CC BY
12
слоев с различными значениями времен релаксации (рис. 2): то в случае (а) наблюдается достижение большего максимального значения продольного усилия с одновременным более быстрым затуханием решения по координате по сравнению со случаем (б).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Бажанова Н. С., Коссович Л. К)., Сухоловская М. С. Нестационарные волны в вязкоупругнх оболочках : модель Максвелла // Изв. высш. учеб, завед. Сев, Кавк, Регион, Естеств, науки, 2000, JVS 2, С, 17-24,
2, Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, М., 1958. 207 с. "
3, Kapïunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego : Academic Press, 1998. 226 p.
4, Лапина П. А. Реконструкция трещиноподобных дефектов в вязкоупругой слоистой среде : дис. ... канд. физ.-мат, наук, Ростов-на-Дону, 2012,
УДК 539.3
Н. С. Анофрикова, Н. В. Сергеева
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА
В работе представлен численный анализ дисперсионных уравнений, полученных для осесимметричной задачи в случае наследственно-упругого полого цилиндра.
Постановка задачи. Для решения задачи о распространении гармонических волн в бесконечном полом круговом наследственно-упругом цилиндре в [1] были выведены дисперсионные уравнения для задач растяжения-сжатия (1) и кручения (3).
|Cmj | = 0, m,j = 1,4. (1)
Элементы определителя в уравнении (1) с номерами m = 1, 2, j = 1,4 имеют вид
2a
On = — (b2 — х2) Jo (as) H--Ji(as), C2i = — 2aixJi(as),
s
2a
Ci2 = — (b2 — X2) Yo(as) — —Y1(as), C22 = —2aixYi(as), (2)
s
Ci3 = —2bixJo(bs) + ^Ji(bs), C23 = — (b2 — x2) Ji(bs),
s
Ci4 = —2bixY)(bs) + ^Yi(bs), C24 = — (b2 — x2) Yi(bs),
s
1 — 2Vр 1 + Vр
где а2 = кр— х2, Ь2 = — х2, кР = 2 (1 — уру = ш2Ер^ + V) >
гХ = — 5 — гх-, X ~ волновое число, 5 > 0 - коэффициент затухания, ш -
пр к р 1 2v к
частота, Ер = 1--—, Vр = V +-----—, к, V в _ параметры
в + V гш 2 в + V гш
материала, </«(•), ^П(^) - функции Бесселя п-го порядка, п = 0, 1, Н
в =1+ п П = ~Е>1 Н ^ полутолщина цилиндра, Я - радиус срединной Я
поверхности цилиндра.
Элементы Ст- для т = 3, 4, ^ = 1,4 определяются формулами (2) при в = 1 — п
| =0, т, ^ = 1, 2, (3)
где элементы Яу, ^ = 1, 2, определяются выражениями
2Ь 2Ь
Яп = Ь2Jo (Ьв) — -Л(Ьв), Д12 = Ь2Уо(Ьв) — -У1(Ьв), (4)
в в
при в = 1 + п
Элементы ^ = 1, 2 определяются выражениям и (4) при в = 1 — п Исследования проводятся для случая, когда наследственно-упругие свойства материала описываются уравнениями состояния, взятыми в интегрально-операторной форме (см. [1]). В качестве ядра интегрального оператора используется дробно-экспоненциальная функция Работ-нова [2].
Анализ дисперсионных уравнений и их численных решений.
Формально дисперсионные уравнения (1) и (3) имеют тот же вид, что и соответствующие дисперсионные уравнения для упругого полого цилиндра [3], но, в отличие от последних, левая часть каждого из уравнений в наследственно-упругом случае является комплексно-значной функцией.
Дисперсионные уравнения (1) и (3) были решены численно методом продолжения решения по параметру [4].
На рис. 1 ,а, 2,а приведены проекции дисперсионных кривых на плоскость (ш,х) для: V = 0.3, Н = 0.35 и различных значений параметров материала. Сплошная линия соответствует значениям к = 0.5, в =1 пунктирная - к = 0.05, в = 1 штрих-пунктирная - к = 1, в =10;
к=0
ром ветки соответствует значениям 5 < 0, а знак «-» - значениям 5 > 0.
5=0
к- 1 н * 1 Ш н и 1
а б
Рис. 1. Проекции дисперсионных кривых на плоскости: о) (ш, х)-, б) (ш, 6) (случай растяжения - сжатия)
На рисунках 1,6, 2,6 приведены проекции дисперсионных кривых на плоскость (и, 5) для тех же значений параметров материала. Знак «+» над номером ветки соответствует значениям х > 0.
Рис. 2. Проекции дисперсионных кривых на плоскости: о) (ш,х),б) (ш,6) (случай кручения)
Анализ дисперсионных уравнений и их численных решений позволяет сделать следующие выводы.
1. Дисперсионные кривые наследственно-упругого спектра, соответствующие действительным ветвям упругого спектра являются комплексными с положительной мнимой частью х5 что определяет затухание решения по координате.
2. Для наследственно-упругого спектра теряет смысл понятие частоты запирания, так как х = 0 и и > 0не являются корнями дисперсионных уравнений.
3. При увеличении значения к и (или) уменьшении значения в дисперсионные кривые с положительной и отрицательной мнимой частью х начинают расходиться для более малых значений частот. В противном
случае, поведение дисперсионных кривых стремиться к упругому случаю.
4. В окрестностях частот запирания упругого спектра ветви наследственно-упругого спектра имеют наибольшую кривизну. Увеличение значения k, как и уменьшение значения в? ведет к сглаживанию дисперсионных кривых в этих областях. Таким образом, упругий спектр приближенно можно рассматривать как асимптотический для наследственно-упругого при k ^ 0 в >> 1 •
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Sergeeva N. V. The Dispersion Equations for Thin Viseoelastie Cylinder // Представляем научные достижения миру. Естественные науки : материалы V международной конференции молодых ученых «Presenting Academic Achievements to the World». Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 5. С. 179-185.
2. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М, : Наука, 1977. 384 с.
3. Березин В. Л., Каплунов Ю. Д., Коссович Ю. И. Дисперсионные уравнения для тонкого цилиндра. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1994. 17 с.
4. Барышев А. А., Лысункина Ю. В. О применении метода продолжения решения по параметру к анализу дисперсионных уравнений в системе Mathematica // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 108-111.
УДК 539.3
Э. В. Антоненко
АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ ПРОГИБА В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ И КОЛЕБАНИЙ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
1. Устойчивость и колебания механических систем с переменными характеристиками по длине их элементов представляют большую и сложную проблему. Поведение таких неоднородных систем зависит от величины критических сил и частот собственных колебаний [1-4].
Математическое содержание проблемы сводится к определению собственных значений дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами при заданных граничных условиях. Математические модели, основанные на классической теории дифференциальных уравнений и механике тонкостенных конструкций, не позволяют получить в общем виде аналитические зависимости для критических сил и частот собственных колебаний.
