численного интегрирования. Отметим, что основными приближенными методами в этой области являются конечно-разностные процедуры, различные варианты методов Рунгс-Кутты, трапеций, коллокаций [11,13] и др. Алгоритмы же численного или приближенного аналитического интегрирования стохастических систем рассматриваемой структуры развиты недостаточно.

В ряде наших предыдущих работ была предложена схема, сочетающая классический метод тагов и расширение фазового пространства (МШРФП), в приложении к исследованию стохастических систем с постоянным запаздыванием [15-18]. Ниже рассматривается методика исследования линейных стохастических систем с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями, основанная на модификации указанной схемы.

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) Стратоиовича с конечными сосредоточенными г > 0 и распределенными запаздываниями следующего вида:

йХ(г)= [р(*);г(*) + одх(*-т)+

+

t

Q(t) I Х(в) dQ + c(í)j dt+ í1)

í —T

+ Н(£) о (1\У (£), t>tl- ¿о + т,

где X € Мг' - фазовый вектор; ТУ £ К7П

- вектор независимых случайных стандартных винеровских процессов: М[1У(£)] = 0,

М[ИЧ*і) \УТ&)} = Етіп(*і,*2); Т и М[-] -символы транспонирования матрицы и математического ожидания соответственно, Е - единичная матрица.

Будем считать, что на интервале (¿сь ¿і] фазовый вектор X (£) удовлетворяет системе СДУ без запаздывания

dX (t) = Р*(t) X(t) dt + с,(t) dt+

+ H*(í)odW(í), X(íf)) = X„,

(2)

причем в уравнениях (1) и (2) P(t), R(£), Q(i). H(t), Р0(г), H0(t) и с(£), Со(£) - известные непрерывные матрицы- и вектор-функции. Кроме того, предположим, что известны все необходимые числовые характеристики случайного вектора X*. В частности, пусть в начальный момент времени ¿о Для вектора X заданы вектор математических ожиданий то = М[Х*] и ковариационная матрица Со = М [(X* — т*)(Х* — т*)Т].

Задачей исследования является построение систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания для компонентов вектора средних m(t) = M[X(t)] и ковариационной матрицы C(t) = M[(X(i) — m(t))(x(t) — m(t))T] фазового вектора X при любом t > to-

2. Метод исследования

Как и в предыдущих наших работах, для того чтобы получить СДУ без запаздывания, применим сочетание метода расширения фазового пространства и метода шагов.

Рассмотрим равномерную временную сетку tq = ¿о + Я ■ т, q = 1, 2, ..., N, ... и введем новую временную переменную s, изменяющуюся на промежутке [0,т], а также следующие обозначения:

Sg — S —1" tq — 1 > Дд (^ç— 1 ' ^<7] >

Xg(«) = X(s,)f Х,(0) = Хв-і(т), Wq{8)=W{sq), Wg(0) = Wg.1(r),

V„(s) = J X,(9)cte,

Y,(s) = Y, = 2,

COl(di, (¿2. ...,4-ь4) = {¿¿11, ¿¿12» din, ■■■!

db-i,i,db-i,2...4-і,лі4ь42і ■■■•dbn}T.

Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов) Aq.

На сегменте А\ систему СДУ /у)я вектора

- гх{з) = со1(У1(б'),Х1(5). УЦа)) представим в виде

¿У 1(5)= о, 1^(0) = Х„

= ^Р*(5х) Х^в) + С*(51)| £¿5+

+ Н,(з1)ойТУ1(5), Х1(0) = Х*,

сгу1(в) = х1(в)осгв, У!(о) = о.

(3)

Определенный на полуинтервалах Д1 и До вектор ^2(5) = Со1(^^(5),^2(5)), где г2{з) = Со1(У2(б’), Х2(в), ^(з)), будет удовлетворять системе СДУ (3), к которой добавлены уравнения следующего вида;

(¿У2(5) = 0, У2(0) = Уі(т),

йХ2{з) = [Р(в2) Х2(в) + Р(а2) X] (в) + + Р(52){У2(5)-^і(5) + У2(5)} + + с(б’2)| (¿5 + Н(б'2) о сШ^б’),

Ха(0) = Х1(т).

(1У2(8) = X зносів, У2{ 0) = 0.

(4)

Здесь учтено, что для £ є (¿1, £2]

І І1 і I Х(0)сЮ= У X (0) <¿0 + ІХ{0)М =

І — Т

і—т

іі г — т г

= J Х(0)гі0- І Х(9)<Ю + ІХ{в)ё,9 =

а з

= Уі(т)- ІХі(9)<Ю + ІX2(9)М =

= У2(*)- Уі(в) + У2(в).

Обозначая через Z^(s) вектор со1(Удг(б’), Х/у ($), У л^і')) и продолжая подобным образом и далее, находим, что вектор £^(з) = со1(^^_1(5), Ялг(з)), представляющий поведение фазового вектора X(£) на сегментах А\, А2, Ддг, будет решением системы СДУ, полученной добавлением к уравнениям для вектора

уравнений следующего вида:

(¡Уф) = 0, У ^(0) — V л/_1 (т),

(ІХ к (в) = ^Р(влг) X N (в) + ^¿л/) Х/у-і(«) + + СІМ {У*(*) - ^лг-і(в) + Уц(а)} + + с(влг)] йв + Н(влг) ° <1\Уи{з),

Хдг(О) = Хн-і(т), сіУм(з) = Хи{з)о(із, Удг(О) = 0,

(5)

Итак, получена цепочка систем линейных СДУ для расширенных фазовых векторов Z^ 1. Z2, ..., г%, ... увеличивающейся размерности и подобной структуры без запаздывания, для дальнейшего исследования которой можно применить стандартные для данного класса уравнений методы [19].

3. Уравнения для моментных функций

В частности, построенную последовательность систем линейных СДУ без запаздывания можно использовать для получения новой цепочки уравнений - ОДУ для первых моментов (математических ожиданий и ковариационных матриц) векторов Z^, Z1¡L, Z'¡^, ... Несложно

увидеть, что для любого Z^, к = 1, 2, ...

структуры соответствующих систем ОДУ будут иметь вид

™к(3) = Р*(*)™*(5) + С*<>), (б)

С+(з) = П(з)СЇ{е) + [р?(5)С,+ (5)]Т+

+ И£(»)Н+7'(5).

где

(7)

м[. г+]=со1(тг 1 т2з, ...

M[(Zfc-mJfe)(Z А: - ГПк)Т] =

^гіг2 С 1

’Л ^2222

с с

- С0І(тгі(5),т,;2(5),ГГгга («».

Сі] 11 і 12 ^-’1] 1.4

£¿7 21 Сі у 22 Сіу23

Сф\ С-іу 32 Су'із _

Также несложно увидеть, что матрицы (»), Н+(б') и вектор с+(а) имеют блочную

структуру, которая формируется следующим образом:

Н +{8) =

Р+(5)=Рц(5) =

и+(5) = еп(5) =

С+О?) = Сі(в) =

Р + (,) =

Р22(5) =

Р+(в) Р+2

Р22(й)

ООО

ОЫ Р(з2) ом О Е 0

ООО

ООО

ООО

21

0 0 о

о Р(52) -Р(в2)

0 0 о

Н£(в) =

Н22(5) —

Н+(5) о 0 Н22(л’)

о о о '

О Н(5о) о ООО

<Г(«)

о

Фг)

о

ЇОО =

Р/гк(з) ~

К-М К-х,к

К.к-і Р«М

ООО

ОМ ?М ОМ

О Е О

К-1,Ь =

Кь-1

ООО 0 Нфі) 0 ООО

о

с* («О о

' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ’

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 о 0 0 0 0 0 0 0 0

• 0 0 0

0 0 о -<ЗЫ

0 0 0

Г Шк-М 0

о Н**(в)

0 ' ' 0 0 0 '

0 Шкк(в) = 0 ны 0

0 0 0 0

1 Г 4-М 1

**(*) = 0 фк)

0

Теперь определим вид начальных условий для построенных ОДУ:

т^ (0) = ті (0) =

т0

т0

0

с+(о) = с1(о) =

ГЛо^О) =

Со Со 0

Со Со 0

0 0 0

т\ (0) ягіз(т) гпі2(т) 0

С2+( 0) =

СП 0) С 21

С12

С±;

с+ - с+Т = 12 — 21 —

Г+ — и22 —

Сцзз(т) Сцз2(т) 0 Сц2з(г) ^1122 (т) 0 0 0 0

771+ (0) =

™*-і(°)

т^-1,з(т)

тк-і,2(т)

О

С,+(0) =

1(®) ^Л-1,5

^2,к-1

Г+

4—1,2

-С+Т =

— 2, А;—1

Сі,к-і,із{т)

СіЛ-і.із(т)

О

Сі,л_і,зз(т) Сі,к- 1,2з(т)

о

Сціз(т) Сці2(т) О

^111з(т) Сці2(т) О

О 0 0

С\,к-\,12(т)

Сі,Д:_1,12(т)

О

Сі,*_1,32(т)

Сі,к_і,22(т)

О

С/с-2,/с-1,Зз(т) С*_2,А!_1,32(т) О

<^А:—2.А;—1,2з(т*) 2, А,—1,22 (т) О

О 0 0

об

С+ -kk —

Ck-l,k-l,33{T) Ск-1,к-1,32(7') О

Ск-1,к-1,2з{т) О

О о

о

В связи с тем что вектор тгк(з) и матрица Сгкгк($) являются блоками вектора т£(з) и матрицы соответственно, достаточно вы-

числить только последние, а затем выбрать их необходимые элементы.

Заключение

В работе представлена схема исследования линейных стохастических систем с ограниченными распределенными и постоянными сосредоточенными запаздываниями. В отличие от известных методов [20] изложенная схема не предполагает предварительного изменения уравнений исследуемого объекта с целью исключения запаздывания или разработки специальных интеграторов. Точность расчетов полностью определяется погрешностью применяемых стандартных процедур численного решения систем ОДУ, причем ошибка метода отсутствует.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматул-лина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

4. Рубапик В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 288 с.

5. Элъсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

6. Етеих Т. Applied delay differential equations. N.Y.: Springer-Verlag, 2009. 204 p.

7. Рубапик В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во "Университетское", 1985. 143 с.

8. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

9. Kushner H.J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhau-ser, 2008. XIX, 281 p.

10. Baker C.T.H., Buchwar E. Exponential stability in p-th mean of solutions, and of convergent Euler-type solutions, of stochastic delay differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2005. Vol. 184, № 2. P.404-427.

11. Huang C., Vandeuialle S. An analysis of delay-dependent stability for ordinary and partial differential equations with fixed and distributed delays // SIAM Journal of Scientific Computations. 2004. Vol.25, № 5. P. 1608-1632.

12. Xu Y., Zhao J.J., Sui Z.N. Stability anabasis of 0-methods for neutral multidelay integro-differential system // Discrete Dynamics in Nature and Society. 2007. Vol.2007. Article ID 42540. 8 p.

13. Huang C., Vandewalle S. Stability of Run-ge-Kutta-Pouzet methods for Volterra integro-dif-ferential equations with delays // Frontiers of Mathematics in China. 2009. Vol.4, № 1. P.63-87.

14. Makroglou A., Li J., Kuang Y. Mathematical models and software tools for the glucose-insulin regulatory system and diabetes: an overview // Applied Numerical Mathematics. 2006. Vol.56. P. 559-573.

15. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. № 9. С.58-73.

16. Полосков И.Е. Движение транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания // Математическое моделирование. 2005. Т.17, № 3. С.3-14.

17. Полосков И.Е. Компьютерное моделирование динамики загрязнения бассейна реки с учетом запаздывания и случайных факторов // Вычислительные технологии. 2005. Т.10, № 1. С.103-115.

18. Malanin V.V., Poloskov I.E. About some schemes of study for systems with different forms of time aftereffect // Proc. of the IUTAM Symposium 011 Nonlinear Stochastic Dynamics and Control (Hangzhou, China, May 10-14, 2010) / eds. W.Q.Zhu, Y.K.Lin, G.C.Cai. IUTAM Bookseries, Vol.29. Dordrecht: Springer, 2011. P.55-64.

19. Маланип В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах: учеб. пособие. Ижевск: РХД, 2005. 296 с.

20. Elbeyli О.. Sun J.Q., Unal G. A semi-discretization method for delayed stochastic systems / / Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2005. Vol.10, № 1. P.85-94.

M.E.IIojiocKoe

An application of the MSEPS scheme for an analysis of linear stochastic systems with finite lumped and distributed delays

I. E. Poloskov

Perm State National Research University, 614990, Perm, Bukirev st., 15 polosk@psu.ru; (342) 2396560

In the paper, a problem of derivation of ordinary differential equations for the first moment functions of the phase vector for linear stochastic differential system with the special forms of delays, notably with finite lumped and distributed lags, is considered. The technique combining the classic method of steps and the scheme of phase space extension successively being developed by the author is used to derive a chain of stochastic differential equations without delays and equations for required moment functions too.

Key words: stochastic analysis; linear dynamic system; delay; phase vector; moment functions.