О регуляризации кратных собственных значений редукционным методом ложных возмущений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.67

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ КРАТНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ РЕДУКЦИОННЫМ МЕТОДОМ ЛОЖНЫХ

ВОЗМУЩЕНИЙ

© 2012 Д.Г. Рахимов1

На основе методов теории ветвления рассматривается задача уточнения кратных собственных значений и соответствующих собственных и корневых элементов. Предлагается прием, позволяющий понизить алгебраическую кратность до единицы. Для построения итерационных процессов применяется метод ложных возмущений.

Ключевые слова: методы теории ветвления, кратное собственное значение, корневое число, редукционный метод ложных возмущений.

Введение

В работах [1-3] рассмотрено уточнение приближенно заданных собственных значений, собственных векторов и обобщенных жордановых цепочек (ОЖЦ) обобщенной задачи на собственные значения с достаточно гладкой оператор-функцией спектрального параметра методом ложных возмущений (ЛВ-метод) [4], основанного на специальном выборе оператора ложного возмущения таком, что известные приближения к собственным значениям, собственным элементам и обобщенным жордановым цепочкам становятся точными для возмущенного оператора. При использовании методов теории ветвления [5] строятся итерационные процессы для нахождения соответствующих точных значений. Наиболее общий ЛВ-опе-ратор, симметрично использующий ОЖЦ прямой и сопряженной спектральных задач, предложенный в [3], нашел многие приложения в задачах математической физики [6; 7].

В работе [8] с помощью конечномерного регуляризующего оператора уменьшается геометрическая кратность собственного числа до единицы, т. е. случай кратного собственного значения со многими линейно независимыми собственными элементами без ОЖЦ сводится к простому для регуляризованного оператора.

В настоящей статье на основе методики работы [8] предложен прием, позволяющий уменьшить алгебраическую кратность собственного числа, используются терминология и обозначения книги [5].

1 Рахимов Давран Ганиевич (Davranaka@yandex.ru), ведущий научный сотрудник Института математики и информационных технологий АН РУз, 700143, Республика Узбекистан, г. Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

1. Постановка задачи

Пусть Е и Е2 — банаховы пространства, Ао : Е Э Д(Ао) —>• Е2, А1 : Е Э Э ^(^1) —>■ Е — плотно заданные замкнутые линейные операторы, причем ДАо) С ДА1) и А подчинен Ао (т. е. ЦА^Ц^ < ЦАоХ^ + ЦхЦ^ на Я(Ао)) или ДА1) С £(Ао) и Ао подчинен А1 (т. е. ||Аох||Е2 < ||А1ж||Е2 + ||ж|Е1 на Д(А1) ).

Рассмотрим задачу на собственные значения

(Ао - ¿А1)ж = 0. (1.1)

Пусть неизвестное собственное значение Л является фредгольмовой точкой оператор-функции Ао — ¿А1 с N (Ао — ЛА1) = врап|^1,..., у;}, N (Ао — ЛА|) = = врап{ф1,..., ф;} и отвечающими им А1- и АЦ — жордановыми цепочками [5] с длинами р1 ^ р2 ^ • • • ^ рп

(Ао — ЛА1 = А1^(8-1), (Ао — ЛА1 )ф(о) = А1 ф^"^, 8 = 2^" г = 1^, (1.2)

К = (А1^\^(1)) || = 0, Ь = ^¿Ьр = 0, Ь« = || (а^^0 ф(°) ||,

г(к) = 1,п, .?(/) = 2,р(рй).

Согласно [9] элементы у0), ф^,^(/) = ),г(к) = 1,п, А1- и А| жордановых

наборов, отвечающих фредгольмовой точке Л оператор-функции Ао — ЛА1, могут быть выбраны так, чтобы выполнялись следующие соотношения биортогональности:

(у,0^0) = ¿0, к0'^0) = ¿^ч, ^(/) = (1.3)

7« = А^+1-г), = А^+^Дк) =~п.

Предположим, что известны достаточно хорошие приближения Л, , Фг(о)

к неизвестному собственному значению Л и ОЖЦ: ||уро) — у0о) | ^ £,

||Ф(о) — ф:(о) | ^ £, I Л — Л £ с близкими к единице соответствующими значениями Ко и Ьо (2.2).

В работе [3] доказана следующая

Лемма. Переходя к линейным комбинациям, можно определить системы

ко};;;, т1о=а! но};;;, ^=А^Г1-0, (1.4)

удовлетворяющие соотношениям биортогональности (1.3)

(ур), 7$) = ¿¿к¿0, (4р), Ф^) = ¿¿^¿01, ^(/) = . (1.5)

Используя методику работы [8], требуется свести задачу ложного возмущения для кратного собственного значения к случаю простого собственного значения, уточнить собственное значение Л и соответствующие элементы ОЖЦ поставленной задачи и сопряженной к ней.

2. Случай одной ОЖЦ

Пусть N (Ао — ЛА1) = {у} . Регуляризуем Ао — ЛА1 следующим образом:

АЙ = (Ао — *А1) = А(£) + ]Г (•, 7(к))^(р+1-к). (2.1)

к=2

Справедлива следующая

Теорема 2.1. Искомое собственное значение Л является простым собственным числом регуляризованной оператор-функции (2.1), причем соответствующие собственный вектор и дефектный функционал определяются в виде

р-1 р

( = ((р) , ф = ф + Е 4Ф(8). (2.2)

8=1 8=2

Доказательство. Если (2.2) является решением (2.1) при £ = Л, то

0 = (жЛ) + е<,70к)>4р+1-к)) ^(р)+Е= р р р

0+Е<^(р),^(к) >4р+1-к)+ее С8<^(8),7(к) >4р+1-к)+ .,(8-1)

к=2 к=2 8 = 2 Р

+Е с8А1^(8-1) + (А0 - ЛА1)^(р);

0 = А(Л)ф = е ]Т 4<4Р+1-к),ф(8) >70к) + ]Г^8А1ф(8-1) + ]Т<г(р+1-к),ф>70к). к=2 8=2 8=2 к=2

(7) (7)

Применяя к первому равенству ф0 и ко второму (0 поочередно для всех у =

= 2,р, будем иметь системы линейных алгебраических уравнений для нахождения

неизвестных коэффициентов С1,.. ., Ср и , ..., dp:

Ес8а78 = -<^(р),70р+1-7)> - <А1^(р-1),ф(7)>, у = 2^; (2.3)

8=2

Е¿867-8 = -<4Р+1-7),ф>, у = 2,р, (2.4)

8 = 2

где а78 = <^(8),70Р+1-7)> + <А1^(8-1),ф07)>, 67 = <4Р+1-7), ф(8)> + <(07), А|ф(8-1)>. Показано, что ^¿^+1-71 = 1 + О(е), ^¿^+2-71 = 1 + О(е), |б7,р+1-71 = 1 + О(е), |б7,р+2-71 = 1 + О(е), а для остальных в = р + 1 - у; р + 2 - у : = О(е), |6^81 =

= О(е). Следовательно, ||а7-81| = 1 + О(е), У67-81| = 1 + О(е), т. е. системы (2.3) и (2.4) имеют единственные решения.

Так как <((р\ 7(р-1)> + <Ак(р-1), ф02)> = 1 + О(е), и <((р\ 70Р+1-7)> + + <Ак(р-1), ф07)> = О(е), для всех у > 2, то с = О(е), г = 1,р - 2, и Ср-1 = = -1 + О(е). Поэтому в качестве начальных приближений к ( и ф следует взять (0 = (0р) - (0р 1) и Ф0 = Ф0 соответственно. Начальное приближение к Л выберем как решение уравнения <А(£)(0,ф0> =0, т. е. Л0 = (^о^о^оН1.

Так как ^0 = 01(0, ф0> = <А (р), ф30> - <Ак0Р-1), ф30> = <Ак0Р), > = 0, то, полагая 70 = -1 А|ф0, 70 = ко^1(0, имеем <(30,70> = 1, <¿0, ф30> = 1. Оператор ложного возмущения строится в виде

= <х,70>А(Л0)(70 + <х,А*(Л0)ф0>50, = <А(Л0)(0,у>70 + <30,у>А*(Л0)ф0.

Тогда ^0(70 = А(Л0)(70, ОД0 = А*(Л0)ф0, т. е. N(А(Л0)-£0) = {(70}, N(Л*(Л0)-

- £5) = {Ф0}.

Применением регуляризатора Шмидта [5] уравнение А(£)х = 0 сводится к системе

-1

уо, (2.5)

х = ф + Го (Ъс + А(£) - А(Ао))

С = (х,7о).

где Го =

А(Ао) - До + (-,70)50

Подстановкой первого равенства во второе в системе (2.5) получим уравнение разветвления, простым корнем которого является точное собственное значение А:

-(¿) = 1 -([/ + Го (^о + - А(Ао)) ] 1 уо,7о) =0. (2.6)

Пусть 5(Ао; р) — некоторый шар с радиусом р с центром Ао. Теорема 2.2. Если начальные приближения достаточно хороши, то существует шар 5(Ао; г), где г = 1-л21=ЖП < Р, Ъ = |-'(Ао)|-1 Ь (Ао)| < 1 , п = = |—'(Ао) | | —(Ао) |, в котором уравнение (2.6) имеет единственное решение £ = = А, и последовательные приближения, определяемые модифицированным методом Ньютона:

Ат+1 = Ат - [-'(Ао)]-1 -(Ат), т = 0,1, 2,..., (2.7)

сходятся к этому решению.

Доказательство. Проверим условия теоремы 2 [10, с. 446]:

1) - (Ао) = 1 - ([I + Го_Оо] Уо,7о) = 1 - (Уо,7о) + (ДоУо,Фо) - ••• =

= 0(||А,||); (Ао)| ^С1(УД,У); _ _

2) - '(Ао) = ([I + Го^о] 1£_оА1 [I + Го^о] 1 уо,7о) = (А1уо, Фо) --2(ЯоГо£оУо,Фо) + — = ко-2(£оГо£оУо,Фо) + - • •, |-'(Ао)| > Ы-^(роН), Мо =

= '(Ао)|-1 < [|ко|- С2(У^оУ)]-1;

3) '(¿1) - -'(*2)| = ''(£1 + - - ^2)| < - £21, где Ь = вир ''(¿)| .

¿ее

Если начальные приближения достаточно хороши, то е можно так выбрать, чтобы МоЬС1 < 1. Тогда согласно теореме 2 [10, с. 446] для г = = 1-^^МоС1 < р в шаре 5(Ао; г) существует единственное решение (2.6), к которому приближения, вычисленные по формуле (2.7), сходятся.

Заметим, что при реализации итерационного процесса (2.7) на каждом шаге необходимо решать одно операторное уравнение

А(Ат) + (•, 7о)5о х = 5о.

Теорема 2.3. Элементы ОЖЦ {у(г)}Р=1, {Ф(г)}Р=1 являются решениями следующих рекуррентных систем:

[Ао - АА1 + (•, 7о)^о] х = ¿о, [Ад - АА*1 + (¿о, -)7о] у = 7о, [Ао - АА1 + (•, 7о)^о] х8 = А1хя-1 + ¿о, Х1 = у, хя = у(я);

[Ад - ААд + (¿о, •Ы у8 = Аду8-1 + 7о, У1 = ф,у8 = Ф(я), в = 27р.

Доказательство. К исходным уравнениям (2.1), (2.2) применим ЛВ-метод, вводя оператор ложного возмущения:

Дох = (х, 7о) [(Ао - АА1)уо - (х, (Ао - ААд)фоЫ + (х, (Ад - ААд)фо)^о,

Б*0у = ((Ао - АА1 )уо, У)7о + (¿о, у) [(Ад - АА^)фо - ((Ао - АА^уо, у)7о].

1

Тогда N(Ao - AA1 - Do) = j(o}, N(Ao - AAQ - DQ) = j^c}. Уравнение (Ao - AAi)x = 0 сводится к системе

x = С [I + ГоDo] 1 (o,

С = <Ж 70 > Ь <•, 70>^с

согласно лемме Шмидта [5]. Тогда

или для любых С поэтому можно положить

где ro = [Ao - AA1 - Do + (•, yo)zo] 1 - ограниченный оператор, существующий

С = С([1 + roDo]-1 (o,Yo) 1 -([I + roDo]-1 (o,Yo) =0, (2.8)

( = [I + roDo] 1 (o.

0^0

Аналогично (2.2) сводится к системе

Ж = С(8) [I + Г0^0]-1 (0 + [I + Г0^0]-1 Г0А1Х8-1, С(8) = <Х8,70>.

Подставляя первое равенство во второе и учитывая (2.8), имеем <[/ + Г0^0]-1 Г0А1Х8-1,70> =0, которое справедливо для любых С(8) , поэтому следует принять X = [I + Г0^0]-1 (0 + [I + Г0^0]-1 Г0А1Ж8-1. Двойственным образом, применяя к уравнениям (Ад - ЛАд)у = 0 и (Ад --ЛА|)у8 = А1у8-1 вышеуказанную схему, приходим к рекуррентным равенствам:

Ф = [/ + гддд]-1 Ф0,

У8 = [/ + гдяд]-1 Ф0 + [/ + гдяд]-1 ПАд^-ь в > 1.

Пример. Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим в пространстве С2 [(0,Х0) и (х0,1)] П С1 [0,1] следующую задачу на собственные значения из работы [11]:

и" + Ли = 0, и(0) = 0, м'(ж0) = и'(1). При ж0 = 28+2т+1 и 0 < т < в + 2 точное собственное значение =

2тп (28 + 1)П

= ^8 = М0, где = , ^8 = 1+х0 , будет двукратным, ему соответствуют собственные и присоединенные элементы

((1) = вт^ж, ((2) =--жсов^0Ж,

2^0

,-п о, о : x : xo, ,„,.

о, о: x : xo, i(2) I -^г^:«n.ox, о: x : xo,

' 4(1 —ж

" 1 — ж0

J1) „К1) „(2) ,а(2)

cos.ox, xo : x : 1, ^ | - 4(1 2) :in.ox,xo : x : 1.

Взяв в качестве начальных приближений ( ), V'o ), ( ), ^о ) соответствующие отрезки рядов Тейлора длины n = 25 собственных функций и жордано-

вых элементов ((2),-0(2), проведены вычислительные эксперименты с использованием пакетов программ Maple 11.

При m = : = 1, xo = 11, A = ^ = 61,685о275 : Ao = 61,8321723; A1 = = 61, 6728554; A2 = 61, 685о467; A3 = 61, 685о275; A4 = 61, 685о275.

Замечание. Автор рассматривал также случай со многими собственными элементами и обобщенным жордановым набором, который будет рассмотрен в другой статье.

Литература

[1] Логинов Б.В., Рахимов Д.Г. О методе ложных возмущений при наличии обобщенных жордановых цепочек // Дифференциальные уравнения и их приложения / ред. М.С. Салахитдинова. Ташкент: Фан, 1979. C. 113-125.

[2] Loginov B.V., Rakhimov D.G., Sidorov N.A. Development of M.K. Gavurin's Pseudoperturbation Method // Fields Institute Communications, 2000. № 25. P. 367-381.

[3] Логинов Б.В., Макеева О.В., Цыганов А.В. Уточнение приближенно заданных жордановых цепочек линейной оператор-функции спектрального параметра на основе теории возмущений // Функциональный анализ: межвуз. сб. науч. тр. Ульяновск, 2003. Вып. 38. С. 52-62.

[4] Гавурин М.К. О методе ложных возмущений для нахождения собственных значений // ЖВМ и МФ. 1961. Т. 1. № 5. С. 751-770.

[5] Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

[6] Loginov B.V., Makeeva O.V. Pseudoperturb iteration methods generalized eigenvalue problems // ROMAI Journal. 2008. V. 1. № 1. P. 149-168.

[7] Логинов Б.В., Макеева О.В. Метод ложных возмущений в обобщенных задачах на собственные значения // Доклады РАН. Сер.: Математика. 2008. T. 419. № 2. P. 160-163.

[8] Рахимов Д.Г. О вычислении кратных фредгольмовых точек дискретного спектра линейных оператор-функций методом ложных возмущений // Журнал Средневолжского мат. об-ва. 2010. T. 12. № 2. C. 106-112.

[9] Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления // Прямые и обратные задачи для уравнений с частными производными / ред. М.С. Салахитдинова. Ташкент: Фан, 1978. C. 133-148.

[10] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1964.

[11] Макеева О.В. Метод ложных возмущений в обобщенной задаче на собственные значения: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ульяновск, 2007.

Поступила в редакцию 18/X7/2011;

в окончательном варианте — 19/X17/2011.

ON REGULIRATION MULTIPLE EIGENVALUE BY REDUCTION PSEUDOPERTURBATION METHODS

© 2012 D.G. Rakhimov2

On the base of the bifurcation theory methods it is considered the problem of the retaining multiple eigenvalues and relevant eigenvectors and roots elements. An approch is suggested which allows reduce algebraic multiple to unit, that is reduce the problem of the retaining multiple eigenvalues to simple. For construction iterated process applied pseudoperturbation methods.

Key words: bifurcation theory methods, multiple eigenvalues, root number, reduction pseudoperturbation method.

Paper received 18/X1/2011. Paper accepted 19/X11/2011.

2Rakhimov Davran Ganievich (Davranaka@yandex.ru), Institute of Mathematical and Calculations tehnology of Academ Science of Republic of Uzbekistan, Tashkent, 700143, Uzbekistan.