Численные решения системы линейных уравнений с дробной степенью матрицы дифференциального оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.622+519.633

ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНОЙ СТЕПЕНЬЮ МАТРИЦЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ОПЕРАТОРА *

И.А. Ильин1, 2, Д.С. Нощенко2, А.С. Пережогин1, 2

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул.Пограничная д.4

E-mail: [email protected]

В работе исследуются численные решения линейных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с дробной степенью разностного оператора. Показаны особенности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробной степенью разностного оператора. Введено условие регуляризации для разностого аналога дробной степени оператора.

Ключевые слова: численный метод, оператор дробной степени, дифференциальные уравнения.

(с) Ильин И.А., Нощенко Д.С., Пережогин А.С., 2013

MATHEMATICA

MSC 65L12

NUMERICAL SOLUTION OF A LINEAR SYSTEM WITH A FRACTIONAL

POWER

I.A. Il’in1, 2, D.S. Noshchenko2, A.S. Perezhogin1, 2

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

2 Kamchatka state university by Vitus Bering, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia

E-mail: [email protected]

We investigate numerical solutions of linear ordinary and partial differential equations. Cauchy’s problem for ordinary equations of first and second order are generalized with fractional power of finite operator. Condition of regularization for the difference operator analogue of a fractional power is represented.

Key words: fractional calculus, numerical method

(c) Il’in I.A., Noshchenko D.S., Perezhogin A.S., 2013

*Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы стратегического развития ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» на 2012-2016 гг.

Введение

Математическое моделирование физических процессов выполняется с помощью дробного исчисления в тех случаях, когда физическая система обладает «памятью» [1]. Это означает, что значения искомой функции зависят от значений функции в предыдущие или следующие моменты времени. В связи с этим классические модели физических систем можно обобщить с помощью введения в рассмотрение дробной степени дифференциальных операторов, которые приставлют собой свертку со сте-пенний функцией. Предполагается, что подобное математическое описание наиболее точно описывает физические процессы, которые происходят во фрактальных средах.

В настоящей работе рассматриваются простейшие примеры обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых вычислительная схема имеет в качестве оператора дробную степень матрицы. Коэффициенты матрицы согласуются с формальным обобщением разностных оператор путем замены количества сочетаний на Гамма-функцию.

В одном из примеров мы покажем вычислтельную схемму для дробного диффузионного уравнения. Параметр дробности вводится в систему через временнную переменную.

Задача I

Рассмотрим уравнение

dаx(t) , , „

-і* +x(t )=0

а є (0,1]

(1)

х(0) = 1 (2)

В этой задаче мы можем использовать численную схему, заменив дифференциальный оператор на матрицу. В случае а = 1, мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

dx

dt

xi+1 - xi

, i = 0..n, x0 = 1

Система линейных уравнений для уравнения (1) с учетом начальных условий будет иметь вид:

10 -1 1 01

0 /*Л (-1 0 .. 0\ (*>}

0 x1 1 0 .. 0 x1

0 x2 = 0 1 .. 0 x2

.1. xn 0 0 .. 0 xn

(3)

\ 0 0

Вычислим дробную степень а матрицы А в левой части уравнения, которая аппроксимирует разность первого порядка. В нашем случае параметр а выберем равным 2. Используем рекурсивную схему (4) для нахождения дробной степени матрицы.

Bn+1 =

Bn + A ■ Би 1 2

(4)

в

Если Во = А и п ^ мы получаем Вп & л/А. Таким образом, мы приходим к системе уравнений (5) для численного моделирования.

l

-.5

-.l25

-.G625

о G G /xo\ (-~TT GG G /xo\

1 G G Xl l GG 0 Xl

-.5 1 G X2 G lG 0 X2

5. -. 5 2 w G Gl G W

имеет особенность в начальной точке t = 0 (рис

(5)

дифицируем систему линейных уравнений (5). Для этого выполним замену вектора (х0,хі,...,хп) на вектор (х0,х1 — х0,...,хп — х0) в левой части системы. Таким образом решение системы уравнений не имеет особенность в начальной точке (рис. 1 б).

Рис. 1. а) решения (3) и (5); 1 - а = 1, 2 - а = 2; Ь) регуляризованное решение (5)

Рассмотрим коэффициенты матрицы \/А. Мы рассмотрим приближение дробной разности порядка V:

H vf (x) = lim — £„rr(V +1\, f (x - kT),

JK> t^g Tv k=G k!r(v - k + 1)JV

(6)

где Г(х) - гамма-функция.

Вычисление коэффициентов при f (х — кт) дает совпадение со значением элементов матрицы л/А. Таким образом, мы получаем совпадение вычислительного метода и разностным оператором Грюнвальда-Летникова.

Задача II

Рассмотрим формальную запись уравнения с дробной степенью:

я а х

^ + х(г) = 0, а є (1,2] (7)

х(0) = 1, х'(0) = 0 (8)

Представим аналог дифференциальног оператора в левой части как произведение матрицы А самой на себе, а в другом случае - как произведение А на л/А. Матрица А является первой разностью в системе (1).

Для дробной степени а = | система имеет решение в виде, аналогичном для осциллятора с трением. Однако в этом случае отсутствует характерный масштаб затухания. Это основная особенность для динамических систем с дробными операторами. Приведенные численные решения совпадают с решениями для дробного осциллятором [2].

Задача III

Пусть и(г,х,у) задана в области (х,у) е [0,1] х [0,1] и г е [0,<*>). Функция удовлетворяет уравнению (9) с начальными и граничными условиями.

д и д 2и д 2и

дг = дх2 + дУ2

и(0, х, у) = 8ш(пх) 8т(пу), и(г, х, у) |г = 0 Решение этой системы представляется в виде:

и(г, х, у) = е-2п 2г 8т(пх) 8т(пу) Численное решение можно представить явной схемой:

(9)

(10)

(11)

j - ukij

(ui+1 j + ui-1 j + uij+1 + uij-1 - 4uij)

т к2 (!2)

т к2

Левая часть (12) может быть представлена в виде матрицы системы линейных уравнений. Дробная степень этой матрицы дает новое приближение для разностного аналога дифференциального оператора.

Рассмотрим классическое решение (11) и решение с дробной степенью матрицы в левой части (12). Отличия решений в случаях а = 1 и а = 1 представлено на рис. 2.

Рис. 2. Решение системы (5) при значениях: 1 - а = 2, 2 - а = 2

В численном методе, когда в качестве приближения по переменной г выбирается первая разность, то есть обычная матрица А, мы получаем приближение классического решения (11). В противном случае решение замедляет свое спадание со времением для дробной степени матричного оператора (рис. 3). Таким образом динамика такой задачи совпадает с решением для примера системы в задаче I.

0.0 -г—•----------1-•-1-•-1-•-1-•-1-•-1-•-1-•-1-•-1-•—і

1234 56789 10 11

Рис. 3. Численное решение. Классическая схема - сплошная линия; дробная степень разностного оператора - сплошная линия с крестами

Заключение

Численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с дробной степенью оператора показывает наличие «эффекта памяти». Для физических систем это означает, что процесс имеет длительную релаксацию процесса. Такую методику моделирования можно применять в задачах расчета напряженно-деформированного состояния сред.

Библиографический список

1. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. М.: Ижевск: РХД, 2011. 568 с.

2. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 05.11.2013