Построение модового базиса для резонатора сложной формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.413

ПОСТРОЕНИЕ МОДОВОГО БАЗИСА ДЛЯ РЕЗОНАТОРА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

ТРЕТЬЯКОВ О.А., ЧУМАЧЕНКО С.В.

2. Постановка задачи

Рассмотрим граничную электродинамическую задачу для уравнения Гельмгольца в цилиндрическом резонаторе с коаксиальным выступом длины l1

и закрепленным на нем диском радиуса d. Объем изучаемой резонансной системы состоит из трех частичных областей (см. рисунок), которые в дальнейшем могут заполняться диэлектриками.

Рассмотрена граничная электродинамическая задача для уравнений Максвелла в объеме сложной геометрической формы. Искомое электромагнитное поле пред-тавлено в виде разложения по элементам модового базиса с коэффициентами, зависящими от времени.

1. Введение

Предлагается общая схема решения системы уравнений Максвелла для внутренней граничной задачи электродинамики об электромагнитном поле в объемном цилиндрическом резонаторе сложной формы [2]. Ограничивающая поверхность полагается односвязной, идеально проводящей и достаточно гладкой.

Известный метод частичных областей позволяет свести поставленную задачу к отысканию решения бесконечной однородной системы линейных алгебраических уравнений относительно собственных частот рассматриваемого резонатора. Метод эволюционных уравнений [2-4] дает возможность провести исследования собственных частот (в данном случае электрического типа колебаний) и соответствующих им электромагнитных полей. При ненулевых собственных числах kn = 0 задача сводится к хорошо изученной в электродинамике граничной задаче на собственные значения для лапласиана. Нулевому

собственному числу k0 = 0 отвечают два подпространства «градиентных» собственных векторов, для которых производящими функциями являются решения скалярных задач на собственные значения Дирихле и Неймана. Найденные векторы образуют базис в пространстве решений поставленной задачи.

Электродинамические параметры среды є, ц, ст участвуют на заключительном этапе нашего рассмотрения, когда следует определить коэффициенты разложения электромагнитного поля по модовому базису [3]. Здесь материальные параметры могут быть константами (в случае однородной среды без временной дисперсии) или функциями координат (для неоднородных сред без дисперсии). Возможная на практике зависимость є, ц, ст от времени (что физически соответствует нестационарности среды) существенно усложняет уравнения Максвелла для комплексных амплитуд поля, делая их труднодоступными для решения даже при использовании приближенных, линеаризованных материальных уравнений. Поэтому в классической электродинамике ограничиваются лишь рассмотрением полей в линейных стационарных средах. Однако метод эволюционных уравнений позволяет избежать указанных ограничений [5].

Резонатор с настроечным элементом сложной формы

Требуется определить собственные частоты колебаний электрического типа рассматриваемого резонатора и соответствующие им собственные поля. Необходимо найти нетривиальные решения уравнений Максвелла, удовлетворяющие следующим условиям: касательные составляющие вектора электрического поля обращаются в нуль на идеально проводящих стенках резонатора; на границе раздела частичных областей электромагнитное поле должно быть непрерывным. Рассмотрим случай аксиальносимметричного электромагнитного поля. Частичные области определим следующими пределами, в которых изменяются координаты: область I: d< r< b, 0 < z < l ; область II: a < r< d, gl < z < l ; область III: 0 < r < d, 0 < z < g.

Требуется построить модовый базис в пространстве решений рассматриваемой задачи.

3. Определение элементов базиса

Определим элементы базиса в «вихревом» подпространстве. Для каждой частичной области потенциальные функции запишем в следующем виде:

12

РИ, 1998, № 1

n(r, z) =

ni (r ,z)= Z^nAzh (pnr) cos| -П— z J,

n 2 (r,z) =

= Z

m=0

nn _| d < r < b; 0 < z < l;

a < r < d;

in \ \nm, и ^ г ^ и,

smBmZm (<?mr)coS^^(z - gi) ,gi < ^ < l;

(1)

n 3 (r, z) = Z s J.

s=0

Г T (f \ (ns I 0 < r<d;

CJ0(fsr) cos! —z I,,

V g ) 0 < z < g,

det{ Ь—i l ■ Pi Zi (Pid) - PjZ■ (pjd) • S—i -

f

- PiZf (Pid) ■ K—i } = 0; n = 0,l-,2,...;i = °Д,2,... Здесь 5 ni — символ Кронеккера;

(2)

Sni = Z

qmZ m (qmd) .

m = 0 ll • Zm (qmd)

i2 (n, m) • i2 (i, m);

Kni = Z

fsJ 0 (fsd ) .

^ s=0°sg • J0 (fsd)

il (n, s) • ii (i, s);

i1 (n, s) = 2

І2 (n, m ) =

n(n(n9 - s)) sin(n(n9 + s))

n(n9 - s) n(n9 + s)

det{ 5n,lp?z( (p,d) ■

l %Z0 (od) PiZi (Pid)„• (nngiI s. (mgi

. ■ Sin.! I ■ Sin

где

z— (Pnr) = J0(Pnr) ■N0(Pnb) - J0(Pnb) ■ N0(Pnr); zIJi (Pmr) = J0((mr) ■ N0 (Pma) - J0 ((ma) ■ N0 ((mr);

Pn = -Jk2 - (Wl)2; qm = -Jk2 - (m / li)2;

fs = 4/k2 - (ns/g)2;

k—собственные числа; s j (j = n, m, s) — число Неймана. Определяя с помощью (i) по известным формулам компоненты электромагнитного поля и подчиняя тангенциальные компоненты граничным условиям на поверхности раздела r=d, получаем систему функциональных уравнений, из которых следует бесконечная однородная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов An и формулы для вычисления неизвестных коэффициентов Bm, Cs.

Дисперсионное уравнение, из которого находим собственные частоты рассматриваемого резонатора, имеет вид

WZO1 (god) т

- SfoJ0(/0d) nZI'(pd) sin(nn9) ■ sinM1 = _

- Jb(fod) PlZ (Pid) 7T2e2ni = 0’

n = 0,1,2,...; i = 0,1,2,...;

An = A0 (Vn + GnW + GnW), n=i,2,3, (3)

Bm =

2 A

liqmZ m (qmd )

X Z ( + GnW + GnW) ■ p„Zj'(prnd) ■ i2 (n, m),

(4)

n=i

C = 2 A0

s gfsJ0 (fsd)

TO f

Z (Vn + GnW + ) ■ p—Z— ((nd) ■ ii(rn, s)

(5)

n=i

m,s = 0,i,2,...

Для вычисления w и W имеем формулы

... Cl C2 C3C4 + C1C5 2 C3C4 + C1C5

W =— ---L^, W -----------—, (6)

c3 c3 C3C6 - C2C5

C3C6 - C2C5

где

Ci = ZVkWk; c2 = Z ; C3 = i - ZGkWk;

k=i, k=i, k=i, (7)

k * j

k * j

k * j

C4 = Z VkWk; C5 = Z Gkwk; C6 = i - Z Gkwk; k=i, k=i, k=i, (g)

k * j

Vk =

k * j

k * j

P040Z0 (P0d) Z0і ((0d)

Z07/ ((0d)

i 2 (k ,0)

g.

l ’

+ f0 P0 Z0 („dJ (f^ ,i(k ,0) J0 ((d) u , j

■ Tk;

n/,2/

/ 2,2 2,2'

nlm / - n /1

sin

Г A nng1

V )

Wk = PkZf (Pkd) ■ i2 (k,0), H^k = Pkzi (Pkd) ■ i'i(k,0);

2q0Z0 (q0d).

Gk =

Для случая малого геометрического параметра 9 = g << i из (2) получаем уравнение относительно собственных значений kn и формулы для вычисления коэффициентов An, Bm,Cs:

liZ07/ ((ad)

G2 (k,0) ■ Tk;

<5 k - 2 f0 J (f0) ii (k ,0)-Tt;

k gJ 0(^0 d) U ' k

РИ, i998, № i

i3

Tk =

lpM(pkd) - 2q°Z p0d) PkZk1 ’ (pkd) %(k,0) -

l1Z0 (qod)

2/0J Р/0^) PkZk1 ’(Pkd)i2 (k,0)

gJ0 (p0d)

,-i

Компоненты полей в каждой из трех частичных областей запишем в виде

ЕЇПІ (r,z) = -^f £ jEJnPjnZ1] (pjnr) • ,

1 (іГ )•

^zl P,z) = IT Д Pjn£jnZJ I

cos-

. j I ,

(9)

H,

(r,z) = -j^0 і EjnPjnZlj (pjnr) • cos^y;

j=1

4і/ (r , z ) = -

jnU^Ap Zi (qinr) , n(z- gi)

iron

ZJJ (qind)

sm-

(n) ( ч juEA0 (qinr) n(z - gi)

EzJl(/ z)= bh ~~

ZJJ (qnd)

• cos-

rr(n) ( \ jA

HniI (fz) = -7

2Ao U?fZi// (fnr) n(z - gi )

(10)

ZiJ (f„d)

cos

f (n) (

frlM

r(n)

-'zJll

(r ,z) =

rr

H.

(n)

tpIIIl

jnAo ©Ej0( finr )

irog j 4 о ST a

j Ao © ffinJ 0 (/inr)

irog J 0){find )

j Ao ©fj o(finr )

" g J '0(find)

cos-

g

nz

g

cos-

(i i)

1

1

TO ’

uE = і EjnPjn^j (Pjnd)U1), j=i

©E = і Ej-nPjnZj (pjnd)д) , j=1

Ejn -Vj + Gj.r + Gj •#.

Здесь индекс n всюду обозначает номер собственного числа кп.

Множитель А0 определим из условия нормировки полей:

{Л)]2 =

V

f to i~ |2 c8 I v ^ s' . L, UE ^ n 2 c9 © E 2 Л

і ^ jn \pjn\ 1 Vj=1 ii 4' (qind) 2 g\J 0(/ind )2 y

b ' '

С7(f n) = J rZj (Pjnr) • Zj (Pjnr) dr :

b ' ' *

c8 = J rZ\ (qinr)Z\ (qlnr)dr,

a

d f f*

c9 = J rJ 0 (finr)J0 (/1nr)dr.

0

С точки зрения эволюционного подхода к теории электромагнетизма шестимерный вектор X n электромагнитного поля запишем в виде [4]:

хП /, z)

En (/ z у4

v Hn (, z )

' 4n) f, z)

4°(r, z)

0

Hn) (r, Z)

V 0 J

где ицдекс i указывает на номер частичной области (i=I, II, III) , а ицдекс n — на номер собственного

числа kn , которому соответствует собственный вектор Xn .

На основании теоремы Вейля [i] и согласно эволюционной теории [2-4] все трехмерные векторы (как части шестимерных собственных векторов) являются решениями граничных задач на собственные значения для лапласиана . При этом возникают четыре подпространства трехмерных «электрических» и «магнитных» частей собственных векторов

О О О О

je , jh , ge , GH . Подпространство гармонических функций, на которое указывает теорема Вейля, в нашем случае односвязной поверхности резонатора содержит единственный нулевой вектор. Для нашей задачи имеем

JE\ К(r,z^ divEli(r,z)= ^ [v • Eln]| = 0

n=i

JH :l Hln ^ z^ divHln ^ z)= 0, (^ • Hln 4 = 0

Sn=i

подпространства «вихревых» собственных векторов запишем как

О

J =

J E

О

V JH J

TO

TO

f О ^

i4

РИ, i998, № i

Таким образом, часть базиса, соответствующая

подпространствам j , найдена. Теперь следует определить элементы базиса в «градиентном» под-

пространстве g .

Собственному числу k0 = 0 отвечают два подпространства «градиентных» собственных векторов «электрического» и «магнитного» типов вида

Ха(г)

УФа(^ )' О ,

YP(1

О і

VTp(F)J ,

(12)

где О — трехкомпонентный нулевой вектор. C целью их определения нужно решить две граничные задачи Дирихле и Неймана, которые совместно с условиями нормировки [2] позволят найти производящие функции ф и щ для векторов (12) соответственно. В ходе решения задачи Дирихле получаем выражения для

вычисления коэффициентов БІ и сф через лф и

СЛАУ относительно коэффициентов лф , условием

существования и единственности решения которой является обращение в нуль ее определителя.

g

Для случая малого параметра 9 = — << l путем

несложных преобразований получаем представления для производящих функций ф и уравнение относительно собственных значений X :

et{SjnRj (Pjd) -

R1j (1ф^) ф гт'( ф J) . (.л . ( Л

l^Rjj ()p,Rj (ра' 2 (j 2 м"

—ф)) pfR,j (pfd) '1 (j•1) ■ '1М1 =0

gl/Hj 0

n = 1,2,3,...

где

Rn(рфr) = J0 (рфr) • N0 (рфb) - J0(рфb) • N0(рфr);

Rm О = J0О • N0 (фа) - J0(qфа) • N0(фг);

X — собственные значения.

Множитель л1ф определим из условия нормировки, которому производящие функции фг (i = I, II, III) должны удовлетворять:

с10 = J rRj(рфг) Rj* (рфг) dr;

d

d

С11 = J rRjj r) R(j* (r) dr;

a

d

C12 = J rJ0 ( r) J0* ( r) dr.

0

Вычисляя градиенты производящих функций, получаем

V^(, 2) = (лфФа; 0 ; ЛфФ^), i = I, II,III, (13)

ф а (( z )= па pan (Рфаг) ,

~ г і ч n 0 г/ ф \ (m ) (14)

фа (( z) = - ^ пфnaRn (a) Суу zJ ,

<ф aI (z)

ф aI (, z)

UфR1 (ftar) . n(z - gl)

1R

II

ПЧ

sin-

UфRl (r) n(z - gl)

qia R

Iі (d)

cos-

ll

(15)

ф aII (z)

ф aII (r, z)

©фJ0 (/іфг) . (n )

gJо'((d) ^gz1,

п ®ф J 0 (./іф r ) ( П

7'/Ї/"Ч7

(16)

иф = ТФпаРаП (рФа^) ' І2 (n,l),

©ф= І фпаРФп (Ф)' il(n,l),

n=2 v '

ф = V ф+ G ф+ G ф

Компоненты W ф, W ф определяем по формулам, аналогичным (6)-(8).

Следует заметить, что суммирование по j ведется, начиная с номера j = 2 . Составляющие

VJi, Gф, С}‘ф, Wф, Wф вычисляем по формулам

РИ, 1998, № 1

15

K= P?Rj'(pjd)• i2 ОД

[pfd)• ){C,\). (%Фd) M Тф

W Ф= PJRj

II

Ф

GJ =

G j =

VJ =

ill %Ф R\ ( d)

Jо ( d) iiCj-,1)

glflJ JOp d)

R1j (%Ф d) %ф R1j ( d)

• t,

Ф

pJR1 ((d) P(l,l) ;2( J,l) '

J,

(Ф d )

glflJ J0(fФ d)

(pJ d) ( d)

pJrIj (pJd)• d(и)ф-Д)

• T

Ф

tj Ф = {Rj

R1

ii

іід%ФRjj (d)

pJRj (р^Ф d) • P M-

Jr

pjRj ( ).,fc.l)

gif* J0

Таким образом, определены подпространства трехмерных «электрических» частей собственных векторов для областей I, II, III:

0 Г

Ge: {^Ф;,(r,z):(A + 4) Ф« = 0,Ф'с

= о}“ .

sa=l

qjPo11 (gjd hH1 (оЧ

jPj [pjd) • )2(j’0) • І2(n,o) ■

gJo(di gJoifod

гТ,

jPj (pjd) • i'lU0p • /i(«,0)

!> = 0,

p/ (Pj r) = J о (pj r) • No (pj b)- J о (pj b) • Nо (pj r); p jr) = J о p j r) •N 0 p ja)- J о p ja) • No p j r);

j 12 f nnJ2 j 2 fnm\

p„ = ,k -fTJ , «»>-JX -brJ ;

f/-Jx2-Iff;

c — искомые собственные значения; W j и W j находим аналогично формулам (6)-(8).

Для вычисления нормировочного коэффициента получаем выражения

4V

X

i S jn Сз+-

U j 2 cl4 ©j

^ +

n=l

ll

P

( d)

ci3 = J rPnI pj r) • pn *(pj r) dr;

d

d

ci4 = JrPi11 p jr) • PiII*(qJr) dr;

a

d

ci5 = JrJо(fijr) Jo(jr) dr.

g •

J

cl5

,(f.j d)

Компоненты W jj ,W j. Gj, GJ определяем согласно формулам

wJ = pj(pJd) • І2(j.q). WJ = pj(pjjd) • д(j.q).

Теперь перейдем к задаче Неймана на отыскание «невихревых» векторов «магнитного» типа. Ее решение позволит определить выражения для неизвестных коэффициентов bJ и Cj и бесконечную однородную СЛАУ относительно коэффициентов Aj , из которой следует дисперсионное уравнение для собственных значений X . В случае 0 << l имеем

detUnpJtf (p]d) -

2 %Q Pq(%0 d) ;2(J,o) llv pQ( %0j d ) Z

2 fQ JO ( f0j d ) іД( J.0)

g • l • J0(f0jd) J

' %j Pi1' (gj d ) Pq1 (p0j d )

v l • Pq11 (qj d )

foj JO ( fojd )• PQ (pj d ) "

'• ;l( J,Q)

G J =

Gj =

Vj =

p( J,0)+

l • J,

( fojd )

• T

j = o,1,2,...; n = o,1,2,...

2

2

+

+

где

16

РИ, 1998, № 1

Tj (-

/ • /1 • P0

" тг т' / т ч О I О > I 0 N

p j Pj (j d)- G - Ge ® О

1 0) GH)

( d)

Zfvdfb d) 1{ ( ч 2. .

—ffd) )p ((dУ)2 (0)

g •/ •J

Вычисление градиентов производящих функций дает

,(&I. ) , I - I,II,III;(17)

(,z)-(ATT; 0

4. Разложение электромагнитного поля по элементам базиса

Разложение для искомого поляЕ (r, t) и Н fr, t) по

базисным элементам в терминах трехмерных векторов напряженностей поля запишем как [4]:

да да

E (r, t) - Z en f)En (r)- Z a а(^)УФа(г); (21)

n-1 a-1

r да ^ да

Hf, t)= Z hn f)Hn f)- Z (22)

n-1 P-1 v 7

Все векторы, зависящие от координат, уже известны. Они определены выше как элементы базиса в форме граничных задач на собственные значения для лапласиана. Для нашей задачи в (21), (22) введены обозначения

jf (, z) -

2«( Р1П («15 фu(

----------—Ц---------cos

hP" ((d)

f (- *1)J,

(II --2pl () (J*

l} PrI і a (d) v l1

11

(Г (, z)-

О

2 f( J o'( f( r)-e

X(z - *1));

(, z)--

2nJi

gj 0 (T d)

г r )

(

P I П cos| gz

* 2J 01

(.p.

— sin ^ —z

(19)

(20)

(( d)

Uj - Z (npPj, (Pnpd) i2(n,l) ,

n-1 V '

©( - ZTnpPn (в)(n,i),

(np = V( + G( W (+ G(W(.

Таким образом, определены подпространства трехмерных «магнитных» частей собственных векторов для частичных областей I, II, III:

О

Gh :

■У(в (r, z): ( + x2p)(

P 0’ dv

- 0

в-1

00

S

О

Итак, «градиентное» подпространство g , элементами которого являются шестимерные векторы вида (12), имеет представление

Ei\ z), d < r

Eii r,z), a < r

E111 n (r, z) 0 < r

< b, 0 < z < /;

< d, gi < z < /;

< d, 0 < z < g;

Hi (r, z), d < r < b, 0 < z < /;

Hn (r )-<

НЦ (r, z ), Ні11 (r, z),

a < r < d, gi < z < /;

0 < r < d, 0 < z < g;

Voa (r z ), d < r < b,

V<$a(r )- vФI<a (r, z ), a < r < d,

Vva (r z ), 0 < r < d,

V(p (r, z ), d < r < b,

V(p(r )-' VTjj (r, z ) a < r < d,

Vlf (r z ), 0 < r < d,

0 < z < /;

gi <z </; 0 < z < g;

0 < z < /;

gi < z </; 0 < z < g.

Векторы

Bn(r,z) -(E„“l(r,z) ;0 ; z)),

H>„(r, z) - (0; HnV, z); 0) ,1 -1, II,III

заданы формулами (9)-(11). Индекс n всюду указывает на номер соответствующего собственного числа

kn. Градиенты VO1 (r, z) и V(1 (r, z) определены с

помощью формул (13)-(16) и (17)-(20) соответственно. Индекс a обозначает номер собственного числа

Ха, а индекс р — номер собственного числа X р . Таким образом, в разложениях (21); (22) искомого

поля E (r, t), Н (r, t) по элементам модового базиса

En (r), Hn (r), VOa(r) и V(p(r) необходимо определить неизвестные скалярные коэффициенты

РИ, 1998, № 1

17

en (t), hn (t), aa(t), bp{t). При этом следует каждый раз учитывать свойства среды, которой заполнен резонатор.

5. Определение временных коэффициентов

en (t), hn it), aa(t), bp(t)

Разложения (21), (22) позволяют определить электромагнитное поле в любой момент времени, если известны временные коэффициенты. Задача по вычислению временных коэффициентов получается в результате проецирования уравнений Максвелла на базис в нашем пространстве решений. Тогда для коэффициентов en (t), hn (t), aa(t), bp(t) имеем систему эволюционных уравнений [2] с начальными условиями

en (0) = єП\ hn (о) = h{n\ aa(0) = a®, bp(0) = b^, которые гарантируют единственность решения задачи, а следовательно, и самого поля (21), (22).

6. Выводы

Изложенное выше показывает возможность исследования нестационарных полей в замкнутых объемах сложной геометрической формы, когда электромагнитное поле представляется в виде разложения по модовому базису. Элементы базиса определены в форме задач на собственные значения для лапласиана. Дисперсионные уравнения относительно собственных значений выписаны. В частности, применительно кданному резонатору подробно рассмотрен случай малого геометрического параметра, для которого получены характеристические уравнения относительно собственных значений, и найдены формулы для нормировочных множителей.

Предложенная схема решения системы уравнений Максвелла использует точные материальные уравнения ^ об щего ^ вида, где зависимости р( E), м( H), Ja( E, H) полагаются заданными в какой-либо форме. Этот факт позволяет не ограничивать область применимости полученного решения электродинамической задачи случаем лишь относительно малых значений напряженности искомого электромагнитного поля. Случай полного или частичного заполнения резонатора нестационарной средой приводит к задаче для определения временных коэффициентов, решение которой представляет предмет дополнительного исследования. Например, в [6] рассмотрен случай возбуждения колебаний в резона-

торе с нестационарным диэлектриком внешними источниками. Решения эволюционных уравнений найдены и обсуждаются.

Литература: 1. Вейль Г. Избранные труды /Под ред. В. И. Арнольда. М.: Наука, 1984. С. 285-308. 2. Третьяков О. А. Метод модового базиса // Радиотехника и электрон. 1986. № 6. С. 1071-1082. 3. Третьяков О. А. Волноводные и эволюционные уравнения //Радиотехника и электрон. 1989. № 5. С. 917-926. 4. Tretyakov O. A. Essentials of Nonstationary and Nonlinear Electromagnetic Field Theory. Analitical and Numerical Methods in Electromagnetic Wave Theory/ Edited by Hashimoto M., Idemen M., and Tretyakov O.A Tokio: Science House Co., Ltd, 1993. P. 572. 5. Belogor-tsev A. B., Tretyakov O. A., Vavriv D. M. Destruction of QuasiPeriodical Oscillations in Weakly Nonliner a Systems// Applied Mechanics Reviews. 1993. Vol. 43. P. 372-384. 6. Третьяков О. А., Чумаченко С. В. Колебания в резонаторе с нестационарным диэлектриком / / Радиофизика и радиоастрономия. 1997. Т. 2, №2. С. 222-229.

Поступила в редколлегию 28.03.98

Третьяков Олег Александрович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической радиофизики ХГУ. Научные интересы: математические основы для решения начально-граничных задач во временной области для линейных и нелинейных уравнений Максвелла; регулярные и стохастические колебания в резонаторах с нестационарными и нелинейными средами; возбуждение и эволюция электромагнитных сигналов в волноводах. Адрес: 310077, Харьков-77, пл. Свободы-4, ХГУ, тел. (0572)457162.

E-mail: neil @ edu 16. citynet.Kharkov.ua.

Чумаченко Светлана Викторовна, аспирант кафедры теоретической радиофизики ХГУ. Научные интересы: методы решения внутренних и внешних граничных задач со сложными граничными условиями; теория электромагнитных полей во временной области; электромагнитные колебания в резонаторах с нестационарной средой. Адрес: 310077, Харьков-77, пл. Свободы-4, ХГУ, кафедра теоретической радиофизики, тел. (0572)457257, (0572)270044.

E-mail: neil @ edu 16. citynet.Kharkov.ua.

18

РИ, 1998, № 1