Построение обобщенных базисов Милнора некоторых четырехмерных метрических алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

Построение обобщенных базисов Милнора...

УДК 512.81

Построение обобщенных базисов Милнора некоторых четырехмерных метрических алгебр Ли*

П.Н. Клепиков, Д.Н. Оскорбин

Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

Construction of Milnor's Generalized Bases for Some Four-dimensional Metric Lie Algebras

P.N. Klepikov, D.N. Oskorbin

Altai State University (Barnaul, Russia)

Для трехмерных групп Ли с левоинвариант-ной римановой метрикой хорошо известны базисы Милнора — ортонормированные базисы, в которых структурные константы зависят от малого числа параметров. Эти базисы удобны для вычислений левоинвариантных тензорных полей.

Однако построение этих базисов привязано к размерности 3, что заставляет искать другие методы построения аналогичных базисов для метрических алгебр Ли более высокой размерности.

Рассматривается способ построения обобщенных базисов Милнора четырехмерных метрических алгебр Ли, для которых структурные константы алгебры зависят от малого числа параметров. Данный способ основан на изучении пространства орбит левоинвариантных римановых метрик групп Ли и может быть использован для построения базиса в конечномерных метрических алгебрах Ли.

В процессе построения обобщенных базисов Милнора мы используем классификацию вещественных четырехмерных метрических алгебр Ли Г.М. Мубаракзянова, а также известные факты о группах автоморфизмов этих алгебр.

Построенные базисы удобно использовать для вычисления и изучения инвариантных тензорных полей, а также сигнатур операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками.

Ключевые слова: группы Ли, алгебры Ли, обобщенные базисы Милнора.

БМ 10.14258/izvasu(2015)1.1-13

The Milnor bases are orthonormal bases with structure constants being dependent on a small number of parameters. These bases are convenient for calculations of left invariant tensor fields, and they are well known for three-dimensional Lie groups with a left invariant Riemannian metrics.

However, a special technique is required for construction of similar bases for metric Lie algebras of a dimension higher than 3.

In this paper, a method of Milnor generalized bases construction for four-dimensional metric Lie algebras with structural algebra constants being dependent on a small number of parameters is considered. This method is based on studying the space of orbits of Lie groups left invariant Riemannian metrics. The proposed method can be used for the basis construction in finite-dimensional metric Lie algebras.

The G.M. Mubarakzyanov's classification of real four-dimensional metric Lie algebras is adopted for the process of Milnor generalized bases construction. Also, well-known facts about the automorphism groups of these algebras are used.

The constructed bases are useful for calculating and studying of invariant tensor fields and signatures of curvature operators on Lie groups with left-invariant Riemannian metric.

Key words: Lie groups, Lie algebras, generalized

Milnor's bases.

Введение. В случае трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой хорошо известны теоремы Милнора [1], которые да-

* Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ (грант НШ- 2263.2014.1), Правительства РФ (госконтракт № 14.В25.31.0029), Министерства образования и науки РФ (код проекта: 1148), а также Программы стратегического развития ФГБОУ ВПО «АлтГУ» (проект № 2014.312.1.4).

ют базис, удобный для вычислений инвариантных тензорных полей на трехмерных метрических группах Ли. Приведем формулировки этих теорем (см.: [1]).

Теорема 1. Пусть О - трехмерная унимоду-лярная группа Ли с алгеброй Ли 0, (•, •} — произвольное скалярное произведение в 0, соответствующее некоторой левоинвариантной римано-

вой метрике на группе Ли О. Тогда в д существует ортонормированный базис (базис Милно-ра) {е1,в2,ез} такой, что:

[е1, е2] = Азез, [е2, ез] = Л1е1, [ез, е1] = Л2е2,

\г € Д — структурные константы алгебры Ли д, г = 1, 2, 3.

Теорема 2. Пусть О — трехмерная неунимо-дулярная группа Ли с алгеброй Ли д, (•, •} — произвольное скалярное произведение в д, соответствующее некоторой левоинвариантной римано-вой метрике на группе Ли О. Тогда в д существует ортонормированный базис {е1, е2, ез} (базис Мил-нора) такой, что:

[е1, е2] = ае2 + вез, [е1, ез] = 7е2 + ¿ез, [е2, ез] = 0,

а, в, 7, ^ — структурные константы алгебры Ли д.

В случае трехмерных метрических групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой аналогичные базисы построены в работе [2].

Однако доказательство этих теорем жестко привязано к размерности 3. В случае произвольной размерности результаты работы [3] дают способ получения аналогов базисов Милнора.

1. Обобщенные базисы Милнора. Пусть О — п-мерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой; д — ее алгебра Ли; а М — множество левоинвариантных метрик на О. Его можно отождествить с множеством скалярных произведений в д (см. например: [3]).

Приведем лемму из [3].

Лемма 1.

М ^ сь„(м)/о(п).

Пусть М — множество классов эквивалентности М по отношению изометрии метрик, ВМ — множество классов эквивалентности М по отношению изометрии метрик с точностью до умножения на константу.

Основным инструментом построения обобщенных базисов Милнора будет следующая теорема, доказанная в [3].

Теорема 3. Пусть д — алгебра Ли, (•, -)о — скалярное произведение в д, {е1,...,еп} — ортонор-мированный базис алгебры относительно данного скалярного произведения, И — множество представителей ВМ.

Тогда для любого скалярного произведения (•, •} в алгебре д существуют константа А > 0, автоморфизм ф € Ли^д) и представитель д € И такие, что базис

{фде1, ..., фде„}

ортонормирован относительно Л • (•, •} (обобщенный базис Милнора).

Также нам потребуется хорошо известный факт из линейной алгебры (см. например: [4]).

Лемма 2. Для произвольной матрицы g G GLn(R) существует такая ортогональная матрица k G O(n), что

gk = {aij}, i,j = 1 ,n,

где либо aij, либо aji равен нулю, а aii = 0.

Далее мы используем классификацию четырехмерных вещественных алгебр Ли, полученную Г.М. Мубаракзяновым в работе [5], а также результаты работы [6], в которой приведены группы автоморфизмов четырехмерных вещественных алгебр Ли.

2. Пример. Рассмотрим пример построения обобщенного базиса Милнора на унимодуляр-ной алгебре Ли Азд ф Ai. Ее ненулевые коммутаторы имеют вид:

N; ез] = ei,

где е1, е2, е3 G A3j1, а dim A1 = 1.

Мы будем использовать следующий известный результат, доказанный в [7].

Теорема 4. Для алгебры Ли A3j1 ф A1 dim BM = 0.

Для построения обобщенного базиса Милнора для алгебры A3j1 фА1 нам потребуется следующая лемма.

Лемма 3. Для алгебры Ли А3д ф А1 выполняется

M = {[diag(a, 1,1,1).(, )о] | a> 0}.

Доказательство. По теореме 4 для алгебры А3д ф A1 dim BM = 0, а значит, коммутационные соотношения зависят от одного параметра. Пусть [(,)] G M — класс изометрий (,), а (, )0 — скалярное произведение, в котором базис {ei} ортонормирован. Значит, существует g G GL4(R) такой, что (,) = g.(, )0. Тогда нам надо показать что

3a > 0: [g.(, )о] = [diag(a, 1,1,1).(, )о],

g.f, •) = (g-S g-1-) — действие GL„(M) на M.

По теореме 3 это эквивалентно тому, что

3a > 0: diag(a, 1,1,1) G Aut(A3j1 ф A1)gO(4).

Так как g G GL4(R), то по лемме 2 существует такое k G O(4), что

a14 0,

0,

a44

причем 0 = det(gk) = ana22a33a44.

a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33

0 a42 a43

Построение обобщенных базисов Милнора.

Группа автоморфизмов алгебры А3д ф А имеет вид [6]:

Аи^Азд ф А)

23

где т23 = «22«зз — «23«32 и определитель матрицы не равен нулю.

т2233 «12 «13 «14\

0 «22 «23 0

0 «32 «33 0

0 «42 «43 «44/

Пусть

Ф :=

( «4 «6 «1 «2 «3\

0 «4 «5 0

0 0 «6 0

0 «7 «8 «9/

€ Аи1(А3,1 ф А1), где

«1 =

«2 =

— 012044 + (214(242

(Я22 )2 033044 012023044 — 013022044 + 014022043 — 014023042

«3 =

014

(022)2(033)2044

1 023

022033044 1

«4 =

022

«5 =

022 033

«6 =

«7 =

042

«8 =

033 022044

—022043 + 0230 + 42

022 033044

ад =

044

Тогда

Фдк =

/ 011

022033 0 0

\ 0

Сделав замену

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Он = 0

, где 011 = 0.

022033

и домножая, в случае необходимости, справа на diag( —1,1,1,1) € 0(4), получим

Лдк =

, где 0 > 0.

0000 0100 0010 0001

Теорема 5. Для произвольного скалярного произведения (•, •} на алгебре Ли А3д ф А1 существует (•, •} — ортонормированный базис {х в котором ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

с 1

с2,3

0, где 0 > 0.

Доказательство. По лемме 3 для алгебры Ли А-3Д ф А1 имеем

М ^ {[д.(, }о] | 0 > 0}, где д = ^(0,1,1,1).

По теореме 3 базис, полученный из {в^} матрицей перехода д-1 = diag(1/o, 1,1,1), будет орто-нормированным. Искомый базис будет иметь вид:

1

ад = — е\1 Х2 0

в2, Х3 = в3, Х4 = в4.

Ненулевые структурные константы в этом базисе будут иметь вид:

С2 3 = 0, где 0 > 0.

3. Применение обобщенных базисов Милнора. В качестве примера применения теоремы 5 получим спектры операторов Риччи, одномерной и секционной кривизн скалярных произведений на алгебре А3 д ф А1. Необходимые сведения о рассматриваемых операторах кривизны приведены, например, в [8].

Теорема 6. Спектр оператора Риччи в базисе теоремы 5 для алгебры А3 д ф А1 имеет вид:

2 2 2 сг сг сг

'Т

Спектр оператора одномерной кривизны в базисе теоремы 5 для алгебры А3 1 ф А1 имеет вид:

502 502 02 702 ~24' ~~24~' 24' ~24~

Спектр оператора секционной кривизны в базисе теоремы 5 для алгебры А3 1 ф А1 имеет вид:

302 02 02

— ,0,0,0,—,— 4 4 4

Доказательство. В базисе теоремы 5 характеристический многочлен матрицы оператора Риччи имеет следующий вид:

Р(х) = --(а2 - 2ж)(а2 + 2ж)2ж. 8

Характеристический многочлен матрицы оператора одномерной кривизны имеет следующий вид:

2

Характеристический многочлен матрицы оператора секционной кривизны имеет вид

Д(ж) = —ж3(За2 + 4ж)(а2 - 4ж)2,

что завершает доказательство теоремы.

1

Таблица 1

Обобщенные базисы Милнора

Алгебра Ли Ненулевые структурные константы

4Ai

А2 Ф 2А]_ С\ 2 = а, С^ 2 = Ь, где а > 0.

А3д Ф Ах С\ з = а, где а > 0.

А3,3 © А1 С\ з = С| з = а, Сд 4 = 6, где а > 0.

Аз,4 © А1 С[ з = —¿2_з = а, С1 з = с, СзА = С'£Л = Ъ, где а > 0.

А4Д С\ 4 = а, Сд 4 = 6, С3 4 = с, где а > 0, с > 0.

Л(2, /з^о 6^4 = а/3, С1л = (1-13)аЛ, С%л = С1л = а, С\л = ((1 - /3)е + ¿)ас, С\л=ас, где а > 0, с > 0.

иМ 4,5 С\л = С\л = С1л = а, где а > 0.

А4,8 С\ з = а, С\ 4 = 6, С| 4 = -С'з 4 = с, Сд 4 = 4 = е, где а > 0, с > 0.

Как следствие теоремы 6 получаем теорему, доказанную А.Г. Кремлевым и Ю.Г. Никоноро-вым в [9].

Теорема 7. В качестве сигнатуры операторов Риччи скалярных произведений на алгебре Ли Аз 1 ф Л\ реализуется только сигнатура (-,-, 0, +).

4. Обобщенные базисы Милнора некоторых четырехмерных метрических алгебр

Ли. В приведенной выше таблице 1 содержатся структурные константы обобщенных базисов Милнора для некоторых четырехмерных метрических алгебр Ли, построенных авторами.

Библиографический список

1. Milnor J. Curvatures of Left Invariant Metrics on Lie Groups. // Adv. Math. — 1976. — Vol. 21(3).

2. Родионов Е.Д., Славский В.В., Чибрико-ва Л.Н. Левоинвариантные лоренцевы метрики на трехмерных группах Ли с нулевым квадратом тензора Схоутена — Вейля // ДАН. — 2005. — T. 4.

3. Kodama H., Takahara A., Tamaru H. The Space of Left-Invariant Metrics on a Lie Group up to Isometry and Scaling // Manuscripta math. — 2011. — V. 135.

4. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. — М., 1980.

5. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли. // Изв. вузов. Матем. — 1963. — №1.

6. Popovych R.O., Boyko V.M., Neste-renko M.O., Lutfullin M.W. Realizations of Real Low-Dimensional Lie Algebras // J.Phys. A: Math. Gen. — 2003. — Vol. 36.

7. Lauret J. Degenerations of Lie algebras and geometry of Lie groups // Differ. Geom. Appl. — 2003. — № 18 (2).

8. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О спектре оператора кривизны конформно плоских римановых многообразий // ДАН — 2013. — Т. 450, № 2.

9. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Уни-модулярный случай // Мат. труды. — 2008. — Т. 11, №2.