CC BY
17
УДК 514.747+510.64
С О. БАРИШЕВСЬКИЙ1, Л.е. НИКИФОРОВА1, О.Г. КАРАеВ2
1 Мел™польський державний педагогiчний ушверситет iMeHi Богдана Хмельницького 2 Таврiйський державний агротехнолопчний унiверситет
АКС1ОМАТИЧН1 ОСНОВИ ЕВКЛ1ДОВО1 НЕЧ1ТКО1 ПЛАНШЕТРП
У cmammi розглянуто застосування теорп нечтких множин i нечткоi логiKU до аксюматичноi побудови eemidoeoi нечтког планжетрй.
Ключовi слова: нечтка множина, нечтка точка, нечтка пряма, нечтка площина, нечтка група iзометрiй.
S.O. BARYSHEVSKIJ1, L.E. NIKIFOROVA1, A.I. KARAEV2
1 Melitopol State Pedagogical University named after Bogdan Khmelnitsky 2 Tavria State Agrotechnological University
AXIOMATIC FOUNDATIONS OF EUCLIDEAN FUZZY PLANE GEOMETRY
Annotation
The axiomatic foundations of Euclidean fuzzy plane geometry: the axioms of fuzzy plane isometry groups are discussed in this article. The purpose of research is to examine the construction of the group axioms of Euclidean fuzzy plane geometry using apparatus theory of fuzzy sets andfuzzy logic.
Construction of a system of axioms of Euclidean fuzzy plane geometry performed in this work. First identified and listed the basic concepts, and then the axioms.
Fuzzy plane is considered a variety of fuzzy points. Among the subsets of this fuzzy set are highlighted subset, called fuzzy lines, fuzzy half-lines (rays) and fuzzy half-planes. Among the mappings of the fuzzy plane onto itself highlighted fuzzy display, called isometries. All further geometric concepts are defined through these basic.
In further studies, using examples in this work a system of axioms can select all Euclidean fuzzy plane geometry structures as algebraic and topological.
The application of axiomatic construction of Euclidean fuzzy plane geometry offuzzy logic and theory offuzzy set is discussed in this article.
Постановка проблеми. В нечитай плашметри е дв1 нечита множини:
1) нечикий проспр, який розглядаеться як нечита множина нечиких точок, в якш визначеш деяш нечита тдмножини або нечита ф1гури (нечита прям1, нечита промеш, нечита натвплощини...).
Проспр, за нашою думкою, може розглядатися як деяка точкова нечита множина R розм1рнютю два, а
нечита геометричш фиури - як нечита шдмножини множини R [1-4]. Виб1р нечиких тдмножин утворюеться невипадково, а ввдтворюе наше уявлення про властивосп оточуючого свиу.
2) нечита група перетворень, яка вводить в нечикому простор! поняття нечико! р1вносл i яка е джерелом геометричних властивостей нечиких фиур.
Ц двi основнi нечiткi множини незалежш тiльки до деякого степеня внутрiшня властивiсть нечико! групи визначае властивють нечiткого простору. В данш роботi ми будемо розглядати нечикий простiр розмiрнiстю два, тобто нечику площину. Проблема полягае в тому, що в наш час не юнуе загальновизнано! нечiткоl геометрil, яка побудована на основi нечiткоl лопки.
Аналiз ocTaHHix дослiджень. В робоп [5] розглядаються основи нечiткоl дискретно! математики з залученням апарату нечiтко! логiки [6]. В роботi [1] розглядаються нечита включення, нечiтка рiвнiсть, нечiтке в!дношення i його основш властивостi в просторi нечiтких множин. Результата, що були отримаш в робоп [1], були використанi для аксiоматично! побудови точкових нечiтких множин дшсних чисел i !х ввдображень в алгебра!чних аспектах з залученням апарату нечико! лопки [2]. Курс нечико! плашметри був би неповним, як би при цьому ми обмежились алгебра!чними аспектами, так як багато нечиких (чиких) геометричних структур вщносяться до топологi!. От чому деяк! факти у роботi [3] розглянуто з двох точок зору - з алгебра!чно! i тополопчно!. Визначення точкових нечiтких дiйсних чисел розглянуто за допомогою нечиких b-рацюнальних наближень.
На основi результатiв, яш отриманi у роботах [1-3], в робоп [4] розглянуто застосування до аксюматично! побудови нечикого простору евклщово! нечiтко! планiметрi! нечiтко! логiки i теорi! нечiтких множин.
Формулювання цшей CTaTTi. Пропонуеться розглядання побудову групи аксюм евклiдово! нечiтко! планiметрi! з залученням апарату теорп нечиких множин та нечико! лопки.
Основна частина. Основш поняття теори нечиких множин, елеменпв нечико! лопки, нечиких сшввщношень, нечиких вщношень будемо розглядати як в [1-6].
Нечику множину можна розглядати як об'еднання !! складових - одноточкових нечiтких множин (ОНМ), носи яких складаються з едино! точки [1,2]. Нечита множини, елементами яких е нечита
точки, представлен у видi ОНМ, носи яких складаються з едино! точки чпкого евклвдового простору
R+ розмiрностi 2, будемо називати нечткими точками.
Потрiбно вiдмiтити, що нечiтку точку можна представити у виглядi нечико! висловлювано!
змшно! X. Шд нечткою висловлювальною змiнною X, будемо розумпи розпливчасте висловлювання, степiнь iстинностi якого може приймати довiльне значення i3 штервалу [0,1] [4-6].
Евклвдова нечiтка площина - така нечiтка множина P елеменпв, як1 називаються нечткими точками i в якому видiлена система порожшх нечiтких пiдмножин, як1 називаються нечткими прямими;
для будь-яко! нечико! прямо! D i будь-яко! нечико! точки о цiе! прямо! задаш двi нечiткi пiдмножини,
як1 називаються нечiткими протилежними променями з початком о ; для нечиких тдмножин P , як
називаються нечткими протилежними площинами з границею D .
Аксюми, яш ми будемо вводити поступово, не пльки постулюють властивостi чiтко! i нечiтко! площини або деяких !! фiгур, але й "будують" таку площину [7]. 1з самого початку ми допускаемо, що
площина P мае по меншш мiрi двi нечiткi точки, не враховуючи, що насправд !х бiльше. Це мiнiмальне допущения завдяки аксiомi А1 дозволяе стверджувати, що юнуе хоча б одна нечпка пряма. З аксiоми А2 з необхвднютю слiдуе iснування хоча б трьох нечiтких точок на будь-якш нечiткiй прямiй.
1з аксiоми порядку А3 слвдуе, що на будь-якш нечитай прямiй е нескiиченно багато нечиких
точок. Однак, цi точки можуть виявитися "iзольованими", i на нечитай прямiй, таким чином, можуть виявитися прогалини, як1 можуть бути заповнеш за допомогою нечiтких й-рацюнальних наближень точкових множин дiйсних чисел [3].
Нарешп, аксiома розбиття нечико! площини А4 вводить поняття нечико! пiдмножини, яке дозволяе встановлювати, що поза будь-якою нечпкою прямою е нечита точки.
Окрiм поняття простору, до основних понять геометрп ввдноситься "група перетворень" [7]. Постановки довiльно! множини E утворюють групу [7]; отже, це ж справедливо i для довiльно!
нечiтко! множини Е, тобто i для евклщово! нечiтко! площини P . Далi ми будемо розглядати лише одну нечпку пiдгрупу цiе! нечпко! групи i в цьому окремому випадку нечiткi перетворення будемо називати нечпкими iзометрiями.
Саме нечiтка група iзометрiй дозволяе нам ввести поняття '^вносл нечiтких фiгур". П1д словом '^вшсть" розумiеться нечiтке спiвпадания або нечпке вiдношения еквiвалентностi мiж рiзними нечiткими фiгурами, яке чiтко зв'язано з поняттям нечiтко! групи iзометрiй. Тому, ми говоримо "нечiткi ф^ури iзометричнi" замiсть "нечiткi фiгури рiвнi".
Аксiоми B-5 характеризують властивосп нечiтко! групи iзометрiй. Слiдуе вщмпити аксiому
B, яка вказуе, що нечпка iзометрiя повнiстю визначаеться вказiвками "нечiткого флагу", на який нечiтко в1дображаеться даний нечiткий флаг. При цьому нечпкий флаг - це нечпке об'еднання нечiтко!
точки О , нечико! пiвпрямо! оа i нечiтко! пiвплощини з нечпкою границею оо .
Для вимiрювання нечiтких довжин вводиться аксiома Архимеда (аксiома С), яка дозволяе розв'язати проблему нечпкого вимiрювання - побудова гомоморфiзму нечiтко! пiвгрупи довжини в нечпку твгрупу точкових нечiтких дшсних чисел [1-3].
1з введенням аксюми D про ввдсутшсть прогалин стае зрозумшо, що цей гомоморфiзм е iзоморфiзмом, i тепер нечiтка площина стае точковою нечпкою множиною континуума.
Щоб отримати повну систему аксюм евклидово! нечiтко! планiметрi!, залишаеться додати аксюму нечiтких паралельних (аксiома Е)
I. АКСЮМИ НЕЧ1ТКОГО ПРОСТОРУ
Акаома нечтко'1 прямо'1 А1. Площина P мютить, по меншiй мiрi, двi нечiткi точки. Для будь-яких двох рiзних нечiтких точок юнуе едина вщносно носiя нечпка пряма, яка !х мiстить.
Акаома розбиття нечтко'1 прямо'1 А2. Протилежш нечiткi променi будь-яко! прямо! D, яш мають початком дов№ну точку о цiе! прямо!, непусп i утворюють розбиття множини D \ (о } .
Акаома порядку А3. Серед будь-яких трьох рiзних нечiтких точок, яш належать однiй нечiткiй прямш, iснуе одна i тiльки одна вщносно нос1я нечiтка точка, яка лежить мiж двома iншими.
Акаома розбиття нечтко'1 площини А4. Для будь-яко! прямо! D протилежш нечита твплощини з границею D непусп й утворюють розбиття множини P \ D, при чому цi нечiткi
нашвплощини випукт для будь-яких двох нечиких точок с i b , як1 належать рiзним нечиким
напiвплощинам, icHye нечiтка точка прямо! D , яка лежить мiж ними.
II. АКСЮМИ НЕЧ1ТКО1 ГРУПИ
Акаома кнування групи Вг. 1зометрп нечико! площини утворюють нечпку шдгрупу нечiтко! групи iзометрiй нечиких постановок нечiтко! площини.
Акаома збереження порядку В2. Вiдношення " а нечiтко лежить мiж b i с " зберiгаeться при будь - якш iзометрi!.
Акаома про гзометрт, яка зв'язуе два нечтких флаги В3. Для будь - яко! впорядковано! пари
нечиких флапв iснye едина ввдносно носив нечiтких флагiв iзометрiя, яка вщображае перший нечiткий флаг на другий.
Акаома про перестановку пари нечтких точок В4. Для будь яко! пари рiзних нечиких точок юнуе iзометрiя, яка переставляе цi нечiткi точки.
Акаома про перестановку пари нечтких променiв 3i стльним початком В5. Для будь яко! пари нечиких промешв 3i стльним початком юнуе iзометрiя, яка !х переставляе.
Акаома Архiмеда С. Для будь яких ненульових нечiтких довжин с i y ( 3 n G N) nx > y .
Акаома про вiдсутнiсть прогалин D. Всяка несшиченна послвдовнють вкладених нечiтких
iнтервалiв L , довжина яких прямуе до нуля, мае непустий нечiткий перетин.
Аксюма Евклiда Е. Через будь - яку точку нечико! площини проходить едина ввдносно ноая нечiтка пряма, нечико паралельна данш нечiткiй прямш.
Висновки та перспективи подальших дослщжень. В статтi розглянуто застосування до аксюматично! побудови евклiдово! нечiтко!' плашметрп нечiтко!' логiки i теорй' нечиких множин. В подальших досл1дженнях за допомогою приведених в данiй робоп дванадцяти аксiом можна видiлити ва структури евклiдово! нечiтко!' планiметрi!', як алгебра!чш так i топологiчнi: структуру впорядковано! нечико! групи довжин i теорш вимiрювання нечiтких довжин; структуру нечикого векторного простору; нечiткий скалярний добуток i метрику нечiтко! площини; структуру нечикого векторного нормованого простору (нечикого простору Банаха); кyтовi структури нечико! площини i теорiю вимiрювання нечiтких кyтiв; нечiткi повороти i !х вимiрювання.
Л1тература
1. Баришевський С.О. Основи теорй' точкових нечиких множин. / С.О.Баришевський // Пращ Тавршського державного агротехнологiчного yнiверситетy. - Меллополь: ТДАТУ, 2012. - Вип.4. -Т.52. - С. 141-144.
2. Баришевський С.О. Точковi нечита множини та !х вiдображення. / С.О. Баришевський // Пращ Тавршського державного агротехнолопчного ушверситету. - Меллополь: ТДАТУ, 2012. -Вип.4. -Т.54. - С.3-8.
3. Баришевський С.О. Основи теорп точкових нечиких множин: алгебра!чш та тополопчш аспекти. / С.О. Баришевський // Пращ Тавршського державного агротехнолопчного ушверситету. -Мелиополь: ТДАТУ, 2013. -Вип.4. - Т.57. - С.22-27.
4. Берштейн Л.С. Нечеткие графы и гиперграфы. / Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк. - М.: Научный мир, 2005. - 256 с.
5. Баришевський С.О. Аксюматичт основи евклидово! нечико! плашметрп: аксюми нечикого простору/С.О. Баришевський// Сучасш проблеми моделювання: Мелiтополь: Видавництво МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2014.- Вип. 1. - С. 13-16
6. Новак В. Математические принципы нечеткой логики. Пер. с англ. / В. Новак, И.Перфильева, И. Мочкорж - Под ред. А.Н. Аверкина- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 352с.
7. Донеддю А. Эвклидова планиметрия. / А. Донеддю. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1978. - 272с.
