CC BY
28
Моделирование 3-ткани для минимальных поверхностей
Ю.М. Бельченко, Н.М. Шумун Ростовский государственный университет путей сообщений
Аннотация: В пространстве задана некоторая замкнутая кривая; среди всех возможных поверхностей, проходящих через эту кривую, найти такую, для которой часть её, заключённая внутри кривой, имела бы наименьшую площадь. Кривизна произвольной кривой на поверхности в заданной ее точке равна кривизне плоского сечения поверхности соприкасающейся плоскостью кривой.
Ключевые слова: минимальные поверхности, моделирование, 3-ткань, кривизна поверхности, уравнение средней кривизны.
Минимальными называются поверхности, у которых средняя кривизна во всех точках равна нулю. Минимальные поверхности появляются при решении следующей вариационной задачи: в пространстве задана некоторая замкнутая кривая; среди всех возможных поверхностей, проходящих через эту кривую, найти такую, для которой часть её, заключённая внутри кривой, имела бы наименьшую площадь.
Условие равенства 0 средней кривизны не является достаточным, т. е. не гарантирует минимума площади, однако впоследствии название «минимальные поверхности» было сохранено за всякой поверхностью с нулевой средней кривизной. Если предположить поверхность заданной явным уравнением г = / (х, у), то, приравнивая нулю выражение для средней кривизны, приходят к дифференциальному уравнению с частными производными 2-го порядка:
(1 + д2)• г - 2рдз + (1 + р2)• г = 0,
где
дг дг д 2 г д2 г д2 г
р =—, д = —, г = —2, 5 =-, г = —2.
дх ду дх2 дх • ду ду
Примерами минимальных поверхностей могут служить: обыкновенная винтовая поверхность, катеноид - единственная вещественная; среди поверхностей вращения - «поверхность Шерка», имеющее уравнение вида:
cos y
z = ln-
cos X
Условие минимальности поверхности определяется уравнением
D • G + DE - 2 • F • D' = 0, где G, E, F - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, D, D, D" - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности.
Заявленная задача сформулирована следующим образом. Пространственную кривую перекрываем 3-тканью. Определим условие, при котором полученная поверхность будет минимальной.
Выберем в качестве направляющей кривую Вивиани (линия пересечение сферы и кругового цилиндра) (рис. 1).
Рис. 1. - Чертеж кривой Вивиани Уравнение кривой Вивиани имеет вид:
х2 + у2 + г 2 = Я 2,
X -
R 2
\2
2 R
+ У =
2
4
z > 0.
где R - радиус сферы.
Рассмотрим пространственную 3-ткань с независимыми дифференциальными операторами
д д д д у = р' Т*+д>г
(1)
ду дг где у =1, 2, 3.
В каждой точке поверхности пересекаются три кривые разных семейств 3-ткани (рис. 2).
Рис. 2. - Три-ткань на поверхности Средняя кривизна такой поверхности должна быть равна 0 по определению минимальной поверхности. Выражение средней кривизны для 3-ткани запишется так:
Н = к1 + к2 + к3, (2)
где к1, к2, к3 - главные кривизны линий 1-го, 2-го и 3-го семейств.
Если записать выражение средней кривизны поверхности через коэффициенты 1-й и 2-й квадратичных форм, то оно выглядит следующим
образом:
Н =
2т' - вв
Ев - ^ 2
Для того, чтобы выполнялись условия уравнения (2), необходимо, чтобы соблюдалось условие:
Н = к1 + к2 + к3 = 0.
:
Тогда возможны следующие варианты выполнения такого условия:
1) к1 + к2 = -к3; 2) к1 + к3 = -к2; 3) к2 + к3 = -к1.
Однако, известна теорема: «Все кривые, проходящие через данную точку поверхности с общей касательной и общей соприкасающейся плоскостью, имеют одну и те же кривизну».
Следовательно, кривизна произвольной кривой на поверхности в заданной ее точке равна кривизне плоского сечения поверхности соприкасающейся плоскостью кривой.
Для нашего случая в точке М 3-ткани (рис. 2) кривизна к3 линии 3-го семейства будет равна кривизне к2 линии 2-го семейства. Таким образом, из рассмотренных выше вариантов нужно выбрать следующий:
к1 = -2к2 . (3)
Из уравнения (1) можно составить систему
д2д3 - д3д2 = спд1 + ¿12д2 + С13д3;
д3д1 - д1д3 = С21д1 + С22д2 + С23д3 , д1д2 - д2д1 = С31д1 + С32д2 + С33д3.,
Если задать 3-ткань функцией Ж (ы\, и2, и3) в области ее определения уравнением
дЖ
ди]
ф 0.
тогда кривизну к■ (( = 1,2,3) можно вычислить из уравнений
J
7 V V 1 д 1 ^3
k, = V2 - V3 =----ln-^-
123 W1 ди1 W2
k 2 = V3 - V1 =
73 = V1 - V3 =
1
W2 ди2
д -inW.
W3
W3 ди3
д -inW2.
W1
или
кх = дг1п к2 = д2 -1пЖ2, к3 = д 3 -1п Ж3.
Учитывая уравнение (3), условие минимальности поверхности запишем следующим образом
дг1п =-2д2 • 1п Ж2, дг1п = -2д3 -1п Ш3.
1
Литература
1. Бельченко Ю.М., Шумун Н.М. Конструирование плоскостей на базе плоской шестиугольной 3-ткани // Инженерный вестник Дона, 2015, №2 (часть 2). URL: ivdon.ru/magazine/archive/ n2p2y2015/2884/.
2. Рачковская Г.С. Математическое моделирование кинематических линейчатых поверхностей на основе однополостного гиперболоида вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1499.
3. Рачковская Г.С. Математическое моделирование и компьютерная визуализации сложных геометрических форм // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1498.
4. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1987. 312 с.
5. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometric model of kinematic surfaces on the base of one-sheet hyperboloidal surfaces of revolution (one fixed axoid is located in the interior of another axoid). Japan: 14th International Conference on Geometry and Graphics, 2010, 385 p.
6. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse - cone and cone - torse. Canada, Toronto: 15th International Conference on Geometry and Graphics, 2012, 415 p.
7. Жан Гастон Дарбу Лекции по общей теории поверхностей и геометрические приложения анализа бесконечно малых. В 4 томах. Том 1. Общие понятия. Криволинейные координаты. Минимальные поверхности. М.: Институт компьютерных исследований, 2013. 620 с.
8. Толстихина Г.А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размермерностей: автореф. дис. д-р физ.-мат. наук: 01.01.04. - Казань, 2007. - 29 с.
9. Пиджакова Л.М. Три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.04. - Тверь, 2009. - 20 с.
10. Гольдберг В.В. О существовании паратактических три-тканей // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2008. - №4 (551). - С. 2227.
References
1. Bel'chenko Ju.M., Shumun N.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2 (chast' 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/2884/.
2. Rachkovskaya G.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1499/.
3. Rachkovskaya G. S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1498/.
4. Dao Chong Thi, Fomenko A.T. Minimal'nye poverhnosti i problema Plato. M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat.lit., 1987. 312 p.
5. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometric model of kinematic surfaces on the base of one-sheet hyperboloidal surfaces of revolution (one fixed axoid is located in the interior of another axoid). Japan: 14th International Conference on Geometry and Graphics, 2010, 385 p.
6. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse - cone and cone - torse. Canada, Toronto: 15th International Conference on Geometry and Graphics, 2012, 415 p.
7. Darbu Zh.G. Lekcii po obshhej teorii poverhnostej i geometricheskie prilozhenija analiza beskonechno malyh. V 4 tomah. Tom 1. Obshhie ponjatija. Krivolinejnye koordinaty. Minimal'nye poverhnosti. M.: Institut komp'juternyh issledovanij, 2013. 620 p.
8. Tolstikhina G.A. Algebra i geometriya tri-tkaney, obrazovannykh sloeniyami raznykh razmermernostey: avtoref. dis. d-r fiz.-mat. nauk: 01.01.04 [Algebra and geometry three - the fabrics formed by sloyeniye of different razmermernost]. Kazan', 2007, 29 p.
9. Pidzhakova L.M. Tri-tkani s kovariantno postoyannymi tenzorami krivizny i krucheniya: avtoref. dis. kand. fiz.-mat. nauk: 01.01.04. [Tri - fabrics with covariant constant tensors of curvature and torsion]. Tver', 2009, 20 p.
10. Goldberg V.V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika (Rus), 2008. №4 (551). URL: cyberleninka.ru/article/n/o-suschestvovanii-paratakticheskih-tri-tkaney.
