CC BY
86
МАТЕМАТИКА
УДК 517.925
Ю.В. МАЛЫШЕВ, П С. АТАМАНОВ
ПРИМЕНЕНИЕ ФАКТОРИЗОВАННЫХ ОПЕРАТОРОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Ключевые слова: линейные дифференциальные уравнения в частных производных, факторизованный оператор, однородное уравнение первого порядка, однородные уравнения высших порядков.
Дан способ получения факторизованного оператора линейного дифференциального уравнения любого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами. Получены формулы общего решения уравнений первого, второго, третьего порядков.
Yu.V. MALYSHEV, P.S. ATAMANOV APPLICATION OF FACTORIZED OPERATORS IN SOLUTIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Key words: linear differential equation, factorized operator, first-order similarity equation, equation of the highest degrees.
A method of factorized operator production in linear partial differential equations of the n-th degree with constant coefficients is given. Formulas of general equation solution of the first-, second- and third-orders are developed.
Метод факторизации применен к решению линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Для определенности рассматривается уравнение второго порядка
uxx + a^xy + a 2uyy + a3ux + a 4uy + a5u = 0 (1)
или, в операторном виде,
L2 (D)u = (D* + aiDxDy + a2Dy + a3Dx + a4Dy + a5)u = ^
где Dx =d/ dx , Dy =d/ dy, Dx = DxDx, D^ = DyDy - операторы дифференцирования; L2(D) - линейный оператор; u = u(x,y) - искомая функция; ai = const, i = 1, 5 . При решении уравнений применяются обратные операторы D--1, D— - операторы интегрирования.
Определение. Линейный оператор L2 (D) называется факторизованным, если он представляется в виде
L2 (D) = (Dx + b1 Dy + b2)(Dx + ci Dy + c2) ,
коэффициенты b1, b2, c1, c2 - постоянные числа или функции x, а оператор Dx называется разрешающим оператором уравнения (1).
Уравнение (1) запишется в виде
(Dx + b1 Dy + b2)( Dx + ci Dy + c 2)u = °. (2)
Применяется и другое представление оператора L2 (D) уравнения (1):
L2(D) = (Dy +в1 Dx +P 2 )(D y +У1 Dx +Y 2 ) ,
где Pj, P2, у1, у2 - постоянные или функции y. В этом случае вместо (1) получим уравнение
(Ву +Р1 Вх +Р2)(Ву +У1 Вх +У2)и - (3)
В уравнении (3) разрешающим оператором является Ву .
При решении уравнений разных порядков применяются формулы
(Вх + V')и - е~'’Вхе'’и , V'- —, V -[ V '' йх, (А)
йх
еа(х)Ву/(х, у) - /(х, у + а(х)), (В)
еа(х)Ву ф(х) -ф(х), (С)
г,2
еаЮВу - 1 + аВу +—В2 +..., (Б)
у 2! у 4 '
Ь 2
еЬ(у)°х -1 + ЪВх + —В? +.... (Е)
х 2| х ' '
1. Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами. Пусть названное уравнение записано в виде
их + а1иу + а2и - 0, (4)
где и - и(х, у) - искомая функция; а1, а2 - постоянные коэффициенты. Запишем уравнение через операторы:
(Вх + а1Ву + а2)и - 0, или Ц(В)и - 0, (5)
где Вх + а1Ву + а2 - Ц(В) - линейный оператор первого порядка. Если в (5)
а1 Ву + а2 - V ', то V - а1 хВу + а2х (здесь символ Ву играет роль константы).
Применяя формулу (А) к уравнению (5), получим
- а,хВ„ - а, х^ а,хВ„ + а0 х ^ а,хВ„ +а0 х ^
е у 2 Вхе у 2 и - 0 или Вхе у 2 и - 0.
После применения обратного оператора В-1 (интегрирования по х) из последнего уравнения имеем
а, хВу +а-2 х , ч
е 1 у 2 и - ф( у), где ф - произвольная функция у. Отсюда следует
и - е -а1 хВуе -а2х ф(у).
По формуле (В) получим общее решение уравнения (4):
и(х, у) - е~а2хф(у - ^х), (6)
где ф - произвольная функция аргумента у - а1 х.
2. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных с постоянными коэффициентами. Пусть дано уравнение
ихх + аиху + а2иуу + азЫх + а ¿и у + ^и - 0, (7)
где и - и(х, у) - искомая функция; все аг - постоянные, г - 1, 5 . Его линей-
ный оператор
¿2 (В) - В1 + а1ВхВу + а2В1 + азВх + а4Ву + а5 ,
а само уравнение в операторной форме будет Ь2 (П)и = 0 . Пусть Ь2 (П) факторизуется, т.е.
¿2 (П) = (Пх + Ь1Пу + Ь2 )(Пх + С1Пу + С2 ) ,
где Ь1, Ь2, с1, с2 - постоянные. Положим Ь1 Пу + Ь2 = V ', с1Пу + с2 = № ', тогда V = Ь1хПу + Ь2 х , № = с1хПу + с2 х . По формуле (А)
ї-ч V-№ ^ № Г\
ПхЄ ПхЄ и = 0.
Применяя обратный оператор П—1, получим
е^Охе№и = ф(у), или Пхе№и = е^+№ф(у),
где ф - произвольная функция у. После повторного применения оператора П.—1 из последнего уравнения получаем
е№и = Б-'е-™>( у) + у( у), где у — произвольная функция у. Умножая обе части на е-№, получим общее решение уравнения (7):
и(х, у) = е-Пе->(у) + е->(у). (8)
Формула (8) может быть выражена через коэффициенты факторизованного оператора Ь2 (П). В самом деле, после подстановки в (8) выражений V и № получается
и (х, у) = е ^ С1хПу-С2 хП—1е(С —Ь1) хПу е (с2—Ь2) х ф( у) + е -С2 х-С хПу у( у) =
= ехПУ —С2хПх-1е(С2 —Ь2)хф(у + (с1 + Ь1)х) + е - С2ху(у - с1 х) =
(с2 -Ь2)[у+(с1—Ь1)х] (С2 -Ь2 )у = е С1 хПУ С2х | е С1 -Ь1 С1 -Ь1 ф(у + (с1 - Ь1)х)йх + е ~Сгх у (у - с1 х) =
(С2 -Ь2)у (с2 -Ь2 )[у+(с1 -Ь1)х] ,, , , ч ч
= е ~С1 хПу-С2хе ~ С>-Ь Г е с-Ь ф(у + (с - Ь1) х) й (у +(С1 - Ь1) х) +
С1 - Ь1
-(с2-Ь2)у
+ е ~СгХ у(у - с1 х) = е СіХ°у Сі%е С1-Ь у(у + (с1 - Ь1) х) + е ~СгХ у(у - с1 х) =
-1
С2 -¿2
[ у+(с -Ь1) х ]
- е-^хВу-с2хе(с2-Ь2)хе с1 -Ь1 у(у + (с1 -Ъ1)х) + е-с2ху(у -с1 х) -
- е с1 хВу е~Ъ2^ (у + (с1 - Ъ1)х) + е~с2ху (у - с1х) .
Итак, получается формула общего решения уравнения (7), выраженная через коэффициенты факторизованного оператора Ь2 (В):
и(х, у) - е~Ь2хг(у - Ъ1х) + е~с2ху(у - с1х), (9)
где ^, у — произвольные функции своих аргументов.
3. Линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных с постоянными коэффициентами. Пусть уравнение приведено к виду
иххх + а1ихху + а2ихуу + а3иууу + а4ихх + а5иху + абиуу + «7Ых + «8Ыу + а9и - 0, (10)
где и - и (х, у) - искомая функция; - постоянные, г - 1,9. Операторное
уравнение для (10) будет
(ВХ + а1В1Ву + а2ВЛ + °3Ву + °4Вх + а5ВхВу + абВ + а7Вх + °8Ву + «9)ы - 0,
или Ь3(В)и - 0. (11)
Пусть линейный оператор Ь3(В) факторизуется, т.е.
¿3(В) - (Вх + Ь1Ву + Ь2)(Вх + с1Ву + с2)(Вх + й1Ву + й2) . (12)
Требуется вычислить коэффициенты Ь1, Ь2, с1, с2, й1, й2 через коэффициенты уравнения (10).
Раскрывая скобки в (12), сравнивая коэффициенты при одинаковых операторах с коэффициентами уравнения (10), получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов Ь, с, й:
Ь1 + с1 + й1 - а1, Ьсй + Ьсй + Ьсй - а
Ь с + сй + Ьй - а °1С2Ы1 +°2С1Ы1 +°1С1Ы2 — ы6>
‘'гг Ьс + сй + Ьй - а
Ьсй - а 2С2 ^ ^“2 ^ и2а2 ~ ы7> (Р)
У1С'1М1 _ы3> Ь с й + Ьс й + Ь с й -
Ь + с + й - а "ггг ИГГ2 +°ГГ2 _ ы8>
^2 ^°2 ^м2 _ и4’ Ьсй - а
Ь1с2 + Ь2с1 + с1й1 + Ь2й1 + с1й2 + Ь1й2 -а5 , 2 2 2 9-
Выведем формулу общего решения уравнения (10). Пусть в формуле (12) ЬВу + Ь2 - V', с1Ву + с2 - V, йВу + й2 -у', тогда V - Ь1 хВу + Ь2 х , V - с1хВу + с2 х, у- й1хВу + й2 х .
Уравнение (10) примет следующий вид:
(Вх + ^)(Вх + <)(Вх +у')и - 0.
После применения формулы (А) оно примет вид
е-vВхе'’е-^Вхе№е-Вхе1 и - 0 или ВxeV-wВxew-yВхеуи - 0. Применение обратного оператора В-1 приводит к уравнению
е™Вхе^Вхеуи -ф1(у), где ф1 - произвольная функция у . Обратный оператор В.-1 применяется еще дважды, после чего уравнение примет вид
еуи - В-Х1е-^ В-Х1е-^ (у) + В-Х1е-^ (у) + ф3 (у); появились еще две произвольные функции ф2 (у), ф3 (у). Из последнего равенства получим формулу общего решения уравнения (10):
и(х, у) - е-уВх- 1еу-В^>1 (у) + е-уВх- 1еу->2 (у) + е-уф3 (у), (13)
в ней ф1, ф2, ф3 - произвольные функции аргумента у.
Формулу (13) можно преобразовать, подставив в (13) выражения V, V, у :
и(х,у) - е-й хВу-й2хВ-х1е(й1 -с1)хВу+(й2-с2)хВх1е(с1 -Ь1)хВу+(с2-Ь2)хф1 (у) +
+ е -йхВу-й2хВ-1е(й -с1)хВу+(й2-с2)х ф2 (у) + е -й2х ф3 (у - й1 х) -- ей1 хВу-й2хВ-1е(й1 -с1)хВу+(й2-с2)хВ-1е(с2-Ь2)хф1 (у + (с1 - Ь1)х) + + е й1хВу й2хВх-1е(й2-с2)х ф2(у + (й1 - с1) х) + е ~й2Х ф3(у - й1 х).
Продолжая процесс преобразования, можно избавиться от символов В-(операторов интегрирования) в выражении и (х, у) так же, как при выводе формулы (9) для уравнения второго порядка, и получить вторую формулу общего решения уравнения (10):
и (Х, у) = 4 (Ь1й2 - й1й2 - Ьй1 + с2й1 )Х + (Ъ2 + с2)'|у1 (у - ^х) +
I й1 - Ь1
+ ехр
^ (с1й2 - с2й1)х + (с2 - й2)у ^
у2 (у - ^х) + е й2ХУ3(у - й^), (14)
й1 - с1
где у1 , у2 , у3 - произвольные функции своих аргументов.
Пример 1. Пользуясь формулой (14), найти общее решение уравнения
иххх - ихуу + ихх + иуу - их - и - 0.
Решение. В уравнении коэффициенты а1 - а3 - а5 - а8 - 0 . Коэффициенты факторизованного оператора Ь3(В) найдем, составив систему (Б) для данного уравнения:
Ь1 + с1 + й1 - 0, Ь с й + Ь с й + Ь с й - 1
Ь с + сй + Ьй - -1 «1С2«1 +«2С1Ы1 +«1С1Ы2 !
1, ь с + с й + Ь й --1
Ь с й - 0 ^2С2 ^ с2а2 ^ ^2а2 _ А?
^с^1 -и, Ь с й + Ь с й + Ь с й - 0
Ь + с + й - 1 ^2С26Ч ^ У1С2М2 ^ °2С^2 ~ и>
Ь2с2й2 - -1.
Ь1с2 + Ь2с1 + с1й1 + Ь2й1 + с1й2 + Ь1й2 - 0,
Числа Ь1 - 1, Ь2 - 1, с1 - -1, с2 - 1, й1 - 0, й2 - -1 являются решением системы. Тогда
¿3 (В) - (Вх + Ву +1)(Вх - Ву +1)(Вх -1).
По формуле (14)
и(х, у) - ех-2уУ1 (у - х) + ех+2уу2 (х + у) + еху3 (у)
- общее решение уравнения; у1, у2, у3 - произвольные функции своих аргументов.
4. О решении линейного однородного дифференциального уравнения любого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами.
Пусть задано линейное однородное дифференциальное уравнение «-го порядка в частных производных с постоянными коэффициентами в стандартной форме с соблюдением порядка расположений в нем частных производных неизвестной функции по старшинству. Пусть коэффициент при чистой частной производной «-го порядка неизвестной функции и (х, у) по переменной х равен единице. (Таким требованиям удовлетворяет уравнение (10)). Пусть линейный оператор уравнения Ьп (В) факторизуется. С помощью факторизованного оператора, действуя как в п. 3, можно решить уравнение любого порядка. В этом случае Вх является разрешающим оператором.
Если же в уравнении коэффициент при чистой частной производной «-го порядка неизвестной функции по переменной у равен единице, то такое уравнение решается с помощью разрешающего оператора В у .
1. Пусть п - 4 . Если Вх - разрешающий оператор, то факторизованный оператор для уравнения четвертого порядка имеет вид
Ьу (В) - (Вх + Ь1Ву + Ь2 )(Вх + с1Ву + с2 )(Вх + й1Ву + й2 )(Вх + 41Ву + 42 ) ,
в нем все коэффициенты постоянные. Если
V'-Ь1Ву + Ь2, V'-с1Ву + с2, у'-й1 Ву + й 2, с'-^ Ву + 42,
то V - Ь1хВу + Ь2 х , V - с1хВу + с2 х, у - й1хВу + й2 х , с - 41хВу + д2 х ;
Ь4(В) - (Вх + v')(Вх + *')(Вх +у')(Вх +с').
Действуя по общему методу, получим следующую формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка:
и(х,у) - е-с[Вх-1ес-уВх-1еч^В^е^ф1(у) +
+ В;'ес-У В-}е у-"ф2 (у) + Вх-'ес->3 (у) + ф4 (у)]. (15)
Пример 2. По формуле (15) найти общее решение уравнения и + и + 5и + 5и + 6и + 6и - 0.
хххх ххху ххх хху хх ху
Решение. По данному в п.3 методу вычисляется факторизованный оператор Ь4(В) уравнения:
Ь4 (В) - (Вх + Ву)(Вх + 2)(Вх + 3)Вх.
Тогда V' - Ву, V' - 2, у' - 3, с' - 0 . Поэтому V - хВу , V - 2 х, у - 3х, с - 0.
По формуле (15)
и(х,у) - Вх-1е-3хВх-1ехВх-1е2х^(у - х) + Вх-1е-3хВх-1ехф2(у) + Вх-1е-3хф3(у) + ф4(у) -
- В-1е-ъхВх-1ехВх-1е2уе-2(у-х)ф1 (у - х) + Вх-1е-3хехф2 (у) - 3е“3хф3 (у) + ф4 (у). Общее решение уравнения окончательно получим в виде
и (Х, у) - ^(у - х) + е~2Х^2 (у) + е-3^ (у) + ^4 (у) , где ^ , ^2, ^3, - произвольные функции своих аргументов.
2. Пусть п - 5 . Факторизованный оператор уравнения пятого порядка, если Вх - разрешающий оператор, имеет вид:
Ьу (В) - (Вх + Ь1Ву + Ь2)(Вх + с1Ву + с2)(Вх + й1Ву + й2)(Вх + 41Ву + Ъ)(Вх + 51Ву + 52) ,
в нем все коэффициенты постоянные;
^-Ь1Ву + Ь2^ ™'-с1 Ву + с 2 , У'-й1 Ву + й 2 , с'-41 Ву + ^ 5'-51Ву + ^
V - ЪхВу + Ь2х, V - с1хВу + с2х, у-й1хВу + й2х, с-41хВ, + 42х, 5-51хВу + 52 х ;
¿5 (В) - (Вх + ^)(Вх + *')(Вх + у')(Вх + с')(Вх + 5').
Формула общего решения линейного однородного дифференциального уравнения пятого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами следующая:
ы(х,у) - е-5[Вх-1е5-сВх-1ес-уВ^е^В-'е^ф1 (у) + В-у-°В-'е^В^е<-*ф2(у) +
+ Вх- 1е5-с В- ^->3 (у) + Вх- 1е5-сф4 (у) + ф5 (у)] , (16)
где ф1 , ф2 , ф3 , ф4 , ф5 - произвольные функции у.
Пример 3. С помощью формулы (16) найти одно из частных решений ы1 (х, у) дифференциального уравнения
иххххх + ихххху + 3ихххх + 3иххху + 2иххх + 2ихху - 0 .
Решение. Оно имеет линейный оператор
¿5 (В) - (Вх + 2)Вх (Вх +1)Вх (Вх + Ву).
Тогда V'- 2, V'- 0, у'- 1, с'- 0, 5'- Ву . Поэтому V - 2 х, V - 0, у- х, с- 0, 5- хВу . Частное решение ы1 (х, у) уравнения ищем для условий ф1 (у) - 1, ф2(у) - 0, ф3(у) - 0, ф4(у) - 0, ф5(у) - 0. Тогда по формуле (16)
/ \ -5 гл-1 5-с гл-1 с-у тл-1 у-V т~\-1 V-V
Ы1(х,у) - е Вх е Вх е 'Вх е Вх е .
После подстановки функций V, V, у, с, 5 получим
Ы1(х,у) - е-хВуВх-1ехВуВхЛ-хВ-х1ехВ-х1е-2х -
1
= e-Dy D-lexDy D-VxD-1 -2^x
x
= e-DyD^exDy D- -e-2x = e~xDy D-lexDy | - -e-2x
x x ^ x i 4
-xDy p. -1 ( 1 -2x | -xDy 1 -2x 1 -2 x
= e yDx I-e 1 = e y — e = — e .
x ^ 4 J 8 8
Замечание. Аналогичные результаты получатся, если при решении линейных однородных дифференциальных уравнений операторным методом разрешающим оператором является оператор Dy .
Литература
1. Малышев Ю.В. Обобщение метода Хевисайда / Ю.В. Малышев // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. № 9. С. 59-61.
2. Малышев Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения / Ю.В. Малышев // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 1999. N° 2. С. 59-66.
3. Малышев Ю.В. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений операторным методом / Ю.В. Малышев, П.С. Атаманов / Математические модели и их приложения: сб. науч. тр. Вып. 12. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2010. С. 40-52.
4. Малышев Ю.В. Операторный метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений высших порядков / Ю.В. Малышев, П.С. Атаманов / Математические модели и их приложения: сб. науч. тр. Вып. 12. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2010. С. 52-61.
МАЛЫШЕВ ЮРИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ - доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Казанский государственный технологический университет, Россия, Казань (office@kstu.ru).
MALYSHEV YURI VALENTINOVICH - professor of High Mathematics Department, Kazan State Technological University, Russia, Kazan.
АТАМАНОВ ПЕТР СТЕПАНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (oper@chuvsu.ru).
ATAMANOV PETR STEPANOVICH - associate professor of High Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
