Метод нормальной сплайн-коллокации в вырожденных задачах линейных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Айвазян С.А., Мхитарян. B.C. Прикладная статистика и основы экономики. М.: Юншщ 1998.

6. Бутов A.A. Некоторые вероятностные задачи, возникающие при построении моделей // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997. Т.4, Вып.1. С.5-17.

7. Валеев С.Г., Никишин В.А., Чнчина Л.Н. Проблема выявления причинно-следственных связей и прогнозирования для соматической заболеваемости населения г. Ульяновска // Тез. Докл. XXXII НТК УлГТУ. Ульяновск: УлГТУ, 1999. Часть 2. С. 48-49.

9

Валеее Султан Галимзянович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика» Ульяновского государственного технического университета, окончил физический факультет Казанского государственного университета. Имеет статьи и монографию в области астрометрии и небесной механики, математической статистики и разработке информационных технологий.

Сергеев Евгений Сергеевич, аспирант Ульяновского государственного технического университета, окончил экономико-математический факультет Ульяновского государственного технического университета, . Имеет статьи в области математической статистики.

УДК 519.6

Л

В.К. ГОРБУНОВ, В.В. ПЕТРИЩЕВ

I | | * 1

МЕТОД НОРМАЛЬНОЙ СПЛАЙН-КОЛЛОКАДИИ В ВЫРОЖДЕННЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕШШХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1

Излагается развитие метода нормальных сплайнов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, возможно, неразрешенных относительно производных. Дается решение проблемы канонического преобразования линейных непрерывных функционалов (ключевой для данного метода) в соболевском гильбертовом пространстве с произвольном целым индексом дифференцирования. 17риводя?пся результаты численного решения дифференциальных уравнений.

Под вырожденными системами дифференциальных уравнений понимаются системы, не разрешаемые относительно старших производных. К ним примыкают дифференциально-алгебраические системы, а также «жесткие» системы. Такие системы появляются в математическом моделировании при учёте законов сохранения, в теории электрических цепей, ядерных реакторов, а также при желании исследователя возможно полнее описать сложное

I

1 Работа поддержана РФФИ, проект № 01-01-00731

И Вестник УлГТУ 3/2001

явление (избыточность описания приводит к функциональной зависимости и вырождению). Для решения начальных или краевых задач для таких систем обычные численные методы неприменимы или неэффективны, и это стимулирует дальнейшее развитие численных методов з области обыкновенных линейных дифференциальных уравнений [1-3]. При этом, как правило, создаются специальные методы, часто основанные на достаточно сложной алгебраической теории [1] и применимые лишь к начальным задачам [2,3], причём в случаях, когда неразрешаемость системы относительно производных (т.е. несводимость к нормальной форме) устраняется однократным дифференцированием сингулярной части системы. Такие системы называются системами «индекса 1» [1, 2]. В более сложных случаях используются вариационные методы.

В работах [4, 5, 6] был разработан вариационный метод нормальной сплайя-коллокации (нормальных сплайнов) для интегральных уравнений [4], а таюке для начальных и краевых задач линейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений общего класса, в частности, неразрешенных относительно производных и на бесконечных промежутках [5, 6]. При этом.

решение считается элементом гкльбертово-собояевскогс пространства гуУ[п,

где п - размерность системы уравнений и / - индекс производной в норме. Для интегральных уравнений / > 1 и для уравнений с производными / > 2.

Метод нормальных сплайнов (НС) относится к классу методов коллока-ции, но в отличие от традиционных схем здесь базисная система функций не является априорно заданной (многочлены или полиномиальные сплайны), а строится по коэффициентам и функциям (при наличии интегральных членов) уравнения, а также в зависимости от выбора нормы пространства решений. Теоретической оснозой метода НС являются классические теоремы функционального анализа: СЛ. Соболева о вложении соболевских пространств в чебышевские [7] и Ф. Рисса о каноническом представлении (в виде скалярного произведения) линейных непрерывных функционалов в гильбертовых пространствах [8].

Б [4, 5, 6] приведены результаты реализации метода НС в пространствах уУ1п с показателем дифференцирования /= 1 и 2 для интегральных уравнений

первого рода (задачи численного дифференцирования) и для жёстких систем второго порядка. Первые результаты, демонстрирующие эффективность метода НС в вырожденных задачах, были представлены в [9]. Здесь метод был реализован для систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, неразрешенных относительно производных, и приведены примеры решения задач с вырожденными матрицами при производных. В данной работе излагается вычислительная схема метода НС для систем дифференциальных уравнений произвольного порядка в У/[л при / > 2 с оптимизацией сеток.

I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

A(t\t)x(t)+B{t)x(i)=f(t), 0<i <1, (1)

с условиями

Ge(o)+ £fcc(l) = g. (2)

Здесь х9 f, g е Rn, A(t), B(t), С, D - квадратные матрицы порядка п. Функция f(t) и коэффициенты матриц A(t) и /?(/) непрерывны. Кроме того,

они дифференцируемы столько раз, сколько требуется для обеспечения свойств решения уточняемых ниже. Метод [5, 6] допускает вырождение этих матриц. Этим охватывается проблема решения дифференциально-алгебраических систем, причем в универсальной схеме.

Система (1), (2) считается разрешимой в гильбертово-соболевском пространстве W2 J [ОД] при / > 2. В случае неединственности (в вырожденных

случаях) под решением задачи будем понимать нормальное решение. В данной работе используются нормы

I

п

4„ -JE

Ш*,(гНо)!Л*,%М (3)

.М> • О J

Здесь и далее обозначают производные порядка г>0, при этом

_ , ' ш '

также х.. = х;1.

А 1

Метод [5, 6] является методом коляокации. Он основан на переходе от функциональных уравнений (1) к конечной системе равенств на некоторой сетке 0 < U < t2 <... < tm < 1:

A{tk)x{tk)+B(tkk = (4)

3 * —• |» » .»¿v. н j * I • ■ "ж ' f 1 Л * и • V"/T I

'A *

Метод нормальной сгатайн-коллокации заключается в поиске решения системы (2), (4), доставляющего минимум норме (3). Такое решение существует и единственно в случае совместности системы. Этот факт является следствием известной [7, 8] теоремы вложения соболевского пространства

в чебышевское пространство С'4 [ОД] функций, непрерывных вме-

• • I.

сте с производными порядка / —I. В силу этого вложения значения компонент искомого решения x;{t) и его производных х^г\() в любой точке t е [0,1] при 1 < г < I -1 являются линейными непрерывными функционалами

от ф>гнкций являющихся элементами пространства Ж2/[0Д]. Норма

этого пространства б соответствии с (3)

*}

п=М (5)

' V'=0 о

Введём обозначения для левых частей системы (2), (4)

0) + ^ху(1)} к = 0;

(6)

Соответственно, система (2), (4) принимает вид

п

I

j=\

п

'*(*) = Я/, /* <*) = /,&), 1 ^ /* 1 < к < т. (7)

Функции (6) являются линейными комбинациями линейных непрерывных функционалов от компонент функции лг(-) е следовательно, каждая функция 11к (•) может рассматриваться как линейный непрерывный

функционал в пространстве вектор-функций ^ ,/[0,1]. Соответственно, каждое уравнение системы (2), (4) , или же системы (7), определяет гиперплоскость и множество решений системы как пересечение этих гиперплоскостей в случае разрешимости исходной задачи (1), (2) будет непустым, выпуклым и замкнутым. Элемент минимальной нормы этого пересечения называется нормальным сплайном и обозначается в дальнейшем хт.

Согласно теореме Ф. Рисса [8] линейные непрерывные функционалы могут быть представлены в виде скалярного произведения, соответствующего выбранной норме. Соответственно, система (7) примет форму системы линейных уравнений в ^2 ;/[0,1]. Канонические образы функционалов системы

(7) составляют базис представления нормального сплайна, аппроксимирующего искомое решение. Коэффициенты этого представления определяются обобщённым методом Лагранжа [10] как решения системы линейных уравнений с матрицей Грама координатной системы. Изложению канонического представления и формирования матрицы Грама посвящен следующий пункт.

Последовательность нормальных сплайнов хт сходится к нормальному решению системы (1), (2) в норме (3) при стремлении максимального шага сетки к нулю [5]. Кроме того, в [6] получена следующая оценка аппрок-

симации нормального решения получаемым сплайном через норму невязки уравнения (1).

Обозначим невязку уравнения (1) на нормальном решении хт системы (7) через

(рп\1) = А(0хт (0 + В(0хт(0 - ДО. (8)

Имеет место [6] оценка уклонения а-и от (нормального) решения систе-

мы (1), (2) х°:

1,п

<с

<р

т

(9)

Здесь С - константа, ограничивающая (равномерно) нормы обратных операторов задач минимизации нормы (3) при условиях (2), (4).

Оценка (9) открывает путь для построения оптимальных неравномерных сеток, что очень валено при решении жёстких систем. Сходимость в норме ¡¥,„ влечет равномерную сходимость, следовательно, в процессе реализации

метода для повышения точности следует переходить к новым сеткам, мини-

мизируя величину

<Р

т

. В узлах коллокацик выполняются равенства

<рт^к)-0. В силу этого минимизации норхмы невязки можно добиваться простым и достаточно надёжным эвристическим способом, добавляя узлы в области наибольших промежуточных (между узлами) значений (рп\/).

. г

2. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ

Представление функционалов (6) пространства Ж/;/[0,1] в виде скалярного произведения, соответствующего норме (3), удобно получить через представление их элементов и Последние являются линейными непрерывными функционалами в пространстве скалярных функций [0,1] с нормой (5).

Представление элементарных функционалов в ЙР^л осуществляется с помощью воспроизводящего ядра [11], т.е. функции (?(£,/), обладающей следующими свойствами:

1) для любого / е [0,1] функция £(-,?) е [0,1];

2) для любой функции *,(•) е Ж/ДОД] и любого /е[0,1] имеет место представление х{ (0 =

Здесь и далее (у)(я) означает скалярное произведение, соответствующее норме (3), следовательно,

г=0

КРШ г(г) а*' у

V (0) +/

о

дзг ' К '

(10)

Из интегрального представления (10) функции *.(•) следует аналогичное представление её производных:

, Х-1

1<г</-1.

(11)

1

Таким образом, имея воспроизводящее ядро О(я^) пространства ]У2л[0,1], которому принадлежат компоненты *.(•) решений исходной задачи, мы по-

лучаем каноническое представление точечных функционалов ), 0 < г < / — 1. Именно, каноническими образами этих точечных функционалов являются функции <ЭгС7(-,/А. )/Э/г, 0 < г < / -1 пространства [ОД], порождаемые воспроизводящим ядром.

Л * 'Кг*

В [5, 6] показано, что ядро<7(.?./) для нормы (5) является функцией Грина

краевой задачи, разрешающей вариационное равенство (10). Эта функция определяется краевой задачей

д*21' ' ( ' ~ ' ( }

где 0 < г < I -1, с условием скачка

&2М &2М 1 ;' и ;

Там же получены решения этих задач для /=/ и 2. Построим решение этой задачи в общем случае.

Теорема. Решение краевой задачи (12, 13) имеет вид

/-1 +г ( , 1\/+г _2/—/■"—I ^

Е-.

ССМ)Ч

^ } 5 5 , 0<3<Г<\-,

г=0 г\

ч (2/-Г-1)! Ну

(?(М), 0<t<s<l.

(14)

Справедливость формулы (14) проверяется подстановкой её в соотношения (12), (13).

Имея представления (10) и (11), построим канонические образы линейных функционалов 1.к (•) пространства определяющих согласно (6) левые части решаемой системы (7). Такими образами являются вектор-функции й'ЧО, принадлежащие \у!п (соответственно к^ €ЙР2д) и такие, что

Соответствие индексов ¡л = //(/,£) установим формулой

//(/, А:) = пк + /, 1 £ I < и, 0 < & < т. (16)

В силу определения (6) система (7), содержащая N = (т + \)п уравнений, записывается в каноническом виде

где функции Им в соответствии с (6), (10), (11), (15) имеют компоненты

и правая часть (18)

3. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Итак, аппроксимирующая задача метода нормальной сплайн-коллокации заключается в нормальном решении системы линейных уравнений (в гильбертовом пространстве (17). Согласно методу Лагранжа [10] это решение представляется в виде

ы

(20)

Коэффициенты и (множители Лагранжа) определяются системой ли-

неиных уравнении

n

(21)

где gfiV - коэффициенты матрицы Грама системы , т.е.

С •*").-.*;>-£ «г • ' - (22)

м м

В соответствии с (18) и свойствами воспроизводящего ядра (/(.?, 0> ком" поненты гфавой части (22) имеют следующий вид:

ср;С(и.с(о,о; + (ср^ + )С(од; + <1ааав(\9\). *=/ = о;

р.мСр.^^^С''/./; =<

® у

с

Р)

^р/

+

0 = к<1< т;

+ к' (<* (',) + (', >„ (Г. , 1 < к < 1 < т.

Матрица Грама | симметрична, поэтому достаточно сформировать ее

коэффициенты при 1 < // < V < N. Таким образом, реализация метода нормальной сплайн-коллокации при заданном разбиении отрезка сводится к формированию коэффициентов матрицы Грама, решению системы линейных уравнений (21) с симметричной, положительно определенной (как правило) матрицей и построению решения в произвольных точках £ е [ОД]

по (18), (20).

Для решения системы (21) в общем случае следует использовать метод квадратного корня и в случае плохой обусловленности или вырождения мат-

рицы Грама эффективным является метод сопряженных направлений, удобный для итеративной регуляризации вычислительного процесса.

4. РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ

Описанный метод нормальной сплайн-коллокации реализован и опробован на ряде тестовых примеров, в частности, неразрешенных относительно производных.

Пример 1. Задача из [1] решения системы (1) с матрицами

(г П '

А( /) =

ч0 0У ч

у 8 t 1

/

В [1] показано, что система (1) при условии у+ 81Ф1 имеет единственное

решение при любой правой части / е С22 [0,1]. Кроме того, показано, что

разностные методы Адамса, Рунге-Куггы, неявная схема Эйлера, а также классические кол локационные схемы расходятся при значениях параметра у = 0,-1, -2,-3,.... Метод НС дает приближенное решение в любом совместном случае.

Решалась начальная задача (1), (2), соответствующая решению хх (0 = е! 8ш(1) * я-2(/) = со8(/)на равномерной коллокационной сетке с 51 точкой. В таблице приведены уклонения полученных сплайнов от точного решения на удвоенной сетке. Звездочкой отмечены случаи нарушения условия у+ Зт Ф1. При этом возможно определяется нормальное решение.

Уклонения сплайнов от точного решения Таблица 1

у \ 8 -1 0 2

2 1,36е-1 * 1,83е-2 6,02е-3

0 1,09е-2 2,09е-2 2,0бе-2 *

-1 7,79е-3 1,08е-2 9,19е-2 *

-2 5,58е-3 7,31е-3 1,95е-2

Пример 2. Начальная задача из [3] для «жесткого» уравнения: ех(0 + (1 + /)х(0 = 2,5(1 + /), 0<^<1, х(0) = -1, точным решением которой

является *(/) = 2,5 - 3,5<Г(/Ч2')/(2е).

Задача решалась при 8=0,03125. В таблице 2 приведены результаты решения задачи на равномерной сетке с 11 интервалами в различных пространствах. Невязка вычислялась в норме Ь2.

Также решалась задача в Ж22 [ОД] с оптимизацией сеток. Норма невязки

минимизировалась градиентным методом с разностной аппроксимацией производных. Полученная сетка сгущается к началу интервала, где решение имеет крутой фронт (погранслой). При этом невязка уменьшилась с 0,89 до 0,0315 и погрешность - с 0,615 до 0,0241.

Пространство Невязка Погрешность

8,9е-01 6,15е-01

IV3г 9,2е-01 6,59е-01

6,17е-01 4,41е-01

Ж52 4,27е-01 3,05е-01

3,15е-01 2,21с-01

1,87е-01 1,18е-01

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

#

1. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.

2. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Ь. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

3. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

4. Горбунов В.К. Редукция линейных интегральных уравнений с равномерной погрешностью в правой части // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. № 2. С.210-223.

5. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации // ЖВМ и МФ. 1989. Т.29. №2. С.212-224.

6. Горбунов В.К. Экстремальные задачи обработки результатов измерений. Фрунзе: Илим, 1990.

7. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

8. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1986.

9. Горбунов В.К., Петрищев В.В. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений // Ученые записки УлГУ. Сер. «Фундаментальные проблемы математики и механики» Вып. 3. Ульяновск, 1997. С.125-132.

10. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

11. Арошдайн Н.Теория воспроизводящих ядер // Сб. «Математика». 1963. Т.7. Вып.2. С.67-130.

Горбунов Владимир Константинович, доктор физико-математических паук, профессор кафедры «Прикладная математика» Ульяновского государственного университета, окончги1 факультет общей и прикладной физики Московского физико-технического

института. Имеет монографии и статьи в области теории и численных методов оптимального управления, нелинейного программирования и некорректно поставленных задач.

Петрищев Вячеслав Владимирович, аспирант Ульяновского государственного университета, окончил механико-математический факультет Ульяновского государственного университета, имеет публикации в области численных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

УДК 517.988.67 И. В. К0Н0Г1 ЛЕВА

ОБОБЩЕННАЯ ЖОРДАНОВА СТРУКТУРА И ТЕОРЕМА ГРОБМАНА-ХАРТМАНА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ФРЕДГОЛЬМОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ1

Доказаны варианты теоремы Гробмана-Хартмана для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным фредгольмовым оператором при производной.

Пусть Ех и Е2 банаховы пространства, А: Е] з ЭА -> Е 2, В: Ех => Е2

плотно заданные замкнутые линейные фредгольмовы операторы, где ВИ сД, и А подчинен В (т.е. || Ах\\<\\ 5л:|| на Вр) или ВА аО„ и В подчинен А (т.е. || Вх\\<\\ Ах\\ на ПА). Рассматривается дифференциальное уравнение , .

А— = Вх~И(х), Я( 0) = 0, 7?х(0) = 0. (I)

Ж

#

Цель этого сообщения - доказать теорему Гробмана-Хартмана [1,2] для уравнения (1).

1. Предполагается, что для подпространств нулей операторов А и В

М(А) = $рап{ф[,...,фП1},ЬТ(В) = зрап{$11У...ууп} и дефектных подпространств ♦ А А *

Ы\А)~храп{у/х,...уу/т}^ {В)-8рап{у/^...,у/п} биортогональные системы

>=<>„ выбраны так, что выполняются следующие условия биортогональности [3,4] для соответствующих жордановых цепочек

({ф^}, * = и*/, ¿ФУ = < ф\х),>= 0, »9 = = 1,..,/*,

<(р\*\У] >=0, у = 1,.= =с!е1[< >]*0; для со-

пряженных оператор функций А -ЛВ и

В -уА

жордановы цепочки

= = и {у^},^ = 1,..у = 1,...,« определяются ана-

логично):

¿Г = ¡,к = 1,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант № 0101-0019

Вестник УлГТУ 3/2001