CC BY
14
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нагар Ю.Н., Ольшанский В.Ю., Панкратов В.М., Серебряков A.B. Об одной модели ньезогироекона // Мехатропика, автоматизация, управление. 2010. .ТУ2 2. С. 71-74.
2. Окадзаки К. Технология керамических диэлектриков. М,: Энергия, 1976.
УДК 539.3
Н.С. Анофрикова, Н.В. Сергеева
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОМ СЛОЕ: СЛУЧАЙ СИММЕТРИЧНОГО ПО НОРМАЛЬНОЙ КООРДИНАТЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
В работах [1 3] на примере упругого сдоя и цилиндрической ободочки показана возможность построения дисперсионных кривых с помощью асимптотических приближенных теорий. Данная работа посвящена исследованию влияния наследственности на поведение дисперсионных кривых в случае наследственно-упругого слоя,
материал которого описывается с помощью модели Работнова [4]. Будем рассматривать распространение волн в бесконечной наследственно-упругой пластине ограниченной плоскостями г = ±/г, в направде- _ нии оси х (рис. 1). Динамическое напряженно-деформированное состояние (НДС) пластины описывается уравнениями движения в напряже-
2а
X
Рис. 1
ниях, записанных для случая плоской задачи, и уравнениями состояния:
Еегг = агг - ¿>(^22 + &kk),
0 = а22 - i>(an + Gjj), (1)
E 6j = (1 + ¿>)0j, i = j = k = 1,3,
1 — 2v
где E = E(1 - Г*), > = v +-Г*,
Г*/(t) = k i Э_ 1 (-&,t - u)f (Qdu, (2)
— 00 2
Э_ 1 (—в*,^) = t (^в*) ^. , о-у, бу — компоненты тензора
напряжений и тензора деформаций соответственно, Е, V — мгновенные
значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона, к, в* _ параметры материала, Ь — время.
При изучении собственных колебаний будем исследовать свойства тех мод, которые изменяются во времени по гармоническому закону и удовлетворяют уравнениям движения, уравнениям состояния (1), записанным в перемещениях и напряжениях, и однородным граничным условиям на лицевых поверхностях. Тогда решение для перемещений vг будем искать в виде
V,, = vг(z)exp(iwí - (а* + гх)ж), (3)
где ^ - частота, х - волновое число, а* > 0 - коэффициент затухания, определяющий убывание амплитуды волны с увеличением координаты ж.
С учетом (2) и (3) уравнения состояния (1) можно переписать следующим образом:
ЕЕрегг = агг - ир(^22 + акк),
0 = ^22 - VР (&гг + ), (4)
ЕЕр ег3 = (1 + Vе К-, г = з = к = 1,3,
„р к р 1 2v к
где Ер =1--—, Vр = V +
в* + V 2 в* + V
Рассмотрим случай симметричного по нормальной координате НДС,
когда перемещение VI и напряжения ац, а33 являются четными по
нормальной координате функциями, avз, - нечетными. В этом случае
приходим к следующему дисперсионному уравнению:
4 чвтЬ(в) 2 2 втЬ(а) 74 еовЬ(а)—- а2х2-— еовЬ(в) = 0, (5)
где а2 = х2 - в2 = х* - 72 = х* - у, гх* = а* + =
1 - 2vр 2_ 22(1 + Vр) I Е
2-2^' " = ^ ЕР = С2^С2 ^2(1 + V)р'
материала.
Формально уравнение (5) имеет тот же вид, что и дисперсионное уравнение для упругой полосы (см. [1]), но в отличие от последнего уравнение (5) является комплексным. Поэтому дисперсионное уравнение в случае наследственно-упругого слоя в отличие от дисперсионного
уравнения упругого слоя (см. [1-3]) не имеет комплексно-сопряженных
х*
-х*
следовательно, существует симметрия дисперсионных кривых при замене х* на — х*-
Отсутствие комплексно-сопряженных корней ведет к нарушению симметрии частотного спектра относительно плоскостей х = 0 и а* = 0. Таким образом, в наследственно-упругом спектре ветви разделяются. На рис. 2, а, б, в показаны проекции на плоскость (ш*,х) ветвей дисперсионного спектра как с положительной, так и с отрицательной мнимой частью х* Для случаев: а) к* = 0.53, в** = 16) к* = 0.53,
в** = 2; в) к* = 0.05, в** = 1 ( К = \ —к, в** = \ ~в*) соответственно.
V С2 V С2
к в тем раньше и больше начинают расходиться дисперсионные кривые. На рис. 2, г изображены дисперсионные кривые для упруго-подобного материала (к* = 0).
2 ~ / У у
/Ч
^у
ь т 1ТггаГ|14
У\/
а. 1
Г/ ■ / У А
/
1 чтя иа1
А 44
<3.
X IX / 2; £ V
/
/
_¿г
С V
1
X
1 / ж ' 3
/
-—
^ ч 1 ■
<2.
Рис. 2
к
в
стремиться к упругому случаю. Также численные расчеты показывают, что дисперсионные кривые наследственно-упругого спектра, соответствующие действительным ветвям упругого спектра, являются
х
затухание решения по координате. Кроме того, из графиков видно, что в окрестностях частот запирания и частотных минимумов упруго-подобного спектра ветви наследственно-упругого спектра имеют
наибольшую кривизну. Увеличение значения k*, как и уменьшение значения в**-, ведет к сглаживанию дисперсионных кривых в этих областях.
Следует заметить, что для наследственно-упругого спектра теряют смысл понятия частоты запирания, так как х* = 0 ш* > 0 не являются корнями уравнения (5) и частотного минимума, поскольку при движении вдоль ветви ш* монотонно возрастает.
Таким образом, упруго-подобный спектр приближенно можно рассматривать как асимптотический для наследственно-упругого при k* ^ 0 в ** >> 1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кожанова, Т.В., Коссович Л.Ю. Дисперсионные уравнения Релея—Лэмба. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. 21 с.
2. Kapïunov J.D., Kossovich L.Ju., Nolde E. V. Dinamics of Thin Walled Elasfie Bodies. Jan Diego: Academic Press, 1998.
3. Гринченко В. Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук, думка, 1981. 284 с.
4. Работное Ю.И. Элементы наследственной механики твердых тел. М,: Наука, 1977. 384 с.
УДК 539.3
Н.С. Анофрикова, Ю.В. Шевцова
НИЗКОЧАСТОТНЫЕ ДЛИННОВОЛНОВЫЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОПРУГОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
В данной работе результаты асимптотических методов исследования динамических задач для тонких упругих пластин и оболочек 11 3] применяются к случаю двухслойных пластин, выполненных из вязкоупругого материала. В основу исследования положена методика непосредственного вывода асимптотических приближений из точных трехмерных уравнений [4].
Рассмотрим бесконечную двухслойную пластину, каждый слой которой выполнен из вязкоупругого материала, свойства которого описываются моделью стандартного вязкоупругого тела. В l-м слое
(1 = 1, 2) введем декартову систему координат (x^x^z(1)), совмещая
r\ (l) (l) (D
плоскость Ux\ x2 со средиппои плоскостью слоя и паправляя ось z(1)
по нормали к срединной плоскости. Введем обозначения: aj —
