Плоские задачи о сосредоточенных силах для полулинейного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3+517.5

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 3

В. М. Мальков, Ю. В. Малькова

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ О СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛАХ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА

Введение. Плоская нелинейная задача о сосредоточенной силе для полулинейного материала рассматривалась в работах [1, 2]. В них было принято основополагающее предположение, что оси полярной системы координат совпадают с главными осями деформации. В линейной задаче (задача Фламана-Мичела) это условие выполняется. В настоящей статье указанная гипотеза не используется. Следует отметить, что в литературе мало работ, посвященных решению задач о сосредоточенных нагрузках на основе полностью нелинейных уравнений теории упругости, и полученные результаты имеют важное значение для теории и приложений. Модель полулинейного материала рассматривалась рядом авторов, например А. И. Лурье [3], К. Ф. Черныхом [4] и др. Преимуществом модели материала является то, что она относится к классу гармонических материалов, это позволило применить на определенном этапе решения плоских задач методы теории комплексных функций. В случае малых деформаций модель приводит к закону Гука.

Плоская деформация. Уравнения обобщенной плоской деформации и плоского напряженного состояния для полулинейного материала представлены в работе [5]. Записанные в декартовой и цилиндрической системах координат, они используются здесь для решения задач о сосредоточенных силах.

Базисы векторов декартовых Xi, i = 1, 2, 3, и цилиндрических (т,0,хз) координат отсчетной конфигурации обозначим ei и (er, eg, ез) соответственно. Для обобщенной плоской деформации декартовы координаты точек тела отсчетной xi и текущей & конфигураций удовлетворяют соотношениям

& = £i(xi,X2), i = 1,2, £з = X3A3, (1)

в которых A3 = const - кратность удлинения в поперечном направлении хз.

Градиент деформации G = gaß eaeß и обратный к нему тензор имеют вид [6]

G = giieiei + gi2eie2 + g2ie2ei + g22e2e2 + A3e3e3,

JG_i = A3(g22eiei - gi2eie2 - g2ie2ei + giie2e2) + K3e3e3,

где gij = d&i/dxj, i,j = 1, 2, 3; K3 = giig22 - gi2g2i; J = det G = A3K3.

На параллельных плоскостях X3 = const отсутствуют поперечные сдвиги и касательные напряжения, т. е. координатная ось X3 является главным направлением деформации.

Рассмотрим уравнения равновесия (при отсутствии объемных сил) для тензора номинальных (условных) напряжений S = saßeaeß и уравнения совместности деформаций для градиента деформации [6]

div S = 0, rotGT = 0. (2)

Мальков Вениамин Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].

Малькова Юлия Вениаминовна — кандидат физико-математических наук, доцент, 199034, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].

© В.М. Мальков, Ю.В. Малькова, 2013

Запишем уравнения (2) в декартовых и полярных координатах в комплексной форме

(«11 + ««12)1 + ¿(«22 - iS21)2 = 0,

(3)

(g22 - ig 12)1 + i(gn + ¿g21)2 = 0; [r(srr + isre)]'r + i(see - iser)'e - (see - iser) = 0,

(4)

[r(gee - igre'% + ¿(grr + iger)'e - (grr + iger) = 0,

штрих и индекс внизу означают частные производные по декартовым (x1 ,Х2) и полярным (r, в) координатам отсчетной конфигурации.

Плоское напряженное состояние. Говорят, что тело находится в состоянии плоского напряженного состояния, если [7]

«33 = «31 = «32 = 0. (5)

Плоское напряженное состояние реализуется, например, в пластине малой толщины. Координаты точек текущей конфигурации зададим в виде (1), где A3 - не константа, а неизвестная функция A3 = A3 (x1,x2). Для рассматриваемой ниже модели материала второе и третье условия (5) выполняются тождественно. Поэтому уравнения (3), (4) применимы в обеих плоских задачах. Первое условие (5), т. е. «33 = 0, служит уравнением для определения функции A3 (x1,x2).

Для градиента деформации и обратного тензора получим следующие выражения, вычисленные по функциям (1), где A3 = A3(x1,x2):

G = gne1e1 + g^e^ + g21e2e1 + g22^2^2 + A3e3e3 + x3(A3_1e3e1 + A3_2e3e2),

J= A3(g22e1e1 - g12e^2 - g21e2e1 + g1^e2) + K3e3e3 + + x3[(A3,2g21 - A3,1g22)e3e1 + (A3,1g12 - A3,2gn)e3e2].

Уравнения в комплексной форме. Введем комплексные переменные отсчетной и текущей конфигураций z = x1 + ix2, Z = £1 + ¿С2 и комплексную функцию напряжений а = <71 + io 2.

Уравнения (3), (4) тождественно удовлетворяются, если подставить в них выраже-

(6)

да да да да

«И + ««12 = я--«22 - ««21 = +

ог ог ог ог

дС^дС , д( д(

911 + «321 = -к- + д22 - гд 12 = д--

ог ог ог ог

да _2,-я да да да

ягг + гяг0 = —--е —, ввв - гв0г = — + е —,

ог ог ог ог

дС . -2гвдС ■ д( -2гвдС

9гг + гдвт = -7- + е —, две ~ гдгв = т.--е —.

ог ог ог ог

Комплексные функции и а(г,г) должны определяться с помощью соотноше-

ний упругости и граничных условий задачи.

Полулинейный материал. Модель гармонического полулинейного материала позволяет рассматривать обе плоские задачи - плоскую деформацию и плоское напряженное состояние. Закон упругости для тензора номинальных (условных) напряжений таков:

S = 2/ GT +[А (tr Л - 3) - 2/] QT, (7)

где А, / - параметры Ляме; Л - тензор кратностей удлинений. Ортогональный тензор Q характеризует поворот элемента среды, для плоской задачи [6]

Q = cos w(eiei + в2в2) - sin w(eie2 - e2ei) + взвз.

Угол поворота ш главных осей в результате деформации вычисляется по формуле

[6]

Отсюда находим

, 921 - 912 s12 - s21

tg ш =---=---. (8)

911 + 922 S11 + S22

д( dz

д( dz

Запишем закон (7) в компонентах тензоров

s 11 + ÍS12 = (А + 2/Х)(911 + Í921) + А(922 - Í912) + к в1'

(9)

(10)

«22 - ««21 = (А + 2/л)(д22 - 1912) + А(дц + ¿921) +квш.

в 13 = 2^аз А3д, «23 = 2^аз АЗ 2, «31 = «32 = 0, «зз = А[(дц + 922+ (921 - 912)в1п^] + к + 2/А3, (11)

к = А(А3 - 3) - 2/.

Выразим напряжения в декартовых и полярных координатах через функцию £(2,2):

дС дС

«и + «12 = 2(Л + м) тг + 2/х + кеш, аг аг

(12)

дС дС «22 " ¿«21 = 2(Л + ц) - 2М + кеш, аг аг

дС дС

■?гг + гвге = 2(А + + 2 + кеш,

аг аг

ввв-гввг=2(Х + ^-2 це-м^ + ке™.

аг аг

Соотношения (10) обратимы относительно деформаций

2/(911 + «921) = (1 - V)(«11 + 1812) - v(«22 - ¿«21) - (1 - 2ь>)квш,

2/(922 - ¿912) = (1 - V)(«22 - ¿«21) - v(«ll + ¿«12) - (1 - 2v)квш,

здесь вш нужно рассматривать как функцию напряжений (8).

Подставив в соотношения (10) выражения (6), получим систему двух уравнений для функций а (г, г) и ( (г, г)

вш

да _ 2 дС

dz dz

Соотношения (8)-(13) справедливы как для плоской деформации, так и для плоского напряженного состояния.

Обобщенная плоская деформация. В этой задаче A3 = const, потому к = A(A3 -3) - 2 а также является константой. Решение уравнений (13) имеет вид

а + 2цС = у (z),

a-2{\ + n)<; = t{z) + f{z,z),

(14)

(15)

где <р (г), ф (г) - аналитические функции комплексной переменной г. Функция / (г, г) есть частное решение уравнения

dz

= квш.

Продифференцируем (14) по переменной z:

да

Правую часть соотношения (17) преобразуем, используя равенства (9) и (13):

дС

dz

2(A + 2M)

д( dz

+ к

eiu = | y'(z)\ eiu.

Выразим угол поворота ш через функцию у'(г) с помощью формулы (18)

y'(z) \ ?'(*

h'(z)

|¥Ф01 f'(z) V f'(z)'

(16)

(17)

(18)

(19)

Из выражения (19) видно, что угол ш является гармонической функцией Д ш = 0. Функция 1п |у'(г)| будет сопряженной для ш. Частное решение уравнения (16)

f(z,z) = к / eiudz = к

/£(z) V>(z)

dz.

Разрешим выражения (14), (15) относительно искомых функций

С =

1

2(A + 2а)

[V{z)-1>{z)-f{z,z)\,

Л + М / ч

О" = - ~ viz)

[1>{z)+f{z,z)\-

A + 2а ' A + 2ц Подставим функции (20), (21) в формулы (6) для напряжений и деформаций:

(20) (21)

e

а

511 + г512 = лТ^ * (z) " ЛТ^ Г(z) + ^

А + М // ч . М ЛттГГ , df \

922 - 1912 = 2(лТад

(23)

Преобразованием формул (22), (23) получим соотношения, которые позволяют в постановке граничных условий и других случаях легко переходить от напряжений к деформациям и наоборот:

«11 + ««12 + 2^(^22 - ig 12) = v'(z),

(24)

«22 - i«21 + 2/л(дп + ig21) = v'(z),

- <9/

Sil + «si2 - 2(A + ц)(д22 ~ W12) = -^'(¿0 - «т;—,

0x2

- df

s22 - ««21 - 2(A + /i)(sii + «321) = Ф'(г) + ä—•

dx1

(25)

Производные функции /(г, г) по декартовым координатам в формулах (22)—(25) даются выражениями

+ д£ = г(д1_д1\ (26) 9ж1 сЬ дг' 8x2 \дг дг) '

дг ^ <р>{г) ¿>¥ 2 (^'(^))3/2

Плоское напряженное состояние. В этой задаче А3 и к являются неизвестными функциями. Из условия «33 =0 и формул (11) находим

1 — V 1 — V дг

к =—2/л—^--Л-—- е

1 - V 1 - V дг

Подставим значение параметра к в уравнения (13):

да _ ^ 1 + г/ ГдС да _ дС

дг 1 — V у дг ) ' дг дг

Уравнения (27) решаются так же, как для плоской деформации:

а + 2/С = р (г), 1 + 1/

а-2И--<; = 4{z)+f{z,z),

1 — ^

где у (г), ф (г) - аналитические функции комплексной переменной г, частное решение /(2,2) удовлетворяет уравнению

дг 1 — V

Формулы (18), (20), (21) переходят в следующие:

<y(z

//.Л 4м

1 + v

5С

dz

-L+ v \ гш i // \ i гш

е = ,

1 - V

с =и*)(*)-/(*,*)],

1 + г/ , N 1 - г/

2 ¥>(*) + — №(*)+/(*,*)]•

Напряжения плоского напряженного состояния в декартовых и полярных координатах запишем через функцию

9 1 + v fdt i(A . дС S22 - «21 = 2/Х-- ---е -2/х—,

1 — V \OZ J OZ

о 1 + v Í д( гЛ,0 -1гвдС

Srr + 1-Sre = ) +

Д+^^С _«Л о.. __-2гв дС

see ~ гввг = 2ц-- Ьг " " 2<"е

1 — i> \oz J oz

Выразим напряжения и деформации через функции y(z): и ф^)

l + v // ч 1 -V (Т77—V ■ df

su + «12 = + г^

1 + ^ //ч 1 - ^ /тттт df

1 is f д J

511+^21 = ^ (^)-^ф)- — j

1 и Í д J

922 - ig\2 = + Ф'{г) + г —

Из этих соотношений следуют равенства

«11 + is 12 + 2^(^22 - igi2) = ¥>'(z), S22 - ÍS21 + 2/j,(gii + ig2i) = ¥>'(z),

«11 + ««12 - 2¡1 ] + l/ (g22 ~ igí2) = -1¡J'{Z) - i-^-, 1 — v dx2

(28)

(29)

«22 - ««21 - 2¡J, ] + l/ {gil + ¿321) = + -J^-.

1 — v dxi

Частные производные функции f(z,z) по декартовым координатам, входящие в выражения (28)—(30), вычисляются по формулам (26), где нужно положить к = —2/(1 +

v)/(1 — v).

Задача о скачках напряжений и деформаций. Рассмотрим двухкомпонентную плоскость со скачками напряжений и деформаций на линии раздела

[«22 — i«2i]+ — [«22 — i«2i] =А s(t), [gil + ig2i]+ — [gil + ig2i ] =A g(t),

(31)

где 4 - координата точки на линии раздела материалов. Функции скачков напряжений Д«(4) и деформаций Ад(4) считаются абсолютно интегрируемыми на любом конечном промежутке и удовлетворяют условию Гёльдера. Символы [...] + и [...]" означают предельные значения выражений в скобках при приближении к линии раздела из верхней 52 и нижней полуплоскостей соответственно. Предполагается, что на бесконечности (при | г\ ^ ж) напряжения и углы поворота равны нулю.

В случае плоской деформации условия (31) запишем с помощью выражений (22), (23), после преобразований получим уравнения [5]

Аг + М2 ,, ч М1 (-г' / ч . / ч

А2 + 2/2

Ai + 2ц

Ai + ц , , . 12

Ai + 2ц 1

2(A2+2M2) 1

¥>i(z) —

A2 + 2/1,2

ih(z) + <iÁz)

A s(t),

V2(z)

1

¥>i(z)

2(Ai +2/i) 1

^l(z) + qi(z)

+42{z)

A g(t).

(32)

_2(Ai + 2цУ iV ' 2(A2 + 2/2) Функции q(z) для соответствующей полуплоскости вычисляются по формуле

q(z) = к

I<p>(Z) i

<p'{z) 2 (Tp>(z))42

j vVM^j .

Предельные значения функций д(г) на линии раздела равны предельным значениям функций д//дх1, которые даны формулами (26).

На основании уравнений (32) введем две комплексные функции, аналитические во всей плоскости, кроме линии раздела материалов:

= ^ ^Ц2 - л М10,, (ф[{2) + 91(2)) > г е

h(z) r(z) =

A2 + 2/2

Ai + 1i / , ч

^l(z) -

Ai + 2/1 1

2(A2+2M2)

^2(z)

Ai + 2/1

M 2 A2 + 2/x2

1

2(Ai + 2/xi)

^2(z) + q2(z^ , z e Si,

(Vi(z) +qi(z)j ,

(33)

+

г (г)

1

■г'Лг)

1

Ф 2^)+42^)), г ев!

2(А1 + 2/л) 2(Л2 + 2^2)

Граничные условия (32) в этих функциях примут вид

[Н(г)]+ - \Н(г)]- = Д 8(1), [г(г)]+ - [г(г)]- = Д д(г).

Таким образом, сформулированы граничные задачи Римана-Гильберта нахождения кусочно голоморфной функции по ее скачку на линии раздела [8]. Решения этих задач, голоморфные на бесконечности, выражаются через интегралы типа Коши

,, ч 1 г Д в (г) ¿г ,, ч , ч 1 г Д д(г) ¿г

1г(г) =-: / -К-— + к(оо), ф) =-: / УК ' +г(оо), (35)

2пг / г — г

2п% / г — г

Н(ж) = —

1 — 2^ 1 — 2v2

-«1 - -Г7--ГК2,

2(1 — VI) 1 2(1 — V2)

(1-2гъ)к2 ,

г(оо) = —777":-—-7 +

к1 (1 — 2^

г( 00) = -—-—7-7 +

к2

2(А2 + 2^) ' 2(А1 + 2^)' 2(А1 + 2/л) 2(А2 + 2^)'

Для параметра г(ж) получили два значения: первое для верхней полуплоскости 52, второе - для нижней 51. Если Аз = 1 (плоская деформация), то

и/ \ I ^2

/1(оо) = ---Ь

1 — V! 1 — V2

Найдем из соотношений (33) комплексные потенциалы у'(г) и ф (г)

¥>2(*) = [ОД + 2мФ)],

А2 + М2 + М1

¥>!(*) = /)+2М1 [ОД + 2М2ф)],

ф1(г) + 91(г)

ф2(г)+Ыг)

А1 + Ц1 + ^2

А1 + 2т А2 + М2 + М1 А2 + 2М2

[—Н(г) + 2(А2 + М2)Ф)], [—^(г) + 2(А1 + М1)Ф)].

(36)

А1 + + Ц2

Задача о скачках для плоского напряженного состояния решается аналогично. В уравнениях (31) напряжения и деформации нужно заменить выражениями (28), (29), после преобразований получим

1 + ^2 ,, ,

о УгО*) -

1 — Vl

ф1(г) + 91(г)

1 + // ч 1 - "2 (-Г> , Л . 1 ч о УФ)--ф2(^)+92(г)

1 %ф)+1-Л (^М + '/Ф)

4^2

4м

= Д в (г),

+

(37)

+

1 %;(,) +

= Д д(4).

4ц 4ц

Введем две комплексные функции, аналитические всюду, кроме линии раздела:

Ф) = 1 ^(¿О - 2Щ (ф'Л*) + 91 (¿)) ,

Ф) = 1+21'1 <£>'1(*) ~ ^ (^(¿О + ,

(38)

4ц 4ц

Ф) = ^ ¥>!(*) + ^ + '

Подставив их в равенства (37), придем к граничным задачам (34), решениями которых являются выражения (35), где постоянные таковы:

!г(оо) = (1 + гл)ц + (1 + г/г)ц, г(оо) = ~т;(>1 +

Разрешим равенства (38) относительно функций и ф (г):

= + 2(л1Г(г)], ^(г) = + 2цф)],

ф\{г) + Я1(г) = [-(1 - и2)Кг) - 2ц(1 + щ)т{г)],

(1 - )Й2

ф'2(г) + Ч2(г) = 2М2 [-(1 - ^)Н(г) - 2ц(1 + ^)ф)], (1 - ^2 )«1

где ¿1 = (1 + ^)ц + (1 - ^)ц; ¿2 = (1 + ^)ц + (1 - ^)ц.

Сосредоточенная сила в двухкомпонентной плоскости. Рассмотрим задачу о сосредоточенной силе, приложенной в начале координат г = 0; обозначим Г = Г + гГ2, где Г1, Г2 - проекции силы на оси Ж1,Ж2. Напряжения на бесконечности отсутствуют. Данная задача является частным случаем задачи о скачках. Здесь функции скачков

А «(¿) = -гГ6(г), А д(г)=0.

По формулам (35) находим

Г 1

!г(г) = — ----Ь /1(00), г (г) = г(оо).

2п г

Рассмотрим плоскую деформацию. Функции (36) имеют вид

Л2 + 2ц ^ 1 , 0 ,, . А1+2ц ^ 1

Ч>2{*) = -1—.-:-о--+ 2ц, <р1{г) = -—-------+2ц,

А2 + Ц + Ц 2п г Л1 + ц + ц 2п г

г А!+2ц ^ 1 т, А2 + 2ц ^ 1

+ = т—;-;-»--+к и Ф2{г) + д2{г) = —------+ к2.

А2 + Ц + Ц 2п г Л1 + ц + ц 2п г

(39)

Получим следующие выражения:

1 (z - F0)z {z-F0)z

f (z

= к

еш dz = kp(z)J-

— F 0

F0

q(z) = к

A2 + 2^2 F

F0 1 F0

P(z)

A2 + М2 + М1

-Fa 2 z-F0

, z e S2; Fo

(z-Fo)z^

A1 + 2/л F

A1 + Щ + ^2

z e S1,

p(z)

V Vz - Fo у

Используя полученные выражения, можно вычислить напряжения и деформации по формулам (22), (23). Асимптотические разложения для верхней полуплоскости при z ^ 0

, ' I Л2 + М2 1 . М2 F

«11 + ««12 = - ( --;-;---Ь --;-;-= — + 0( 1),

«22 - ¿«21 =

gn + ig21 = -

А2 + М2 + Ml -г + + Ml + М2 z) 2-л A2 + М2 1 М2

А2 + М2 + Mi -г + Mi + М2 z) 2тг 1 1 1

1

— +

g22 - ig12 =

А2 + М2 + Ml -г + Ml + М2 -г / 2тг

1 1 1 1 \ F

i ¿ + 0(1).

А2 + М2 + Ml -г + Ml + М2 -г / 2тг

+ о(1).

Асимптотические разложения нижней полуплоскости определим циклической перестановкой индексов 1 ^ 2 в правых частях этих равенств.

Найдем асимптотические разложения производных функции для верхней по-

луплоскости при г ^ 0

дС

dz

1

1

_Li + 0(i), ^ = —

Аг + М2 + Mi 47Г z ' dz Х1 + щ + М2 47т z

Fi + o,i),

для нижней полуплоскости получим их циклической перестановкой индексов в правых частях равенств.

Используя эти формулы, построим асимптотическое разложение функции £(2, г) (текущих координат точки) при г ^ 0

С = -

1

A2 + М2 + М1

1 A F

liiz -\--\nz--1- O(l).

A1 + М1 + М2 / 4п

Формула справедлива для обеих полуплоскостей, так как функция £(2,2) непрерывна на линии раздела. Видим, что перемещения имеют логарифмическую особенность в окрестности полюса, как и в линейной задаче.

e=

z

z

z

Рассмотрим плоское напряженное состояние. Функции /(г, г), д(г) вычис-

ляются по тем же формулам, что и раньше, в которых нужно положить

= ге51а>

F

Fo = тп~' z G Sl'

Функции (39) здесь таковы:

,, s 2ц F 1 2ц F 1

=--"J" о--+ 2М2, = --+2Ц,

«2 2п z di 2пг

т/, s , , , 1 ~ 2ц F 1 у, , , , 1 ~ vi 2ц F 1

VWJ + 91 (¿0 = ^--"Г" о--+ «Ь r2+ w) = ----г- ---+ к2.

1 — V2 «2 2п z 1 — vi di 2п z

Асимптотические разложения напряжений и деформаций для верхней полуплоскости при z ^ 0

«11 + «12 = - ((1 + + (1 - i- + 0( 1), у (12 Z ell Z J 27Г

«22 - «21 = - ((1 + - (1 - 7Г~ + O(l).

У (12 Z ell Z J 27Г

(1 — v2 1 1 — v1 1 \ F ,

1 - ^i 1Л F ,

522 " = " [— Z - ) 4я + °(1)'

разложения для нижней полуплоскости получим их циклической перестановкой индексов 1 ^ 2 в правых частях равенств.

Асимптотические разложения производных функции £(z,z) для верхней полуплоскости при z ^ 0

dZ 1 — v2 F 1 dZ 1 — v1 F 1

для нижней полуплоскости находим их циклической перестановкой индексов в правых частях равенств.

Асимптотические разложения текущих координат

Сосредоточенная сила на границе полуплоскости. Получим решение нелинейной задачи о сосредоточенной силе на границе верхней полуплоскости. Пусть в начале координат приложена внешняя сила с компонентами Fi и F2, обозначим F = Fi + ¿F2. Граничное условие

[«22 — i«2i] + = p(t), p(t) = — iFS(t). (41)

Решение этой задачи можно вывести из решения рассмотренной выше задачи о сосредоточенной силе в двухкомпонентной плоскости, если положить ц = Ai = 0, ¡12 =

А2 = А. Будем ее решать как самостоятельную. Заменим напряжения в (41) их выражениями (22) или (28), затем выполним преобразования граничных условий, как раньше. Функция г(г) в этой задаче не нужна.

В задаче плоской деформации функция Н(г) вводится по формулам

Н(г) =

1

2(1 — V)

у'(г) при г € 52,

= ~о!п + Ф)] ПРИ г <Е Зь

2(1 — v)

Решение граничной задачи (41) для функции Н(г)

р 1 ц

Н(г) = -—- + Н( оо), Н( оо) = -^—.

2п г 1 — V

Из него получим

^ 1 —/ 1

у\г) = -{ 1-и)--+ 2М, ф (г) + д(г) =-——

п г 1 — 2v

у'(г).

Функции егш, /(г;, г;) и д(г) определяются по формулам (40), где нужно положить = (1 — V)Р/(2цп). Вычислим производные

— =-2(А + /хЬ/ ——=—, — = А + м=—=г

с>,г \ ~ дг г -

(г - Ро)^

Они, а также функция в1Ш не имеют особенностей в нуле и на бесконечности, в частности

1

1 (* ±

2(1 - V) ^о Ро

е ...,

Р 0

г 0,

г.

Напряжения удобно вычислять по формулам (12), предварительно найдя функции

1 — 2v

д( =_

дг 2(1 -V)

1 (г-Р0)г г 1-2,уУ (г-Т0)г

д( = 1 дг 2(1 - и)

г-Рп

г - ^о 1 р(г)-р(г)

г — 2 г — Рп

{г - Р

Асимптотические разложения функций при г ^ 0

1 - 2v

5С =_

<9,г 2(1 -V)

-Р0- + 1 +

1 — 2v

¿и-

г

+Тп

+... ,

д( = 1 дг 2(1 - г/)

1 2 — 1 г^/г — гл[г

+ ТрГ + 3 ^ + '

е

г

Асимптотические разложения напряжений в окрестности точки z = 0

«11+«12 = -(- + =) 7^+0(1), «22 "«21 = -(-"=) (42)

\z z J Zir \z z J Zir

Отметим, что точно такие асимптотические разложения условных напряжений были выведены для модели гармонического материала Джона [9] в аналогичной задаче. Для плоского напряженного состояния функция h(z) вводится так:

h(z) = 1 ^ V<p'{z) при 2 G S2,

h(z) = -^—^—[^Xz) + q(z)} при z G Si. Из граничной задачи для этой функции находим

F1

h(z) = —----\-h(oo), h(oo) = (1 + z/)/x.

2n z

Главные члены асимптотических разложений напряжений в окрестности точки z = 0 совпадают с разложениями (42) плоской деформации.

Разложения текущих координат в окрестности точки приложения силы можно получить из приведенных разложений для двухкомпонентной плоскости. В случаях плоской деформации и плоского напряженного состояния соответственно имеем при r ^ 0

1 - v F 1 F

Разложения напряжений в базисе полярных координат при r ^ 0

F nr

srr+isre = - — e гв+0( 1), see -iser =0{!)•

Рассмотрим случай, когда сила ортогональна границе полуплоскости (задача Фла-мана). В предыдущих формулах Fi =0, F2 = 0, т. е. F = iF2. Тогда

F2

srr + isre =--(sin в + i cos в) + O(l), see — iser = 0(1).

nr

Радиальное напряжение srr и касательное напряжение sre содержат особенность вида 1/r в окрестности точки приложения силы, а окружное напряжение see и касательное напряжение ser - нет. Отсутствие особенностей у напряжений see и ser соответствует граничным условиям (41), которые можно записать так: [see — iser]+ = —iFS(t). Напряжения (42) отличаются от напряжений, приведенных в [1, 2]. Принятое в этих работах предположение, что система полярных координат является главной, выполняется лишь приближенно.

Сравнение полученных выше результатов с решениями линейных задач Мичела-Фламана [10] показало, что напряжения и перемещения имеют одинаковый вид особенности в окрестности точки приложения силы: напряжения - 1/r, перемещения - ln r. В то же время они и принципиально различаются: в линейных задачах только радиальные напряжения отличны от нуля, а в нелинейных и касательные напряжения не равны нулю. Кроме того, коэффициенты при сингулярных членах в нелинейных и линейных задачах различны.

Заключение. Найдены точные решения плоских задач нелинейной теории упругости (плоская деформация и плоское напряженное состояние) для двухкомпонентной плоскости и полуплоскости при действии сосредоточенных сил. Механические свойства тел описываются моделью полулинейного материала. Использование модели гармонического материала позволило применить теорию комплексных функций и получить общее аналитическое решение краевой задачи о скачках напряжений и деформаций на межфазной линии. Решения краевых задач о сосредоточенных силах, действующих на границе полуплоскости и межфазной границе двухкомпонентной плоскости, выведены в качестве частного вида функций скачков. Исходя из общих решений, построена асимптотика напряжений и деформаций в окрестности точки приложения силы.

Литература

1. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Исследование нелинейной задачи Фламана // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2006. № 5. С. 68—78.

2. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Анализ сингулярности напряжений в нелинейной задаче Фламана для некоторых моделей материала // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72, вып. 3. С. 453-462.

3. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

4. Черных К. Ф., Литвиненкова З. Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. 256 с.

5. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоские задачи упругости для полулинейного материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2012. Вып. 3. С. 93-106.

6. Мальков В. М. Основы математической нелинейной теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 216 с.

7. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

8. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

9. Мальков В. М. Введение в нелинейную упругость. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. 276 с.

10. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1957. 576 с.

Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым. Статья поступила в редакцию 21 марта 2013 г.