CC BY
6
УДК 656.71:004.231(045)
П0БУД0ВА ГРАФОВО! М0ДЕЛ1 ЖИВУЧ0СТ1 НЕЧ1ТК01 МЕРЕЖ1АЕРОПОРПВ
® 2015 ОЛЕШКО Т. I., ЛЕЩИНСЬКИЙ 0. Л., ГОРБАЧОВА 0. М.
УДК 656.71:004.231(045)
Олешко Т. I., Лещинський О. Л., Горбачова О. М. Побудова графовоТ моделi живучосл нечiткоi' мережi аеропортiв
Дослджуючи питания життевого циклу аеропорту, автори виршують питания побудови графовоi модел живучостi неч'тко! мереж'> на прикладi мережi аеропорт'в. Для виршення поставленого завдання вводиться нечткий граф з непарною множиною вершин i парною множиною дуг. У результатiдослдження для введеногографа визначет кон'юнктурнамщнсть, маршрут, стутньживучостi. Об(рунтовано, що запропонований по-нятшний апарат дозволяе о^нювати систему аеропорт'в з точки зору здатностi и об'ект'в та зв'язмв мiж ними протистояти впливам зовшшшх i внутр'шшх економiчних, со^ально-полтичних, екологчних iнцидентiв, збер'гати i в'дновлювати об'екти системи, ям зазнали негативного впли-ву. Зроблено висновок про те, що економiчна живучкть системи аеропорт'в е т'>ею характеристикою, яка дозволить о^нити ризик виникнення економiчно'iнестаб'шьностi системи i загрозу банкрутства. Розглянутi характеристики можуть доповнити 'шструменти шдикаци i вимiрювання економiчно'iбезпеки окремих аеропорт'в - об'ект'в дослджуваноi мережi, надаючи системi додатковiякЫхарактеристики. Кпючов'1 слова: економiчна безпека, аеропорт, нечткий граф, нечткий шлях, кон'юнктурна мцнсть Рис.: 4. Формул: 17. Ббл.: 8.
Олешко Тамара 1ва^вна - доктор техшчних наук, професор, зав'дувач кафедри, кафедра економiчно'iюбернетики, Нацональний авiацiйний унвер-ситет (пр. Космонавта Комарова, 1, Кш'в, 03058, Украна) Email: [email protected]
Лещинський Олег Львович - кандидат ф'вико-математичних наук, доцент, кафедра економiчноi юбернетики, Нацональний авiацiйний унверси-тет (пр. Космонавта Комарова, 1, Кшв, 03058, Украша)
Горбачова Оксана Миколавна - кандидат економiчних наук, доцент, доцент, кафедра фiнансiв, облку i аудиту, Нацональний авiацiйний ушверси-тет (пр. Космонавта Комарова, 1, Кшв, 03058, Украна)
УДК 656.71:004.231(045) Олешко Т. И., Лещинский О. Л., Горбачева О. Н. Построение графовой модели живучести нечетких сетей аэропортов
Изучая задачу жизненного цикла аэропорта, авторы решают вопрос построения графовой модели живучести нечеткой сети на примере сети аэропортов. Для решения поставленной задачи вводится нечеткий граф с нечетким множеством вершин и четким множеством дуг. В результате исследования для введенного графа определены конъюнктурная прочность, маршрут, степень живучести. Обосновано, что предложенный понятийный аппарат позволяет оценивать систему аэропортов с точки зрения способности ее объектов и связей между ними противостоять влияниям внешних и внутренних экономических, социально-политических, экологических инцидентов, сохранять и восстанавливать объекты системы, подвергшиеся негативному влиянию. Сделан взвод о том, что экономическая живучесть системы аэропортов является характеристикой, которая позволит оценить риск возникновения экономической нестабильности системы и угрозу банкротства. Рассмотренные характеристики могут дополнить инструменты индикации и измерения экономической безопасности отдельных аэропортов - объектов исследуемой сети, давая системе дополнительные качественные характеристики. Ключевые слова: экономическая живучесть, аэропорт, нечеткий граф, нечеткий путь, конъюнктурная прочность Рис.: 4. Формул: 17. Библ.: 8.
Олешко Тамара Ивановна - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой, кафедра экономической кибернетики, Национальный авиационный университет (пр. Космонавта Комарова, 1, Киев, 03058, Украина) Email: [email protected]
Лещинский Олег Львович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра экономической кибернетики, Национальный авиационный университет (пр. Космонавта Комарова, 1, Киев, 03058, Украина) Горбачева Оксана Николаевна - кандидат экономических наук, доцент, доцент, кафедра финансов, учета и аудита, Национальный авиационный университет (пр. Космонавта Комарова, 1, Киев, 03058, Украина)
UDC 656.71:004.231(045) Oleshko T. I., Leszczynski O. L., Gorbacheva O. M. Construction of a Graphic Model of Fuzzy Network Survivability in Airports
While studying the question of the airport lifecycle, the authors used the example of an airport network to solve the task of construction of a graphic model of fuzzy network survivability. For the purpose of solving the set task, a fuzzy graph with an unpaired vertex set and a paired arc set was introduced. The study allowed determining stability of market environment, the route, the survivability rate for the introduced graph. The article substantiates that the offered conceptual framework allows evaluating the airport system from the standpoint of ability of its objects and their connections to withstand the effects of external and internal economic, social and political, environmental incidents, to preserve and restore the system objects that have undergone negative influences. The study concludes that the economic survivability of the airport system is a characteristic which will permit evaluating the risk of the economic instability of the system and the threat of bankruptcy. The studied characteristics can extend the set of tools for indication and assessment of the economic strength of individual airports - objects of the studied network by providing the system with additional qualitative characteristics. Keywords: economic survivability, airport, fuzzy graph, fuzzy path, stability of market environment Pic.: 4. Formulae: 17. Bibl.: 8.
Oleshko Tamara I. - Doctor of Sciences (Engineering), Professor, Head of the Department, Department of Economic Cybernetics, National Aviation University (pr. Kosmonavta Komarova, 1, Kyiv, 03058, Ukraine) Email: [email protected]
Leszczynski Oleh L. - Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Economic Cybernetics, National Aviation University (pr. Kosmonavta Komarova, 1, Kyiv, 03058, Ukraine) Gorbacheva Oksana M. 0 Candidate of Sciences (Economics), Associate Professor, Associate Professor, Department of Finance, Accounting and Auditing, National Aviation University (pr. Kosmonavta Komarova, 1, Kyiv, 03058, Ukraine)
Одним iз завдань вивчення життевого циклу може стати завдання знаходження ступеня живучостi певно! мережi аеропортГв. На сьогоднi питання живучостi транспортно! мережi вивчено далеко не повшстю. Загально-прийнятих термiнiв «живучють транспортно! мережi авГа-перевезень», «живучють мережi аеропортiв» не iснуе. Одне з перших визначень живучостГ транспортно! мережi було дано в робот [1]. У вказаних дослiдженнях розглядалися мережi, представленi чiткими графами, а тд живучiстю розумглася чутливiсть мережi до пошкоджень. Але стосов-но мережi аеропортiв дане визначення е надто розмитим, оскгльки поняття чутливють можна тлумачити, наприклад, як здаттсть системи приймати подразнення, збурення, тощо, що, у свою чергу, веде до змктовно! незв'язностi понять, з яких складаеться визначення живучостГ. Розгляда-ючи поняття економiчностi живучостГ стосовно системи аеропортГв, автори на сьогодт зупиняються на такому ви-значеннi.
Економiчною живучiстю мережi аеропортГв назива-еться здатнiсть '11 об'екпв i зв'язкiв мгж ними протидiяти впливам змiнних i внутрiшнiх економiчних, полiтичних, соцiальних, економiчних iнцидентiв, збертати та вГднов-лювати (повнiстю або частково) об'екти, яи зазнали негативного впливу.
Економiчна живучiсть мережi аеропортiв е характеристикою, яка, на думку авторш, дозволить ощнювати ри-зик виникнення економiчно'¿ нестабгльностГ системи та за-гроз банкрутства. Вказаний критерш, можливо, доповнить шструменти iндикацГ¿ i вимiрювання економiчно'¿ безпеки окремих аеропортш (об'екпв) дослiджувано'¿ мережГ, нада-ючи системi додатковi яисш характеристики. Очевидним е той факт, що живучють мережi суттево зменшуеться при вилученнi певного об'екта з не! або розриву деяко! '11 ггл-ки зв'язку. Якщо мережу аеропортГв представити у виглядГ чГткого графу, то вилучення деякого об'екта (вершини) та (або) одного чи деилькох ребер може призвести до руйну-вання (порушення) зв'язкГв мГж Гншими об'ектами мережi, що, у свою чергу, потягне за собою зменшення живучостГ всГе! мережi. [5; 6].
Традицшно при представленнi транспортно! мережi у виглядГ чГткого графа мережу вважають зруйнованою, якщо при вилученш одного чи декглькох ребер отриманий граф мережГ задовольняе одну з наступних умов [7]:
1) граф мютить принаймнГ двГ компоненти зв'яз-ностГ;
2) число вершин в деякш (найбГльшГй чи найменшш) компонентГ зв'язностГ графа менше деякого наперед заданого числа;
3) довжина найкоротшого шляху мГж двома задани-ми вершинами бГльша деяко! задано! величини.
При розв'язанш задач, пов'язаних з поняттям живу-чостГ, наявнГсть певних факторГв може змушувати задава-ти параметри мережГ якГсними або суб'ективними ощнка-ми. Зокрема, оцГнювати живучГсть мережГ можна ступенем живучостГ. При цьому тд ступенем живучостГ можна ро-зумГти Г ймовГрнГсть економГчно! стабГльностГ деякого сегмента мережГ Г суб'ективш оцГнки надГйностГ, захищеностГ, важливость В цьому випадку адекватною моделлю мережГ можуть стати нечГткГ графи [2; 3].
НечГти орГентованГ графи 1-го роду використовують-ся, зокрема, у задачах оптимального розмщення центрГв обслуговування, в нечГтких транспортних мережах, у задачах пошуку максимального потоку з метою перерозподГлу потокГв [8]:
На сьогодш кнують деилька визначень нечГтких гра-
фГв.
Визначення 1. НечГтким орГентованим графом 1-го роду називаеться пара множин X= {х,} I е I ={1, 2, ..., п} -чГтка множина вершин та
и =
Ц( хI,хк) (X, хк)
|, де х, хк е X,
- нечгтка множина оргентованих
Ци: X2 ^ [0:1] - значення функцГ! належностГ Ци для ребра (х, хк).
Позначають нечГткий граф 1-го роду ё(X, и).
Якщо мережу аеропортГв представляти нечГтким графом 1-го роду, то об'екти мережГ, що представлеш вершинами графу, вважаються незмшними, тобто не можуть впливати на характеристики мережГ з точки зору !! живучостГ.
Визначення 2. НечГтким орГентованим графом 11-
го роду називаеться пара нечГтких множин: X - нечГтка множина вершин в деякш ушверсальнш множит X, тобто
належностг
X |, х е X, IX = п з функщею
: X ^ [0,1],
и - нечГтка множина орГентованих ребер, тобто и = ] / Ци (х1, хкЛ I, х, хк е X з функщею належностГ 1\ (х1, хк) /] Ци : X2 ^ [0,1].
Вивчаючи питання живучостГ мережГ аеропортГв Г до-ступнГ публшащ! з питань живучостГ нечГтко! транспортно! мережГ, автори прийшли до висновку, що в даних дослГ-дженнях будь-яка економГчна шформащя може виявитися неповною Г неточною. Це, зокрема, пояснюеться впливом багатьох можливих факторГв, яи неможливо передбачити наперед, використанням не всГе! доступно!, а тГльки ко-рисно! шформащ!, складнГсть обробки яко! не перевищуе ефекту вГд 'й використання. Тому, для врахування природно! невизначеностГ, необхГдно удосконалення теорГ! нечГтких транспортних мереж. Для дослГдження мережГ аеропортгв введено поняття нечГткого орГентованого графа £,* .
Визначення 3. НечГтким орГентованим графом ё бу-демо називати пару множин X - нечГтку множину вершин
......Х , X Г/^ (1
в деякгй унгверсальнгй множинг Х, тобто X = -л —х— I ],
х е X, IX = п з функщею належностГ цх : Х^[0;1], Г и = = {х,, хк}- чГтка множина орГентованих ребер, де {х,, хк} е X.
Розглянемо теоретичт аспекти живучостГ нечГткого графу.
Визначення 4. Шляхом (або маршрутом) / (х,-,ху) нечГткого графа називаеться направлена послГдовнГсть
неч1тких дуг, яка веде з вершини x у вершину x, в як1и кшцева вершина будь-яко'1 дуги, в1дмшна в1д останньо'1, е початковою вершиною наступно'1 дуги.
Шд мщшстю шляху будемо розушти властивкть шляху не руИнуватись тд д1ею р1зних факторш, яи характеризуються функщею надежность
Визначення 5. Кон'юнктивною мщшстю шляху для нечеткого графа 1-го роду [3] називають значення
|| (Xj,Xj) = Л Оц (xk,xt ).
Кон'юнктивна мiцнiсть шляху нечеткого графу 1-го роду визначаеться найменшим значенням функщ! належ-ност дуг, що входять у дослiджуваний шлях.
Визначення 6. Кон'юнктивною мщшстю нечеткого графа II-го роду [4] називають величину
^(X/,Xy)= А (ц-о (хк, xf) (Лцх [хк) ¥Лцх (xf ))).
хк*х, х,*хк
Тут у силу специфши використання останньо! вели-чини вважають, що значення функщ! належност першо! i останньо! вершини в кон'юнктивнш мiцностi до^джу-ваного шляху не враховуються. Тобто кон'юнктивна мщ-нiсть шляху визначаеться найменшим значенням функщ! належностi нечiтких дуг i вершин, що входять до нього, за виключенням початково! i кшцево! вершини.
Визначення 7. Кон'юнктивною мщшстю шляху нечи-
кого орiентованого графу G будемо називати значення хк*х,
X,*Xj
1ншими словами, кон'юнктивна мiцнiсть шляху не-чiткого графа G визначаеться найменшим значенням функщ! належностi вершин, що входять до нього, за виключенням початково! i кшцево! вершин.
Визначення 8. Шляхом I(X;,X¡) нечiткого графа G будемо називати направлену посл^овшсть чiтких дуг, що ведуть в^ нечгтко! вершини Xj до нечико! вершину Xj, в якш кiнцева вершина будь-яко! дуги, в^мшно! вiд останньо'1, е початковою вершиною наступно! дуги.
Розглянемо нечикий шлях / з вершини Xj до вершини Xj, представлений об'еднанням його частин:
1 (xi, xj) = Uf=/*( Xf, Xj ^
де Xjt,j = 1,k - нечiткi вершини, що входять до нечеткого шляху 1 (X,, Xj).
Нехай *(xjt,xjt+1), t = 0,k , Xj0 = Xj , ^ = xj -
кон'юнктивна мiцнiсть шляху мiж парами вершин. Тодi ма-ють мкце такi властивостi:
Ц/.(X;,Xj) < min{^-(X;,Xj1)^J.(Xj1,Xj2),...,Ц/.(Xjk,Xj)} Знак «=» виконуеться у випадку, якщо
min{|x x ( ХП)Ц x ( Xj2),..., О x ( Xjk )} >
> ттЩ.( x j, xn), ( xn, xj2),..., ( x ¡k, xj )}.
Це означае, що якщо серед початкових або кшце-вих вершин частин шляху знаидеться така вершина, що ïï значення цх буде менше !х кон'юнктивних мщностей, то кон'юнктивна мщшсть всього шляху I (xj,xj ) буде мен-шою будь-яко'1 кон'юнктивно! мщносп включених до нього частин. У протилежному випадку вона ршна найменшому з них.
Визначення 9. Нехай L(x,-,xj ) - ам'я неч1тких шляхш з вершини xj до вершини xj Ступенем досяжност вершин x j з вершини x вважатимемо величину
т ( xi, xj ) = max{|r» ( x, x, )}.
l"eL 1
Вводячи поняття ступеня живучост нечеткого графа G , автори прийшли до висновку, що на сьогодш це поняття сшвпадае з поняттям живучост неч1ткого графа 11-го роду, тобто це найменше з кон'юнктивних мщностей вс1х пар вершин графа.
Визначення 10. Ступенем живучост нечеткого графа
~ *
G будемо називати величину V(G )e[0;1], що визнача-еться виразом
V(G*) = Л Л т(x,x,).
x j exx, ex
Насл1док 1. М1ж дов1льними двома нечеткими вершинами графа G не юнуе шляху з кон'юнктивною мщшстю меншою значення V(G ).
Якщо позначити через G = (x,U) деякий шдграф нечгткого графа G (x, U) • (x < x), то його стушнь живу-чост1 буде дор1внювати
V(G ) =
ЛЛ
ЛЛГ V
т(xi,xj) = iY iVI ^Ox,-,xk) 1 =
xi ex' x,ex' xi e x'xjex'l I e L 1 )
-ЛЛ
x i ex ' x, ex '
V Л
/ * eL (xk ,xt) xk, xt Ф x i, x
((Л| x ( xk ))((Л| x ( xt ))
ЛЛ
x iex x,ex
Л Л
/ e L (xk,xt)e / (x,,x, xk, xt Ф x j ,x j Vxk ,xt ex
((Л| x ( xk ))((Л| x ( xt ))
<VV
J, Л
/ e L {xk,xt)e / (x:,xj x k, xt ,x j 3xk, xt ex \ x
((Л| x ( xk ))((Л| x ( xt ))
лл
х, ех х, ех
X л
1 е / {хк,х,) е 1 (х,,х1 хк, х, ф х,, х I Ухк ,х, ех
((Лц х (хк )}((Лц х (х,))
(
<и л л
х, ех' х: ех'
л л
1 е / (х^,х,)е 1 (х,,х|) х к, х, фх, ,х; Зх^, х, ех \ х
((лц х (хк ))((лц х (х,))
Визначення 11. Внутршшм ступенем живучостi не-чГткого пiд графа ё будемо називати величину
V« (ё ) =
лл
х,ех х,ех
.1 л ((лцх(хк ))((лц;/(хг))
I е/. (хкх)е/ (х, х) хк ,х, фх, х Ухкхех'
Цп5 (ё ) = 0,3; ^ (б*) = 0,3; V (ё") = 0,3.
Розглянемо сурграф б (х ,и ) нечiткого орГенто-
ваного графа ё (х,и)(х = х; и < и).
1. Вивчаючи питання живучостi нечiткого ё -орь
ентованого графа сурграфами ё , можна виокремити два випадки:
Руйнування частини шляхгв (ребер) мiж вершинами може привести до порушення сильно! зв'язностi графа, i живучють сурграфа буде доргвнювати 0.
Визначення 12. Зовншшм ступенем живучостi нечГт-кого пiд графа ё будемо називати величину
Уех, (ё ) =
лл
Л л ((лцх/(хк ))((лцх(хг))
1 е/. (хк ,х,) е1 (х, ,х|) хк ,х, фх, ,х| Зхк ,х,ех\х
Отже, ступiнь живучост нечiткого пiд графа ё можна представити у виглядi
У{ё*) = Ут5{ё*)\Л/ех1{ё*).
Внутршнш ступшь живучосп ) неч1ткого
пiдграфа визначаеться шляхами, що проходять через не-чiткi вершини з множини х , а зовншнш ступiнь живу-чостi Уех( (ё ) визначаеться шляхами, що проходять через нечгги вершини, коли одна з них не належить тдмножиш нечетких вершин х .
Як приклад розглянемо граф ё
i його пiдграф ё = (х,и), х' = {хп,х2,х4]
V(ё ) = 0.
2. Руйнування частини шляхгв (ребер) зберггае силь-ну зв'язнiсть вйе! мережi. Це означае, що аналопчно, як
i в графi ё , який е сильно зв'язним мiж будь-якими двома
вершинами, кнуе шлях з кон'юнктивною мiцнiстю не мен-
ше У(ё ), вилучення одного або декглькох ребер не змен-шуе ступiнь живучост отриманого сурграфу.
х2
У(ё ) = 0,3.
Властивкть 1. Якщо руйнування шляхiв (ребер) мгж вершинами нечГткого графа ё зберiгае його сильну зв'язшсть, то мае мкце нерiвнiсть V(ё ) > V(ё ).
Проаналiзуемо метод знаходження ступеня живу-чостi нечГткого графа ё .
Розглянемо систему нечггких многозначних вГдо-бражень Я|,^2,...,та систему обернених вГдображень
Р-2.....Р- п:
Fi(*/) = |VX e X [
fi, якщоЭ(х,,х:)
визначае кон'юнктивну мiцнiсть з вершини xt у вершину Xj довжиною 1.
F2( x,) = F(Fi1 x ,)) =
де
MFx,xi\ /^F2(xi.x2) ^F2(xi.xn)
Me (x;,xj / V Цу2(xj,xkХЛ^* (xk))! Vf V Mu (xk,xj )
2 l xk eX Л l xkeX
визначае кон юнктивну мщшсть шляху з вершини x t в x. довжиною 2.
Fj(x;) = F(F2(X-,)) = U ^X'^ ),|Vx, e X> 1,
xi
де
V
V
M-F (x,'xj) = 1 ' MF (x,'xk)(ЛЦ;((xk))(Лц^-x^M MUxk,xj)
визначае найбкьшу кон'юнктивну мщшсть шляху з вершини x, в вершину xj довжиною 3.
Fn(x;) = F(F„-i(x,)) = U Mf" (x' ') ),|Vx, e X>
де
MF (x,'xj) = | V Mf (x,'xk)(AUx^k))(A|Mxxk) V ^(xk,x,)
n [xkeX "-i xkeX
визначае найбкьшу кон'юнктивну мщшсть шляху з верши-ни x до вершини xj довжиною n.
F-i(x,) =
MF ( x, ' xj ) x,
V x e X >[
fi, якщо 3(x/(x.O де ^„Xj) = Hu{xi,x]) = |a якщо m -jy
визначае кон'юнктивну мщшсть довжини 1 з вершини xj в вершину x
F-n(x:) = F(F-(n-i)(xi)) = {(MF-n(x,'x,)/x,>Vx, eX}'
де величина
MF (x, ' xj ) = | V Mf (x, 'xk)|(Лц(xk))(MU(xk,x, )
-n \xk eX n )
визначаенайбiльшукон'юнктивнумiцнiстьшляхувершиниXj до вершини x, довж мою п.
Отже, Fn(x,) i F_n{Xj) e в1дпов1дно нечеткими шд-множинами множини Х-вершин, в яю можна попасти з вершини x,, використовуючи шляхи довжиною n, а та-
кож тих нечггких вершин, з яких можна потрапити в x,, використовуючи шляхи довжиною п.
Визначення 13. Нечикими транзитивними замикан-
нями 1(х,)- р_(х,о) 6уд' вкображення
емо називати нечггке многозначне
F( x, )=un:J Fj ( xi )
j=0
де i~o^x,
Fo( x, ) = U - П '
F( xi ) = U J- j ( x, )• j = 0.
j=0
Нечике транзитивне замикання F(x,0 - це нечiтка пiАмножина вершин X, якi можна досягти з вершини xt по деякому шляху з вiАповiАною кон'юнктивною мiцнiстю.
Зауваження. Очевидним е той факт, що формально поняття транзитивного замикання F{x¡) i оберненого
транзитивного замикання F- (x, ) для нечiткого графа G сп1впадають з цими ж самими поняттями для нечетких гра-фiв 1-го роду [3] та II-го роду [4]. Визначення 14. Нехай
H(x,) = F(x,) n F-(x,) = \(xL )'k = l'n,tk e[0;i]}
Ступенем живучост графа ё будемо називати величину
V(ё ) = т1п{т1,т1,...,тп} у випадку спгвпадання носГя не-
~ 1 чиго! множини Н(х ,) з множиною вершин Х графа ё
(тобто, коли ё* сильно зв'язаний) або 0 в протилежному
випадку V(ё ) = 0.
Зауваження. Визначення ступеня живучосп нечГтко-
го графа ё спгвпадае з аналоггчним визначенням для нечеткого графа 11-го роду [4].
Звичайною сприймаеться задача пГдвищення ступеня живучосп графа ё з найменшими витратами. Тут тд витратами розумшть вкладання коштГв на збкьшення функцГ! належностГ вершин графа за рахунок додавання но-вих ребер, внутршнгх властивостей вершин тощо. Вказана задача е наступним кроком дослГджень авторгв в даному
напрямку. Окремим завданням е також побудова множин
)]
це завдання зводиться до задачГ нечГткого впорядкування або ранжування елементгв х е X вГдповГдно до синченно! множинГ критерйв. При бГльш глибоких дослГдженнях це завдання е достатньо складним Г передбачае окреме ви-
неч1тких вершин X =
На емтричному р1вн1
Л1ТЕРАТУРА
1. Фрэнк Г. Сети. Связь и потоки / Г. Фрэнк, И. Фриш. -М. : Связь, 1978. - 448 с.
2. Monderson J. N. Fussy graphs and fussy hypergraphs / J. N. Monderson, P. S. Nair. - Heidelberg; New York: Physica-Verl., 2000. - 248 p.
3. Берштейн Л. С. Нечеткие графы и гиперграфы / Л. С. Бер-штейн, А. В. Боженюк. - М. : Научный мир, 2005. - 256 с.
4. Боженюк А. В. Нахождение живучести нечетких транспортных сетей с применением геоинформационных систем / А. В. Боженюк, И. Н. Розенберг, Д. Н. Ястребинская. - М. : Научный мир, 2012. - 176 с.
5. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман; [пер. с фр.]. - М. : Радио и связь, 1982. - 432 с.
6. Аверкин А. Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А. Н. Аверкин; [под. ред. Д. А. Поспелова]. - М. : Наука, 1986. - 312 с.
7. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. Заде. -М. : Мир, 1976. - 100 с.
8. Круглов В. В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети / В. В. Круглов, М. Н. Дли, Р. Ю. Голунов. - М. : Физ-матлит, 2001. - 224 с.
REFERENCES
Averkin, A. N. Nechetkie mnozhestva v modeliakh uprav-leniia i iskusstvennogo intellekta [Fuzzy sets in management models and artificial intelligence]. Moscow: Nauka, 1986.
Bershteyn, L. S., and Bozheniuk, A. V. Nechetkie grafy i giper-grafy [Fuzzy graphs and hypergraphs]. Moscow: Nauchnyy mir, 2005.
Bozheniuk, A. V., Rozenberg, I. N., and Yastrebinskaia, D. N. Nakhozhdenie zhivuchesti nechetkikh transportnykh setey s primeneniem geoinformatsionnykh sistem [Finding survivability fuzzy transport networks using geographic information systems]. Moscow: Nauchnyy mir, 2012.
Frenk, G., and Frish, I. Seti. Sviaz i potoki [Network. Communication and streams]. Moscow: Sviaz, 1978.
Kofman, A. Vvedenie v teoriiu nechetkikh mnozhestv [Introduction to the theory of fuzzy sets]. Moscow: Radio i sviaz, 1982.
Kruglov, V. V., Dli, M. N., and Golunov, R. Yu. Nechetkaia logi-ka i iskusstvennye neyronnye seti [Fuzzy logic and artificial neural networks]. Moscow: Fizmatlit, 2001.
Monderson, J. N., and Nair, P. S. Fussy graphs and fussy hy-pergraphsHeidelberg; New York: Physica-Verl., 2000.
Zade, L. Poniatie lingvisticheskoy peremennoy i ego prime-nenie k priniatiiu priblizhennykh resheniy [The concept of linguistic variable and its application to the adoption of approximate solutions]. Moscow: Mir, 1976.
