ПОСТРОЕНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ДЛИННОВОЛНОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ НАСЛЕДСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВУХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ

УДК 539.3

Н. С. Анофрикова, А. С. Бескровный

ПОСТРОЕНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ДЛИННОВОЛНОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ НАСЛЕДСТВЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВУХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ

В данной работе для случая двухслойной пластины, выполненной из наследственно-упругих материалов, для описания свойств которых в качестве ядра интегрального оператора используется функция Ржаницы-на, на основе методики, описанной в [1], выведены двумерные уравнения для асимптотически главных компонент напряженно-деформированного состояния (НДС) для тангенциального и поперечного приближений.

Рассмотрим бесконечную двухслойную пластину, оба слоя которой выполнены из наследственно-упругих материалов. Введем декартову систему координат (х1,х2,г), совмещая плоскость 0х\х2 со срединной плоскостью пластины и направляя ось г по нормали к срединной плоскости. Введем обозначения: / — номер слоя (/ = 1, 2), оЛ — напряжения,

и(/) — перемещения в 1-м слое пластины, 2Н/ — толщина 1-го стоя и 2Н толщина пластины.

Будем предполагать, что граничные условия на внешних поверхностях и на стыке двух слоев пластины имеют вид, представленный в статье [1].

Приведём точные трехмерные динамические уравнения теории наследственной упругости для пластины. Уравнения движения имеют вид

(г = 1 = 1, 2):

д°1 + Л + дОЦ _ .д^

3x1 дxj дг д£2 ' , .

доЦ + дЛ + да§ _ д2и1 ()

дх^ дхл дг д^2 '

где р/ — плотность материала слоя, £ — время.

Уравнения состояния в интегральной форме для 1-го слоя возьмем следующие (г = ] = 1, 2,3):

1Е' (+I?) = (1 + *) - * К' + ** + г«- ^

где

Е' = Е' (1 - Г/*), й = V' + Г*. (3)

Здесь Е' — мгновенное значение модуля Юнга, V' — коэффициент Пуассона, — символ Кронекера и Г* — интегральный оператор /-го слоя.

В качестве ядра интегрального оператора будем использовать простейшее и в то же время достаточно общее слабосингулярное ядро Ржа-ницына, тогда

£

Г е-№-т)

Г*/(*) = - т)1-а, /(Т) <1Т- (4)

0

где к' — параметр вязкости, а' — параметр сингулярностп (0 < а' < 1) и в' — параметр затухания (в' > 0) 1-го слоя.

Произведем в уравнениях (1), (2) растяжение масштабов независимых переменных по формулам статьи [1].

Введем безразмерные параметры:

в' = Ь-1п-аС21в', к' = (Ь^с-/)-"1 к', (5)

где а — показатель динамичности, с21 — скорость волны сдвига в первом слое, п = Ь,Ь-1 ^ 1 — относительная полутолщина пластины, Ь — характерный размер длины.

Будем считать, что дифференцирование и интегрирование по безразмерным переменным не меняет асимптотический порядок неизвестных величин. Остановимся на случае так называемых длинноволновых низкочастотных приближений [2]. Согласно классификации, приведенной в [2], длинноволновые приближения разделяют на тангенциальные и поперечные, соответствующие теориям растяжения и изгиба тонких пластин соответственно.

В случае тангенциальных приближений тангенциальные компоненты вектора перемещений велики по сравнению с его нормальной компонентой (4' > 4'', г

= 1, 2)

каждого слоя связаны соотношением д = а.

Применяя методику, описанную в статье [1], было установлено, что зависимость компонент НДС пластины от нормальной координаты для

рассматриваемого случая имеет такой же вид, как в случае модели стандартного вязкоупругого тела, а система разрешающих уравнений для асимптотически главных компонент НДС записывается следующим образом (г = 1 = 1, 2):

дТ д$7- , дЧ

Я"1 + яГ^ _ 2рН^ = 0,

дхг дхЛ- д£2

(д?у ■ ди ■ \

+ д^] = ^12%,

2 [hiEiF2i (1 - F|2) + h2E2F22 (1 - F2!)] ^ +

du»

дх» du ■

+2 [hiEiFîiFsi (1 - F322) + h2E2F22F32 (1 - ] ^ = = (1 - F2i) (1 - Fâ) Ti,

где

Fil = 1 + V + r?, F21 = 1 - Г?, F31 = v + Ц2^Г*. (6)

Выражения для перемещений ц , усилий T» , и усредненной плотности р совпадают с аналогичными из [1].

В случае построения поперечных приближений нормальная компонента вектора перемещений велика по сравнению с его тангенциальными компонентами (Ц^ ^ и(1), i = 1, 2). При этом показатели изменяемости и динамичности для каждого слоя связаны соотношением 2q = а + 1.

Зависимость компонент НДС для рассматриваемого случая имеет такой же вид, как в случае модели стандартного вязкоупругого тела (см.

[I])-

С помощью методики, описанной в [1], были получены разрешающие двумерные уравнений относительно перемещений и» и w, усилий T», Sj, моментов M», Hj и перерезываюгцих сил N» (i = j = 1, 2):

dT дМ дН» dN dN д 2w

77- + = 0, —- + —- N» = 0, —- + —^ - 2ph—r = 0, дх» dxj ох» dxj ох» dxj dt2

[hiEiFi2F2i + h2 E2FiiF22^ ^ + диЛ

дх^ дх» y

дд 2 ^^

-2hih2 (EiFi2F2i - E2FiiF22) д—д- = FiiFi2Sj ,

дХ»дХ j

2 [^ЕА (1 - ^322) + (1 - Я^)]

дм;

+2 [^Е^А (1 - ^2) + ^^22^32 (1 - ^>)]

дм,

дж2

[Е1^21 (1 - ^32) - £2*22 (1 - ^О]

д

дж2

-2^1 ^2 [ЗДА (1 - ^2) - Е2^22^32 (1 - ^и)

= (1 - ^ (1 - ^32) Т;, 2^1 ^2 [Е1^21 (1 - - Е2^22 (1 - ^321)]

дж2

+ 2^ [ЗДА (1 - ^2) - £2*22^32 (1 - ]

дм, дж,

2

Ь1 (ь2 + з^2) Е1^21 (1 - ^2) +

+ (Ь2 + 3Ь2) Е2^22 (1 - ^32)

дж2

2

Ь (Ь2 + 3Ь2) ВДА (1 - ^22) +

3

+ Ьз2 (Ь2 + 3Ь2) Е2^22^32 (1 -

(1 - £2) (1 - ^2) М;,

32

д 2ш дж2

^1^2 [Е1^12^21 - Е2^11 ^22]

дм,

+

2Ь

1 (Ь2 + 3Ь2) Е1^21^12 + ^ (Ь2 + 3Ь2) Е2^11^22

2Ь

2 ( 2

д

х ^^ = .

3 1 2 3

Выражения для двумерных неизвестных величин совпадают с аналогичными, приведенными в [1], а операторы Гц определяются формулами (6).

Выведенные приближенные уравнения могут быть использованы для исследования процессов распространения нестационарных волн в конечных, полубесконечных и бесконечных двухслойных наследственно-упругих пластинах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Анофрикова Н. С., Вильде М. В. Низкочастотные длинноволновые приближения трехмерных динамических уравнений для случая двухслойной вязкоупругой

пластины /У Вести, Самар, гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат, науки. 2009. Вып. 19, № 2. С. 99-106.

2. Kaplunov Ju.D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San-Diego : Academic Press, 1998. 226 p.

УДК 531.383: 532.516

А.Ю. Блинкова, A.B. Калинина, Д. В. Кондратов, Е. В. Попова

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ РЕБРИСТОЙ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ С УПРУГИМИ ВНЕШНЕЙ И ВНУТРЕННЕЙ ОБОЛОЧКАМИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ

В современных условиях постоянно возрастают требования к режимам эксплуатации современных конструкций в машиностроении. Одно из основных требований это высокая вибрационная стойкость при относительно небольшом весе конструкций. Высокую вибрационную стойкость можно обеспечить, добавив в механическую систему вязкую жидкость, при этом уменьшая толщину упругих элементов конструкции [1, 2]. Рассмотрим одну из возможных конструкций.

Рассматривается следующая механическая система, представленная на рисунке : 1 упругая внешняя геометрически нерегулярная оболочка, свободно защемленная на концах; 2 упругая внутренняя геометрически регулярная оболочка, свободно защемленная на концах; 3 слой вязкой несжимаемой жидкости, полностью заполняющий пространство между внешней и внутренней оболочками.

Механическая модель системы Конструкция крепится на некоторую поверхность, к которой приложено переносное виброускорение. Будем предполагать, что вибрация осуществляется по гармоническому закону. Кроме того, сделаем следующие