Низкочастотные длинноволновые тангенциальные приближения трехмерных динамических уравнений теории вязкопругости для случая двухслойных пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

наибольшую кривизну. Увеличение значения k*, как и уменьшение значения в**-, ведет к сглаживанию дисперсионных кривых в этих областях.

Следует заметить, что для наследственно-упругого спектра теряют смысл понятия частоты запирания, так как х* = 0 ш* > 0 не являются корнями уравнения (5) и частотного минимума, поскольку при движении вдоль ветви ш* монотонно возрастает.

Таким образом, упруго-подобный спектр приближенно можно рассматривать как асимптотический для наследственно-упругого при k* ^ 0 в ** >> 1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кожанова, Т.В., Коссович Л.Ю. Дисперсионные уравнения Релея—Лэмба. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. 21 с.

2. Kapïunov J.D., Kossovich L.Ju., Nolde E. V. Dinamics of Thin Walled Elasfie Bodies. Jan Diego: Academic Press, 1998.

3. Гринченко В. Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук, думка, 1981. 284 с.

4. Работное Ю.И. Элементы наследственной механики твердых тел. М,: Наука, 1977. 384 с.

УДК 539.3

Н.С. Анофрикова, Ю.В. Шевцова

НИЗКОЧАСТОТНЫЕ ДЛИННОВОЛНОВЫЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОПРУГОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН

В данной работе результаты асимптотических методов исследования динамических задач для тонких упругих пластин и оболочек 11 3] применяются к случаю двухслойных пластин, выполненных из вязкоупругого материала. В основу исследования положена методика непосредственного вывода асимптотических приближений из точных трехмерных уравнений [4].

Рассмотрим бесконечную двухслойную пластину, каждый слой которой выполнен из вязкоупругого материала, свойства которого описываются моделью стандартного вязкоупругого тела. В l-м слое

(1 = 1, 2) введем декартову систему координат (x^, x^, z(1) ), совмещая

r\ (l) (l) (l)

плоскость Ux\ x2 со средиппои плоскостью слоя и паправляя ось z(l)

по нормали к срединной плоскости. Введем обозначения: aj —

напряжения, и^/ — перемещения в /-м слое пластины; 2Н/ — толщина слоя.

Будем предполагать, что наружные поверхности пластины свободны от нагрузки. Тогда граничные условия на них имеют вид (к = 1,3)

при г(1) = -Н1 озйд = 0, при г(2) = Ь/1 = 0.

(1)

Граничные условия на стыке двух слоев пластины — условия непрерывного контакта — сформулируем следующим образом [5]:

при г(2) = -Ь/2, г(1) = Н1 : ^,2 = &зк,1, Щ,2 = Щ,1. (2)

Приведем точные трехмерные динамические уравнения теории вязкоупругости для пластины. Уравнения движения возьмем в виде

даи/ За31,/ да3г,/ д2иг,/

+--тгт + -гг-ттт - Р/ = 0,

дХР дЩ дг(/) г и

дагз/ , да,з,/ дазз,/

+--^ + - Р/

дх)

(/)

дх

(/) дг (/)

дг2

д 2из,/

дг2

= 0,

(3)

Р/

Уравнения состояния для 1-го слоя могут быть записаны следующим образом [6]:

1

Е/\ — + ттт

д \ ди,/

г2/ дг) дх

"1 / (1 - 2у/) - (1 + V/)

1/(1 - 2у/) + 2(1 + V/)\ + д

з V г2/ ги дг

агг,/+

+

г2/

1 д диз,/ Е/ I — + — * 3,/

г1/

V/

д дг

(а33,/ + а33,/),

\г2/ дг) дг

1 ? (1 - 2v/) - (1+ V/)

1/(1-2^) . 2(1+ V/П . д

з V г2/ ги дг

аззл+

+ Е/

г2/

1 + V/ V г2/ дг,

г1/

'диг,/ + дщ

V/

д_ дг

(агг,/ + щ,/),

1

д

дх,

дхг

= и+а; ^,

(4)

Е/

1 д\(дщ, диз Л (1 д\

1 + V/ \ г2/ дг) \ дг дхг

(г = 2 = 1, 2; / = 1, 2), 123

где ¿1/ — характерное время релаксации, г2/ — характерное время ползучести, Е/, V/ — мгновенные значения модуля Юнга и коэффициент Пуассона 1-го слоя соответственно.

Произведем в уравнениях (3), (4) растяжение масштабов независимых переменных по формулам

х(/) = щ С(/), ¿(/) = ЬпС(/), г = Ьс-ут, (5)

где п/ = Ы/Ь-1 — малый параметр, Ь — характерный размер длины, д/ — показатель изменяемости, с2/ — скорость волны сдвига, а/ — показатель динамичности. Предположим, что дифференцирование по безразмерным переменным £(/), С(/), т/ не меняет асимптотический порядок неизвестных величин. Введение независимых переменных (5) позволяет методом асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории вязкоупругости вывести асимптотически приближенные уравнения для составляющих НДС при различных показателях изменяемости и динамичности. Остановимся на случае так называемых длинноволновых низкочастотных тангенциальных приближений. К этому виду относятся приближения, для которых д/ < 1, а/ < 1. Данный тип приближений соответствует теории растяжения тонких пластин. В этом случае тангенциальные компоненты вектора перемещений велики по сравнению с его нормальной компонентой иг,/ >> из,/.

Оценим величины времен ползучести и релаксации, вводя показатели их интенсивности по формулам

и/ = Ьс-/1п['г т*/, (б)

и будем предполагать, что гг/ < а/ (г = 1, 2).

При построении тангенциального приближения показатели изменяемости и динамичности для каждого слоя связаны соотношением д/ = а/. Введем следующие асимптотики для компонент НДС [7]:

щ,/ = ЬпГиз,/ = ЬП/ и3,/, ^¿¿,/ = Е/ ог3г,/, О?,/ = Е/ ,

озг,/ = Е/п?^4,/, озз,/ = Е/п?-2<?го0з,/ (г,; = 1, 2). (7)

Предполагается, что величины с индексом «О» имеют один и тот же асимптотический порядок.

В силу выбора асимптотик (7) в уравнения движения, записанные с учетом (5), (6) в рамках погрешности 0(п^~241), входят слагаемые, содержащие производные по ((/) от о^/ (г = 1,3). Такой выбор асимптотик позволяет удовлетворить всем граничным условиям на лицевых поверхностях при асимптотическом интегрировании.

Введем следующую зависимость компонент НДС от нормальной координаты:

и0 = и(°) и0 = и(°) + Л,/1) а0 = _(0) о = _(0)

иг,/ = иг,/ , из,/ = из,/ + ^з,/ , агг,/ = агг,/, аг,,/ = аг,,/,

а 0 = а(0) + >(1) а0 = а(0) + >(1) + > 2 _(2) /пл

а0г,/ = азг,/ + ^>азг,/, азз,/ = азз,/ + Сазз,/ + С азз,/, I8)

где величины с индексами в скобках не зависят от £(/).

Переход в граничных условиях (1), (2) к представлениям (7), (8) позволяет установить связь между компонентами НДС первого и второго слоев.

В результате асимптотического интегрирования получена система

(0) (0) (0)

относительно асимптотически главных компонент НДС и]/, а)г /. а)-

г, / 1 ьь,/1 г,, //

(0) (1) агз,/ агз,/

компоненты через асимптотически главные.

Приведем вид размерной двумерной формы записи полученной системы для асимптотически главных компонент НДС. Введем перемещения щ, усплия Т^ и усредненную плотность р по формулам

иг,1 = иг,2 = иг, Тг = 2(^^,1 + ^^,2), % = 2(^^,1 + ^^,2),

Р = -:-, Н = Н + Ь/2. (9)

Н

С учетом (9) система разрешающих уравнений для асимптотически главных компонент НДС имеет вид

+ 2р— - о

дхг дх, дг2 '

-/12/21 + z—,-/11/22

1 + vi 1+ v2

'диг + диЛ S

Ъ--г — J11J12Sij :

dxj dxi)

ди ди

2[h1E1(/32 + /42)/21 + h2E2(f31 + /41/22] ^ + j

у ^дх i ^дх j у — (/31 + /41)(/32 + f42)(Ti + Tj ),

— (+ I) /31 — 3 (^ + 21?) + & /4i — 1 (^ - 1+f) -

- i — j — 1, 2 l — 1, 2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kaplunov Ju.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London: Academic Press, 1998. 226 p.

2, Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1986, 176 с,

3, Коссович Л.Ю., Каплунов Ю.Д. Асимптотический анализ нестационарных упругих волн // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер, 2001, Т. 1, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 2, С, 111-131.

4, Каплунов Ю.Д., Кириллова И. В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ. 1993. Т. 57, вып. 1. С. 83-91.

5, Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М,: Наука, 1971.

6, Новацкий В. Динамика сооружений, М,: Госстройиздат, 1963, 376 с,

7, Коссович Л.Ю., Шевцова Ю.В. Асимптотические приближения трехмерных динамических уравнений теории упругости в случае двухслойных пластин // Проблемы прочности и пластичности: межвуз, сб. науч. тр. Н.Новгород: Изд-во Нижегород, ун-та, 2005. Вып. 67. С. 102-111.

УДК 533.6.011

Э.В. Антоненко, Н.А. Привалова МОДЕЛИ СТАНДАРТНОЙ АТМОСФЕРЫ

Использование летательных аппаратов (ЛА) в различных странах мира связано с единым подходом к аэродинамическому и баллистическому расчетам. Эти расчеты определяют летные и летно-тактические качества Л А, их прочность и допускаемые перегрузки.

Параметры атмосферы и ближнего космоса, определяющие нагрузки и прочность ЛА, зависят от географического положения, времени года, суток, от случайных метеорологических условий. Испытания ЛА требуется приводить к одинаковым условиям. Появилась необходимость создания некоторой условной стандартной атмосферы (СА), являющейся моделью действительной атмосферы, в которой отсутствуют колебания, связанные с метеорологическими или астрономическими факторами. Такие СА в различных странах мира появились в начале XX в. в виде таблиц и формул, позволяющих найти температуру Т, давление р, плотность р, скорость звука и другие характеристики газовой среды для любой заданной высоты И. Они отражают некоторое среднее состояние атмосферы.

В основе закономерностей, принятых в СА, лежит закон изменения температуры по высоте, найденный из опытов. Используя его, уравнение состояния и уравнение равновесия элементарного объема воздуха [1] в плотных слоях атмосферы

р = рКТ, йр = —дрхШ,