Научная статья на тему 'Построение кинематических линейчатых поверхностей на основе геометрической модели комплексного движения для внутреннего обкатывания в паре однополостных гиперболоидов вращения'

Построение кинематических линейчатых поверхностей на основе геометрической модели комплексного движения для внутреннего обкатывания в паре однополостных гиперболоидов вращения Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

CC BY
98
17
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Инженерный вестник Дона
Область наук
Ключевые слова
MATHEMATICAL MODELING / ANALYTICAL GEOMETRY / KINEMATICAL RULED SURFACES / COMPUTER GRAPHICS / МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ / КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ / КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Рачковская Г.С.

Разработанная ранее геометрическая модель “комплексного движения” для контактирующих пар однополостных гиперболоидов вращения, как методическая основа построения новых кинематических линейчатых поверхностей, распространена в настоящем исследовании на случай внутреннего обкатывания одного аксоида другим. Для геометрической модели “комплексного движения”, как комбинации нескольких согласованных между собой движений, разработано аналитическое описание генерируемых в рамках этой модели кинематических линейчатых поверхностей. Рассмотрены два варианта взаимного расположения подвижного и неподвижного аксоидов. В первом варианте подвижный аксоид расположен внутри неподвижного (при этом внешняя поверхность подвижного аксоида обкатывает внутреннюю поверхность неподвижного). Во втором варианте, наоборот, неподвижный аксоид расположен внутри подвижного и, соответственно, внешняя поверхность неподвижного аксоида обкатывается внутренней поверхностью подвижного аксоида. С помощью ранее разработанного приложения “ArtMathGraph” выполнена компьютерная графика построенных кинематических линейчатых поверхностей.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по строительству и архитектуре , автор научной работы — Рачковская Г.С.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Constructing of kinematical ruled surfaces on the base of geometrical model of complex moving for interior revolving one axoid by the another in the pairs of one-sheet hyperboloids of revolution

The geometrical model of interior revolving one axoid by another for the pairs of contacted one-sheet hyperboloids of revolution, as the methodical base for constructing of the new kinematical ruled surfaces is proposed in this article. Analytical representation of the constructed kinematical ruled surfaces is based on the previously developed model of complex moving one axoid along another. For the case of pair of contacted one-sheet hyperboloids of revolution the geometrical model of the complex moving can be represented as a superposition of some interrelated movements: rotational movement of the moving axoid around its axis; rotational movement of the moving axoid’s axis around the fixed axoid’s axis; translational movement of the moving axoid along the common generating line of both axoids. The proposed geometrical model of interior revolving one axoid by another corresponds to the case when one axoid is located in the interior of another axoid. As this takes place, there are two possible variants of mutual arrangement of moving and fixed axoids. In the first variant, the moving axoid is located in the interior of the fixed axoid. In the second variant, the fixed axoid is located in the interior of the moving axoid. In the first variant, the outside surface of the moving axoid revolves around the interior surface of the fixed axoid. In the second variant, the interior surface of the moving axoid revolves around the outside surface of the fixed axoid. As a result of the complex moving one axoid along another the kinematical surface is generated by one of the generating lines of moving axoid. Computer graphics of the new constructed kinematical ruled surfaces has been accomplished by the previously developed software application “ArtMathGraph”.

Текст научной работы на тему «Построение кинематических линейчатых поверхностей на основе геометрической модели комплексного движения для внутреннего обкатывания в паре однополостных гиперболоидов вращения»

Построение кинематических линейчатых поверхностей на основе геометрической модели комплексного движения для внутреннего обкатывания в паре однополостных гиперболоидов вращения

Г. С. Рачковская

Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону

Аннотация: Разработанная ранее геометрическая модель "комплексного движения'' для контактирующих пар однополостных гиперболоидов вращения, как методическая основа построения новых кинематических линейчатых поверхностей, распространена в настоящем исследовании на случай внутреннего обкатывания одного аксоида другим. Для геометрической модели "комплексного движения'', как комбинации нескольких согласованных между собой движений, разработано аналитическое описание генерируемых в рамках этой модели кинематических линейчатых поверхностей. Рассмотрены два варианта взаимного расположения подвижного и неподвижного аксоидов. В первом варианте подвижный аксоид расположен внутри неподвижного (при этом внешняя поверхность подвижного аксоида обкатывает внутреннюю поверхность неподвижного). Во втором варианте, наоборот, неподвижный аксоид расположен внутри подвижного и, соответственно, внешняя поверхность неподвижного аксоида обкатывается внутренней поверхностью подвижного аксоида. С помощью ранее разработанного приложения "АйМаШОгарЬ" выполнена компьютерная графика построенных кинематических линейчатых поверхностей.

Ключевые слова: математическое моделирование, аналитическая геометрия, кинематическая линейчатая поверхность, компьютерная графика.

Успехи математического моделирования аналитических поверхностей систематизированы в "Энциклопедии аналитических поверхностей" [1], включившей в себя класс технологически востребованных линейчатых поверхностей [1-3]. Поиск новых геометрических моделей построения аналитических поверхностей относится к одной из актуальных задач аналитической геометрии линейчатых поверхностей [1-3], включая прикладные аспекты в строительстве и архитектуре [4, 5]. Расширение возможности моделирования новых линейчатых поверхностей связано с построением кинематических поверхностей [6,7]. Кинематические линейчатые поверхности формируются движением выделенной прямолинейной образующей одной (подвижной) линейчатой поверхности в процессе её перемещения относительно другой (неподвижной) линейчатой поверхности при условии, что в данном процессе эти поверхности в каждый

момент времени соприкасаются по единой общей для них прямолинейной образующей [7-9]. Этому условию контактирования поверхностей удовлетворяет, например, модель качения одного аксоида по другому в парах "цилиндр - цилиндр" или "конус - конус" [7]. Однако, для пары однополостных гиперболоидов вращения приведенному условию удовлетворяет, как установлено ранее [8, 9], геометрическая модель "комплексного движения", включающего комбинацию нескольких согласованных между собой движений. Модель "комплексного движения" для случая внешнего обкатывания одного однополостного гиперболоида вращения другим, т.е. обкатывания внешней поверхности неподвижного аксоида внешней поверхностью подвижного, изучена ранее [8, 9]. Геометрическая модель внутреннего обкатывания одного однополостного гиперболоида вращения другим, рассмотренная в данной работе, включает в себя два варианта взаимного расположения подвижного и неподвижного аксоидов и, как следствие, два варианта генерируемых кинематических поверхностей. В первом варианте (А) подвижный аксоид расположен внутри неподвижного, внутренняя поверхность которого обкатывается внешней поверхностью подвижного, а во втором варианте (Б) неподвижный аксоид расположен внутри подвижного и внешняя поверхность неподвижного аксоида обкатывается внутренней поверхностью подвижного (рис. 1).

А КП (А) Б КП (Б)

Рис. 1. Пары однополостных гиперболоидов вращения (в вариантах А и Б) и

соответствующие кинематические поверхности (КП (А) и КП (Б)).

(На рисунке оси неподвижных аксоидов в вариантах А и Б вертикальные.)

:

Модель комплексного движения одного аксоида относительно другого для пары однополостных гиперболоидов вращения (рис. 1) может быть представлена в виде суперпозиции трёх согласованных движений [8, 9]:

(1) вращение подвижного аксоида вокруг своей оси, совпадающей с осью 02 подвижной системы координат 0ХУ2, связанной с подвижным аксоидом 2;

(2) вращение оси подвижного аксоида 2 вокруг оси неподвижного аксоида 1, совпадающей с осью 02 неподвижной системы координат охух, связанной с неподвижным аксоидом 1 ;

(3) смещение подвижного (2) относительно неподвижного (1) аксоида вдоль общей для обоих аксоидов прямолинейной образующей.

Начала неподвижной (оху2) и подвижной (ОХУТ) систем координат расположены в центрах горловых окружностей неподвижного (1) и подвижного (2) однополостных гиперболоидов вращения, соответственно.

Согласно геометрической модели комплексного движения для пары неодинаковых контактирующих однополостных гиперболоидов вращения

должно выполняться параметрическое условие [9]:

2 . 2 _ 2 . 2 й^ I С1 $2 I С2 ,

где а1, С1 и а2, С2 - параметры канонического уравнения поверхности, соответственно, для неподвижного (1) и подвижного (2) аксоидов.

Каноническое уравнение поверхности однополостного гиперболоида вращения выглядит следующим образом [7]:

2 2 2

—+У--_ 1 й

2 ^ 2 2 , где а - радиус горловой окружности. а а с

В результате комплексного движения одного однополостного гиперболоида вращения относительно другого, одна из прямолинейных образующих подвижного аксоида генерирует кинематическую поверхность, параметрическое задание которой в неподвижной системе координат оху2:

х = (Z sin# + X cos в) cos u - (Y + a1 - a2)sin u; y = (Z sin в + X cos в) sin u + (Y + a1 - a2) cos u; z = Z cos в - X sin в, где

X = -a2sinp + a2vcosp; Y = a2cosp + a2vsinp; Z = c2v; в = arctg (a1 / c1) - arctg (a2 / c2).

Для геометрической модели внутреннего обкатывания: (р = -(a1 / a2 )u.

На рис. 1 дважды изображена одна и та же согласованная по параметрам a1, c1 и a2, c2 пара контактирующих однополостных гиперболоидов вращения, но с разным взаимным расположением неподвижного (1) и подвижного (2) аксоидов. Подвижным в варианте А

является внутренний аксоид ((a1 / a2) = 6 /1), а в варианте Б подвижным

является внешний аксоид ((a1/ a2) = 1/6), что, судя по рис. 1, приводит к совершенно разным кинематическим поверхностям КП (А) и КП (Б).

Таким образом, для двух вариантов геометрической модели комплексного движения при внутреннем обкатывании одного аксоида другим в парах контактирующих однополостных гиперболоидов вращения разработано аналитическое описание и проведена компьютерная визуализация построенных кинематических линейчатых поверхностей. Благодаря параметрической зависимости генерируемых кинематических поверхностей от исходных линейчатых поверхностей контактирующих аксоидов обеспечивается разнообразие результирующих линейчатых поверхностей. Предложенная геометрическая модель для внутреннего обкатывания одного однополостного гиперболоида вращения другим в сочетании с графическими возможностями разработанного ранее приложения "ArtMathGraph" расширяет зону компьютерного моделирования технологически востребованных линейчатых поверхностей.

Литература

1. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Switzerland: Springer, 2015. 752 p.

2. Peternell M., Pottmann H., Ravani B. On the computational geometry of ruled surfaces // Computer-Aided Design. 1999. V. 31. pp. 17-32.

3. Odehnal B. Subdivision Algorithms for Ruled Surfaces // Journal for Geometry and Graphics. 2008. V. 12. №1. pp. 1-18.

4. Flory S., Pottmann H. Ruled Surfaces for Rationalization and Design in Architecture // Advances in Architectural Geometry. 2010. pp. 103-109.

5. Pottmann H., Eigensatz M., Vaxman A., Wallner J. Architectural Geometry // Computers & Graphics. 2015. V. 47. pp. 145-164.

6. Sprott K., Ravani B. Kinematic generation of ruled surfaces // Advanced in Computational Mathematics. 2002. V. 17. pp. 115-133.

7. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности. Москва: Наука, 2006. 536 с.

8. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. Kinematic ruled surfaces (one-sheet hyperboloid of revolution as fixed and moving axoids) // Proceedings of the 13th Conference on Geometry and Graphics. Dresden, Germany. 2008. pp. 190-191.

9. Рачковская Г.С. Математическое моделирование кинематических поверхностей на основе однополостного гиперболоида вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов // Инженерный вестник Дона, 2013, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1499/.

10. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. The new software application "ArtMathGraph" // Poceedings of the 15-th International Conference in Central Europe on Computer Graphics. Plzen, Czech Republic. 2007. pp. 29-32.

11. Рачковская Г.С. Математическое моделирование и компьютерная визуализация сложных геометрических форм // Инженерный вестник Дона, 2013, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1498/.

References

1. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Switzerland: Springer, 2015. 752 p.

2. Peternell M., Pottmann H., Ravani B. On the computational geometry of ruled surfaces. Computer-Aided Design. 1999. V. 31. pp. 17-32.

3. Odehnal B. Subdivision Algorithms for Ruled Surfaces. Journal for Geometry and Graphics. 2008. V. 12. №1. pp. 1-18.

4. Flory S., Pottmann H. Ruled Surfaces for Rationalization and Design in Architecture. Advances in Architectural Geometry. 2010. pp. 103-109.

5. Pottmann H., Eigensatz M., Vaxman A., Wallner J. Architectural Geometry. Computers & Graphics. 2015. V. 47. pp. 145-164.

6. Sprott K., Ravani B. Kinematic generation of ruled surfaces. Advanced in Computational Mathematics. 2002. V. 17. pp. 115-133.

7. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N., Khalabi S.M. Analiticheskie poverchnosti (Rus), [Analytical Surfaces]. Moscow: Nauka, 2006. 536 p.

8. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. Kinematic ruled surfaces (one-sheet hyperboloid of revolution as fixed and moving axoids). Proceedings of the 13 th Conference on Geometry and Graphics. Dresden, Germany. 2008. pp. 190-191.

9. Rachkovskaya G.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1499/.

10. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. The new software application "ArtMathGraph". Poceedings of the 15-th International Conference in Central Europe on Computer Graphics. Plzen, Czech Republic. 2007. pp. 29-32.

11. Rachkovskaya G.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1498/.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности
Открытая наука