Асимптотика спектра дифференциального оператора четвертого порядка с двумя точками поворота Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 4 (2018). С. 24-40.

УДК 517.984.5

АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ТОЧКАМИ ПОВОРОТА

Л.Г. ВАЛИУЛЛИНА, Х.К. ИШКИН, Р.И. МАРВАНОВ

Аннотация. В статье изучается асимптотика спектра самосопряженного оператора Т, порожденного в пространстве L2(0, дифференциальным выражением четвертого порядка в предположении, что коэффициенты последнего имеют степенной рост на бесконечности так, что: а) индекс дефекта соответствующего минимального оператора равен (2,2), б) дифференциальное уравнение Ту = Ху при достаточно больших положительных значениях спектрального параметра имеет 2 точки поворота: конечную и в) корни характеристического уравнения растут «не в одну силу». Последнее обстоятельство приводит к существенным сложностям при исследовании асимптотики считающей функции спектра традиционным методом Карлемана-Костюченко, основанным на оценках резольвенты вдали спектра и тауберовых теоремах. Как ни странно, метод эталонных уравнений, применяемый для решения более тонкой задачи нахождения асимптотических разложений самих собственных чисел, а потому более чувствительный (по сравнению с методом Карлемана-Костюченко) к поведению коэффициентов дифференциального выражения, оказывается более эффективным в рассматриваемой ситуации: накладывая на коэффициенты некоторые ограничения типа гладкости и регулярности роста на бесконечности, удается получить асимптотическое уравнение для спектра оператора Т. Это уравнение позволяет выписать несколько первых членов асимптотического разложения для собственных чисел оператора Т в случае, когда коэффициенты имеют степенной рост. Отметим, что до сих пор метод эталонных уравнений применялся в случае наличия лишь одной точки поворота.

Ключевые слова: дифференциальные операторы, асимптотика спектра, точка поворота, сингулярные числа

Mathematics Subject Classification: 34В40, 34L20, 34L40, 47Е05

1. Введение

Пусть Т - ограниченный снизу самосопряженный оператор, действующий в некотором бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве, имеет дискретный спектр. Это означает, что спектр состоит из счетного числа собственных чисел конечной кратности и имеет единственную предельную точку +го. Пусть (Ага1 - собственные числа оператора Т, пронумерованные в порядке неубывания с учетом кратноетей. Асимптотическое поведение последовательности |Ага}^ 1 можно описывать либо в терминах самих

L.G. Vauuluna, Кн.К. Ishkin, R.I. Marvanov, Spectral asymptotics for fourth order

differential operator with two turning points.

©Валиуллина Л.Г., Ишкин Х.К., Mapbahob Р.И. 2018.

Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 18-11-00002).

Поступила 7 июня 2018 г.

собственных чисел, либо в терминах функции распределения спектра N (Л) =5^1:

А„<А

An — /(п), п ^ (1)

N (А) - 0(A), А ^ (2)

где f,g- некоторые возрастающие взаимно обратные функции, определенные в некоторой окрестности точки Формулы (1) и (2) не всегда равносильны. Например, если /(А) = Се\ где С - положительная постоянная, то из формулы (1) следует (2), Но формула (2) равносильна формуле N (Л) — ln Л, А ^ из которой (1), очевидно, не следует. Легко проверить, что при д(Х) = Сех формула (2) сильнее формулы (1),

Рассмотренные примеры показывают, что причина неэквивалентности формул (1) и (2) не только в том, что функция N (А) определяется только с точи остью до 0(1), но и в том, насколько «правильно» ведут себя на бесконечности функции fug. Условие этой «правильности» хорошо известно [1]: если

lim lim sup .) =1, (3)

¿^1+0 /(ж)

то для всякой возрастающей последовательности (Ага| с асимптотикой (2) верпа и оценка (1), Аналогичное утверждение верно и для импликации (1) ^ (2), Функции, удовлетворяющие условию (3), называют PRV-функциями (pseudo regularly varying), В связи с многочисленными приложениями (в особенности, в теории вероятностей) PRV-функции изучены достаточно подробно (см. [2] и имеющиеся там ссылки). Отметим, что PRV-функции явились естественным обобщением RV-класса правильно меняющихся функций, введенных в 1930 году Караматой в его основополагающей работе [3]. Результаты Кара-маты (вместе с последующими расширениями и обобщениями) оказались исключительно плодотворными для различных областей математики (см. [4,5])

На практике условие (3) не всегда эффективно. Допустим, для какого-то оператора удается получить оценку (2), но требуется найти более точную асимптотику

Ага — /(п) + 0(ап), п ^ (4)

где последовательность {ап} убывает с требуемой скоростью. Ясно, что если даже функция д удовлетворяет условию (3), формула (4) не обязана следовать из (2). Таким образом, при выполнении условия (3) формула (4) может быть сильнее формулы (2).

Более существенное различие имеет место в методах получения оценок (4) и (2). Один из основных методов исследования асимптотики N (А), восходящий к работе Карлема-на [6], основан на оценках резольвенты (Т — А)-1 (пли какой-либо функции от нее) при больших А вдали от спектра Т с последующим применением тауберовых теорем (см., например, [7]). Отметим, что тауберов метод может с успехом применяться и к несамосопряженным операторам [8,9]. Но если требуется найти несколько первых членов асимптотического разложения (4), то тауберова техника уже неприменима, поскольку приходится «спускаться» на спектр — изучать асимптотику решений уравнения Ту = Ху, когда А уходит в бесконечность по множеству, содержащему спектр оператора Т. В случае когда оператор Т - сингулярный обыкновенный дифференциальный оператор [10], последнее обстоятельство приводит, как правило, к появлению точек поворота [11, Гл. III, § 1], которые сильно усложняют задачу нахождения асимптотических разложений решений уравнения Ту = Ху. Поэтому чаще всего (по крайней мере, для обыкновенных дифференциальных операторов) задача нахождения разложения (4) является более сложной, по сравнению с

аналогичной задачей для N (Л)1, В этом контексте операторы, для которых формула (4) выводится проще, чем формула (2), следовало бы отнести к разряду курьезов.

Статья посвящена получению формулы (4) для одного из таких операторов. Этот оператор - обозначим его Т - действует в пространстве L2(0, +ж) по формуле

Ту = С(у) := у(4 - 2(р(х)у>)> + q(x)y (5)

на функциях из

D(T) = {у е L2(0, +ж) : y[k] е АС[0, +ж) (к = 0,3), С(у) е L2(0, +ж), у(0) = у"(0) = 0, \im[y,y](x) = 0 Здесь

[y,z] = £ (y[k-1]z[2-k] - y[2-k]z[k-1]) , к= 1

уЩ _ квазипроизводная [10, § 15] функции у: y[fc] = y(fc) при к = 0,2 и у[3] = 2ру' — у'"; АС[0, означает множество функций, абсолютно непрерывных на

каждом отрезке [0,6], b > 0, Всюду далее считаем, что функции р и q вещественны и суммируемы на каждом интервале (0,b), Ь> 0. При таких уеловиях Т - замкнутый симметрический оператор с индексом дефекта (п, п), где 0 < п < 2 (см. [10, § 17, п. 5]), Если Т самосопряжен (то есть п = 0) и при некотором а > 0 функции ръ q неотрицательны п.в, на (а, <х>), то го доказательства леммы 2 работы [12] следует, что Т совпадает с оператором, ассоциированным с ограниченной снизу замкнутой квадратичной формой

/><х

1[у] = Цу'Г + 2р\у'I2 + q\y\2) dt, J о

D(l) = [у е L2(0, ж): у/qy, y/ptf е L2(a, ж), у" е L2(0, ж),у(0) = 0],

следовательно, ограничен снизу. Если дополнительно предположить, что

q(x) ^ +ж, х ^ ж, (6)

то в силу принципа минимакса [13, гл. XIII, § 1] оператор Т имеет дискретный спектр.

Как отмечалось выше, для получения асимптотических оценок (1) или (2) важно знать поведение фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения

у(4) — 2(р(х)у')' + q(x)y = Ху (7)

при больших х > 0 и Л > 0 (соответетвенно Л < 0), Поведение ФСР существенно зависит от поведения характеристических корней ßi(x,X) (i = 1, 4) уравнения

ß4 — 2pß2 + q — Л = 0.

Имеем

ß1,2 = ±/1, ß3,4 = ±/2, (8)

где u1>2 = р ± л/D, D = р2 + Л — q. Здесь и всюду далее ветвь корпя /z выбирается так, что y/z > 0 при z > Таким образом, если q удовлетворяет (6) и

р2(х) = o(q(x)), х ^ ж, (9)

хДля некоторых операторов (например, для дифференциальных операторов в частных производных)

главный член в разложении (1) удается получить только из (2), обращая функцию д.

то существуют положительные постоянные А,Въ С, такие, что при х > а,Х < — С,

k,j = Т~4

Ук(х, А)

В

< А. (10)

(X, л

Условия (10) играют важную роль при выводе оценки (2) для квазидифференциальных операторов произвольного порядка [7, гл. VIII]. При нарушении этого условия асимптотическая структура ФСР уравнения (7) может сильно усложниться (см. [14] и имеющиеся там ссылки). Во-первых, эта сложность обусловлена тем, что характеристические корни на бесконечности растут «не в одну силу» («вырожденный» случай). Так, если р(х) ^ +ж, х ^ ж, и

q(x) = о(гр2(х)), х ^ ж, (11)

то

Vj+2(x,X) = О (х,\)) (j = 1, 2), X ^ +ж.

Во-вторых, часть этих корней может слиться в один кратный корень в некоторых точках, которые и называют точками поворота. Как было отмечено выше, наличие последних доставляет особенно много хлопот при исследовании асимптотики ФСР (см. [11, 15] и дальнейшие ссылки). Более того, если

q(x) = ха, р(х) = Vх2!3 + х~1 cos xs + ха, 0 <а,<у < 20, ó > 0, (12)

то из формул (8) видно, что при А = —г, г ^ 1, уравнение (7), в зависимости от знака выражения 8 + 7 — 20, имеет конечное или бесконечное число точек поворота, определяемые уравнением х2/3 + х1 cos хё = г. Вблизи каждой точки поворота стандартные асимптотические оценки (ВКБ-оценки для уравнений второго порядка и их аналоги для уравнений и систем высших порядков [11]) не работают.

Поэтому при условии (11) и больших отрицательных А приходится иметь дело со сложностями обоих типов. Тем не менее, метод Карлемана-Костюченко (для получения формулы (2)) в данной ситуации также применим, нужно только «выходить» в комплексную А-плоекоеть (см. [14] а также [7]).

Однако, в «вырожденном» случае (конечно, при более детальной информации о поведении функций р и q) удается получить формулу (4), более сильную (при наложенных на р и q условиях), чем (2). При этом сложностей, связанных с наличием точек поворота, оказалось меньше, чем в задаче нахождения формулы (2)!

Существуют различные методы, благодаря которым удается преодолеть проблемы, связанные с точками поворота, и получить формулу (2) для операторов вида Т. Один из них (см., например, [14,16]) - упомянутый выше «выход» в комплексную А-плоекоеть: исследование асимптотики функции Грина оператора Т при больших А из некоторого невещественного луча, исходящего из начала координат, и применение какой-либо тау-беровой теоремы [8,9,17]. Другой метод, восходящий к работе Лангера [18], позволяет получить приближенное решение уравнения (7), пригодное как в точке поворота, так и вдали от нее. Этот метод одинаково эффективен как в самосопряженных, так и несамосопряженных спектральных задачах [15,19,20]. Именно благодаря методу Лангера удается получить формулу (4) с оценкой

ап = n-m, т = const > 0, (13)

в «вырожденном» случае (11), когда коэффициенты р и q имеют степенной рост и удовлетворяют некоторым дополнительным условиям типа гладкости и регулярности поведения на бесконечности (Теорема 2). Подчеркнем еще раз: с одной стороны, оценки (4) и (13) несут гораздо больше информации об асимптотике спектра оператора Т по сравнению с

оценкой (2), е другой - для получения оценки (2) метод Лангера в некоторых случаях (как в примере (12)) может оказаться бессилен,

2. Формулировка основных результатов

На вещеетвеннозначные функции р и д наложим следующие ограничения:

1) Существует х0 > 0, что функции р и д суммируемы на (0,ж0),

2) При х > х0 (ж0 > 0 — постоянная) функции р и q имеют абсолютно непрерывные производные, удовлетворяющие неравенствам

ахха-1 ^ 4(х) ^ Аьха-1, Ьгх13-1 ^ р'(х) ^ В^-1, (14)

где аг, А1,Ь1, Вг,а, 0 — положительные постоянные, причем

а < 20; (15)

вторые производные функций р и q имеют постоянный знак (почти всюду).

Замечание 1. Из неравенств (14) следует, что при х > х1 {х1 > х0)

аха ^ д(х) ^ Аха, Ъх13 ^ р(х) ^ Вх13, (16)

где а,А,Ъ,В - положительные постоянные. Следовательно [10, § 24, Теорема 2], спектр всякого самосопряженного расширения минимального оператора, порожденного выражением (5), дискретен.

Ниже при некоторых дополнительных ограничениях на функции ръд мы получим двойную асимптотику [11, Гл. II, § 7] решений уравнения С (у) = Ау, откуда, в частности, будет вытекать, что индекс дефекта минимального оператора Т0, порожденного в Ь2(0, +ж) дифференциальным выражением Су [10, гл.У, §17], равен (2,2). Последний факт влечет за собой самосопряженность оператора Т.

Из соотношений (8) и неравенств (15), (16) видно, что уравнение (7) при каждом А ^ 1 имеет единственную точку поворота а\, определяемую условием д(а\) = А, В этой точке сливаются корни которые совпадают с характеристическими корнями для уравнения Штурма-Лиувилля

- у" +-? - А У = 0. (17)

Р + V Р2 + А - д

В работе [21] при условиях 1),2)и0 < 0 < а + 2 найдена асимптотика ФСР уравнения (7) при больших А > 0, равномерная по ж > 0, Используя эту асимптотику, было получено асимптотическое уравнение для спектра, позволяющее в случае д(х) = ха,р(х) = х^ выписать несколько первых членов в разложении (4), (13),

При построении асимптотики ФСР оказалось, что два решения из ФСР допускают при больших А равномерное по ж > 0 приближение парой решений уравнения (17), В случае 0 > а + 2 такое приближение становится непригодным в окрестности (своей для каждого А > 0) бесконечности. Это связано с тем, что при 0 > а + 2 точка х = также является точкой поворота, потому для построения асимптотики решений уравнения (17) около бесконечности приходится выбирать другое эталонное уравнение. При выборе эталонного уравнения нам понадобится уже более подробная по сравнению с условием 2) информация о поведении функций р и д на бесконечности, А именно, мы будем предполагать, что р удовлетворяет следующему условию

3) на [х0, ж) р(к)(х) = (х?)(к) + О к = 0,1, 2 е > 0.

В случае 0 = а + 2 мы потребуем выполнения еще одного условия

4) на [х0, +ж) д(х) = ха + 0(ха-а), а > 0.

Очевидно, функции вида

р(х) = х13 + К(х) ,д(х) = ха + V (х), (18)

где Я,У € Со[0, удовлетворяют условиям 1) - 4),

Теорема 1. Пусть при ¡3 > а + 2 выполнены условия 1) - 3), а при ¡3 = а + 2 и условие 4)- Тогда собственные числа оператора, Т с достаточно большими номерами, определяются из уравнения

вт Ф(А) + К(X) сов Ф(А) + 0(Х-&) = 0, (19)

где

Ф(А) = уЯ] (р + у/^ + ь)- Я + 4 - -Щ—)лЛё—У + Ж, (20)

г = I 0, /3> 2 + а, ( Л

° = \ 1 (3 = 2 + а, , (21)

к(X) = -5 (ф(Х) - 4)-1 + 1 £ и|-1/2 (V + У - к(1,Х) + ^) ^ (22)

ь = = р-^0,0 = р2 + Л - д, (23)

.1 2([3 - а - 2) 2е .

• -=г} г то^ -+2,

, ^ = а + 2'

!

Если функции р и д имеют вид (18), то

(1 1 2((3 -а - 2) . 6 =< т1П { 2 + 0- В-2 ' *>а + 2'

\ + у Р = ° + 2-

,

Теорема 2. Пусть функции р и д имеют вид (18). Тогда, спектр оператора, Т при 2 + а < ¡3 < 2 + 2а имеет асимптотику

{2(3-1) 2(¡3-2) (( 13-2)2+2а/3) }

С^2 -С2тк3+2 +С3тк ¡2-4 \

43 4 а 2(3-1) 2(3-2) ___,__

Ак = т/+2 + С-^С1тк3+2 - С2тк3+2 + С^тк ¡2-4 \+0 (к-т) , (25)

где

тк = С-1 ж ( к +

С0

а = I

/ /-\ -1/2

(х? + \/х+ 1] с1х, С

V2

-

1 Г™

/1 = ^ / К(х)(1х, 20

3

1/2в-1/2—2/31)-1 + 0П-2 — -1/2 + 1 ) +

О

+

Г**-1/2

(0 — 2)2

(3/3 — 4)0 С-1 8(0 — 2)2 0 ,

= ^ + у/ъ, Б

+ 1, 3 =

-1/2а,

1

Р — 1 0 — 2,

к

С3 = -3 2

Р — 2 \-2»/(13-2) п ™

^ 2»/(13 2)+1 ^ ^ — фунщцл Бесселя первого рода,

т

1,13 2(0 — а — 2) 1 < 0 — а — 2| 30 — 2 ' ' 0 + 2

шт < —+ — ,—

2 + 0 — 2

2 0' 4 0 — 2 При 0 > 2 + 2а имеют место аналогичные формулы.

\

3. Доказательство теоремы 1

3.1. Приведение основного уравнения к каноническому виду. Введем обозначения, Пусть х(х) ~ бесконечно дифференцируемая функция, равная единице на [0,ж0] и нулю на [х0 + 1, ж). Положим

Р1(х) = р(х)(1 — X(x)), ql(x) = q(x)(1 — X(x)), ¡(х,Х,^) = — 2р 1/12 + ql — X,

А1

Далее пусть У = (у, у[1\ у[2\ у[3^)Т, где уозтачает к-ую квазипроизводную [10, с, 182], Тогда уравнение Су = \у эквивалентно системе уравнений

У' = (Л + Л)У. (26)

Введем в рассмотрение матрицы

А-0 = diag(Aоl,Aо2),

¿01 =

/ 0 1 0 0 \ 0 0 0 0

0 0 1 0 , ¿2 = X 0 0 0 0

0 2 1 0 —1 0 2 0 0

1 — X 0 0 0 0 0 0

^1diag(1, —1), А-02 0 0)

Т = Л ^(МЖ, Ь),

2 0

Ч Л 2

_ единичная матрица и-го порядка,

Л1 = diag( щ, — Р2), Л 2 = diag( //2, — щ) 11 1 —1

В1 = —Т-1Т',

(27)

(28)

Ж

М1 = diag(и-1/4, и\/А), В2 = Т-1А2Т.

оо

0

0

эо

г

0

Далее пусть

В1 Хц Х12

( В11 В12 \ V В21 В22 )

- ^А^Вц, Х

Х

Х11 Х12

Х21 Х22

р / 00

2^0 V 10

1

Х

21 =

1

2УЛ

(А01 (В 12 + В12 А 2) (В21А01 + А02В21) ■

Легко проверяются соотношения

Т-1АТ = А0, ХА0 -АХ = В1.

Тогда подстановка

У = Т (1А + Х )У

приводит уравнение (26) к виду

V' = (А0 + г^у,

где

г1 = (и + х )-1(ВхХ -Х' + В2( к + Х )).

3.2. Эталонные решения. Введем обозначения

В

(р - 2 Г™

V 2 Л )

ж А.\ -2/(3-2)

2

-1/2

1/2

и = Р1 + \/ Р21 + ^ 1/2 ■

сИ, Q2 = л/Х

(П-1/2, Ql

Эталонные решения возьмем в виде

У0 = с11^(У01,У0 2),

У01 = dmg(expQl,exp(^1)), У02 = ( ),

1 2

^ = вецУ2 = В£ 1Ууш,

1

3-2, Р>а + 2,

Р = <* + 2,

(30)

(31)

(32)

Здесь и У1 - функции Бесселя соответственно первого и второго родов [22], Тогда

К' = (Ао + ¿2)Уо,

(33)

где

¿2 = &1щ(о,г0),

¿0

(

Р(Р - 2) + с\ (IV + В1_ Ох Л

4 2)\и В + л/р? + А),

\

(0 0)

постоянная С определена по формуле (21) Введем в рассмотрение функции

Л

V = -, Ро

Г уp,

к х'

х ^ Ъ\, х > Ъ\, '

х

где Ь\ - корень уравнения VXQ2(b\,X) = 1 (легко видеть, что при достаточно больших Л > 0 Ъ\ определяется однозначно);

Р = diag(1,1,1,ра), D = diag(D1,D2), (34)

n D ( diag (Л^С- ,Л-1/2е) , х> Ъх,

Di = Voi, D2 = t _i v у , (35)

I Ч> 4h х ^ bx,

1 2

Vo = P-1VoD-1, V = P-1VD-1. (36)

Тогда V0 = diag(I2,V02), причем (см. [22, §7.13]) при х ^ М-1Л1/(3-2 (М » 1)

2 (V03 - 1)2 + 2 с +1)

_ т - 2/ ео8Ф1 sinФ1 .

Vo2 = U sinФl - COS Ф1 1 х

X

+1 ^ - л И-1( ^D+oU-*2£+^

(37)

Ф1 = Q2 - (27 +1)тг/4.

Кроме того, для достаточно больших М > 0, Л0 > 0 найдутся положительные постоянные С1 , С2

С1 < \У02(х, Х\ < С2 Ух > МХ1/(13-2),Х > Л0. 3.3. Интегральное уравнение. Имеем (см. (31) и (33))

V = ^ + / У0(х, , х)2(I, х)у(I, х)<и,

¿Г(х)

где

2 = — 22.

Умножив обе части этого уравнения слева и справа соответственно на Р-1 и Б-1 (см. (36)), получим уравнение для У

V = Ц> + А(Х)У, (38)

где оператор А (Л) действует по формуле

(А(\)У)(х,Х) = Ц>(х,Х) [ А(х,г,Х)У(г,Х)Б(г,Х)0-1(х,Х)сИ =:

=: У0(х,\)А1(\)У, (39)

А(х,г,\) = о(х,\)о-1(1 ,\)(У-1р-12Р )(г ,х). (40)

Матрицу Г(ж) = ((Ту,х)), где (7^,х) - интервал, по которому интегрируется элемент,

следующим образом: 7^ = +ж при (г,]) = (3, 2), (4, 2), (4, 3) и 7^ = 0 при остальных (г, ]). Из определения (34) - (35) матрицы Б следует, что при таком выборе все экспоненциальные множители в (40) ограничены. Тогда для нормы оператора А(А) в пространстве 2 справедлива оценка

||А( А)! = 0(1(Х)), 1(Х) = ||С(* ,А)И, (41)

0

с(г, А) = Р-1(г, А) 2 (г ,\)Р (г ,\).

Непосредственные вычисления показывают, что

С(1 ,Х) = с^(0,С0) + 0(д), (42)

где

Go

9i

92

( 0 дЛ

V 92 0 ) ,

¡У + ,

i) vi)

1 (D -vL + 8хР)

8 —D\D -D + ХР)

1

4р o

1 fv'V V' ß(3ß - 4) +8c 2 -i 4q

- +V- Vi

)

(43)

(44)

Лемма 1. Пусть функции р и д удовлетворяют условиям 1) - 3), а в случае 0 = а + 2 и условию 4)- Тогда

I(X)

т

0(X-m), X ^ +ж,

' min {1/4, (ß -а - 2) / (ß - 2),e/(ß - 2)} , ß>a + 2, min {1/4,a/(ß - 2),e/(ß - 2)} , ß = а + 2,

где а и £ положительные постоянные, фигурирующие в условиях 3) и 4)-Доказательство. Из соотношений (41) и (42) имеем

(45)

1( X) = О

С

(9+ \9i\ + \92\)dt

)

Элементарные оценки, основанные на неравенствах (14) и (16) и условии 2), показывают,

что

(g + \gi\)dt = О (X-i/4-i/2ß) , X ^ +ж.

Для оценки интеграла Д( А) = [ \ д2\ сИ разобьем его на два интеграла

o

Г fC\ r<x \

h = у +J j\g2\dt = hi + I12, cx = Xi/2ß, и заметим, что из условий 3) и 4) следует

- 1х ^ ж,

□

92 = О (х-2 (x-s + Xx-2ß)) , с

= min { , ß - а - 2} , ß > а + 2, = min { , а} , ß = а + 2.

Отсюда легко следует (45),

т

зависит от гладкости функции р в окрестности нуля. Второе число ((ß - а - 2)/(ß - 2) а/( ß - 2)

ет точность метода. Последнее из чисел определяется относительной малостью функции R(x) = р(х) - xß в окрестности бесконечности, В предельном случае, если предположить финитноеть функции R(x), то в (46) исчезнет е. Если дополнительно предположить фи-нитноеть V = q - xa в условии 4), то при ß = а + 2

д2 = 0(Xx 2 2ß), cxlx ^ ж.

Таким образом, справедлива

оо

o

o

1(А) = 0(Х-т), X —у ж>,

_ Г шin[1/4+1/2/3, ([3 — а — 2)/(/3 — 2)} , [3 > а + 2,

т = \ 1/4 + 1/2/3, 0 = а + 2,

3.4. Завершение доказательства теоремы 1. Из леммы 1 следует, что при Л — ж

равномерно по ж > 0

У (ж, Л) = ТР (1А + о(1))Я0( и + о(1))Б(х, X), (46)

так что индексы дефекта минимального оператора Т0 равны (2.2). Значит, оператор Т самосопряжен, а уравнение для собственных чисел имеет вид

det

где

С2У(0, Л) [еа + А1 (А)Ц,(0, X) + 0(12(А)) СТ] = 0, (47)

0 1 0 0 1 1 0 0 С1 = 0 0 1 0 , С2 = 0 0 1 0 .

Нетрудно проверить, что [А1( Х)У0С'Т](0, А) имеет вид

( ®11 &12 \ 00 «31 0 \ а41 а.42 )

причем

(.А1 ( Х)УС') (0, А)

(48)

„Г-

к

®42 = ^ 1^12^21 — ,Х)(И + 0(\fЗ(X)\),

где означают элементы матрицы У02,

' 1, ьх,

1(1 ,Х) = { АЧ, X), *> Ь,}, (49)

/ „I ^ и „н

№ = А-Ч ( ^^+ ) Л,

'0 \(р21 + А)7 (р2 + А)3

'1Т / V 4

все остальные ненулевые элементы в (48) удовлетворяют оценке

ГЖ0 + 1

/ гхо+1 \

аг] = 0[Х-1/4у \хр \ ехр(—«^Ш + О (Х-3/4) + О (3-2(0, А)) , (г, 3) = (4, 2). (50)

0 Но

/ 3 /З — а — 1 \

р(А) = О (А-з —, следовательно, уравнение (47) можно записать в виде

шц(0, А) + «42(А)ш12(0, А) + 0(12(Х) + 3-2(0, А)) = 0. (51)

Пусть

К (А) = ^ ^ 8с 3-1(0, А) + ^^ Ж(д 1Ш21Ш12 — Ш2192)^, т, (52)

где С, /(£,Х), д1, д2 определены соответственно по (21), (49), (43), (44). Тогда, заменяя в (52) шп и ш12 их асимптотиками согласно (37), получим уравнение (19). Теорема доказана.

4. Доказательство теоремы 2 4.1. Параметр квантования. Из уравнения (19) следует, что

Ф( Ак) = икж + о(1),к —у ж, (53)

где Рк = Vк(а,0) - целое положительное число - параметр квантования. Покажем, что ик (а,0) = к.

Пусть Ак (0) - к-е собственное число оператора Т при р = х13, д = 0 и пусть {цк-спектр задачи

у(4) = Ау, 0 ^ х ^ 1, (54)

у(0) = у"(0) = 0, у(1) = у'(1) = 0. (55)

Ак (0) — Цк, 0 — +ж.

Т

имеет вид

«те

(\у''\2 + 2х33 У^дхх, Б(1) = {уеь2(0, ж): у,у'еАС[0, +ж),у"еЬ2(0, ж), у(0) = 0} .

ю

Обозначим через ук(0) = Ук(0,х) и Хк = гк(х) к-ю нормированную собственную функцию

оператора Т и задачи (54) - (55) соответственно. Тогда если продолжить нулем на

1

[1, ж), то Хк € Б(1) и 1[хк] = Цк + где ек = § 2х3 \¡'к\ ¿х. Отсюда в силу вариационного

о

принципа [13, гл. XIII, теорема XIII.3] заключаем, что

Ак (0) ^Цк + £к (к = 1, 2,...), (56)

и при каждом фиксированном к £к — +0 при 0 — +ж. Далее, из неравенств

/ х3 \у'к(0, х)\2 йх ^ Цк + £к,

ч

/><х

II

] \Ук(0,х)\ dх ^ Цк + £к, Ук(1) = о(1), у'к(1) = о(1), 0 — +ж. (57)

Но

/ \у1 (0,х)\2 ¿х<Ак(0), о

откуда, учитывая (57), заключаем, что для любого е > 0 и для каждого к € N найдется положительное число В (к, е), такое, что при всех 0 > В (к, е) найдется функция Ук из области определения квадратичной формы (54) - (55), для которой

Г \<\2 ¿х<Ак(0) + е.

о

Из последнего соотношения, снова применяя вариационный принцип, получим

Цк ^Ак(0)+ е, 0>В(к, е). Отсюда и из неравенства (56) получаем утверждение леммы. □

Лемма 4. При каждом 0 > 2

Ф( Лк(0)) = кп + о(1), к ^ю. Доказательство. Уравнение для собственных чисел задачи (54) - (55) имеет вид

sin (//1/4 -п/4) + exp (-2/1/4) cos (//1/4 - п/4) = 0, откуда, применяя теорему Руше, получаем

/У4 = п (к + 1/4) + о(1), к ^ +ю.

Но при 0 ^ ю (см,(20))

Ф( Л) = Л/4 - 4 + о(1),

так что в (53) fk (0) = к при достаточно больших 0. Согласно теореме 1 из [12] функция Лк(•) непрерывна на (2, ю), следовательно, функция fk(•) также непрерывна на (2, ю), так что Uk (0) = к при всех 0 > 2, □

Лемма 5. Пусть Лк (а, 0)Ж - собственные числа оператора, Т при q(x) = ха, р = х13. Тогда

Ф( Лк(а,0)) = кп + о(1), к^ю.

Доказательство. Так как Лк(а,0) непрерывна на П = {0 > 2 + а, а > -1} U {0 > 2}

(1)

пакту К из П, то fk(а,0) непрерывна па П, Но fk(0,0) = к (лемма 15), следовательно, ик (а,0 ) = ЬП. □

4.2. Завершение доказательства теоремы 2. Имеем

Г/ \ —1/2

Q2(0,Л) = Лl /4+1/2^ (> + Vi^+l) dt = СоЛ1 /4+1/2fi,

К( Л)

ш11,ш12,ш21 их асимптотиками согласно (37), произведя далее замену переменных t |—> Л1/213т, получим (считаем х = 0 в (43))

К (Л) = -С1Л-1/4 + С2Л-1/4-1/2fi + к(Л) + 0(Л-1/2-1/2^),

п

к(Л) = J—2J0 P-1q 21 f(tA)dt.

Из определения \^0(х,Л) (см, (36)) имеем

к(Л) = 2 J Л-1/2дu-1/2Q(t, Л) J2 (V\Q) dt,

где

/оо

v-1/2d t.

Пусть 0 < 2а + 2. Тогда, разбивая интеграл к(Л) на сумму

щ)=2

Г-С\ г-ж-

+

0 Jcx . 11

Л-1/2дv-1/2QJ2 dt,

где с\ = Ъ\Л-£, 0 < е < —----, и заменяя в первом интеграле J1 (V~AQ\ ее асимп-

0 — 2 20 V /

тотикой, а во втором - q па основании условий 3) и 4) выражением [ ——-Q

(Й Q

-2а/([3-2)

получим

к(Л) = + О (\-l/2-(l3-»-2)/(l3-2)J .

Подставляя теперь К в уравнение (19) и разрешая его относительно Л с учетом леммы 5, получим (25), Теорема доказана.

Замечание 2. Случай 3 > 2а +2 отличается от рассмотренного лишь асимптотикой интеграла к(Л). Легко видеть, что при 3 > 2а +2

к (Л) - const ■ Л-1/2-(3-2-2а)/43,

так что член С3тк в (25) следует заменить на член вида const ■ тк .

При 3 = 2а +2 к (Л) = const ■ Л-1/21пЛ, что приводит к появлению в (25) члена вида const ■ т-2/(з3-2 1птк.

Теорема 3. Пусть функции р и q имеют вид (2-48), причем, 3 = а + 2. Тогда,

5 /3-4 2( /3-2)

4/3 4 3 ( 53-4 2(3-2)

Лк = т/+2 + з+-2с-^ст^4 — C2mk3+2 | + О(к

где тк = С-1ж ( к — — + \, постоянные C0, С определены так же, как в

4 2(3 — 2)

случае 3 > 2 + а

С = 3 I о

&2D-1/2^-2 (— Ш + -I — + Л +

\ D D2 y/D J

+ 3(3 — 4)3 + 8 - /2 — + 3(3 — 2)2 - и 8 и

3(3 — 4)3 + 8 с -м (3 — 2)2 Со ,

(1 — 3 2(3 — 2 — а)) 33 — 2

т = ШШ\2+ 3, 4, 3 — 2 }

2 3' 4' 3 - 2 } 3 + 2

Доказательство. Рассуждая так же, как при доказательстве предыдущей теоремы, будем иметь

К[X] = -СХ-1/4 + С2\-1/4-1/2ГЗ + О (\-1/2-1/3) , отсюда и следует утверждение теоремы, □

5. О плотности собственных и сингулярных чисел несамосопряженного

ангармонического осциллятора

Пусть Н(а, 9] - оператор, действующий в Ь2(0, +ж) по правилу

Б(Н(а, в]] = [уе Ь2(0, +ж] : у,у' е АС[0, +ж], (58)

-у" + хау е Ь2 (0, +ж], у(0] = 0}, Н(а, в]у = -у" + хау. (59)

Здесь 9 е (-ж, ж), а е (0, +ж) - постоянные, АС[0, +ж) - множество функций, абсолютно непрерывных на любом отрезке [0,а],а > 0. Оператор Н(а, в] принято называть несамосопряженным ангармоническим осциллятором [23], Н( а, ]

щуюся там библиографию). Известно (см, [20,24]), что при каждом 191 < ж спектр Н(а, в]

дискретен, все собственные числа простые (алгебраической кратности 1), лежат на луче а^г = 20/(2 +а):

Хп(а, в) = Хп(а, 0)е2вг/(2+а), (60)

12а/(2+а)

^ X. (61)

( - V

Ví—rdt)

Как показано в [23], ||(Н(а, 0) — гег/3)-1|| ^ <х>, г ^ +х, равномерно по Р е |А 2+а — ^ Ы+а + — ^] , ^ > 0. Следовательно, для каждого сколь угодно малого 8 > 0 найдется > 0 что е-псевдоспектр оператора Н(а, в)

а£(Н (а, в)) = а(Н (а, в)) U {z е C \а(Н (а, в)) : ||(Н (а, в) - z)-'\\ > е-'}

целиком содержит сектора

{

* • r> Rs, 8<р <

nú л ( 20

- 8 \ и retfi : r> Rs, 7ГТ— + S <9-8

2 + а

2 + а

}

Согласно известной [27] формуле

Ъ(Т)= { U °(т + v)\.

IKe

Н( а, )

сильно меняться при весьма малых возмущениях [28], При исследовании спектральных свойств возмущений таких операторов традиционными (для самосопряженного случая) методами, основанными на тауберовых теоремах (см, [9]), важна оценка для плотности так называемых сингулярных чисел - собственных чисел абсолютной величины оператора: 1Н(а, в)1 = \/Н(а, в)*Н(а, в). Легко проверить, что М := Н(а, в)*Н(а, в) представляет собой самосопряженный оператор, порожденный в Ь2(0, +х) дифференциальным выражением 1(1 у) и краевыми условиями у(0) = у"(0) = 0, где Iу = — у" + ду, 1у = — у" + ду. Уравнение Му = ву с помощью стандартной замены У = (у,1у, у', (1у)')ь сводится к спектральной задаче

У' = АУ, (62)

У' (0) = Уэ(0) = 0,

где

А

( 0 0 1 0 \

0 0 0 1

-1 0 0

\ -s q 0 0 У

Собственные значения матрицы А имеют в ид ±д/ cos в г±у/ s — sin 9г2, так что при больших s > 0 уравнение (62) имеет 2 точки поворота, в которых сливается одна или две пары собственных значений. Эти точки порождают дополнительные трудности при исследовании асимптотики решений уравнения (62), но они носят чисто технический характер и преодолеваются, как выше, с помощью метода эталонных уравнений, В отличие от уравнения (7), обе точки поворота уравнения (62) конечны, поэтому эталонные решения, соответствующие этим точкам, должны выражаться через функции Эйри, Не вдаваясь в подробные вычисления, отметим только, что благодаря коэрцитивной оценке

( My, у) > (1 - 8) ау''\\2 + \\ry\\2) -CS1Ы12,

где 0 < 6 = 5(в) < 1,С& > 0,г = ха, можно получить нужную (ем, теорему 1 из [9]) оценку

„ N(Н(а, в), Л) liminf ;тг; ' Л\ > 0. N(\Н(а, в)\,Л)

Подчеркнем еще раз, что, вычисляя по аналогии с пп, 4, 5 хотя бы первый член асимптотики спектра оператора М, либо пользуясь тауберовой техникой как в работе [17], можно показать, что

N(\Н(а, в)\,Л) - const ■ Л2а/(2+а), Л ^ +ж. (63)

В связи с этим отметим работу [29], в которой формула (63) установлена для произвольного диссипативпого оператора А го класса Неймана-Шаттена &р при р < ж/29 а, где 0А -раствор угла, с которым совпадает область:

Niт(А) = {(Af, f): feD(A), \\f\\ = 1}.

В нашем случае последнее требование отсутствует.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. V. V. Buldvgin, O.I. Klesov, J. G. Steinebach. Properties of a Subclass of Avakumovic Functions and TheirGeneralized Inverses 11 Ukr. Math. Jour. V. 54. № 2. 2002. P. 179-206.

2. V. V. Buldvgin, O.I. Klesov, J.G. Steinebach. On some extensions of Karamata's theory and their applications 11 Publ. Inst. Math. Nouv. Ser. V. 80(94). 2006. P. 59-96.

3. J. Karamata. Sur un mode de croissance régulière des fonctions // Mathematica (Cluj). V. 4. 1930. P. 33-53.

4. Сенета E. Правильно меняющиеся функции. M.: Наука. 1985. 144 с.

5. N.H. Bingham, С. M. Goldie, J.L. Teugels. Regular Variation. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 27. Cambridge: Cambridge University Press. 1987. 491pp.

6. T. Carleman. Uber die asymptotische Verteilung der Eigenverte partieller Differentialgleichungen // Ber. Sachs. Acad. Wiss. Leipzig. V. 88. 1936. P. 119-132.

7. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука. 1979.

8. Шкаликов А. А. Теоремы тауберова типа о распределении нулей голоморфных функций // M а гс.м. сб. Т. 123(165). № 3. 1984. С. 317-347.

9. Ишкин X. К. Об условиях локализации спектра операторов, не близких к самосопряженным // Докл. АН. Т. 479, № 5. 2018. С. 1-4.

10. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.

11. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука., 1983.

12. Kh. Ishkin. On continuity of the spectrum of a singular quasi-differential operator with respect to a parameter 11 Eurasian Math. J. V. 2. № 3. 2011. P. 67-81.

13. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир. 1982.

14. Султанаев Я. Т. Асимптотика спектра сингулярных дифференциальных операторов в неопределенном случае // Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., мех. № 3. 1975. С. 21-30.

15. Ишкин X. К. Асимптотика спектра и регуляризованный след сингулярных дифференциальных операторов высшего порядка // Дифференц. уравнения. Т. 31. № 10. 1995. С. 1658-1668.

16. Розенблюм Г. В, Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Уравнения в частных производных - 7. Итоги науки и техники. Сер. соврем, пробл. Мат. Фунд. напр. Т. 64. М.: ВИНИТИ. 1989. С. 5-242.

17. Султанаев Я. Т. Двусторонняя Тауберова теорема для отношений // Изв. вузов. Матем. Т. 140. № 1. 1974. С 103-112.

18. R. E. Langer. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order with special reference to the Stokes' phenomenon // Bull. Amer. Math. Soc. V. 40. 1934. P. 545582.

19. Евграфов М.А., Федорюк М.В. Асимптотика решений уравнения w"(z) + p(z,X)w(z) = 0 при А ^ те в комплексной плоскости z // Успехи мат. наук. Т. 21, вып. 1. 1966. С. 3-50.

20. Ишкин X. К. О спектральной неустойчивости оператора Штурма-Лиувилля с комплексным потенциалом // Дифференц. уравнения. Т. 45. № 4. 2009. С. 480-495.

21. Ишкин X. К., Муртазин X. X. Асимптотика собственных чисел дифференциального оператора четвертого порядка в «вырожденном,» случае // Уфимск. матем. журн. Т. 8. № 3. 2016. С. 82-98.

22. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука. 1974.

23. Е. В. Davies. Wild spectral behaviour on anharmonic oscillators // Bull. London Math. Soc. V. 32., № 4. 2000. P. 432-438.

24. Лидский В. Б. Условия полноты системы корневых подпространств у несамосопряженных операторов с дискретным спектром // Тр. ММО. Т. 8. 1959. С. 83-120.

25. Лидский В. Б. Несамосопряженный оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром // Тр. ММО. Т. 9. 1960. С. 45-79.

26. Е.В. Davies. Pseudo-spectra, the harmonic oscillator and complex resonances // Proc. R. Soc. bond. V. 455. 1999. P. 585-599.

27. S. Roch, B. Silberman. C*-algebra techniques in numerical analysis //J- Operator Theory. V. 35. 1996. P. 221-280.

28. Ишкин Х.К. О критерии локализации, собственных чисел спектрально неустойчивого оператора 11 Докл. АН. Т. 429, № 3. 2009. С. 301-304.

29. Бойматов К.Х. Асимптотическое поведение собственных значений несамосопряженных операторов // Функц. анализ и его прил. Т. 11, № 4. 1977. С. 74-75.

Ляйсан Габдулхаевна Валиуллина, Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Хабир Кабирович Ишкин,

Башкирский государственный университет,

ул. 3. Ва. in. in. 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: Ishkin62@mail. ru

Рустем Ильдарович Марванов, Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]