Тангенциальные низкочастотные длинноволновые приближения трехмерных уравнений для случая вязкоупругой двухслойной оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ

УДК 539.3

Н. С. Анофрикова, К. М. Денисова

ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ НИЗКОЧАСТОТНЫЕ ДЛИННОВОЛНОВЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ ОБОЛОЧКИ

В работах [1, 2] описаны асимптотические методы, разработанные для построения приближенных теорий для двухслойных вязкоупругих пластин и многослойных упругих оболочек. В данной работе показано применение этих методов к выводу тангенциальных низкочастотных длинноволновых приближений трехмерных уравнений теории вязкоупругости для случая двухслойной оболочки произвольного очертания.

Рассмотрим полубесконечную двухслойную оболочку произвольного очертания, оба слоя которой выполнены из изотропных вязкоупругих материалов. Считаем, что вязкоупругое поведение материалов описывается моделью стандартного вязкоупругого тела с условием упругого объемного расширения. Введем триортогональную систему координат (а1, а2, а^гдеа^ а2 - параметры линий кривизны срединной поверхности оболочки, а3 - расстояние по нормали от срединной поверхности. Заметим, что поверхность а3 = 0 соответствует срединной поверхности оболочки и в общем случае не является поверхностью раздела слоев. Примем следующие обозначения: 1—номер слоя (I = 1, 2), 2^ - толщина слоя, 2Н - толщина оболочки. Трехмерные динамические уравнения теории вязкоупругости для каждого слоя оболочки возьмем в виде: уравнения движения

1 д^ + ± д] + М + ^ дН

Н, да, Щ да,] да3 НЩ да,,

, 1 дЩ(а(0 + ^ + дЩЩ¿0 + _1 дЩ= 0

+ НЩ да3 + ^ > + НЩ даз ^ + Щ даз °г3 Р д ¿2 = 0 ,

1 да]

(г)

г3

Иг д аг

+

1 да

(г)

з3

И3 д а у

+

д а

(г)

33

1 дИ;

+

1 д Иг И^

гИз „(г)

о а33 +

д а3 33

уравнения состояния

д а3 Иг д а3 1

г (г)

а

гг

1 д И а«+

И, д а -3 33

(1)

ИгИу

1 дИз ат +

аг3 +

ИгИу д аг

ИгИу д ау

д Иг (I)

-3 -г-д*

д Ч(1) д щ =0,)]

Е г ¡21

(I)

1 ду\ Иг д аг

1 д Иг

+---13 +

ИгИу д ау 3 Иг д а3

г (I) , 1 д Иг (1)\ г (I) , г ( (I) , (0ч " у3 Ч = ¡31 агг) + ¡41 {а)- + а33),

Е[/21

ду3 \ = / а« + / {аи + ^

= ¡3га33 + ¡4 г{агг + азз ),

да

3

(2)

Ег

( )

2{1 + V)

Е

¡2

1 ду) Иу дау

( )

+

1 ду

Иг даг

1 дИг

ИгИу да у

г (г) -у) —

1 дИз ¿А = /и аС

ИгИу даг 3

гу

¡2

1 д у

( )

+

д

( )

1 д Иг (г) \ г (г) с, • 1

-Ч = ¡иЪз,{г = 3 = 1,2)

2{1 + V) \Иг д аг д а3 Иг д а3

где а3 - напряжения, ^р- перемещения в I -м слое оболочки, Ьпг - характерное время релаксации, Ь2г - характерное время ползучести, Ег, иг - мгновенные значения модуля Юнга и коэффициент Пуассона, рг - плотность материала слоя, Ь - время, Иг - параметры Ламе, ¡п, ¡2г5 ¡3г5 ¡41 -дифференциальные операторы, определяемые выражения-

ми: ¡^ = (£ + I). ¡3г = 1 + 2+ ¡4г = 1

-Vк = 1, 2.

- 1 I 1~2п

¿21

Ьи )

Коэффициенты Ламе выбранной триортогональной системы координат задаются соотношениями

Иг = Лг^ 1 + ^ {г = 1, 2),И3 = 1, (3)

где Лг и Яг не зависят от а3 и представляют собой соответственно коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки.

Лицевые поверхности оболочки считаем свободными от напряжений. Тогда граничные условия на них имеют вид

а3 а3

-к : а3) = 0,

= к :

а& > = 0,

а® = 0, а® = 0.

3

Граничные условия на стыке двух слоев оболочки, условия полного контакта имеют вид

ппи а _ - • ^(1) _ ^(2) „(1) _ „(2) _(1) _ _(2) „(1) _ „(2) при аз _ . а3г _ а3г , „ _ иг , -33 _ ^33 , „3 _ „3 , (5)

где х1 _ к — 2к1.

Произведем в уравнениях (1) - (2) растяжение масштабов независимых переменных по формулам:

а _ Яп9£ г, «3 _ I _ Яс—Ут, (6)

где д - показатель изменяемости, а - показатель динамичности, с21 -скорость волны сдвига первого слоя, п _ кЯ—1 << 1 - относительная полутолщина оболочки, Я - характерное значение радиусов кривизны срединной поверхности оболочки.

Предположим, что дифференцирование по безразмерным переменным не меняет асимптотического порядка неизвестных величин. Кроме того, будем рассматривать случай, когда скорости волн сдвига для материалов первого и второго слоев - величины одного порядка. Введение независимых переменных (6) позволяет методом асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории вязкоупругости (1), (2) вывести асимптотически приближенные уравнения для составляющих напряженно-деформированного состояния (НДС) при различных показателях изменяемости и динамичности [1, 2].

В настоящей работе остановимся на случае так называемых длинноволновых низкочастотных тангенциальных приближений. К этому виду относятся приближения, для которых показатели динамичности и изменяемости удовлетворяют неравенствам д < 1, а < 1 и связаны соотношением д _ а.

Асимптотику НДС возьмем в виде

„<« _ Я(п%0® + ч'+Ч1'4),»3« _ я(п»3(,) + >А3т), -!? _ Е(4м + п-Л

_ Е (-2°+п-Г), -3? _ Е (п1—' -Г+п2—'-К0), -33 _ Е(»2"-2-33" + п-33").

33 33

Здесь предполагается, что величины с индексами «О» и «1» сверху имеют один и тот же асимптотический порядок. Величины с индексом «О» соответствуют основному НДС, совпадающему с НДС плоского слоя [1], величины с индексом «1» - дополнительному НДС, учитывают влияние кривизны оболочки.

Подставляя (7) в (1), (2), записанные в безразмерных переменных (6), отбрасывая члены порядка 0(п2-24), приравнивая члены одинакового порядка по п интегрируя полученные системы уравнений, устанавливаем, что зависимость компонент НДС от нормальной координаты совпадает с аналогичной для случая упругой многослойной оболочки [21. В част-

ности, для компонент зависимость имеет вид:

0(1)

1(0 о(0 о(0 _

и3 , агг , агу, , а

о(1) Ш)

зг

а.

зз

эта

vг

0(1) _ 0(1)

= Чо

V.

1(1) з

= V

1(1) 3,0 ,

а т = а0(1) а0(1) = а

агг = агг,0, агу = а»

а.

1(1)

зг

= а

1(1)

+ СаЗи + С 1а1\

2 1(0

зг,0

зг,2

о(0 = 0(1)

а оо — а о

+ ^ 0(0 + С 2 а 0 '33 = а33,0 + ^°33,1 + Ч а33,2

Здесь величины с запятой в нижнем индексе не зависят от Подставляя представления (8) в граничные условия (4), (5), записанные в безразмерной форме, устанавливаем связь между компонентами

НДС первого и второго слоев и получаем замкнутую систему относи-

ттттп 0(1) 1(1) 0(1) 0(1) тельно асимптотически главных компонент НДС vi , v3 , аг> , агу .

Приведем двумерную форму записи разрешающей системы:

0(1) г3,0 ,

2 0(0

(8)

г3,

1 дТг 1 д Б г

Аг д аг

+

гз

Ау д аj

+ ку (Тг - Ту )+ 2кгБгу - 2рН

Т1 Т2 п д 2и „

-+Ж=0,

д 2иг

= 0,

н2е2

-¡12121 + 3—■-111.122

1 + У\

1 +

1 диг , А у дау

кгиг +

1 диу

а да- ку и

г 3•

(1 ди' и) \

А ^ + кгЧ + - ) -

(1 ди' и \

А да + куиг + щ) =

= (.31 - ¡41)(/32 - /42)Тг, где приняты обозначения: кг = иг = —Пч? и = —П2чVзo) >

Т = 2(к1Е1а0(0 + Н2В2¿0$), Бгу = 2(/»1Е1 а™ + Ьл_Е^), р =

Полученные уравнения могут быть использованы для построения решений вдали от фронтов волн при исследовании процессов распространения нестационарных волн в многослойных вязкоупругих оболочках.

Исследования выполнены при поддержке РФФИ (грант 11-0100545).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Анофрикова Н. С., Вильде М. В. Низкочастотные длинноволновые приближения трёхмерных динамических уравнений для случая двухслойной вязкоупругой пластины // Вести, Самар, гос. техн. ун-та. Сер, Физ.-мат, науки, 2012, №4(29), С. 115-121.

2, Вильде М. В., Коссович Л. Ю., Шевцова Ю. В. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая многослойной тонкой оболочки // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2012. Т. 12, вып. 2. С. 56 - 64.

УДК 519.615

А. А. Барышев, Ю. В. Лысункина

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ К АНАЛИЗУ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ МАТНЕМАТ1СА

Анализ распространения гармонических волн в системах с дисперсией приводит к необходимости определения зависимости между частотой волны ш и волновым числом х. Эта функция задана неявно трансцендентным уравнением, которое в большинстве практически важных случаев имеет вид

Р (х,ш)_0. (1)

Такое уравнение будем называть дисперсионным. Свойства рассматриваемых в работе систем таковы, что при частоте ш может одновременно распространяться бесконечное число волн. Под решением дисперсионного уравнения (1) будем понимать зависимость х _ X (ш), либо ш _ ш (х), определяющую волну, распространяющуюся с частотой ш и постоянной групповой скоростью.

Будем считать, что один из аргументов действительный, а другой, вообще говоря, комплексный. Функция Р(х, ш) - непрерывная почти всюду в области изменения своих аргументов. Конкретный вид этой функции даже в простейших задачах динамики сплошной среды является достаточно сложным для аналитического исследования. Поэтому нахождение корней (1), как правило, проводится численно [1]. Однако известные нам алгоритмы имеют существенные недостатки, связанные со значительными затратами машинного времени.