Научная статья на тему 'Математическое моделирование и компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей на основе внутреннего обкатывания в парах контактирующих цилиндров и конусов'

Математическое моделирование и компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей на основе внутреннего обкатывания в парах контактирующих цилиндров и конусов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

CC BY
245
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Инженерный вестник Дона
Область наук
Ключевые слова
MATHEMATICAL MODELING / ANALYTICAL GEOMETRY / KINEMATICAL RULED SURFACES / COMPUTER GRAPHICS / МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ / КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ / КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Рачковская Г. С.

На основе геометрической модели внутреннего обкатывания одного аксоида другим для пар круговых цилиндров и круговых конусов разработано аналитическое описание генерируемых кинематических линейчатых поверхностей. Рассмотрены два варианта взаимного расположения подвижного и неподвижного аксоидов. В первом варианте подвижный аксоид расположен внутри неподвижного и при этом внешняя поверхность подвижного аксоида обкатывает внутреннюю поверхность неподвижного. Во втором варианте, наоборот, неподвижный аксоид расположен внутри подвижного и, соответственно, внешняя поверхность неподвижного аксоида обкатывается внутренней поверхностью подвижного. В результате, одна из прямолинейных образующих подвижного аксоида генерирует новую кинематическую линейчатую поверхность. С помощью ранее разработанного приложения “ArtMathGraph” выполнена компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей, построенных для двух вариантов геометрической модели внутреннего обкатывания одного аксоида другим.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по строительству и архитектуре , автор научной работы — Рачковская Г. С.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Mathematical modeling and computer graphics of kinematical ruled surfaces on the base of interior revolving one axoid by another in the pairs of contacted cylinders and cones "

On the base of geometrical model of interior revolving one axoid by another for the pairs of contacted cylinders and cones analytical representations, and computer visualization of the new constructed kinematical surfaces is developed in this research. The described geometrical model corresponds to the case when one axoid is located in the interior of another axoid. As this takes place, there are two possible variants of mutual arrangement of moving and fixed axoids. In the first variant, the moving axoid is located in the interior of the fixed axoid. In the second variant, the fixed axoid is located in the interior of the moving axoid. In the first variant, the outside surface of the moving axoid revolves around the interior surface of the fixed axoid. In the second variant, the interior surface of the moving axoid revolves around the outside surface of the fixed axoid. For pairs of axoids “cylinder cylinder” or “cone cone” both variants of geometrical model for constructing kinematical ruled surfaces are considered on the base of rolling one axoid along another one. As a result of the moving one axoid along another the kinematical ruled surface is generated by one of the generating lines of moving axoid. Computer graphics of the new constructed kinematical ruled surfaces based on the proposed geometrical models has been accomplished by the previously developed software application “ArtMathGraph”.

Текст научной работы на тему «Математическое моделирование и компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей на основе внутреннего обкатывания в парах контактирующих цилиндров и конусов»

Математическое моделирование и компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей на основе внутреннего обкатывания в парах контактирующих цилиндров и конусов

Г. С. Рачковская

Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону

Аннотация: На основе геометрической модели внутреннего обкатывания одного аксоида другим для пар круговых цилиндров и круговых конусов разработано аналитическое описание генерируемых кинематических линейчатых поверхностей. Рассмотрены два варианта взаимного расположения подвижного и неподвижного аксоидов. В первом варианте подвижный аксоид расположен внутри неподвижного и при этом внешняя поверхность подвижного аксоида обкатывает внутреннюю поверхность неподвижного. Во втором варианте, наоборот, неподвижный аксоид расположен внутри подвижного и, соответственно, внешняя поверхность неподвижного аксоида обкатывается внутренней поверхностью подвижного. В результате, одна из прямолинейных образующих подвижного аксоида генерирует новую кинематическую линейчатую поверхность. С помощью ранее разработанного приложения "АЛМаШОгар^' выполнена компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей, построенных для двух вариантов геометрической модели внутреннего обкатывания одного аксоида другим. Ключевые слова: математическое моделирование, аналитическая геометрия, кинематическая линейчатая поверхность, компьютерная графика.

Достижения математического моделирования аналитических поверхностей систематизированы в "Энциклопедии аналитических поверхностей" [1], включившей в себя класс технологически востребованных линейчатых поверхностей [1-3]. Разработка новых геометрических моделей построения оригинальных аналитических поверхностей относится к одной из актуальных задач аналитической геометрии линейчатых поверхностей [1-3], включая прикладные аспекты в строительстве и архитектуре [4, 5]. Возможности моделирования новых линейчатых поверхностей существенно расширяются за счет кинематических поверхностей [6-9]. Кинематические линейчатые поверхности формируются движением выделенной прямолинейной образующей одной (подвижной) линейчатой поверхности в процессе её перемещения относительно другой (неподвижной) линейчатой поверхности при условии, что в данном процессе эти поверхности в каждый

момент времени соприкасаются по единой общей для них прямолинейной образующей [7-9]. Этому условию контактирования в парах аксоидов удовлетворяет, например, геометрическая модель качения одного аксоида по другому для таких пар, как "цилиндр - цилиндр" или "конус - конус" [8]. Для этих пар геометрическая модель внешнего обкатывания одного аксоида другим, в процессе которого внешняя поверхность неподвижного аксоида обкатывается внешней поверхностью подвижного, подробно изучена [8]. Геометрическая модель внутреннего обкатывания одного аксоида другим рассмотрена в настоящей работе и включает в себя два варианта (А и Б) взаимного расположения подвижного и неподвижного аксоидов и, как следствие, два варианта генерируемых при этом кинематических линейчатых поверхностей. В варианте А подвижный аксоид расположен внутри неподвижного аксоида, внутренняя поверхность которого обкатывается внешней поверхностью подвижного аксоида, а в варианте Б неподвижный аксоид расположен внутри подвижного и внешняя поверхность неподвижного аксоида обкатывается внутренней поверхностью подвижного.

1. Пара контактирующих круговых цилиндров.

1А КП (1А) 1Б КП (1Б)

Рис. 1. Пары контактирующих круговых цилиндров (варианты А и Б) и соответствующие кинематические поверхности (КП (1А) и КП (1Б)).

Геометрическая модель внутреннего обкатывания в паре контактирующих круговых цилиндров (рис. 1) представлена в виде суперпозиции двух согласованных между собой движений: (1) вращательное движение подвижного цилиндра вокруг своей оси;

(2) вращательное движение оси подвижного цилиндра вокруг оси неподвижного цилиндра, совпадающей с осью oz неподвижной системы координат oxyz, связанной с неподвижным цилиндром.

В результате, движение одной из прямолинейных образующих подвижного цилиндра генерирует кинематическую линейчатую поверхность, параметрическое (в параметрах u, v) задание которой в неподвижной системе координат oxyz для вариантов А и Б (рис. 1) имеет следующий вид: Вариант А Вариант Б

x = b cos((1 - к)u) - b(1 - к) cos u; x = b cos((1 + к)u) - b(1 - к) cos u ; y = b sin((1 - к)u) - b(1 - к)sin u ; y = b sin((1 + к)u) - b(1 - к)sin u ; z = v ; z = v,

где к = a/b (a - радиус неподвижного, b - радиус подвижного цилиндров).

Кинематические поверхности (КП (1А) и КП (1Б)), построенные для двух вариантов (А и Б) внутреннего обкатывания в паре контактирующих круговых цилиндров, приведены на рисунке 1.

Изображения контактирующих аксоидов и компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей (рис. 1) выполнены с помощью приложения "ArtMathGraph" [10], разработанного ранее для визуализации аналитических поверхностей и моделей сложных геометрических форм [11].

2. Пара контактирующих круговых конусов.

2А КП (2А) 2Б КП (2Б)

Рис. 2. Пары контактирующих круговых конусов (варианты А и Б) и соответствующие кинематические поверхности (КП (2 А) и КП (2Б)). (На рисунке оси неподвижных аксоидов вертикальные.)

Геометрическая модель обкатывания одного конуса другим (рис. 2) представлена как суперпозиция двух согласованных между собой движений:

(1) вращательное движение подвижного конуса вокруг своей оси;

(2) вращательное движение оси подвижного конуса вокруг оси неподвижного конуса, совпадающей с осью oz неподвижной системы координат oxyz.

В результате, движение одной из прямолинейных образующих подвижного конуса генерирует кинематическую линейчатую поверхность, параметрическое (в параметрах u, v) задание которой в неподвижной системе координат oxyz, связанной с неподвижным конусом, имеет следующий вид: x = Xcosacosu - Zsinocosu - Y sinu ; y = X cos в sin u - Z sin в sin u + Y cos u ; z = X sine + Z cose,

где X = v sin вcosр ; Y = v sin ^sin^; Z = v cos в.

Для варианта А внутреннего обкатывания (рис. 2): в = а — в, (р = — ku , а для варианта Б внутреннего обкатывания (рис. 2): в = в — а, р = ku , где а и в - углы между осями и прямыми образующими для неподвижного и подвижного круговых конусов, соответственно; k = sin а/sin в.

Кинематические поверхности (КП (2А) и КП (2Б)) для вариантов А и Б внутреннего обкатывания в паре круговых конусов приведены на рисунке 2.

Таким образом, для двух вариантов геометрической модели внутреннего обкатывания одного аксоида другим в парах контактирующих цилиндров или конусов разработано аналитическое описание и проведена компьютерная визуализация построенных кинематических поверхностей. Использование геометрической модели внутреннего обкатывания одного аксоида другим с учетом графических возможностей разработанного ранее приложения "ArtMathGraph" расширяет зону компьютерного моделирования новых технологически востребованных линейчатых поверхностей.

Литература

1. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Switzerland: Springer, 2015. 752 p.

2. Peternell M., Pottmann H., Ravani B. On the computational geometry of ruled surfaces // Computer-Aided Design. 1999. V. 31. pp. 17-32.

3. Odehnal B. Subdivision Algorithms for Ruled Surfaces // Journal for Geometry and Graphics. 2008. V. 12. №1. pp. 1-18.

4. Flory S., Pottmann H. Ruled Surfaces for Rationalization and Design in Architecture // Advances in Architectural Geometry. 2010. pp. 103-109.

5. Pottmann H., Eigensatz M., Vaxman A., Wallner J. Architectural Geometry // Computers & Graphics. 2015. V. 47. pp. 145-164.

6. Sprott K., Ravani B. Kinematic generation of ruled surfaces // Advanced in Computational Mathematics. 2002. V. 17. pp. 115-133.

7. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. Computer graphics of kinematic surfaces // Poceedings of the 12-th International Conference in Central Europe on Computer Graphics. Plzen, Czech Republic. 2004. pp. 141-144.

8. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности. Москва: Наука, 2006. 536 с.

9. Рачковская Г.С. Математическое моделирование кинематических поверхностей на основе однополостного гиперболоида вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов // Инженерный вестник Дона, 2013, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1499/.

10. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. The new software application "ArtMathGraph" // Poceedings of the 15-th International Conference in Central Europe on Computer Graphics. Plzen, Czech Republic. 2007. pp. 29-32.

11. Рачковская Г.С. Математическое моделирование и компьютерная визуализация сложных геометрических форм // Инженерный вестник Дона, 2013, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1498/.

References

1. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Switzerland: Springer, 2015. 752 p.

2. Peternell M., Pottmann H., Ravani B. On the computational geometry of ruled surfaces. Computer-Aided Design. 1999. V. 31. pp. 17-32.

3. Odehnal B. Subdivision Algorithms for Ruled Surfaces. Journal for Geometry and Graphics. 2008. V. 12. №1. pp. 1-18.

4. Flory S., Pottmann H. Ruled Surfaces for Rationalization and Design in Architecture. Advances in Architectural Geometry. 2010. pp. 103-109.

5. Pottmann H., Eigensatz M., Vaxman A., Wallner J. Architectural Geometry. Computers & Graphics. 2015. V. 47. pp. 145-164.

6. Sprott K., Ravani B. Kinematic generation of ruled surfaces. Advanced in Computational Mathematics. 2002. V. 17. pp. 115-133.

7. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. Computer graphics of kinematic surfaces. Poceedings of the 12-th International Conference in Central Europe on Computer Graphics. Plzen, Czech Republic. 2004. pp. 141-144.

8. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N., Khalabi S.M. Analiticheskie poverchnosti (Rus), [Analytical Surfaces]. Moscow: Nauka, 2006. 536 p.

9. Rachkovskaya G.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1499/.

10. Rachkovskaya G.S., Kharabayev Yu.N. The new software application "ArtMathGraph". Poceedings of the 15-th International Conference in Central Europe on Computer Graphics. Plzen, Czech Republic. 2007. pp. 29-32.

11. Rachkovskaya G.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1498/.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности
Открытая наука