Однородные инвариантные солитоны Риччи на четырехмерных группах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928.7+512.81

Однородные инвариантные солитоны Риччи на четырехмерных группах Ли*

П.Н. Клепиков, Д.Н. Оскорбин

Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

Homogeneous Invariant Ricci Solitons on Four-dimensional Lie Groups

P.N. Klepikov, D.N. Oskorbin

Altai State University (Barnaul, Russia)

Важным обобщением эйнштейновых метрик на римановых многообразиях являются солитоны Риччи, впервые рассмотренные Гамильтоном. Солитоны Риччи связаны с решениями уравнения потока Риччи. Однородная риманова метрика на однородном пространстве С/И, удовлетворяющая уравнению солитона Риччи, называется однородным солитоном Риччи. Такие метрики исследованы в работах многих математиков. Классификация однородных солитонов Риччи известна в малых размерностях и не является исчерпывающей.

Известно, что на трехмерных группах Ли с ле-воинвариантной римановой метрикой уравнение солитона Риччи не имеет решений в классе ле-воинвариантных векторных полей. Аналогичный факт известен для унимодулярных групп Ли с ле-воинвариантной римановой метрикой любых конечных размерностей. Однако для неунимодуляр-ных метрических групп Ли размерностей выше трех вопрос существования нетривиальных однородных инвариантных солитонов Риччи остается открытым.

В данной статье получен ответ на этот вопрос в размерности 4. При помощи обобщенных базисов Дж. Милнора уравнение однородного со-литона Риччи сведено к системе полиномиальных уравнений. Доказано отсутствие нетривиальных однородных инвариантных солитонов Риччи на четырехмерных метрических группах Ли.

Ключевые слова: группы Ли, алгебры Ли, инвариантный солитон Риччи, левоинвариантная риманова метрика, обобщенные базисы Дж. Милнора.

БМ 10.14258/izvasu(2015)1.2-21

Ricci solitons are important generalizations of Einstein metrics on Riemann manifolds. These metrics were first investigated by Hamilton. Ricci solitons are relevant to the solutions of the Ricci flow. Homogeneous Riemannian metric on the homogeneous space G/H satisfying the Ricci soliton is called the homogeneous Ricci soliton. Such metrics have been studied by many mathematicians. The classification of homogeneous Ricci solitons is known in small dimensions only, and it is not exhaustive.

It is known that for three-dimensional Lie groups with left-invariant Riemannian metric Ricci soliton equation has no solution in the class of left-invariant vector fields. A similar fact is proved for unimodular Lie groups with left-invariant Riemannian metric of any finite dimension. However, the existence problem for non-trivial invariant Ricci solitons on nonunimodular Lie groups of dimension > 3 remains open.

In this paper, we obtain the solution of this problem in dimension 4. The soliton equation by generalized Milnor's frames reduced to the system of polynomial equations. The absence of nontrivial homogeneous invariant Ricci solitons on four-dimensional Lie groups is proved.

Key words: Lie group, Lie algebra, invariant Ricci soliton, left-invariant Riemannian metric, J. Milnor's generalized bases.

* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» (код проекта: 1148).

1. Основные определения и обозначения. Пусть (М, д) — риманово многообразие размерности п; X, У, Z,V — векторные поля на М. Обозначим через V связность Леви-Чивита и через Е(Х, У)Z = V, Vx^ + VlX,Y^ тензор кривизны Римана. Тензор Риччи г определим как

г(Х, У) = ^(У ^ Д(Х, V)У).

Важным обобщением эйнштейновых метрик (см. например [1]) являются солитоны Риччи, которые были впервые рассмотрены Гамильтоном в работе [2].

Определение. Пусть (М, д) — полное рима-ново многообразие. Метрика д называется соли-тоном Риччи, если она удовлетворяет уравнению

г = Л • д + Ьхд, (1)

где г — тензор Риччи метрики д; Л € к; Ьх д — производная Ли метрики д по направлению полного дифференцируемого векторного поля X. Если М = О/Н — однородное пространство, то однородная риманова метрика, удовлетворяющая (1), называется однородным солито-ном Риччи.

Определение. Если риманово многообразие (М, д) есть эйнштейновое многообразие либо изометрично прямому произведению эйнштейно-вого многообразия и евклидова пространства, то метрика д называется тривиальным солито-ном Риччи.

Пусть далее М = О — группа Ли с левоинва-риантной римановой метрикой, д — ее алгебра Ли, а X — левоинвариантное векторное поле, тогда (1) можно переписать в терминах структурных констант алгебры Ли д:

Xк (С& gsj + СЦ gsг) + Гц = Лду, (2)

где Xк — координаты левоинвариантного векторного поля X; Ск — структурные константы алгебры Ли д; дц — компоненты метрического тензора; Гц — компоненты тензора Риччи; Л € к.

Определение. Пусть О — группа Ли с лево-инвариантной римановой метрикой д. Если метрика д является однородным солитоном Риччи, причем поле X в уравнении (1) левоинвариантно (т.е. д удовлетворяет уравнению (2)), то метрика д называется однородным инвариантным солито-ном Риччи.

Определение. Алгебра Ли д называется уни-модулярной, если

^(аа X) = 0, VX € д,

где аёX(У) = [X, У], для любых X, У € д.

2. Четырехмерные группы Ли с лево-инвариантной римановой метрикой. Далее мы рассмотрим четырехмерные группы Ли с ле-воинвариантной римановой метрикой.

Мы будем использовать классификацию четырехмерных действительных алгебр Ли, полученную Г.М. Мубаракзяновым в работе [3], а также удобные для вычислений базисы (обобщенные базисы Дж. Милнора) этих алгебр Ли, построенные в [4].

Замечание. Для любой конечномерной уни-модулярной группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой система уравнений (2) не имеет решений, отличных от тривиальных (см. [5]).

Рассмотрим далее все неунимодулярные четырехмерные алгебры Ли и докажем отсутствие нетривиальных решений системы уравнений (2).

Алгебра Ли 2А2.

Пусть {х} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли 2А2, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

С2 = С1,2 = а, С2 С1,3 = с, С2 С1,4 = -аЬ,

С2 = С2,3 = С2 С2,4 = а/, С1 С3,4 = /Н,

4 С3,4 = Н, С2 С3,4 = Ь(й + Н) + с/,

где а > 0, Н > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

(б2 + 2)а2 - /2Н2 + с2 + 2Л = 0, а(Ь2й + Ь2Н - /2Н + 2й) - 2X4/Н = 0, ((й + 2X 3)Н + 2а2)/ + Ьс(й + Н) = 0, ((2й + Н)/ - сЬ)а + 2X4Н = 0,

(б2 - 2/2 - 2)а2 + (-4/X4 + 4X1)а+

+ (б2 - 2)й2 + (2Ь2Н + 2Н - 4X3)й+

+ Ь2Н2 + с2/2 + с2 - 2Л = 0,

(б2 + /2 + 2)Н2 + (2Ь2й - - 4X3)Н+

+ (а2 + й2)Ь2 + (2а2 + с2)/2 + 2Л = 0,

((2й + 2НД3 + 2а2 - 2Xха + + Н))Ь+

+ 2/(aX2 - сН + cX3) =0,

(2а2/ + 2X4а + /Н(й + Н))Ь - 2X2а-

- (2й - Н + 2X3)с = 0,

(б2 + /2 + 2)Н2 + 2Ь2йН + Ь2й2 + 2й2+

+ (/2 + 1)с2 +2Л = 0,

2(й + Н)(а/ + X4)Ь - 2c/X4 + 2ас-

- 2Xхс - 2X= 0.

Последовательно исключая Л и X1, получаем, что Ь = с = й = / = 0 и а = Н, что соответствует тривиальному солитону Риччи. Система (2) в случае алгебры Ли 2а2 нетривиальных решений не имеет.

Алгебра Ли а2 ф 2аь

Пусть {х} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли а2 ф 2а1, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

С1,2 = а С4,2 = Ь,

где а > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

2Л + 2а2 + b2 =0, X2 а = 0,

4Xха - 2Л — 2а2 — b2

0,

Л = 0,

Cl,3 = C2,3 = а C2,3 = b C3,4 = c C3,4

где а > 0, b > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

d,

2b(a + X3) - dc = 0, с(3а + 2X3) = 0,

аХ2 - dX4 = 0,

c2 + d2 + 2Л = 0,

аХ1 + ЬХ2 - сХ4 = 0, (3а + 2Х3)й + Ьс = 0, 4а2 + 4аХ3 - б2 - с2 + 2Л = 0, 4а2 + 4аХ3 + б2 - ¿2 + 2Л = 0, 4а2 + б2 + с2 + ¿2 + 2Л = 0.

Разность последнего и четвертого уравнений дают 4а2 + б2 =0, что противоречит условию а > 0, Ь > 0. Система (2) в случае алгебры Ли а32 ф а1 решений не имеет.

Алгебра Ли а33 ф а1.

Пусть {хъ} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли а33 ф а1 , тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

С1,3 = С2,3 = а С3,4 = Ь,

где а > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

4а2 + 4аХ3 - Ь2 + 2Л = 0,

2а2 +2аХ3 + Л = 0, аХ1 - ЬХ4 = 0, Х2 а = 0, 4а2 + Ь2 + 2Л = 0,

Ь(3а + 2Х3) = 0,

b2 + 2Л = 0.

Разность пятого и последнего уравнений дают а2 = 0, что противоречит условию а > 0. Система (2) в случае алгебры Ли a33 ф a1 решений не имеет.

Алгебра Ли a^ ф a1.

Пусть {xi} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли a35 ф a1; 0 < |а| < 1, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

C 3 — а, C2 3 — c, C2 3 — аа, C3 4 — d, C3 4 — b,

2,3

2,3

l

2

3,4

Х 2Ь = 0, Х1Ь = 0, 2Л - Ь2 = 0.

Из четвертого уравнения следует Л = 0, а значит из последнего получаем Ь = 0. Но тогда первое уравнение дает а = 0, что противоречит условию а > 0. Система (2) в случае алгебры Ли а2 ф 2а1 решений не имеет.

Алгебра Ли а32 ф а1.

Пусть {хъ} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли а32 ф а1 , тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

где а > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

(2а + 2)а2 + 4Х3а - c2 - d2 + 2Л = 0, 2а2а2 + 2а(а + 2Х3)а - b2 + c2 + 2Л = 0, 2а2 (а2 + 2) + b2 + c2 + d2 + 2Л = 0, d^a + 2а + 2Х3) = 0, ((2а + 1)а + 2Х 3)b + cd = 0,

2с(а + Х3) - Ьй = 0, аХ1 + сХ2 - ¿Х4 = 0, ааХ2 - ЬХ4 =0, Ь2 + ¿2 + 2Л = 0.

Вычитая последнее уравнение из третьего, получаем

2а2 (а2 + 2) + с2 =0,

что противоречит условию а > 0. Система (2) в случае алгебры Ли а35 ф а1 решений не имеет. Алгебра Ли а37 ф а1.

Пусть {хъ} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли а37 ф а1, а > 0, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

Cl,3 = C2, 3 = аа, Cl,3

C3 4 = bc + da,

C 2

C3,4

ca--,

b

C2,3 = ab,

где а > 0, b > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

(аХ 1 - dX4)а + b(aX2 - cX4) = 0, ^bc - d)X4 - a(abX2 - X 1) = 0, 3аа^ + (d(b2 - 3)а + 2bcX3)а + ab3c - 2dX3 = 0,

(а2 + c2)b4 + 2ab3cd + ((4а2 + c2 + d2)a2 -

- 2а2 + 2Л)Ь2 - 2abcd + а2 + d2 = 0,

(а2 + c2)b4 + 2ab3cd + ((d2 - 4а2)а2-

- 4X3аа - 2Л)Ь2 - а2 = 0,

a2bcd + ((c2 - 2a2)b2 + 2а2 - d2^-

- 2ab2X3 - bcd + 2aX3 = 0,

a2b4 + ((4а2 - c2^2 + 4X3аа + 2Л)Ь2+

+ 2abcd - а2 - d2 = 0,

b4c2 + 2ab3cd + ((c2 + d2 )а2 + 2Л)Ь2-

- 2abcd + d2 = 0,

(3аа + 2X 3)cb3 + (3аа + 2X 3^db2 -

- aabc + ad = 0.

d

Вычитая из четвертого предпоследнее уравнение, получим

а2Ь2(4а2Ь2 + (Ь2 - 1)2) = 0,

что противоречит ограничениям на структурные константы и параметры алгебры Ли. Система (2) в случае алгебры Ли а37 ф а1 решений не имеет. Алгебра Ли ав2.

Пусть {ж^} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли ав 2, в = 0, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

С1 4 = ав, С21 4 = (1 - в)ай, С22 4 = С33 4 = а,

С3 4 = ((1 - в)е + й)ас,

С2 С3 4

где а > 0, с > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

ас(ве - й - е)(2ав + а + 2X4) = 0, (((в - 1)й2 - е(в - 1)2й - в - 2)а - 2X4)ас = 0, (с(й + е - ве^3 + (X1 - ¿X2)в + ¿X2)а = 0, а(cX3 + X2) = 0, X 3а = 0,

((с2е2 + й2 - 2)в2 - (2е(й + е)с2 + 2й2 + 4)в+ + с2(й + е)2 + й2)а2 - 4X4ав - 2Л = 0,

(((2в2 + с2 - в - 1)й - с2е(в - 1))а+

+ 2^4(в - 1))а = 0,

(с2 - в2й2 + (2й2 - 2)в - й2 - 4)а2-

- 4X4а - 2Л = 0,

((2й(в - 1)е - (в - 1)2е2 - й2 - 1)с2-

- 2в - 4)а2 - 4X4а - 2Л = 0,

((2е(й + е)в - в2е2 - й2 - 2йе - е2 - 1)с2-- (й2 + 2)в2 + 2вй2 - й2 - 4)а2 - 2Л = 0.

Рассмотрим первое уравнение. Оно, с учетом а > > 0, с > 0, дает нам два возможных варианта: Если й = е(в-1), то из второго уравнения следует, что X4 = — ^а(/3 + 2). Но тогда из остальных уравнений системы следует а2с2 =0, что невозможно в силу ограничений на структурные константы. Если X4 = — ^а(2/3 + 1), то из седьмого уравнения следует, что й = е(в - 1). Далее из второго уравнения получаем в = 1, но тогда остальные уравнения системы снова дают а2с2 = 0. Система (2) в случае алгебры Ли ав 2 решений не имеет. Алгебра Ли а4 3.

Пусть {ж^} — обобщенный базис Дж. Милно-ра алгебры Ли а4 3, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

С1 4 ^ а, С2 4 ^ Ь, С3 4 ^ с, С3 4 ^ й,

где а > 0, й > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

2X4Ь - йс + 2аЬ = 0, 2Л + Ь2 - й2 = 0,

с(а + X 4) = 0, 2X 4й + Ьс + ай = 0, 2Л + с2 + й2 = 0, ^3 = 0,

4X4а + 2Л - Ь2 - с2 + 2а2 = 0, aX1 + ЬX2 + cX3 = 0,

2Л + 2а2 + Ь2 + с2 + й2

0.

Из пятого уравнения получаем, что Л = = — ^(с2 + й2). Но тогда последнее уравнение дает 2а2 + Ь2 =0, что невозможно, так как а > 0. Система (2) в случае алгебры Ли а4 3 решений не имеет.

Алгебра Ли а4 4.

Пусть {ж^} — обобщенный базис Дж. Милно-ра алгебры Ли а4 4, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

С11 4 = С22 4 = С33 4 = а, С21 4 = Ь,

С3 , 4 = с, С3 , 4 =

где а > 0, Ь > 0, й > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

с2 - 4X4а - 2Л + Ь2 - 6а2 = 0,

й2 - 4X4а - 2Л — Ь — 6а2

0,

4X4 а + 2Л + с2 + 6а2 + й2 = 0, 2Л + 6а2 + Ь2 + с2 + й2 = 0,

йс - 2X4Ь - 3аЬ = 0,

с^4 + 3а) = 0,

2X 4й + Ьс +3ай =0, aX1 + bX2 + cX3 = 0,

aX2 + ^3 = 0,

X 3а = 0.

Заметим, что если сложить первое и третье уравнения, то получим Ь2 +2с2 + й2 = 0, что невозможно, так как Ь > 0 и й > 0. Система (2) в случае алгебры Ли а4 4 решений не имеет.

Алгебра Ли а^

Пусть {ж^} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли а^ ав = 0, -1 ^ а ^ в ^ 1, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

С11 4 = а, С21 4

= аЬ(а - 1) , С22 4 = аа, С| , 4 = ай(а - в), С3,4 = ва, Сд1, 4 = а(Ьй(а - 1) + с(в - 1)),

где а > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

(аЬй - Ьй + вс - с)(аа + 2а + 2X4) = 0, (Ьй(а - 1) + с(в - 1))X3 + X2(а - 1)Ь + X1 = 0, а^3 - в^3 + аX2 = 0, X3ва = 0,

((а - 1)2(й2 + 1)Ь2 + (2(в - 1))(а - 1)йсЬ+ + (в - 1)2с2 - 2а - 2в - 2)а2 - 4Х4а - 2Л = 0,

((1 - а)((в - а)й2 + в + 2)Ь-

- сй(в - 1)(в - а))а - 2ЬХ4(а - 1) = 0,

((-Ь2 + ¿2 - 2)а2 + (-2вй2 + 2Ь2 - 2в - 2)а + в2й2 - Ь2)а2 - 4Х4аа - 2Л = 0,

(((Ь2 + 2)а2 + (-2Ь2 - 2в + 1)а + Ь2 - в)й+ + Ьс(а - 1)(в - 1))а - 2йХ4(в - а) = 0,

((а - 1)2Ь2й2 + (2в - 2)(а - 1)йсЬ+ + (в - 1)2с2 + (а - в)2¿2 + + 2в (а + в + 1))а2 + 4Х 4ва + 2Л = 0,

((а - 1)2(й2 + 1)Ь2 + (2в - 2)(а - 1)йсЬ+ + (в - 1)2с2 + (а - в)2й2 + 2а2+

+ 2в2 +2)а2 + 2Л = 0.

2с + Ьй(в + 2а)а + 2Х4йЬ = 0, аХ2 - ЬвХ3 = 0, ааХ1 + сХ2 + ¿Х3 = 0, авХ2 + ЬХ3 = 0,

(2в + а)а3 + 2а2Х4 - Ь2(2в + а)а-

- 2Ь2Х4 - Ьсй = 0.

Пусть 0, тогда X4 = _ а(М(/?+2о;) + ас) ^ ^ ТОГда из второго уравнения получаем а2с2 + Ь2й2 = 0, что невозможно в силу ограничений на структурные константы.

Пусть й = 0. Тогда из второго уравнения системы получаем, что либо с = 0, а = Ь, а = в, что соответствует тривиальному солитону Риччи; либо с = 0 и X4 = — (2/3 + а)а, откуда получаем (а2 + 2в2)(а2 + Ь2) = 0, что невозможно. Система (2) в случае алгебры Ли а^'^ нетривиальных решений не имеет.

Алгебра Ли а47.

Пусть {хъ} — обобщенный базис Дж. Милно-ра алгебры Ли а4,7, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

Первое уравнение дает нам три случая:

Пусть X4 = — т^а(а + 2). Но тогда из остальных

уравнений системы следует

С1,4 = 2а,

С2,4 = с

С2,4 = С3,4 = а С3,4 =

с2,3 = ь,

С2'4 = е,

(а - 1)2Ь2 + 2а2 + 2(в + 2) = 0,

что невозможно в силу ограничений на параметры алгебры Ли.

Пусть с = — _ Тогда либо получаем триви-

альный солитон Риччи при Ь = й = 0, а = в =1; либо а2(й2 + 1)(2а2 + 1)2 = 0, что невозможно, так как а > 0.

Пусть в = 1. Тогда Ь = й = 0, а = 1 и снова получаем тривиальный солитон Риччи. Система (2) в случае алгебры Ли аО"'5 нетривиальных решений не имеет.

Алгебра Ли а^.

Пусть {хъ} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли а^'^, а = 0, в ^ 0, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

С1

С 3

С1

" п 1

С2'4 = С3'4 = вa,

С|'4 = Ь,

где а > 0, Ь > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

(2а2 + 4ав)а2 + 4Х4аа - с2 - ¿2 + 2Л = 0, ((в + 2а)а + 2Х4)с - Ьй = 0, Ь4 + ((2а2 + 4в2 - 2)а2 + с2 + й2 + 2Л)Ь2 + а4 = 0, ((2ав + 4в2)а2 + 4Х 4ва + с2 + 2Л)Ь2 + а4 = Ь4, ((2ав + 4в 2)а2 + 4Х 4ва + й2 + 2Л)Ь2 + Ь4 = а4,

где а > 0, Ь > 0, е > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

й2 - 8Х4а - 2Л + Ь2 + с2 - 16а2 = 0, 2Х3Ь + 2Х4с - ей + 5ас = 0, е2 - 4Х4а - 2Л - Ь2 - с2 - 8а2 = 0, 2Х2Ь - 2Х- 5ай = 0,

4Х4 а + 2Л + Ь2 + й2 + 8а2 + е2 =0, 2Л + 12а2 + с2 + й2 + е2 =0,

2Х 4е + сй + 4ае = 0, 2аХ1 + сХ2 + йХ3

2Х2а + 2Х3е + Ь = 0,

2Х3а Ьс = 0.

Последовательно исключая из системы Л и Хъ, необходимо получаем, что с = = 0. Но тогда разность третьего и пятого уравнений дают е2 = 0, что невозможно в силу ограничений на структурные константы. Система (2) в случае алгебры Ли А4'7 решений не имеет.

Алгебра Ли Ав

4'9 *

Пусть {хъ} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли Ав 9, -1 < в ^ 1, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

С1'4 = а(в + 1), С13 = Ь, С

С3 4 = /(в -1), С3'4 = й,

2,4 С 3

С

2,4

ав,

где а > 0, Ь > 0.

а

0

с

2

1

с

а

В этом базисе система (2) имеет вид

(Зав + 2а + 2X4)с - /йв + 2X3Ь + /й = 0, ((3 + 2в)а + 2X4)й - 2X2Ь = 0, (в - 1)(ав + 3а + 2X4)/ + сй = 0, авX1 + aX1 + cX2 + ^3 = 0, 4а2(в + 1)2 + 4X4а(в + 1) - Ь2 - й2 + 2Л = с2, 2X3/(в - 1) + 2X2а + Ьй = 0, 2aвX3 = Ьс, (4а2 + 2/2)в + 4а2 + 4X 4а + Ь2 + с2-

- /2 - в2/2 + 2Л = 0,

(4а2 + /2)в2 + (4а2 + 4aX4 - 2/2)в+

+ Ь2 + й2 + /2 + 2Л = 0,

(4а2 + /2)в2 + (4а2 - 2/2)в + 4а2+

+ с2 + й2 + /2 + 2Л = 0.

Последовательно исключая Л и Xг, получаем, что с = й = / = 0. Но тогда либо в = 1 и Ь = 2а, что дает тривиальный солитон Риччи; либо а2 (в2 + в + 1) = 0, что невозможно в силу ограничений на структурные константы. Система (2) в случае алгебры Ли ав 9 нетривиальных решений не имеет.

Алгебра Ли а" ц.

Пусть {ж^} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли а4 ц, а > 0, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

C1 , 4 C 2

2aa, C 3

C2,3 C 3

b,

C2,4 C1

C3,4 = a/

где a > 0, b > 0, / > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

16a2a2 + 8aaX4 - b2 - c2 - d2 + 2Л = 0, 5aac - ad/ + 2bX3 + 2cX4 = 0, (5aad - 2bX2 + 2dX4)/ + ac = 0, (4a/2 - 4a)a2 + (2/2X4 - 2X4)a + cd/ = 0, 2aaX1 + cX2 + dX3 = 0, 2aaX 2 + 2a/X3 + bd = 0, 2aa/X3 - bc/ - 2aX2 = 0, a2/4 + ((12a2 - 2)a2 + c2 + d2 + 2Л)/2 + a2 =0, a2/4 - (8a2a2 + 4aaX4 + b2 + c2 + 2Л)/2 = a2, a2/4 + (8a2a2 + 4aaX4 + b2 + d2 + 2Л)/2 = a2.

Пусть c = 0, тогда, поочередно выражая Л и Xг получаем

a2a2 d2/2 + a2a2c2 + a2d2/2 +

+ b2c2/2 + a2c2 + b2d2 =0,

что невозможно в силу ограничений на структурные константы.

Пусть с = 0. Тогда получаем, что либо / = 1 , й = 0 и Ь = 2аа, что соответствует тривиальному солитону Риччи; либо X4 = -2аа и й = 0, / = 1, что влечет Ь2 = 0, что невозможно. Система (2) в случае алгебры Ли а^и нетривиальных решений не имеет.

Алгебра Ли а412.

Пусть {ж^} — обобщенный базис Дж. Милнора алгебры Ли а412, тогда ненулевые структурные константы имеют следующий вид:

C1,3 = C2,3 = a Cl,4 = C2,4 = b

C1,4 = -c,

C3,4 = /,

C2,4 = d C3,4 = h

где а > 0, с > 0, й > 0.

В этом базисе система (2) имеет вид

4а2 + 4aX3 + 4Ь2 + 4bX4 + с2 - й2 - /2 + 2Л = 0, 2Ьс - 2Ьй + 2cX4 - 4 + /Н = 0, 4а2 + 4aX3 + 4Ь2 + 4bX4 - с2 + й2 - Н2 + 2Л = 0, 3а/ + 2bX1 + 2 + 2/X3 = 0, 3аН + 2ЬX2 - 2cX1 + 2НX3 = 0, 4Ь2 + с2 - 2сй + й2 + /2 + Н2 + 2Л = 0,

2aX1 - 3Ь/ + сН = 2/X4, 4а2 + /2 + Н2 = -2Л, 2aX2 - 3ЬН - / = 2НX4, аЬ = 0.

Из последнего уравнения, с учетом а > 0, получаем, что Ь = 0. Далее из восьмого и шестого уравнений получаем, что с = й ± 2а. Последовательно исключая из уравнений X1, необходимо получаем / = Н = 0. Но тогда из первого и второго уравнений получаем а(а + й) = 0, что невозможно, так как а > 0 и й > 0. Система (2) в случае алгебры Ли а4,12 решений не имеет.

Таким образом, справедлива Теорема. Пусть О — четырехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой д. Тогда на О не существует нетривиальных однородных инвариантных солитонов Риччи.

Далее рассмотрим алгебраические солитоны Риччи на четырехмерных группах Ли с левоин-вариантной римановой метрикой. Оператор Рич-чи р определим равенством д (р^), У) = г^, У), где X, У — левоинвариантные векторные поля на группе Ли О с левоинвариантной римановой метрикой д.

Определение. Группа Ли О с левоинвариант-ной римановой метрикой д и метрической алгеброй Ли д называется алгебраическим солитоном Риччи, если метрика д в некотором ортобазисе удовлетворяет уравнению

р(д)=Л • I + D,

(3)

c

a

d

Таблица 1

Алгебраические солитоны Риччи на 4-мерных конформно плоских группах Ли

Алгебра Ли g Структурные константы Л D G Der(g)

Аз,з © Ai 4,3 = с2,3 = «(« > °) -2а2 diag(0,0, 0,2а2)

А£7 © Ai 4,з = с2,3 = с2,3 = 4,з = ь, а, 6 > 0 -2а2 diag(0,0, 0,2а2)

a3,9 © Ai 4,з = ~4,2 = ~4,з = а, а > 0 а2 2 diag(0,0,0,

где p(g) — матрица оператора Риччи; Л € r — константа; I — единичная матрица; D — матрица оператора некоторого дифференцирования алгебры g.

Классификация нетривиальных алгебраических солвсолитонов Риччи на 4-мерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой, играющих важную роль при классификации однородных солитонов Риччи на разрешимых метрических группах Ли, получена J. Lauret [6]. С помощью обобщенных базисов Дж. Милнора четырехмерных групп Ли с левоинвариантной ри-мановой метрикой можно получить, в дополнение к результатам J. Lauret, описание алгебраических солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой в терминах структурных констант алгебр Ли. Ограничимся случаем конформно плоских групп Ли [7]. Для других четырехмерных метрических групп Ли доказательство проводится аналогично.

Теорема. Левоинвариантная риманова метрика на четырехмерной конформно плоской группе Ли G является алгебраическим солитоном Риччи в случаях, когда алгебра Ли g группы Ли G входит в таблицу 1.

Для доказательства теоремы будем использовать сведения из работы [7], содержащие структурные константы конформно плоских метрических алгебр Ли в обобщенных базисах Дж. Мил-нора. Кроме того, из определения алгебраического солитона вытекает, что матрица дифференцирования в уравнении (3) должна быть симметричной, поэтому в каждом из случаев будем находить только симметричные дифференцирования соответствующих алгебр Ли.

Рассмотрим метрическую алгебру Ли a3,3 ф ai. Согласно работе [7], ее ненулевые структурные константы имеют вид

В приведенном выше базисе система уравнений (3) имеет вид

-2а2 - ¿1 - С = 0 -2а2 - - С = 0 ¿2 =0 -2а2 - С = 0 -г4 - С = 0

Отсюда С = -2а2 и матрица оператора дифференцирования имеет вид В = Лад(0,0, 0, 2а2).

Рассмотрим метрическую алгебру Ли а3,б © а1. Согласно работе [7], ее ненулевые структурные константы имеют вид

c2,3

i, ci з = —a, a > 0.

Прямые вычисления показывают, что ее симметричные дифференцирования в приведенном выше базисе имеют вид В = {¿шд^!,^!, 0, ¿2) | г, е м}.

Отметим, что в приведенном выше базисе оператор Риччи тривиален, система уравнений (3) имеет вид В = -С • I, и имеет единственное тривиальное решение С = 0, В = 0.

Рассмотрим метрическую алгебру Ли а3«7 © а1. Согласно работе [7], ее ненулевые структурные константы имеют вид

'1,3

c2 , 3

a, С2 3 = —ci 3 = b, a > 0, b > 0.

Прямые вычисления показывают, что ее симметричные дифференцирования в приведенном выше базисе имеют вид В = {¿шд(£1,£1, 0,22) | г, е м}.

В приведенном выше базисе система уравнений (3) имеет вид

2а2 + С + г1 =0, 2а2 + С = 0, г2 + С = 0.

'1,3

= c22,3 = a, a > 0.

Прямые вычисления показывают, что ее симметричные дифференцирования в приведенном

D=

имеют вид

Г z1 z2 0 0 \

1 z2 z3 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0 z4

| zi € R

Очевидно, что система имеет единственное решение С = -22 = -2а2, = 0.

Рассмотрим метрическую алгебру Ли аз,д © а1. Согласно работе [7], ее ненулевые структурные константы имеют вид

1 л/1 + т2,

c1,3

c2,4

'1,2

c1,4

c2,3

1л/1 + то2, а > 0.

1

1

2

1

1

2

Прямые вычисления показывают, что ее симметричные дифференцирования в приведенном выше базисе имеют вид

D

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 z

| z е R

В приведенном выше базисе система уравнений (3) имеет вид

гш = 0, г + С = 0, а2Ь2 + а2 - 2С = 0.

Очевидно, что система имеет единственное реше-

ние то = 0, С = —z = т}а2.

Рассмотрим метрическую алгебру Ли А^'е®. Согласно работе [7], ее ненулевые структурные константы имеют вид

-1,4

= c2 4 = c| 4 = а, а = в = 1, а > 0.

c3 c3 , 4

Прямые вычисления показывают, что ее симметричные дифференцирования в приведенном

D=

имеют вид

i z1 z2 z3 0\

1 z2 z4 z5 0

z3 Z5 Z6 0

1 0 0 0 0

| zi е R

В приведенном выше базисе система уравнений (3) имеет вид

3а2 + С + ¿1 = 0, 3а2 + С + х4 = 0, 3а2 + С + = 0, 3а2 + С = 0, х3 = х5 = 0.

Очевидно, что система имеет единственное решение XI = 0, С = -3а2.

Рассмотрим метрическую алгебру Ли А^ 'в. Согласно работе [7], ее ненулевые структурные константы имеют вид

c1 , 4

c2 , 4

c3,4

c3,4

c2,4

b,

а > 0, Ь > 0.

Прямые вычисления показывают, что ее симметричные дифференцирования в приведенном

D=

имеют вид

Г z1 0 0 0\

1 0 z2 0 0

0 0 z2 0

1 0 0 0 0

| zi е R}.

В приведенном выше базисе система уравнений (3) имеет вид

3а2 + С + х1 = 0, 3а2 + С + х2 = 0, 3а2 + С = 0.

Очевидно, что система имеет единственное решение ¿1 = ¿2 =0, С = -3а2.

Рассмотрим метрическую алгебру Ли А4Д2. Согласно работе [7], ее ненулевые структурные константы имеют вид

c1,3 = c2,3 = а, c

1 — — c2,4 — b, c2 3 — — ci 3 — c,

2,4

c2,3

c2 c1,3

где а > 0, Ь > 0.

Прямые вычисления показывают, что ее симметричные дифференцирования в приведенном выше базисе имеют вид

D=

z 0 0 0

0 z 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

| z е r .

В приведенном выше базисе система уравнений (3) имеет вид

2а2 + 2Ь2 + С + х = 0, 2а2 + 2Ь2 + С = 0, С = 0.

Из второго и третьего уравнений получаем а2 + +Ь2 = 0, что противоречит условию а > 0. Значит, в данном случае система уравнений (3) решений не имеет. Теорема доказана.

1

1

2

3

2

3

Библиографический список

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна : в 2 т. / пер. с англ. — М., 1990.

2. Hamilton R.S. The Ricci flow on surfaces // Contemporary Mathematics. — 1988. — V. 71.

3. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли // Известия вузов. — 1963. — № 1.

4. Клепиков П.Н., Оскорбин Д.Н. Обобщенные базисы Милнора некоторых 4-мерных вещественных метрических алгебр Ли / / Избранные труды междунар. конф. «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаметальные проблемы науки и об-

разования», Барнаул, 11-14 ноября 2014. — Барнаул, 2014.

5. Luca Di Cerbo Generic properties of homogeneous Ricci solitons // Adv. Geom. — 2014. — V. 14 (2).

6. J. Lauret. Ricc soliton solvmanifolds // J. Reine Angew. Math. — 2011. — V. 650.

7. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О конформно полуплоских 4-мерных группах Ли // Владикавк. матем. журнал. — 2011. — Т. 13, №3.