Построение группы симметрий и операторов рекурсии для дифференциально-разностных операторов с частными производными Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 3 (1). 2010. С. 17-22

УДК 517.972.5

Построение группы симметрий и операторов рекурсии для дифференциально-разностных операторов с частными производными

И. А. Колесникова

Кафедра математического анализа и теории функций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, 117198 Москва, Россия

Для дифференциально-разностного оператора строится группа симметрий. Решается вопрос отыскания оператора рекурсии для некоторого дифференциально-разностного оператора с частными производными.

Ключевые слова: дифференциально-разностные уравнения, функционально-дифференциальные уравнения, симметрии, оператор рекурсии, группы симметрий.

Под дифференциально-разностным уравнением понимается [1, с. 54] уравнение относительно неизвестной функции и её производной, вычисленное при некоторых значениях аргумента, отличающихся на постоянные. Например,

и'' (г) - и''(г -1) + и(г) = 0.

Дифференциально-разностные операторы в частных производных представляют собой весьма сложный математический объект. Функционально-дифференциальные и дифференциально-разностные уравнения в частных производных изучались во многих работах. Отметим работы по эллиптическим уравнениям [2] и параболическим дифференциально-разностным уравнениям [3].

В данной работе вводится понятие генератора симметрии и оператора рекурсии для дифференциально-разностных уравнений в частных производных. Наличие оператора рекурсии позволяет по одному известному решению уравнения строить целое множество решений.

Рассмотрим уравнение

N (и) = 0, и е ), (1)

где N : О(М) С и ^ V — заданный оператор, и,У — линейные нормированные пространства над полем действительных чисел К, и С V. Предположим, что в каждой точке и е ) существует производная Гато Nluh = 5Н(и, К) оператора N.

Рассмотрим уравнение (1). Пусть и0 — его решение, т.е. N(и0) = 0.

Рассмотрим преобразование С, действующее на V. Нас интересует, когда

и = и0 + еО(и0) (2)

также является решением (1). Назовём оператор С генератором симметрии.

Определение (см. [4]). Если существует линейный оператор К такой, что для любого генератора симметрии С оператор КС также является генератором симметрии, то К — называется оператором рекурсии.

Пусть С — генератор симметрии. Зная хотя бы один оператор рекурсии, можно получить цепочку генераторов: = КС, С2 = КС\ = К2С, и т.д. Таким образом, при этом из любого решения уравнения (1) можно получить множество его решений.

Рассмотрим пример отыскания генератора симметрии.

Статья поступила в редакцию 31 марта 2010 г.

Пример 1. Пусть дифференциально-разностный оператор Щ имеет вид

1

(и) = ^^ щ(х,Ь + Хт) — ихх(х,Ь + Хт) = 0. (3)

А=— 1

Ищем отображение вида

1, = £ + е^1(х, I, и(х, £ + Хт)),

х = х + е(р2 (х, I, и(х, £ + Хт), (4)

и(х,1) = и(х, £) + еф(х, I, и(х, £ + Ат),

являющееся преобразованием симметрии уравнения (3). Из (4) получим генератор

1

С(и) = ^^ ф(х,Ь,и(х,Ь+Хт)) — ^1(х,Ь,и(х,Ь+Хт))щ — р2(х,Ь,и(х,Ь+Хт))их. (5)

А= —1

Критерий инвариантности для (3) относительно группы (4) может быть записан в виде

иО(и) = 0, О : Е(С) С ). (6)

Действительно, пусть и — решение уравнения (3). Группе (4) соответствует преобразование и = и + еО(и), т.е.

(и + еС(и)) = N1 (и) + еИ[иС(и) + г (и, еС(и)) = 0,

откуда получаем (6). Запишем (3) в виде

1

(и) = 1\[щ(х,£) — ихх(х,£)] = 0,

А=— 1

где оператор 1\ действует следующим образом:

1\и(х, £) = и(х, £ + Хт). Критерий инвариантности (6) принимает вид

1

Ы'и О(и) = 1\(Б1 — Бхх)('ф(х,г,и) — р1(х,г,и)щ — ^2(х,г,и)их) = 0,

А=-1

т.е.

1\ [А (ф — — (р2их) — Бхх (ф — — р2их)] = 0.

Отсюда

1\[фг + фиЩ — (у\ + 4>1щ)щ — р1ии — (р\ + у1щ)их — р2ихг —

— (Ф XX + ф хи их + (ф хи + ф ии их)их + ф и иXX

+ у1ихх)щ — 2(^1 + 1р1иих)ихг — ('-Р1х + 4>1иих + (<р1и + Уии их)их +

+ ^1ихх)их — 2(^1 + у1их)ихх — у2иххх)] = 0. (7)

Из уравнения (3) имеем

^Ьх — Uxxx, и>1хх — Uxxxx, Чц — ^ххЬ — ихххх.

Построение группы симметрий и операторов рекурсии для .

19

С учётом этого из (7) находим

hbk + фиих х - {(fit + fi и ^хх)^хX fi Uхххх - {fi + fi> хх)^х fi Mххх

'фх х 2гфхи^х 'фии'^'х ^Ри^х х + fi х х^х х + х + fi и и ^х^х х +

191 1 1 9 9 9 9 3

+ Ри^хх + 2РхЫххх + ЗРи^хиххх + fi ихххх + fiхх^х + 2Ч>хиЪх + Ч)ииих +

+ fit. и хх^х + 2fi

х х х

+ 2fi

+ fi х х х

В итоге получим

h [фг - filuxх - fit их - фхх - 2фхиих - фиии2х + filхихх + + 2fi

хи^х^хх + fiuuU х х х

+ 2fi

х х х х

+ 2fi и^х^ххх + 9 9 9 9 3 9 9

+ fi хх^х + 2fi хи^х + fi ии^х + 2fi х^х х + ^и^хПх х\ = 0.

Таким образом, для определения функций fil, fi, ф имеем следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных:

fi1a = 0, (а)

^>х = 0, (ь)

fih = 0, (С)

fih + fil = 0, (d) -fij + fih х + 2fiX = 0, (е)

fiL = 0, (f)

-Фии - 2fi2хи = ° (д)

-fit - 2фхи + fi\х = 0, (h)

Фг - Фхх = 0. (j)

Решим эту систему. Из формул (а), (Ь) вытекает, что fil — функция, зависящая только от t. Далее, (d) показывает, что fi не зависит от и, а из (е) следует, что

fiX = , так что fi2(x,t) = fij х + j(t), где 7 — некоторая функция, зависящая только от t. Затем в силу (д) функция ф линейна по и, так что

ф(х, t) = П(х, t)u + в(х, t)

для некоторых функций П и В. В соответствии с (h) fit = -2Пх(х,Ь), так что функция не более чем второго порядка по х:

tt(x, t) = -1 fitV2 - 17t(t)x + p(t).

В силу последнего уравнения П и В удовлетворяют уравнению (3):

1Х[Вt(x,t) - Вхх(х,Щ = 0, Ix[nt(x,t) - Пхх(х,г)] = 0.

Пользуясь найденным видом функции 7, получаем

fii t=° it t=0, pt=- 4 fi\t.

Таким образом, (р1 — квадратичная функция от I, 7 линейна по ¿, и можно получить формулы для и ф непосредственно из формул для р, и (р1. Тогда функции имеют вид

1

V1 = ^ ь (С^2 + С21 + Са) ,

А=— 1

= ^ °1Ы + ТЖ + + °5) ,

ф = ^ (—х—2 °4Х—1 +°6)и+.

Для отыскания оператора рекурсии удобно пользоваться следующей теоремой:

Теорема 1 (см. [1]). Пусть .задан оператор уравнения N (и) = 0. Если существуют линейные операторы К, 3? такие, что

к 3 = , (8)

то 3 — оператор рекурсии для N.

Применим эту теорему для нахождения оператора рекурсии для заданного дифференциально-разностного оператора.

Пример 2. Рассмотрим оператор уравнения вида 1

N2(и) (ахщ(х,Ь + Хт) — Ьхихх(х,Ь + Хт)) = 0, (9)

где (х,1) е Я = п х ах(х,1) е С0Х'1(Я), Ъх(х,1) е С2х'0(Я) (X = —1,0,1) —

заданные функции. Найдём оператор рекурсии для заданного оператора N2. Оператор имеет следующий вид:

= £ Ы^ — Ьх 1хВ2х) .

А=— 1

Введём оператор ? = Их. С одной стороны, имеем

1

Щи?1 = ^ (ах 1хВь — ЪХ1ХВ2Х) Д

С другой стороны, получим 1

А=— 1

1 1 = ^ (ах1хБг — Ьх1хБ2х) Вх + ^ {аХх1хБг — ЬхХ1ХБ2Х)

Х=-1 Х=-1

Отсюда заключаем, что условия теоремы будут выполнены, если

аХх = 0, ЬХх = 0, Л = —1,0,1.

Построение группы симметрий и операторов рекурсии для ... 21

Значит, при условии

ах = а\(£),Ь\ = Ь\(£), X = -1,0,1, оператор К = Бх является оператором рекурсии. Рассмотрим оператор Кх = Шх + 1 х. С одной стороны,

Я = ^ {ах1хВг - Ъх Д^) + 1 х^ Я = = ^ ахЬБ^хЯ - Ьх1хВХх1ВхЯ + ах1хВг(\х^ - Ьх1хВХх ^-х^ =

^БхЯ + ах1хВ1( 1 х<э) - Ьх1хВХх[ 1

х=-1

1 1 1

= ахЬЯх + aхIхtQtх + ах 1х^хЯь - ЬхЬ - ЪхЬЯх - ^Ъх1ххЯ2х-х=-1

Преобразуя, получим

11 К'иК2Я = ах(г + Хт)DхIхDtЯ - Ъх(I + Х^БхЬОх^ + -х^х^Я-

х= 1 2

- Ьх^хЯ] + (ах - Ъх)1хВхЯ = ^ Пх(ах(г + Хт)1хDtQ) - ахх(г + \т)1хВ&-

х= 1

1

- Бх(Ьх(Ь + Хт)1хВххЯ + Ъхх(Ь + Хт)1хВх,Я + -х [ахЬПь - Ъх 1хВх,Я] +

+ (ах - Ъх)1хПхЯ.

В итоге имеем

1

К'2иКхЯ = ^ (V + Ат) Вх + 1 х^ (ах!хВь - Ъх/х^) Я- (г + Хт) (ахх1хОь - ЪххЬОх) Я + (ах - Ъх)1хПхЯ-

С другой стороны, получим

1

КхМ^Я = ^ (гБх + 1 х^ (ах!хВь - Ъх/х^) Я-

Преобразуя, будем иметь следующее:

1

N2иКх = ^ КхК - (г + Хт) (аххЬВь - ЬххЬОхх) + (ах - Ьх)1хОх

х= 1

где Кх = (г + Хт)Бх + Ххх.

Для того чтобы оператор К2 был оператором рекурсии, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

(ах - Ьх)1хОх - (Ь + Хт) (ах х№ - ЪххЬВх^ = 0, Л = -1,0,1.

Пусть а\ = Ъ\ = 1, тогда уравнение (9) есть уравнение (3), т.е. имеем группу симметрий и Ri, R2 — операторы рекурсии, и0 = e-(t+Xr) sin х — есть решение уравнения (3), и = и0 + G(u0), и' = и0 + G'(uo) — также есть решение уравнения (3). G' может быть представлен как различные произведения операторов рекурсии и генератора симметрии R2G, R\G, R1R2G, R%G и т.д.

Таким образом из единственного решения и<о уравнения получаем множество решений данного уравнения.

Литература

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. — С. 548.

2. Skubachevskii A. L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. — Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1996. — P. 91.

3. Скубачевский А. Л., Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. — М.: Математические заметки, 1999. — Т. 66, С. 145-153.

4. Олвер П. Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. — С. 639.

UDC 517.972.5

The Construction a Group of Simmetries and the Recursion

Operator for Differential Difference Operators with Partial

Derivitives

I. A. Kolesnikova

Mathematical Analysis and Theory of Functions Department Russian University of Peoples's Friendship Miklykho-Maklaya str., 6, 117198 Moscow, Russia

The group of symmetries for given differential difference operator. The problem of finding out of the recursion operator for given differential difference operator with partial derivitives is considered.

Key words and phrases: differential difference equations, functional difference equations, symmetries method, the recursion operator, the group of symmetries.