Построение решения задачи о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕПЛА В НЕОДНОРОДНОМ МАТЕРИАЛЕ С ТРЕЩИНОЙ

Е. А. Логинова

Воронежский государственный университет, аспирант, vangog2007@list.ru

Введение. Последнее время анализ трещин на границе становится одной из передовых отраслей механики разрушений. Рассмотренная нами в работе задача основана на модели, предложенной в [1], где исследовалась задача о трещине, ортогональной границе в структуре двух bi-FGM. При этом решаемая нами задача является логическим продолжением рассмотренной нами ранее о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной [2]. Построены тепловые потенциалы и решение задачи, изучены их свойства. Получены асимптотики решения и его производных по расстоянию до концов трещины, по времени, а также двойные асимптотики по времени и расстоянию до концов трещины.

Основная часть. В работе изучается нестационарное уравнение теплопроводности, которое имеет вид

~f(x)p(x)—7-——- = div(A;(x) • grad и(х, t)) + Fix, t). at

Здесь p(x)—плотность, -j(x)—теплоемкость вещества, k(x)—коэффициент внутренней теплопроводности вещества. Будем считать, что для изучаемого материала справедливы следующие представления этих коэффициентов: р(х)^/(х) = GоекХ2, к(х) = a?GoekX2. Это соответствует ситуации, когда вектор направления изменения неоднородности направлен вдоль оси Ох2. Предположим также, что в материале нет внутренних источников тепла, т.е. F{x,t) = 0. Областью, в которой рассматривается данное уравнение, будем считать плоскость Ох\хi с разрезом I = {х\ хч = ±0; х\ (Е [—1; 1]}, что моделирует наличие трещины, проходящей по отрезку [—1; 1] оси абсцисс, параметр t € [0, +оо) представляет собой время.

После несложных преобразований рассматриваемое уравнение можно переписать в виде

ди 2 (d2u{xi, X2,t) d2u{xi,x2,t) du{x\,x2,t)\ ...

т~а {—-+ —Щ— + J=(I (1)

Искомая функция u{x\,x2,t)—это температура в точке материала с координатами {х\,х2,t), а — коэффициент теплопроводности. Граничные условия заданы следующим образом:

и[х 1, +0, t) — и[х 1, —0, t) = qo(xi, t),

d^'+M + ku{ +Q ) _ du(Xl -0,t) _ =

OX2 OX2

x\ G [—1; 1], 0.

© E. А. Логинова, 2012

Первое из условий (2) описывает разность между температурами верхнего и нижнего берегов трещины, а второе — разность между тепловыми потоками через эти берега. Таким образом, рассматриваемая задача в некотором смысле подобна задаче трансмиссии, несмотря на «вырожденный» характер границы.

Начальное условие имеет вид

и{х 1, Х2,0) = 0. (3)

Отметим, что задача о стационарном распределении поля температуры с неоднородным коэффициентом внутренней теплопроводности в области, представляющей собой плоскость с разрезом по отрезку, моделирующую неоднородный материал с трещиной в случае, когда направление изменения коэффициента внутренней теплопроводности было перпендикулярно отрезку трещины, рассмотрена автором в работе [2]. Было построено решение задачи, выражающееся через функции Макдональда, доказано выполнение граничных условий, а также показано, что решение задачи является непрерывной ограниченной функцией аргументов х\, хч ^ где I—отрезок [—1; 1] оси абсцисс, и построены асимптотики теплового потока ди/дх2 при хч —>■ 0, х\ —)■ ±1. Приведем сжатую формулировку результатов работы [2].

Рассмотренная задача имела вид

д2 и(х 1, Ж2) д2 и(х 1,Ж2) ди(х\,х2)

5 2 ' 5 2 ^ 5 '

Ох\ ОХ 2 0X2

и(х 1, +0) - и(х 1, -0) = <7о(ж1),

+ Ыхи +0) - ^^ - ихи -0) = *1 € [-1; 1].

0X2 2 0X2 2

Для этой задачи было построено явное представление решения

и = е

1

27Г

1

J Ко - °"1)2 + 91 (^1) +

-1

1

1К1 /жНГж21_(Т1)2-^ ^

к

показано, что решение задачи является непрерывной ограниченной функцией аргументов Ж1, Ж2 ^ /, где I — отрезок [—1,1] оси абсцисс, и построена асимптотика производной решения

ди _ е-к12х2 дх2 27Г

± 1п((1 - Ж!)2 + ж2Ш1) - \ 1п((-1 - Ж!)2 + ж2Ш-1)

- Д(ж1,ж2)

при Ж2 —>■ 0, Ж1 —> ±1. Здесь функция Д(ж1,ж2) равномерно ограничена при Ж2 —> 0, XI е [-1,1].

Целью данной работы является построение решения при различных ограничениях на функции </о(ж1,£), </1(ж1,£), фигурирующие в граничных условиях (2), изучение двойных асимптотик решения и{х\, Ж2, и его частных производных ди{х\,х2, Ь)/дхг, где г = 1,2, при Ь —>■ оо, Ж2 —> +0, х\ —> ±1, т.е. стабилизации распределения тепла

в окрестностях концов трещины, а также построение асимптотических разложений решения и[х 1,Ж2,£) и его частных производных ди{х\,х2,1)/дхг, где г = 1,2, при Х2 —> +0, х\ —> ±1 в каждый фиксированный момент Ь > 0.

С целью построения решения задача (1)—(3) сводится нами к обобщенной задаче Коши в пространстве К3, для чего используется специализированная дельта-функция, введенная в [2]. Конечно, изучается гладкость решения и выполнение краевых и начального условий. Вид (2) краевых условий диктуется геометрией области; он описывает скачок температуры и теплового потока при переходе через берега трещины. В работе удалось показать, что при Ь —> оо, Х2 —> +0, х\ —)■ ±1 решение задачи стабилизируется на стационарное распределение тепла в окрестности трещины.

Подробная историческая справка об исследовании температурных полей в окрестностях трещин приведена в работе [2].

В работе используются функции Макдональда Кп(х) (п = 0,1, 2), подробно рассмотренные в [3]. А также вводятся функции qiC•I(o^), ¿ = 0,1.

Условие 1. Существует N > 0, такое что при Ь > N справедливо представление qi(x,t) = дгСТ(х), г = 0, 1.

Определение 1. Специализированной дельта-функцией назовем такую функцию <$[_1; у ж £ П'(Ш2), что для функции г/(ж1,ж2), которая непрерывна при всех Ж1,Ж2 £ М а на отрезке ж £ I может иметь разрыв, причем г/(ж1,ж2) —> г/+(жх) при Ж2 —>• +0, г/(ж1,ж2) —>• г/_(жх) при Ж2 —>• —0, где х\ £ [—1; 1], функция г/+(жх) — г/_(ж1) непрерывна на отрезке [—1; 1], и при любой функции ^р £ £>(М2) справедливо равенство

1

= J-г/_(ж1))((5(ж2),^(ж1,ж2))йж1,

-1

где 5{х2) — дельта-функция Дирака.

Определение 2. Классом функций М называется класс таких функций, которые обращаются в ноль при 4 < 0 и ограничены в каждой полосе 0 ^ Ь ^ Т [4]. Утверждение 1. Фундаментальным решением оператора

— - а2 [ А- к— дЬ \ дх2

в К3 является функция

Е(ж, ¿) = ехр[—ж? - (а2Ьк + ж2)2],

АттаЧ

где в{€) — тета-функция Хэвисайда. Фундаментальное решение данного оператора построено на основе фундаментального решения однородного оператора теплопроводности (см. [4]).

Обобщенная задача Коши для задачи (1)-(3) имеет вид

ди 2 ( \ т 2 / N г / N 2 / \ <^[-1'1](ж)

— -а ¡Au + k-^—j=-aq1{x1,t)■д[_1.1]{x)-aqo{x1,t)---, (4)

где </1(ж1, </о(ж1, £ П'(Ш2) и предполагаются продолженными нулем на Ь < 0.

Ее решение может быть записано в виде свертки фундаментального решения со слагаемыми правой части. В результате имеем следующее

Утверждение 2. Пусть <71(ж1,4), <7о(ж1,4) £ М. Тогда решение обобщенной задачи Коши (4) можно записать в виде

и(х 1,ж2,4) = £/1(3:1, + £/о(ж1,ж2,4),

где, следуя классической терминологии, будем говорить, что С/1(ж1,ж2,4) = _Е(ж1,ж2^) * <?1(ж1,¿)<5[_1;1]—поверхностный тепловой потенциал простого слоя; ?Уо(ж1,Ж2,4) = -Е(ж1,ж2,£) * 9</о(ж1,¿)<5[_1;1]/9ж2—поверхностный тепловой потенциал двойного слоя; ¿?(ж1,ж2,4)—решение уравнения (<9/<94 — а? (Д + кд/дх2)) (Е) = <5(ж1,ж2,£).

В следующих двух утверждениях сформулированы свойства тепловых потенциалов.

Утверждение 3. Пусть <71 (ж1,4) £ 1; 1] х [0; оо)). Тогда при 4 > 0 поверх-

ностный тепловой потенциал простого слоя представим в виде

г 1

и1(х1,х2^) = ! ^ J ехр

-(ж! -сг)2 - (а2г/г + ж2)2"

-- • <71 (а, ъ — т) аа ат,

4 сгт

о -1

и при Ж1 (Е ( — 1; 1) выполнены граничные условия

дЦ^хи+О^) , , ¿^1,-0,4)

-—--Ь к ■ и1{х1, +0,4)--—--к ■ и1{х1, -0,4) = <71(жь4)

и1(х1, + о,г) - и1(х1, -0,4) = 0.

Если дополнительно потребовать, чтобы <71 (±1,4) = 0, то граничные условия выполняются в точках XI = ±1 по непрерывности. Кроме того, С/ 1(ж1,ж2,4) £ С°° {х\,х2 £ х 4 £ [0, оо)). Также выполнено начальное условие

£/1(жьж2,0) = 0.

Пусть выполнено условие 1, в котором функция <7гСт(ж1) непрерывна по х\ £ [—1; 1]. При достаточно больших значениях 4 (4 > И) поверхностный тепловой потенциал простого слоя можно записать в виде V 1(ж1,ж2,4) = V 1ст(ж1,ж2) + <51(ж1,Ж2,4), где

е-к/2Х2 Г / £ !-\

и1ст(х1,х2) =--—— / К0 ( 2\/(ж1 ~а)2 +х2 ) Ист(о-) ¿а,

-1

а функция <51(ж1,ж2,4) удовлетворяет следующим условиям:

1) для любого компакта К £ К2 найдется постоянная с(К) > 0, такая что при 4 —>• оо и ж £ К справедлива оценка |<51(ж1,Ж2,4)| ^

2) при х\ £ ( — 1; 1) выполнены условия

эд1(жь+о,4) эд1(жь -0,4)

----дх~2----+ ' ~ ^н^ь = °>

д1(жь+о,4) -д1(жь-о,4) = о.

Функция и 1ст(ж1,ж2) удовлетворяет следующим граничным условиям: ди1ст(хи+0) дЦ1ст(хи -0)

-Я---Я--Ь /г([/1СТ(жь +0) - (71СТ(ж1, -0,)) = <71СТ(ж1),

С/Х2 С/Х2

£/1ст(жь +0) - [/1СТ(жь -0) = 0.

Сведения о граничных значениях функций ?У1СТ(Ж1,Ж2) и <31(ж1,ж2,4) позволяют утверждать, что поверхностный тепловой потенциал простого слоя ?71(ж1,ж2,4) удовлетворяет следующим граничным условиям

жь+о,4) ди\(х1, -о,г) --------\-к- {и1{ жь+0,4) - [/1(Ж1, -0,4)) =(?1СТ(Ж1),

С/Х2 С/Х2

[/!(Жь+0,4) -[/!(Жь-0,4) = 0, Ж! е (-1; 1).

Если дополнительно потребовать, чтобы </1СТ(±1) = 0, то последние условия выполняются в точках Ж1 = ±1 по непрерывности.

Утверждение 4. Пусть </о(ж1,4) € 1,1] х [0, оо)). Тогда при 4 > 0 поверх-

ностный тепловой потенциал двойного слоя представим в виде

г 1

1 [а2тк + ж2 [ г-(ж1 - а)2 - (а2тк + ж2)2 . ...

[/0(ж1,ж2,4) = — / -5-5— / ехр-—- • 4 - т)<1а<1т,

В7Г у а/т^ у 4а/т

о -1

и при Ж1 (Е ( — 1; 1) выполнены граничные условия

[/0(ж1,+0) - [/0(жь -0) = д0(ж1,4),

+ Шо(жь +0,4) - _ ш0(жь -0,4) = 0.

ОХ2 о Ж2

Если дополнительно потребовать, чтобы </о(±1,4) = 0, то граничное условие

+ А • ^(жь +0,4) - _ * . ио{хи _0,4) = 0

о Ж2 с?Ж2

выполняется в точках жх = ±1 в смысле главного значения, а условие ?Уо(ж1, +0,4) — ?7о(ж1, —0,4) = </о(ж1,4) выполняется по непрерывности. При более строгом требовании </¿(±1,4) = 0 условия выполняются в точках х\ = ±1 по непрерывности. Кроме того, ?Уо(ж1,Ж2,4) £ С°°(Ж1,Ж2 €= И2\/ х 4 (Е [0, оо)). Также выполнено начальное условие [/0(ж1,+0, 0) =0.

Пусть выполнено условие 1, в котором функция </оСт(ж1) непрерывна по х\ £ [—1; 1]. При достаточно больших значениях 4 (4 > И) поверхностный тепловой потенциал двойного слоя можно записать в виде ?Уо(ж1,Ж2,4) = £/0ст(ж1,Ж2) + <5о(ж1,Ж2,4), где

1

Г / к /-\

и0ст(жьж2) = ——— / Ко ( -у(ж! - о-)2 +ж| 1 Одст(о-)

-1

,г 1 _

а функция <5о(ж1,Ж2,4) удовлетворяет следующим условиям: 44

1) для любого компакта К £ Ш2 найдется постоянная с(К) > 0 такая, что при 4 —> оо и х (Е К справедлива оценка |до(а:1, ж2,4)| ^ е-с{к)г.

2) при х\ (Е ( — 1; 1) выполнены условия д<Зо(хи+о,г) д(Эо(хи-о,г)

+ /г(<Эо(х1,+0,*) -д0(жь-0,4)) = 0,

дх2 дх2

д0(хь+о,4) -д0(хь-о,4) = 0.

Функция иост{х1,Х2) удовлетворяет следующим граничным условиям: д£/0ст(жь+0) дЦ0ст(х ь-0)

----да^--/г(£/ост(жь +0) - (7ост(жь -0)) = 0,

Щст(х1, +0) - С/0ст(ж1, -0) = ОДст(»•

Сведения о граничных значениях функций С/ост^ь жг) и до(ж1,ж2,4) позволяют утверждать, что поверхностный тепловой потенциал двойного слоя £/о(ж1, ж2,4) удовлетворяет следующим граничным условиям:

-да^---да^--Ь/г(£/0(ж1,+0,4) - С/0(ж1,-0,4)) =0,

г7о(жь+0,4) - £/0(ж1, -0,4) = q0cт(xl), х1 € (-1; 1). Если дополнительно потребовать, чтобы </ост(±1) = 0, то условие ди0(х 1,+0,4) ди0(х1г-0,г)

дх2 дх2

+ к(и0(хи+о,г) -г70(жь-о,4)) = 0

выполняется в точках х\ = ±1 в смысле главного значения. При более строгом требовании (/¿ст(±1) = 0 последние условия выполняются в точках х\ = ±1 по непрерывности.

Доказательства основаны на оценках интегральных представлений потенциалов, приведении отдельных компонентов решения к рассмотренному ранее виду (см. [2]) путем последовательного выделения непрерывных частей решения и использовании явных представлений поверхностных тепловых потенциалов.

Следующее утверждение позволяет на основе утверждений 3 и 4 сформулировать свойства гладкости решения исходной задачи (1)-(3).

Утверждение 5. В условиях утверждений 3 и 4 решение исходной задачи единственно в Ь2(М2 х (0; оо)) и при 4 > 0 имеет вид

г 1

1 [ а2тк + Х2 [

о -1

г 1 \ ( \ (

ехр

— (х-1 — а)2 — (а2тк + ж2^2

^ } т }

о -1

4а2т

— (х-1 — а)2 — (а2тк + ж2)2

до (<т, 4 — г) (¿а ¿т—

■ (/1 (<т, 4 — т) ¿а ¿т. (5)

4а2т

При достаточно больших значениях 4 (т. е. 4 —> оо) решение можно записать в виде

е 2

£/(жьж2,4) = ^ / (тл - а)2 + ) (?1ст(о")

/ге 25 47Г

47Г

-1

/г 2

Ко \-\1 (Ж1 ~ °")2 + ж2 ) 90ст(о-) <¿7+

( ТТ\/(Ж1 ~СГ)2 +ж2 ) Фст(сг)

ж2

(¿<7+

-/(ж! -сг)2 + ж|

+<Э(ехр[-С1 -4]).

Здесь оценка |0(ехр[—с\ ^ сое~С1г справедлива с постоянными С1,С0, не зависящими от Ж1,Ж2, где Ж2 принадлежит любому компакту К. Функция и(Ж1,Ж2,4) принадлежит пространству С°°(Ж2 €Е М2\/ х 4 € [0, оо)).

Утверждение 6. Пусть 4 —> оо. Тогда решение задачи (1)-(3) есть непрерывная ограниченная функция аргументов Ж2 €Е И2\/, нормальный тепловой поток ди/дх2 имеет асимптотическое представление

ди е 2х дх2 27Г

-^^<?0ст(1) " (1+ж1)2+ж2<?0ст("1)+

(1 — жх)2 + х\

+11п((1 - Ж!)2 + ж2)^ст(1) - 11п((-1 - Ж!)2 + ж2)^ст(-1)

Д1(жьж2).

Тепловой поток ди/дх\ имеет асимптотическое представление

ди е 2 дх\

47Г

2ж2

к к

-1п((1 - Ж!)2 +Ж^)фст(1) - -1п((1 +жх)2 +Ж^)ОДст(-1)-

(1 — Жх)2 + х\

<70ст(1)

2ж2

гФст(-1) -1п((1 -Ж1)2 +х22)д1ст(1)+

(1 + Ж1)2 +х!

+ 1п((1+Ж!)2 +ж^1ст(-1)] + Д2(жьж2).

Здесь функции 1?1(ж1,ж2), Й2(ж1,Ж2) равномерно ограничены при Ж2 —> +0, х\ (Е [-!;!]•

Пусть 4 > 0. Тогда решение задачи (1)-(3) есть непрерывная ограниченная функция аргументов Ж1,Ж2 €Е И2\/, 4 > 0, нормальный тепловой поток ди/дх2 при Ж2 —> +0, жх (Е [—1; 1] имеет асимптотическое представление

ди е 2х дх2 27Г

(1 — Ж1)2 + х\

+ 1 1п((1 - Ж!)2 + ж2)^(1,1) - 11п((-1 - Ж!)2 + ж2Ш-1,1)

+ Д3(жьЖ2,4).

Тепловой поток ди/дх\ при Ж2 —> +0, х\ (Е [—1; 1] имеет асимптотическое представ-46

ление

ди е 2х дх\ An

2Х2 , N 2x2

'(í-x.r+xl40^ + Jí+^W^I

-ln((l -хл)2 +x22)q1(l,t) + \n((l+x1)2 + xl)qi(-l,t) +

Ь RA(xi,X2),

+ ^ln((l -X!)2 +x2)q0{l,t) - ^ln((l +Xl)2 + x2)q0{-l,t)

Здесь функции X2, t), R±{x\,x2,t) равномерно ограничены при X2 —> +0, x\ (E

[-!;!]•

Литература

1. Ы Y.-D., Lee K. Y. An anti-plane crack perpendicular to the weak/microdiscontinuous interface in a bi-FGM structure with exponential and linear non-homogeneities // Int. J. Fract. Vol. 146. 2007. P. 203-211.

2. Глушко А. В., Логинова E. А. Асимптотические свойства решения задачи о стационарном распределении тепла в неоднородной плоскости с трещиной // Вестник ВГУ. Серия Математика. Физика. 2010. №2. С. 47-50.

3. Ватсон Г. Н. Теория Бесселевых функций. М.: Издательство иностранной литературы, 1949. 875 с.

4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 4-е изд. перераб. и доп. М.: Наука, 1981. 512 с.

Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.