CC BY
9
УДК 517.988.67
Б. В. ЛОГИНОВ, В. А. ТРЕНОГИН, А. В. ЦЫГАНОВ
ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАТОРА ЛОЖНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ОБОБЩЕННЫХ ЖОРДАНОВЫХ ЦЕПОЧЕК
Рассматривается обобщенная задача на собственные значения, линейно зависящая от спектрального параметра. Для собственного значения, являющегося фредгольмовой точкой, предполагаются заданными приближения к собственным и присоединенным элементам. Строится оператор ложного возмущения, при котором эти приближения становятся точными для возмущенного оператора. Полученные результаты могут быть использованы для развития метода ложных возмущений, предложенного М. К Гавуриным в 1961 г. ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] дан обзор результатов по методу ложных возмущений, предложенному проф. М. К. Гавуриным [2] для уточнения приближенно заданных собственных значений, собственных векторов и элементов обобщенных жор-дановых цепочек (ОЖЦ) обобщенной задачи на собственные значения с достаточно гладкой оператор-функцией спектрального параметра. Метод основан на специальном выборе оператора возмущения, при котором приближенные значения собственных чисел и ОЖЦ становятся точными для возмущенного оператора. Тогда методы теории бифуркаций [3] позволяют строить итерационные процессы для определения соответствующих точных величин.
В [1,4] построен оператор ложного возмущения, позволяющий уточнить ОЖЦ линейной оператор-функции спектрального параметра АО - tA{, не использующий приближений к ОЖЦ сопряженной оператор-функции. В данной работе строится более удобный оператор ложного возмущения, «симметрично» использующий приближения к ОЖЦ для собственного значения линейной оператор-функции АО^Ау Итерационные процессы определения
соответствующих точных значений составят предмет будущей работы авторов.
В банаховых пространствах Еи Е2 рассматривается линейная по спектральному параметру обобщенная задача на собственные значения
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
* ГЩ "ТЫ* подчинен А,
*Грант Е00-0.1-172 Министерства образования РФ по первому автору
,, , _ : , ;, ; ,. (т.е). Предполaгaется, что т°чное п-кратное
собственное значение А является фредголь-мовой точкой оператор-функции АО - tAt с собственными элементами и отвеча-
ЮЩМИ им А-, - и
жордано-
выми цепочками [3] длин р] < р2 < ... < рп:
о- *% '(0=1.....р,^). 4.»4
В [5J доказано следующее утверждение: Лемма 1. Эле-
жордановых набо- ров,
отвечающих фредгольмовой точке Я оператор- функции АО- могут быть выбраны так, что выполняются следующие соотношения биортогональности:
Пусть известны некоторые достаточно хорошие приближения ■ к
собственному числу X и ОЖЦ. " £ ^'-^Й'И1 с соот-
ветствующими значениями кО Ф О и КО А0 (2). Пусть приближенные ОЖЦ таковы, что в силу леммы 1 кО и КО достаточно близки к единице. Ставится задача построения оператора возмущения D0, при котором заданные приближения к собственному числу и отвечающими ему ОЖЦ стали бы точными для возмущенного оператора.
3.ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАТОРА ЛОЖНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ Переходя к линейным комбинациям [1,4], можно определить системы
, I 1 ' -!■-----------а ^чиь ИЧЫ
Шм. - (4)
~ п > удовлетворяющие
условиям биортогональности (3)
Действительно, пусть заданы достаточно хорошие приближе- ■"■' ния
и = Полагая = А\ф)%и+1 образуем линейные
Щ =
комбинации
подчинив их условиям
ФМ..........
нозначно из системы уравнении
Тогда коэффициенты Ю.л определяются од-
и ¿и, «-■) „
Полагая
(и 41-0 _ ^ V „('¿.{гу"-' !
*■> ~ ¿-¿^ь-ъг,п
(4)
(б)
т.е.построены приближения
к ОЖЦ, удовлетворяющие (5).
Применяя теорему Руте, можно показать, что уравнение
/Чо- (-V-ц -Й*- о
имеет п близких между собой корней. Один из них можно выбрать в качестве начального приближения Я0 к Я.
Вычисляя невязки
м, «У - (-и --
$ммь $=к J>h
определим два вида оператора ложного возмущения
1 А
ню _ =1 .■=
Лемма 2. Операторы ложного возмущения (7) и (8) обладают следующими свойствами:
i= I.....Я.
Доказательство. Равенства (9) проверяются непосредственно. Прежде всего для оператора (7) имеем
=•¡¡-Ё^Л.Л&ч >4-.3 > ,й = 'Т,
М
(в)
<7) т
а»!?-!?1>й' ^.^»й-
из
что
■ ¿§<K - м - > >d>+¿<^,(4 _ > й > +£§< tóM^ - - > $ = < «^i^g > 40.
+ í §[< «ОД > - < 5«f
♦ í|[< > - < ^^
'H.í-I ни
- i fr > - < +$ -/м£ y-J
Для оператора (8):
АчЯ1''+ ¿|[<rtf >_<Y<¿¡ = , W. ^ - ¿í < "H\y > , _ íf< # >
j 1 ^'j*1 L <-Грг1
f-l
H н- w-м^ы^+^ чШ-м;И' ^-
ы J-l
Дня B>1
Следствие.
(Al - Mt - On О, {¿0 - ЛеА - щMi1 =
- vf -ai VIP - *>i,
Следствие показывает, что построенный оператор ложного возмущения D0 обладает требуемыми свойствами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Loginov B.V., Rakhimov D.G., Sidorov N.A. Development of M.K. Gavurin's Pseudoperturbation Method. Fields Institute Communications. 2000. V. 25. - P.367-381.
2.Гавурин М. К. О методе ложных возмущений определения собственных значений // ЖВМ и МФ. - 1961. - Т. 1, №5. - С.751-770.
3.Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969.
4.Логинов Б. В., Рахимов Д. Г. О методе ложных возмущений при наличии обобщен-ных жор-дановых цепочек. Дифференциальные уравнения и их приложения. - Ташкент: Изд-во «Фан» УзССР, 1979. - С. 113-125.
5.Русак К). Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и сопряженной к ней // Известия АН УзССР. Физ.-мат. - 1978. - №22. - С. 15-19.
6.Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления. Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными / Ред. М. С. Салахитдинов. - Ташкент: Изд-во «Фан» АН УзССР, 1978. - С.133-148.
Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончил, механико-математический факультет Ташкентского государственного университета. Имеет монографии и статьи в области линейного и нелинейного функционального анализа, дифференциальных уравнений, математической физики и приложений.
Треногий Владилен Александрович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» Московского института стали и сплавов МИСиС (технологический университет), окончил математический факультет Московского государственного университета. Имеет монографии и статьи в области линейного и нелинейного функционального анализа, дифференциальных уравнений, математической физики и их приложений.
Цыганов Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры «Математический анализ» Ульяновского государственного педагогического университета, окончил механико-математический факультет Ульяновского филиала МГУ. Имеет статьи в области спектральной теории дифференциальных операторов, функционального анализа
