Моделирование 3-ткани на поверхностях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Моделирование 3-ткани на поверхностях

Ю.М. Бельченко, Н.М. Шумун Ростовский государственный университет путей сообщения

Аннотация: Предложен способ задания поверхности определенной дискретным каркасом при помощи плоской 3-ткани. Задано однопараметрическое не параметризованное семейство кривых, т.е. дискретный каркас линий. Возможны два случая задания линий дискретного каркаса поверхности: точечными рядами или уравнениями. Ключевые слова: Дискретный, каркас, поверхность, плоская, 3-ткань, сплайн, уравнения, 3-ткани, поверхности.

Известно, что поверхность не может быть задана однозначно дискретным каркасом.

Здесь предлагается способ задания поверхности определенной дискретным каркасом при помощи плоской 3-ткани. Положим, что каркас упорядочен, т.е.:

- во-первых, линии каркаса являются плоскими;

- во-вторых, проекции линий каркаса на плоскость ХОУ представляют собой пучок прямых с собственным или несобственным центром; в этом случае, между элементами пучка устанавливается линейная зависимость.

Пусть в пространстве задано однопараметрическое не параметризованное семейство кривых, т.е. дискретный каркас линий. Проекции линий каркаса на плоскости ХОУ изобразятся семейством параллельных прямых с уравнением - уг = Кх + ег. Тогда уравнение

дискретного каркаса поверхности можно записать в следующем виде:

где г, ] = 1,2,3...

Если использовать элементарное преобразование вращения так, чтобы прямые семейства стали параллельными оси ОУ, то уравнение (1) можно упростить:

Уг = Кх + Сг , zj = /г (хК

(1)

:

X = С, гг = I] (У). (2)

Возможны два случая задания линий дискретного каркаса поверхности: точечными рядами или уравнениями. Во втором случае уравнение каркаса поверхности соответствует уравнению (2). В первом случае точечные ряды можно задать любыми интерполяционными полиномами, в частности, параметрическими В-сплайнами, уравнения которых записывается следующим образом:

ЯК1(у ) = I-(1 - г)+/м • г + С •

г3

1 + Рг-(1 - г)

-г

+а

^-г)

1 + д • г у '

(3)

Сплайн, записанный в виде (3), непрерывен в узлах сетки, которой являются проекции точек каркаса на плоскость ХОУ. Коэффициенты С и Д определим так, чтобы были непрерывными его первая и вторая производные.

)=^ + 3" п°+ + - >1 +

Иг Иг I [1 + Рг -(1 - г)] 1

+ Ц [-3-(1 - г )2(1 + д) + 2 • (1 - г )3-д + 1 (4)

И| (1 + дг-г )2 у ^

^ +) = ^-(2+^ -1,

+1 -) = ^+ ^ И И И

Обозначая тг = Зк (уг), г = 0,.. ., N, получаем уравнения

С, +(2 + д, ).Д = ((+! - I)-Шг-Иг , (2 + Рг )С + а = ((+! - I)+ Шг+! -И .

Из уравнений вычисляем

С =- (3+д) •(.I+1 -1)+Ищ+(2+д )• И-щ+1

г (2 + дг)-(2 + р) -1 '

а =■

(3 + Рг ) • (/+1 - / ) - И • +1 - (2 + р ) • к • Щ

(2 + д ) • (2 + Рг ) - 1

(5)

Формулы (5) являются следствием непрерывности (у). Далее, дифференцируя (4), получаем:

О "(у ) = С 2 • рг • г3 - 6 • Рг -(1 + Рг )• г2 + 6 •(! + Рг ) • Г +

^ (У) = ^ [Я] +

+а

2 • д2 • (1 - г)3 - 6 • д • (1 + д) • (1 - г)2 + 6 • (1 + д )2 • (1 - г)

(1 + д • г )3 • к

Отсюда следует

^ "(у -=•(з+з • д+д2),

(у )=

2 • с

И2,

• (з+3

Р-1г + Рг

г-1 / '

и условие непрерывности ОЯг. (у) в точке имеет вид

И2 • С- • (з + 3 • Рг- + Рг2-!) = И2-1 • а • (з + 3 • д + д2) . Подставляя сюда Вг и Сг-1 из (5), получаем Л • Р-1 • т-1 + [Л • Р-1 • (2 + д-1) + А • й • (2 + Рг)]• Щ + а • й

г Щг +1 =

= Л • Р -1 • (з + д -1) • // + а • а • (з + Рг)

к

-1

/г+1 /г к

г = 1,2,..., N -1, где Л= к •((-1 + к)-1, А = 1 -Л

Р-1 =

а =

3 + 3 • Рг -1 + Р ~_1 (2 + д-1) • (2 + Рг-1) -1

3 + 3 • д + д2 (2 + д ) • (2 + Рг) - Г

(6)

(7)

Для сокращения записи будем обозначать левую и правую части (7) соответственно через <р •(-1, тг, тг+1 - и сг.

Для задания 3-ткани на дискретной поверхности введем на плоскости ХОУ еще два семейства параллельных прямых - одно семейство прямых

:

параллельных ОХ с уравнением yi = ci, а второе семейство диагональных прямых с уравнением xi + yi = 1. Третье семейство будет диагональным (рис.1).

Рис. 1. - 3-ткань на плоскости XOY

Семейства 1 и 2 являются проекциями плоскостей, которые пересекают линии каркаса в точках xt, yi, zi. Эти множества точек

позволяют провести интерполяцию рядов в ортогональном и диагональном направлениях.

Тогда уравнения каркаса линий в ортогональном направлении (вдоль семейства 1 на рис. 1.) будут иметь следующий вид (см. уравнения 3 - 6)

SRi(x), SRl (х), SR.(x), y = c, (8)

а уравнения каркаса линий в диагональном направлении (вдоль семейства на рис. 2) запишем в виде

Sr( + y), Sr'(x + y), Sr''(x + y), x + y = 1, (l = 1,2,3,...). (9)

Таким образом, уравнения 3-ткани поверхности (рис. 2), опустив уравнения первых и вторых производных, можно записать так

Sri (y), х = ci; Sri (х), yi = ci; Sri (x+y), x + y. =1 (10)

или

2Ц = / (У), Хг = сг ; Яяг (х) У = Сг \ (х + У- , Хг + Уг = ^ (11)

где г, ] = 1,2,3,....

Рис. 2. - Нахождение точки М по ее проекции М1

Следовательно, не имея уравнения поверхности, мы можем определить любую точку М лежащую на поверхности по ее проекции М\. При этом существует возможность управлять формой диагональной сплайн-кривой.

Другим вариантом дискретного каркаса является радиальное расположение его линий. При этом пучки прямых на плоскости ХОУ, определяющих проекции «несущих» плоскостей линий каркаса, можно расположить в вершинах треугольника или на окружности через 1200. Уравнения пучков запишутся в виде

Уг1 = КГХ + Уг2 = КГХ + С2 , Уг3 = К]'Х + С3 (12)

где г = 1,2,3,....

Остальные уравнения 3-ткани поверхности для определения точек М... по их проекциям М1... аналогичны рассмотренным выше.

Литература

1. Бельченко Ю.М., Шумун Н.М. Конструирование плоскостей на базе плоской шестиугольной 3-ткани // Инженерный вестник Дона, 2015, №2 (часть 2). URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2p2y2015/2884/.

2. Бельченко Ю.М., Шумун Н.М. Моделирование 3-ткани для минимальных поверхностей // Инженерный вестник Дона, 2015, №4. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2015/3371/.

3. Рачковская Г.С. Математическое моделирование кинематических линейчатых поверхностей на основе однополостного гиперболоида вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1499.

4. Рачковская Г.С. Построение кинематических линейчатых поверхностей на основе геометрической модели комплексного движения для внутреннего обкатывания в паре однополостных гиперболоидов вращения // Инженерный вестник Дона, 2016, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2016/3635/.

5. Рачковская Г.С. Математическое моделирование и компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей на основе внутреннего обкатывания в парах контактирующих цилиндров и конусов // Инженерный вестник Дона, 2016, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2016/3634/.

6. Толстихина Г.А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размермерностей: автореф. дис. д-р физ.-мат. наук: 01.01.04. - Казань, 2007. - 29 с.

7. Гольдберг В.В. О существовании паратактических три-тканей // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2008. - №4 (551). - С. 2227.

8. Пиджакова Л.М. Три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.04. - Тверь, 2009. - 20 с.

9. Шестакова М.А. Шестиугольные три-ткани с частично симметричным тензором кривизны: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук наук: 01.01.04. -Тверь, 2003. - 116 с.

10. Жан Гастон Дарбу Лекции по общей теории поверхностей и геометрические приложения анализа бесконечно малых. В 4 томах. Том 1. Общие понятия. Криволинейные координаты. Минимальные поверхности. М.: Институт компьютерных исследований, 2013. 620 с.

11. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometric model of kinematic surfaces on the base of one-sheet hyperboloidal surfaces of revolution (one fixed axoid is located in the interior of another axoid). Japan: 14th International Conference on Geometry and Graphics, 2010, 385 p.

12. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse - cone and cone - torse. Canada, Toronto: 15th International Conference on Geometry and Graphics, 2012, 415 p.

References

1. Bel'chenko Ju.M., Shumun N.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2 (chast' 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/2884/.

2. Bel'chenko Ju.M., Shumun N.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2015/3371/.

3. Rachkovskaya G.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1499/.

4. Rachkovskaya G.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2016/3635/.

5. Rachkovskaya G.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2016/3634/.

6. Tolstikhina G.A. Algebra i geometriya tri-tkaney, obrazovannykh sloeniyami raznykh razmermernostey: avtoref. dis. d-r fiz.-mat. nauk: 01.01.04

[Algebra and geometry three - the fabrics formed by sloyeniye of different razmermernost]. Kazan', 2007, 29 p.

7. Goldberg V.V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika (Rus), 2008. №4 (551). URL: cyberleninka.ru/article/n/o-suschestvovanii-paratakticheskih-tri-tkaney.

8. Pidzhakova L.M. Tri-tkani s kovariantno postoyannymi tenzorami krivizny i krucheniya: avtoref. dis. kand. fiz.-mat. nauk: 01.01.04. [Tri - fabrics with covariant constant tensors of curvature and torsion]. Tver', 2009, 20 p.

9. Shestakova M.A. Shestiugol'nye tri-tkani s chastichno simmetrichnym tenzorom krivizny: avtoref. dis. kand. fiz.-mat. nauk nauk: 01.01.04. [Shestiugolne three - fabrics with partially symmetric tensor of curvature]. Tver', 2003, 116 p.

10. Darbu Zh.G. Lekcii po obshhej teorii poverhnostej i geometricheskie prilozhenija analiza beskonechno malyh. V 4 tomah. Tom 1. Obshhie ponjatija. Krivolinejnye koordinaty. Minimal'nye poverhnosti. M.: Institut komp'juternyh issledovanij, 2013. 620 p.

11. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometric model of kinematic surfaces on the base of one-sheet hyperboloidal surfaces of revolution (one fixed axoid is located in the interior of another axoid). Japan: 14th International Conference on Geometry and Graphics, 2010, 385 p.

12. Rachkovskaya G.S., Harabaev Ju.N. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse - cone and cone - torse. Canada, Toronto: 15th International Conference on Geometry and Graphics, 2012, 415 p.