CC BY
30
УДК 621.372.413-s-621.385.69
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАТОРЕ КОАКСИАЛЬНОГО ТИПА С НЕЛИНЕЙНЫМ ДИЭЛЕКТРИКОМ. II1
ЧУМАЧЕНКО С.В.
Обсуждаются результаты решения внутренней граничной задачи электродинамики об электромагнитном поле в цилиндрическом резонаторе, частично заполненном нелинейным диэлектриком. Рассматриваются область применимости полученного решения, устойчивость решения и процесса.
1. Введение
Современные технологии изготовления материалов для применения в разнообразных радиофизических устройствах дают возможность синтезировать среды, чувствительные к напряжениям внешних источников. Например, такими средами являются широкоизвестные сегнетоэлектрики. Если на сегне-тоэлектрик подать внешнее напряжение, которое изменяется во времени соответствующим образом, то диэлектрическая проницаемость этого материала будет также функцией времени, т.е. этот материал в данной ситуации становится нестационарным. При использовании сегнетоэлектриков в радиофизических устройствах открываются широкие возможности для электрического (т.е. очень быстрого) изменения собственной частоты колебаний, создания полосных частотных фильтров и т.д. Исследование резонаторов с нестационарными и нелинейными средами сталкивается с большими трудностями математического происхождения, если исследовать их при помощи стандартных разложений Фурье. Метод эволюционных уравнений [1] позволяет получить аналитические решения системы уравнений Максвелла, которые являются более простыми для изучения.
В классической электродинамике связь между плотностью конвекционного тока и напряженностью электрического поля чаще всего определяется
соотношением Ja = оЁ. Такое материальное соотношение имеет смысл, когда напряженность поля мала. В действительности правая часть его является лишь первым членом разложения тока как функции напряженности поля по степеням Ё. Естественно, когда абсолютное значение Ё мало, то члены разложения степени больше единицы можно не учитывать. В противном случае это пренебрежение может привести к принципиальным ошибкам.
2. Постановка задачи
Рассмотрим случай, когда в разложении плотности тока по степеням напряженности поля Ё нельзя пренебрегать членами до третьего включительно. Известно, что такие разложения плотности тока содержат только нечетные степени. Итак, в таком
1 — Продолжение. Начало см. в №4(05), 1998, с.22-24.
приближении плотность тока как функцию напряженности электрического поля можно записать следующим образом:
J^{e,H = -оЁ(г,t) + СТ3|Ё(г,t| Ё(г,t),0,03 = const>0. При этом учитываем другие материальные уравнения: рЩ =aj Ё(г, t), aj = const,
Je(r, t) = Jh{r, t) = 0, M (tf) = 0.
Для временных коэффициентов e(t) І h{t) получены аналитические представления через элементарные функции [3]:
/ \ 4 л/пи .
e\t) . . . sin fflot
л/3ст зСил/ 1 + Clexp( -£і0
ickhit) = - I n° , 1 . . x
V 3стзС V1 + Qexp(-£д)
j36 no sin ckt + 4(1 + a 1 p)ck cosckt +
8^oCj sin ckt exp(- 2,1?)
1 + C1exp(-^)
(1)
где £,1
4no
------; c — скорость света; k — собственные
1 + a,1p
значения, которые определяются из дисперсионного уравнения [2-4]; числовые коэффициенты С, и р физически определяют преобразования вихревого мода пустого резонатора самого в себя в твердотельном диэлектрике, который заполняет область II [4] (они являются некоторыми функциями геометрических параметров резонатора); постоянная интегрирования C определяется из начальных условий. Проведем исследование полученного решения (1).
3. Область применимости и устойчивость решения
Подставляя (1) в дифференциальное уравнение (8) [4], получаем условие
80 %yjn ол/о ^ 1
V3c; (1+01Р n)K cknV^3 ’
которое определяет область применения полученного решения (1).
Устойчивость полученного решения определяется как устойчивость уравнения Ван-дер-Поля, которое в целях дальнейшего исследования заменяется на эквивалентную систему дифференциальных уравнений:
dx1 _ dt dx2 „ dt
x2(0;
(2)
4дою0 ,,
где U, =--0. Устойчивость решения этой системні
(ckn) 2
определяется в сравнении с устойчивостью решения соответствующей линейной системы [5]. Очевидно,
Х1 = 0, Х2 = 0 — решение системы. Известно, что р, > 0. Дальнейшие исследования доказывают неустойчивость решения. На фазовой плоскости особая
РИ, 1999, № 2
23
ft
ЕЮt
T
а
Рис. 1. Зависимость искомой функции от времени: а — x1(t) ; б — x2(t)
точка—неустойчивый фокус. Сам процесс является устойчивым.
Графическое решение этой системы для случая, когда ц = 1, приведено на рис.1, а, б и на фазовой плоскости характеризуется особой точкой—неустойчивым фокусом. На рис.2 представлен переходной процесс и предельный цикл, который соответствует установившемуся режиму.
Для искомой амплитуды A(t) получаем следующее выражение:
Vі + Qexp(-£і0 '
Для случая, когда ^ = 0,085 , кривая установления амплитуды приведена на рис.3.
При разных начальных условиях можно получить семейство огибающих для амплитуд колебаний.
4. Заключение
Итак, в случае, когда связь между плотностью макроскопического тока и напряженностью электрического поля в среде в резонаторе нелинейная (с
x1(0)=0,05; x2(0)=0,05
кубической нелинейностью), получена и решена соответствующая нелинейная система уравнений для временных коэффициентов. Решение исходной граничной задачи имеет вид произведения скалярных коэффициентов, зависящих от времени, и векторных базисных элементов, которые физически соответствуют собственным модам резонатора [3]. Векторные базисные элементы определены путем решения граничной задачи на собственные значения для лапласиана тем же самым способом, как и в классической электродинамике. Эволюционные уравнения для скалярных коэффициентов, зависящих от времени, получены путем проектирования уравнений Максвелла на базисные элементы. Полученная система эволюционных уравнений сводится к дифференциальному уравнению, описывающему нелинейные процессы в рассматриваемой системе. Для анализа движений в исследуемой нелинейной системе используется известный метод медленно меняющихся амплитуд. Временные коэффициенты для электромагнитного поля получены аналитически и выражены в терминах элементарных функций.
Доказано, что из общей системы уравнеий Максвелла, если решать ее методом модового базиса, в случае заполнения резонатора твердотельным нелинейным диэлектриком следует известное дифференциальное уравнение Ван-дер-Поля. Это свидетельствует о том, что электромагнитный резонатор с твердотельным нелинейным диэлектриком (например, сегнетоэлект-риком) представляет собой автоколебательную систему, т. е. способен работать как генератор электромагнитных колебаний.
Литература. 1. Третьяков О.А. Метод модового базиса // Радиотехника и электроника. 1986. №6. С.1071-1082. 2. Чуманенко С.В. Уравнение собственных частот и добротность цилиндрического резонатора с двумя независимыми элементами настройки // Радиоэлектроника и информатика. 1998. № 2(03). С. 6-8. 3.Чуманенко С.В. Электромагнитные колебания в резонаторе коаксиального типа с нелинейным диэлектриком// Радиоэлектроника и информатика. 1998. № 4(05). С. 22-24. 4. Чуманенко С.В. Настро-ювальні криві для циліндричного резонатора з коаксіальним виступом// Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 1(06). С. 12-13. 5. Блакьер О. Анализ нелинейных систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1969. 400 с.
Поступила в редколлегию 21.05.99 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Мазманишвили А.С.
Чумаченко Светлана Викторовна, инженер кафедры АПВТ ХТУРЭ. Научные интересы: методы решения внутренних и внешних граничных задач со сложными граничными условиями, теория электромагнитных полей во временной области. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-26.
Рис. 3. Кривая зависимости амплитуды от времени
РИ, 1999, № 2
24
