ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ОПЕРАТОРА L1 Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

УДК 517.98

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ОПЕРАТОРА V,

АЛИЕВА КЕНУЛЬ ГАМИД КЫЗЫ

доцент кафедры математика и методы её преподавания, Сумгаитский Государственный Университет, Азербайджан

Аннотация: В статье исследовано пространстве Нх оператор, порожденный дифференциальным выражением и граничными условиями. Основной целью данной работы является исследование асимптотического поведения функции К(А) при А^ю. С этой целью в статье построен и изучен некоторые свойства функции Грина G0 (, /л) оператора Ь0, порожденного дифференциальным выражением. После путём применения

преобразования Фурье к данному уравнению найдено функция и с помощью вычетов вычислен интеграл.

Кроме того, здесь действующий на финитных в бесконечности функциях из Н, обозначен через V оператор, порожденный дифференциальным выражением (1) и граничными условиями (2).

Предполагается, что замыкание V оператора V является самосопряженным и полуограниченным снизу в пространстве Нх и относительно операторов Q. (х) удовлетворяется условие 1-6. При этих предположениях доказывается, что оператор V имеет дискретный спектр А ,А2 ,■■■ с единственной предельной точкой на бесконечности.

Ключевые слова: Гильбертово пространство, функция Грина, финитные функции, дискретный спектр, асимптотическое равенство

Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство. Обозначим через Н гильбертово пространство сильно измеримых функций /(х) (0 < х < ж) со значениями из Н, для которых

п

{II f (x Л 2Hdx •

0

Скалярные произведения элементов f (x), g(x) е H определяются равенством

п

\f, g k ={(f (4 g(x ))Hdx •

0

Рассмотрим в пространстве Hх оператор, порожденный дифференциальным выражением

2n

l(y) = (- i)n У(2n) + Z Qj (x)y(2n-J ), 0 < x < п (1)

j=2

и граничными условиями

¡У(£ 1 )(о) = У(£2)(о)= ... = y<£n)(о) = 0, 0 < i1 < е2 < ... < £п < 2n -1 У)(п) = У(~2)(п) = ... = У~)(п) = 0, 0 < ~ < 12 < ... < 1п < 2n -1.

Здесь У е H, и производные понимаются в сильном смысле. В дальнейшем через Q(x) будем

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

обозначать Q2n (x).

Обозначим через L' оператор, порожденный дифференциальным выражением (1) и граничными условиями (2), действующий на финитных в бесконечности функциях из H 1 Будем предполагать, что замыкание L оператора L' является самосопряженным и полуограниченным снизу в пространстве H1. Относительно операторов Qj (x) будем предполагать следующее:

1.Операторы Q(x) для почти всех x е[0,7] самосопряжены в H, причем для почти всех x е [0,7] имеют общую плотную область определения D в H;

2.Для всех f е D выполняется неравенство

(Q(x)f, f )>(f, f);

3.Почти при всех x е[0,7] Q(x) является обратным к вполне непрерывному оператору. Обозначим через ff(x),...,fn (x) его собственные значения в порядке возрастания, т.е.

ш l-4n

f (x) < ... < f3n (x) <... Предположим, что ряд ^ Дк 2n (x) сходится почти всюду, и его сумма

к=1

F(x) е L, [0,7]. Предполагается измеримость функций f (x) (k = l, 2,...) 4.Для |x< l

ЦШ - Q(x)]Q(x) < A|x - $ где 0 < a < , A > 0

1

q 2n (x)- q2" fe)

1

2n t

< C„

Q2n (x)-Q"2n (fe)

2n

<C

C\, C2 - положительные постоянные числа; 5.Для |x> l

Q(fe)exp

С Jm® i ^

1 'x ~fe\Q2n (x)

V

2

< B,

где Jm® = minJm ( > 0, ®2n = -l} B > 0 .;

6.

i-j

Qj (x)- Q 2n (x)

<

C, (j = 2,...,2n -1), £> 0 .

Через С будем обозначать различные положительные постоянные.[2, с.21-25.]

При этих предположениях покажем, что оператор Ь имеет дискретный спектр Я,Я2,... с единственной предельной точкой на бесконечности.

Обозначим через ^Я) число собственных значений оператора Ь, меньших данного числа Я , т.е. положим

N (Я) .

л„<л

Основной нашей целью является исследование асимптотического поведения функции ^(Л) при Л ^ ш.

С этой целью построим и изучим некоторые свойства функции Грина G0 (x, 77, ju) оператора L0 , порожденного дифференциальным выражением

* 0 (у ) = (- i)ny(2n )+Q(x )y + jy (3)

и граничными условиями

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

|у ('' )(0 ) = у < )(0) = ... = у - )(0) = 0, [у= у(7' \ж) = ... = у~ \ж) = 0.

Для этого сперва построим функцию Грина оператора Ьх, порожденного дифференциальным выражением

I, (у)=(- 1)-у(2и)+ О&у + / (4)

и граничными условиями

[у ('' )(0 ) = у е - )(0) = ... = у е - )(0) = 0,

[у~ = у~ ... = у~ = 0.

Здесь % - фиксированная точка. Функция Грина О(х, ц, /л) по определению должна удовлетворять уравнению

(- 1)-у(2и)+ Щу + иу = 8(х -ц) (7)

и граничным условиям (6). Будем искать ее в виде

О, (х, ц, /л) = К (х, ц, /л) + V (х, ц, /л), (8)

где К(х,ц,%,/)- функция Грина для уравнения (7) на всей оси, а функция V(x,Ц,%,/) является решением соответствующего однородного уравнения

I1 (г) = 0 (9)

с граничными условиями

(10)

Функцию K(х, ], Z, jj) находим путём применения преобразования Фурье к уравнению (-1)" к <2n) (х, г, z, j) + Q(z)+j ]к (х,г,£, л) = 5(х - г).

Имеем

S2"K (х, г, z, j)+Q(z)+jE ]к (х, г, z, j) = е

По формуле обращения находим:

1 } ег"(х-г) K(х,г,£,Ш = — --ds..

Этот интеграл будем вычислять с помощью вычетов. Пусть S, S2,•••, S2n корни уравнения

S2nE + Q(Z)+jE = 0. Введем обозначения:

Pz ={Q(Z) + jE}2". ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

V{f- j) --- K{t j)

х=0 х=0

V ~) X=7T = - K (~j) , j = 1,2,... , n. x==

k-l

i-7

_ n n

Тогда Зк = , где ак = Заметим, что при этом корни ^,$2,...,^ лежат в верхней полуплоскости, а £п+1,£п+2,...,£2п в

нижней.

Следовательно, при x - \ > 0

l

К (x,г,£, j) = — ■27у

n g^k (x-\)

27 t=i 2nS2 2np

in

1-у

„2n-l у

°ke

ipcok (x-г)

k=l

а при x - г < 0

K (x, ]4,ji) = — ■(- 27 )у

n gisk+n (x-\)

27

k=1 2nSkl„ 2npk+ n k=l

n

—у(-о+n )ePs0+n (x-n)

Окончательно получаем

К(x,\i, j)= [Q(l)+J]'22; ууо^^¿^l

2ni

k=l

(11)

Здесь через сок обозначены корни , лежащие в верхней полуплоскости. По условию функция V(х, п, ¡¡) является решением уравнения

(- 1)п V(2п) (х, ¡¡) + 0(х)V(х, 77,^, ¡) + ¡V(х, п, £ ¡) = 0 ,

удовлетворяющим граничным условиям (10). Тогда для V(х,п,%,¡¡) имеем

l-2n

Pl - 2n

V (x,\,i, Ak jje'

2ni k=l

шкр(х

(12)

Коэффициенты Лк (п,£,л) определяются из краевых условий (10). Будем иметь

или

2n

2ni

-у Ak j Ы* ^

Pi

k=1

2n

Pi

2ni

-У^'а'+1 (iPi)£

|*j „iokP(\x-\\

k=1

2ni

-У Ak {n^J^iiP^e

iatPfx

k=1

Pi

2ni

nn

-у°а1 (iPi)ije

iakPf\ x-n\

а=1

°а e

(iPi)*j у AykJ =-(iPi)*j у

k=1 а=1

, ч~ 2n ~ / n

№J УА^ ■ e-Pl7=-(iPi)^J у

+1 ia„Pe\7-n\

о а ■e а 11

k=1

x=0

x=0

x=7

x=7

<

а=1

Окончательно для определения коэффициентов А получим следующую систему уравнений:

2 ^ = -2а^+1еШр

к=1 2n

2 Ака? • е^ -

, j = 1,2,...,n

Z tj+1 шар({ л-г)

а • е

k=1

, j = 1,2,...,n

(13)

Определители этой системы обозначим через А 0, Ак:

Л =

а!'

а,

ае2'

а

а2П

а-

е

а t"

е

а n

е

az

а~1 • е°Р а~1 • е1Шр... а~п •

а/" • ега'р!л а2" • егЮ2р(Л... а" • ега'Р

А =

а!'...

а

е

а!"...

а

1' -У

k-1 / , а а=1

t-1 +1„ гааР(г

а1 е

а'к+1-

а

■-.- 2

а е, +1егааР(г

а

а^ -2аа+1еШарг

а=1

k+1

е

ак+1...

+ 1 ¿ааР({л-г)

а12'п

а

2п ■

е

а n

а2п

а• еа1рп ... а^ • е,ЩР(Л - +'егшар!(я-г>... а^ • а • ег

а2"Р(п

а'- • е••■Р'' ... а'", • ег"-Р>'

2

а=1

аа"'е

+ 1а гааР({л-г)

а in • е гак+р(п а in • е

... а к+1 е . ..а 2n е

Решение системы (13) запишется в виде А = —^. Обозначим через Мг некоторый минор

А 0

определителя А 0, содержащий первые - строки и любые - столбцы.

Его алгебраическое дополнение = Мг е гР{л(( ) содержит последние - строки и столбцы с оставшимися номерами ',',...,' . Запишем выражения для Мг и Мг:

n

а=1

а=1

2

2

Р

2

2

2

а=1

n

n

а=1

a* a*... r2 a*

Mr = a*2 a*2.. r2 a*

f a*: t a*n.. r2 £ a*n n

< aj+n.. o~:+„

MM * = a? *i+„ aj+n... aj+n

a " г„+n a " .. г„+n a' +n

Используя теорему Лапласа определитель А 0 можно разложить следующим образом

Ао = ^мг • Мг • еРе^а"+а'2 +'"+т'п)

г

Введем обозначения для правых частей системы (8.2.1):

п

Ъ} (п) = -£ С+1 • ег^п

а=1

п ~ / \

Ъ]+п (п)=—£ С 1 • е1^-777

(14)

(15)

a=l

С определителями А поступим следующим образом. Разложим их вначале по элементам к -го столбца, а затем полученные миноры разложим еще по теореме Лапласа имеем

n

А k = у

j=l n

щ7у

Ъ (г)уM]rM* ■ eiP7'a + ъ++n (г)уMrM]r ■ e

iPiTL'''a

n У / / / r

r

=e

5 у

j=l

bj (г)уMjMr ■ e*

т(е'®г5 +2®s )

+

bj+n (г)уmm]r ■ e''

r

t(e" a +£®s )

(16)

В этом выражении для Ак миноры М у и М у имеют порядок п — 1, в них не входит столбец с номером к и, соответственно строки с номерами ] и у + п .

В сумму входит п слагаемых, кроме ск, а в сумму 2"'® входит п — 1 слагаемое, причем сок сюда также не входит. [4, с.17-23.]

Итак, функция Грина уравнения (6) с граничными условиями (7) имеет вид:

G1 (x,ni,ji) =

1

2mP1

ePl^x-n +у A ■ eiPa

k=1

k=1

(17)

Здесь

r

an

S

r

1 n

A 1P(V = ^ У

k Л t—*

л j=i

bj Ц)УMjMre

ip^n^L'm^ +Y.ms)

+

+ bj+n fe)£ MrM ]гврЛгш'* +c )

r

a?rS +~Las)

?ip4<vkx

л = у MrM r

(18)

ограничена сверху при / ^ да,

Норма знаменателя в выражении (18), т.е. ||Д|| = вР1,777'< ■ Дс так как Яе\р7< + <)] < 0.

Обозначим через 85 область, состоящую из внешности некоторого круга радиуса Я, из которой удалены все нули знаменателя (18), т.е. точки ¡ = Яп вместе с некоторыми окрестностями радиуса 8.

В этой области норма знаменателя (18) будет ограничена и снизу. [3, с.69-77.] Приступим к оценке числителя выражения (18) при ¡л ^ ю :

|bj Ц H

IKц

у

< e "

a=1

< C,

У® a e

+1

a-1

<C

Далее при к = 1,2и и любом х е [ö,^]

Re Re

ipx{Z®rs + )+ ip®kx ip 7ü(l" a + )+ip cok x

< 0, < 0.

(19)

Все это позволяет сделать вывод, что при ¡л ^ ю имеет место асимптотическое равенство

Gi (xut.^Z— У aaeiccp хЦ

2ni а=1

(Е + r(x, ц , /л)),

причем, для ¡л ^да имеем ||гл)|| = o(l) равномерно по (х,^).

ЛИТЕРАТУРА

1. Абдукадыров Э. О функции Грина уравнения Штурма-Лиувилля с операторными коэффициентами. ДАН СССР, 1970, 195, №3, стр. 519-522.

2. Абудов А.А. Исследование функции Грина операторно-дифференциальных уравнений высокого порядка. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1979, №2, стр. 21-25.

3. Асланов Г.И., Байрамоглы М. Исследование функции Грина операторного уравнения Штурма-Лиувилля в несамосопряженном случае. Спектральная теория операторов. Баку: «Элм», 1984, стр. 69-77.

4. Клейман Е.Г. О функции Грина уравнения Штурма-Лиувилля с нормальным операторным коэффициентом. Вестник МГУ, 1974, №5, стр. 17-23.

r

r

H

n

H