Задача о нестационарном распределении тепла в неоднородном материале с трещиной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.954 © Е. А. Логинова

ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕПЛА В НЕОДНОРОДНОМ МАТЕРИАЛЕ С ТРЕЩИНОЙ

Построено решение задачи о нестационарном распределении тепла в плоском неоднородном материале с трещиной-разрезом по отрезку.

Ключевые слова: нестационарное распределение тепла, неоднородная плоскость, трещина-разрез.

В работе рассматривается задача, описывающая распределение температуры в неоднородном материале с трещиной с учётом влияния времени. Задача имеет вид

д«(жьж2,Ь) 2( д2и(ж1, ж2,Ь) д2и(жь ж2, Ь) , д«(жь ж2, Ь)\

-----т--------“ (,—Щ-----------------+ —Щ---+ * вх, )°а

и(ж1, +0, Ь) — и(ж1, -0, Ь) = ^о(ж1, ¿);

ЩШ- + Ым, +0, о - Щр-м _ кЛ,(Хъ о = л(11,0.

дж2 дж2

ж1 € [—1; 1], Ь ^ 0. и(ж1, ж2, 0) = 0.

Областью, в которой рассматривается уравнение, будем считать плоскость Ож1ж2 с разрезом I = {ж| ж2 = ±0; ж1 € [—1; 1]}, что моделирует наличие трещины, проходящей по отрезку [—1; 1] оси абсцисс, параметр Ь € [0, +то) представляет собой время. Искомая функция и(ж1 ,ж2, Ь) — температура в точке материала с координатами (ж1, ж2) в момент времени Ь.

Определение 1. Решением исходной задачи назовём функцию и(ж1,ж2,Ь), принадлежащую пространству СХ ’¿((—1; 1) х (0; то)) и СХ ’0((—1;1) х [0; то)) и удовлетворяющую исходному уравнению в области М2\1, Ь € (0; то), для которой в смысле главного значения при ж1, принадлежащем (—1; 1), выполнены граничные условия и по непрерывности

ди(ж1 ,ж2 ,Ь)

выполнено однородное начальное условие, такую, что функции и(ж1,ж2,г), ж2---------т,-----,

дж2

ди(ж1,ж2,Ь) ди(ж1, —ж2,Ь)

— ограничены в окрестностях трещины при любом принадлежащем

дж2 дж2

отрезку [0; Т], где Т > 0.

Определение решения принадлежит А. С. Рябенко.

Теорема 1. Пусть функции д1(ж1,Ь) € СХ’0([—1; 1] х [0; то)), д0(ж1,Ь) € СХ ’°([—1,1] х [0, то)) и ограничены вместе со своими производными.

Тогда решение исходной задачи единственно в пространстве ¿2(М2 х (0; то)) и при Ь > 0 имеет вид

1 % а2тк + ж2 1 Г — (ж 1 — ст)2 — (а2тк + ж2)2 . . , ,

~ сг, ^ — г) аа ат—

8п 0 а2т -1

1 1 1 1 -Т-/£/ехр 4п 0 т -1

4а2 т

— (ж1 — ст)2 — (а2тк + ж2)2

4а2т

Также при ж1 € (—1; 1) выполнены краевые и начальное условия.

■ 31 (ст, Ь — т) ^ст ^т.

Теорема 2. Пусть Ь > 0. Тогда решение исходной задачи является непрерывной ограниченной функцией аргументов ж1, ж2 € М2\1. При ж2 ^ +0, ж1 € [— 1; 1], Ь € [0; Т], где

Т > 0, нормальный тепловой поток —— имеет асимптотическое представление вида

дж2

ди

дХ2

б 2

2п

(1 + Xi)

(1 — Xi )2 + x2 1

(1 + Xi)2 + x2_

+- ln((l - Xi)2 + xl)q'0{ 1, i) - - ln((-l - Xi)2 + ж!)^о(—1> *)

2

du

o(-1,t) +

+ Ri(Xi,X2,t),

а тепловой поток —— имеет асимптотическое представление вида dxi

<9-u

dxi

-#Ж2

е 2

4п

2X2

(1 — Xi )2 + x2

q0(1, t) +

2X2

(1 + Xi)2 + x2

(-1,t)-

— ln((1 - Xi)2 + ®2)qi(1, t) + ln((1 + Xi)2 + X2)qi(-1,t) +

k k +- ln((l - Xi)2 + xf)qo(l, t) - - ln((l + Xi)2 + xf)qo(-l,t)

Здесь функции R2(Xi,X2,t), R2(xi, Ж2, t) ограничены.

+ R2 (Xi,X2,t).

1.

2.

Список литературы

Логинова Е.А. Решение задачи о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной в случае конечного времени: тез. докл. четвертой междунар. науч. конф. «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования». ВГУ. Воронеж, 2011. С. 179-181. Логинова Е.А. Решение задачи о распределении тепла в неоднородном материале с трещиной при неограниченно большом времени: тез. докл. четвертой междунар. науч. конф. «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования». ВГУ. Воронеж, 2011. С. 181-182.

Поступила в редакцию 09.02.2012

E. A. Loginova

The problem of nonstationary heat propagation in an inhomogeneous material with a crack

The solution of the problem of nonstationary heat distribution in a planar inhomogeneous material with a crack along the segment is constructed.

Keywords: nonstationary heat distribution, inhomogeneous plane, crack-cut.

Mathematical Subject Classifications: 35Q74

Логинова Екатерина Александровна, аспирант, кафедра уравнений в частных производных и теории вероятностей, Воронежский государственный университет, 394006, Россия, г. Воронеж, Университетская площадь, 1. E-mail: [email protected]

Loginova Ekaterina Aleksandrovna, post-graduate student, Department of Partial Differential Equations and Theory of Probabilities, Voronezh State University, Universitetskaya pl., 1, Voronezh, 394006, Russia