О методе ложных возмущений для аппроксимирующей оператор-функции в задачах на собственные значения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.88+517.948

О. В. МАКЕЕВА, Д. Г. РАХИМОВ

О МЕТОДЕ ЛОЖНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ОПЕРАТОР ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ИА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Для уточнения приближённо заданных собственных чисел и обобщённых жордановых цепочек линейной по спектральному параметру оператор-функции применяется комбинация метода ложных возмущений (РЖ МЛТ 4Б383 1962, 2В29 1963) и абстрактной теории разностных схем (РЖ МАТ 8Б1197К 1984). Дано применение к задачам на собственные значения для обыкновенных дифферен-цг ¡ал ъных уравн ен ий.

1. Постановка задачи.

Рассмотрим в банаховых пространствах £[ и

Е-2 линейную по спектральному параметру / еОсС задачу на собственные значения

Л(ґ)х = (Л0 - 1А{)х = 0 (1)

с плотно заданными замкнутыми линейными операторами /)(/!()) с: В(А^) . Пусть неизвестное собственное значение X является фредголь-мовой точкой оператор-функции Л0 - іА\ с собственными элементами

М(А0-ХА]) = зрап[(р{1),...,(р{М,

-ХАJ) = span\y{y\...,\f/„} j и отвечающими им \ - и А} -жордановыми цепочками (ОЖЦ) с длинами р] < р2 < ... < рп

(А0- М)# =

(1)

(.Aq -XÄ[)y/\s) =A[yr\

s = 2,...,pi, i = ,

(i-i)

(2)

(Pt) „AD

k = det[< Ajtp PiJ,у/

j

>]^0,

L = detfo ] * 0, L„ = [< ,V f

>

При этом элементы (р\ , у/] , А- и А -

жордановых наборов, отвечающих фредгольмо-вой точке X, могут быть выбраны в соответствии с леммой [1] о биортогональности ОЖЦ

<4>\]\уи] >= $ яд' УР >= ¿а«5,/>

(pk+\-l)

(3)

Задачу (l) будем аппроксимировать на семействах Es(z), s — 1,2, банаховых пространстве соответствующими операторами сужения Ts(t) є L(Es,Es(t)) таких, что нормы в Е5(т) согласованы с нормами в Es, lim 11 (т)x We We ■ T0Г'да уравнение (1) в

Т->0 "J

области G аппроксимируется уравнением с линейной по / оператор-функцией

T(t,T) = A0(T) + tA](T)

Т(ґ,т)<р(т) = 0, T(t,t)^L(El(T)]E2(vj)y (4) т.е. lirnllT(t,r)T1(r)х -Т2(г)А(t)x\ - 0,

Vx є D(A0) /"*

Ставится задача определения точного собственного числа и обобщённых жордановых наборов прямой и сопряжённой оператор-функции по соответствующим приближённым величинам

(s)/V\ _ т r~\,Ss)

^(г). г = 1 , s = 1 определяемым

(5)

аппроксимации Л(г) и <^го (г) = Т\ (г)^/0 , №

по достаточно хорошим приближениям А, <р^ ', у/$ к неизвестном}-' собственному значению X и ОЖЦ. Таким образом, в этой работе применяется абстрактная теория разностных схем (В. А. Треногин, [2, 3]) в комбинации с методом ложных возмущений в задачах на собственные значения [4, 5]. Использованы результаты [5], где определён оператор ложного возмущения такой, что заданные приближения к собственному значению и ОЖЦ прямой и сопряжённый оператор-функции становятся точными для возмущённого оператора.

О. В. Макеева, Д. Г. Рахимов, 2005

2. Аппроксимирующая оператор-функция.

Предположим, что операторы Т({,т) фред-

гольмовы при / еО, причём размерность линейной оболочки К корневых подпространств, отвечающих собственным значениям задачи (4)

в некотором круге {| / — Я !< с)} с: С, равна

II

У"р1 . Это предположение выполнено [7], если (=1

в частности Т(1,т) собственно Т - сходится при т -> 0 к А(1) для каждого /еС, т. е. || д-(г) ||< сот!, {Т(1,т)х{т)} Т2 -компактно

-компактно.

В общем случае аналитической по спектральному параметру оператор-функции А{1) размерности К и к(Л(Л)) могут не совпадать [1].

В качестве начальных приближений к собственному числу и ОЖЦ задачи (4) выбираем

Л и <р$1 (г) = Г,,

АоЮ = А\ М •

Основным предположением работы является следующее:

Условие А: существует оператор сужения

& ><

5'(/), действующий из Е2 в Е2(т) и удовлетворяющий условию невырожденности нормы в

Е2 (г) , т. е. //т||5ТТ)у\в^(т)' = 0=> у =0.

Лемма. Пусть выполнено условие А. Тогда переходя к линейным комбинациям, можно оп-

(/), Лг>Рк

ределить системы

^ТПк,Ы\ ’

(Рк+\~1) и L(i)/.\№ к О и 1

’ (г) = 4 (г)^1'0' '1 71 ^г) > Удовлетворяющие

соотношениям биортогональности (3). Доказательство следует в работе [6].

Применяя теперь к аппроксимации (4) задачи уточнения фредгольмова собственного числа и ОЖЦ, схему метода ложных возмущений [6] определяем А(г), <pIq}(t), i =

s = 1

При условиях согласованности норм и собственной Т -сходимости T(t, г) к T(t) при

(*)

1//^ &к[т (Я)). В [7] приведены оценки скорости сходимости.

Замечание 1. Если предположить существо-

(* * \ Е1 ,Е1 (г)),

/ = 1,2 , таких, что выполняется условие согласованности норм и собственной Т -сходимости

* *

Т (1,т) к Т (/), I е С, то |/, (г) 52 сходится

к у/1 ек[г' (Я)).

Отметим, что вопрос о согласованности условия А с замечанием 1 остался невыясненным.

3. Применение к задачам на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим уравнение

т /77—1

ДО* = = 0(5)

(=0 /=0

с граничными условиями

т г

hxsY\aijx

,0-1)

= 0,

1=1

(6)

і -1

Пусть Я - изолированная фредгольмова точка оператора Т({), определённого в Ст[а.Ь] равенствами (5)-(6), причём известны достаточно хорошие приближения А, (р^, ,

/-15 = 1,...,р(, к собственному значению Я и соответствующим обобщённым жор-дановым наборам.

Разобьём I = \а,Ь] на части а1 — аЛ-1т, обозначив через 1Т множество точек а{. Линейные пространства сеточных функций хт (/), / е /г превратим в банаховы пространства

полагая

E¡(t) =Cm(Ir), E2(t) = C(It),

I xr ! \h ~ max max | x[l) (t) |, | [ xz | ^ = max j jcr (t) |.

i tel. ' /c/r

% I

Введённые нормы согласованы с нормами в

Ех(т) =Cm{Iт) « Е2(т) = С(1т) [3].

Если x(s) е Ех, то операторы сужения T¡ (т), i — 1,2 , определим равенством

Т](г)л'(л-) = xT(s) е E¿(т), где xT(f) = x(t) при

t є /г. Введение

Т > 0, Л (г) —> Я, (p¡Q- (г) 7¡ сходится к

(p\s) еК (Т(Я)), у/^■ (г) слабо Т2 сходится к Рт x(s) = x(s),

разностного оператора

nj , 4 Pi 1 x(s + r)— Pl {x(s)

ITx(s) =--------------------------------- сводит (5)-(6)

T

к задаче

m

¿г ('К = Y“ir(S)PTXv(s)-

i=l

/71-1

(V)

- / X *.T Ir (i) = 0, 1=0

m г

l,TXT = E К РҐ Xr О) + РуРҐ XT (^)J = 0<8)

M

Задачи (5)-(6), (7)-(8) соответствуют уравнениям (!) и (4): A(t)x = 0 , T(x, т)хт = 0 . Так как

разностный оператор Р™ имеет характеристическое значение 1, то 7\/,г) собственно Т -сходится при т —» 0 к Т(У) для каждого ( еС [7] и Г(7,г) - фредгольмовы операторы.

Применяя схему метода ложных возмущений

[6], согласно п.2 находим А(г),

(■?)

г,

(р)л1 (г)——, 1//(<л 1 (т) слабо Т2 - сходится к 7 = 1,...,77, 51 = .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Логинов, Б. В., Русак, Ю. Б. Обобщённая жорданова структура в теории ветвления. Прямые и обратные задачи для уравнений с частными производными / ред. М. С. Салахитдинов. - Ташкент: Фан, АНУзССР, 1978. -С. 133-148.

2. Треногнн, В. А. Приближения на семействах банаховых пространств и разрешимость линейных уравнений // ДАН СССР. - 1971. -201, №6.- 1288-1291.

3. Треногин, В. А. Функциональный анализ. -М.:Наука, 1980. - 496 с.

4. Гавурин, М. К. О методе ложных возмущений для нахождения собственных значений // ЖВМ и МФ.- 1(1961). -№ 5. - С.751-770.

5. Loginov, В. V., Rakhimov, D. G., Sidorov,

N. A. Development of M.K.Gavunin’s Pseudoperturbation Method // Fields Institute Comunications. -25(2000). -pp. 367-381.

6. Логинов, Б. В., Макеева, О. В., Цыганов,

А. В. Уточнение приближённо заданных жорда-новых цепочек линейной оператор-функции спектрального параметра на основе теории возмущений // Межвузовский сборник научных трудов «Функциональный анализ». Т. 38. -2003. -С. 53-62.

7. Вайникко, Г. М. Анализ дискретизацион-ных методов. - Тарту: Тартуский гос. ун-т, 1976.

Макеева Ольга Викторовна, аспирант Ульяновского педагогического университета. Кмеет работы в области спектральной теории линейных операторов.

Рахимов Давран Ганиевич, кандидат физико-математических наук (1979), имеет работы в области спектральной теории линейных операторов, работает в Институте математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.