ТЕОРЕТИЧНі ЗАСАДИ ПіДВИЩЕННЯ СТУПЕНЯ ЖИВУЧОСТі НЕЧіТКОї МЕРЕЖі АЕРОПОРТіВ ДО ЗАДАНОГО РіВНЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.71:004.231(045)

ТЕОРЕТИЧН1 ЗАСАДИ П1ДВИЩЕННЯ СТУПЕНЯ ЖИВУЧ0СТ1 НЕЧ1ТКО1 МЕРЕЖ1 АЕРОПОРТ1В

ДО ЗАДАНОГО Р1ВНЯ

© 2017 ОЛЕШКО Т. I., ЛЕЩИНСЬКИЙ О. Л., ГОРБАЧОВА О. М.

УДК 656.71:004.231(045)

Олешко Т. I., Лещинський О. Л., Горбачова О. М. Теоретичн засади пiдвищення ступеня живучостi He4iTKoi мережi

аеропорлв до заданого рiвня

У статт'1 наведено теоретичш засади побудови графовоi модел'> живучостi нечтко)' мереж'> в терм'шах теорп нечтких множин другого типу. Вивчено можливкть i коректшсть узагальнення поняття нечткого графа G* з точки зору представлення сукупностi n-арних в/дношень для дов'шьного скнченного n е N. Введено визначення нечткого гперграфа GGТНМ ■ Показане природне поширення поняття степеня живучостi

на гiперграфi GGШм { Вiдмiчено основш випадки зниження живучостi нечткого орieнтованого графа G thm2' Проаналiзовано задачу зб'мь-шення ступеня живучостi нечткоi транспортноi мережi за критер'км найменших витрат i ii тлумачення в питаннях авiацiйних перевезень. Запропоновано модифкацЮ в'домого алгоритму, який дозволяв зб'шьшити сумарне значення функ^й належностi ребер нечткого графа, щоб стутнь його живучостi досягла необидного значення. Об(рунтовано, що за допомогою розглянутих теоретичних засад запропонований алгоритм дозволяв пiдвищити стетнь живучостi нечткоiмереж'> аеропорт'в до заданого р'вня. Кпючов'1 слова: стутнь живучостi, нечтка мережа аеропорт'в, нечткий ор'кнтований граф, кон'юнктивна мцнсть. Рис.: 2. Табл.: 3. Формул: 8. Ббл.: 10.

Олешко Тамара 1ва^вна - доктор техшчних наук, професор, зав'дувачка кафедри економiчноiюбернетики, Нацональний авiацiйний ушверситет (пр. Космонавта Комарова, 1, Ки)'в, 03058, Украна) E-mail: ti_oleshko@ukr.net

Лещинський Олег Львович - кандидат ф'вико-математичних наук, доцент кафедри економiчноi юбернетики, Нацюнальний авiацiйний ушверситет (пр. Космонавта Комарова, 1, Кшв, 03058, Украна)

Горбачова Оксана Миколавна - кандидат економiчних наук, доцент, доцент кафедри фiнансiв, облку i аудиту, Нацональний авiацiйний ушверситет (пр. Космонавта Комарова, 1, Кшв, 03058, Украна)

УДК 656.71:004.231(045) Олешко Т. И., Лещинский О. Л., Горбачева О. Н. Теоретические основы повышения степени живучести нечеткой сети аэропортов до заданного уровня

В статье приведены теоретические основы построения графовой модели живучести нечеткой сети в терминах теории нечетких множеств второго типа. Изучена возможность и корректность обобщения понятия нечеткого графа G* с точки зрения представления совокупности n-арных отношений для произвольного конечного n е N.

Введены определения нечеткого гиперграфа GGШм. Показано естественное распространение понятия степени живучести на гиперграфе (3GThm 1 Отмечены основные случаи снижения живуче*

сти нечеткого ориентированного графа Gthm ' Проанализирована задача увеличения степени живучести нечеткой транспортной сети по критерию наименьших затрат и её толкование в вопросах авиационных перевозок. Предложена модификация известного алгоритма, который позволяет увеличить суммарное значение функций принадлежности ребер нечеткого графа, чтобы степень его живучести достигла необходимого значения. Обосновано, что с помощью рассмотренных теоретических основ предложенный алгоритм позволяет повысить степень живучести нечеткой сети аэропортов до заданного уровня. Ключевые слова: степень живучести, нечеткая сеть аэропортов, нечеткий ориентированный граф, конъюнктивная прочность. Рис.: 2. Табл.: 3. Формул: 8. Библ.: 10.

Олешко Тамара Ивановна - доктор технических наук, профессор, заведующая кафедрой экономической кибернетики, Национальный авиационный университет (пр. Космонавта Комарова, 1, Киев, 03058, Украина) E-mail: ti_oleshko@ukr.net

Лещинский Олег Львович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экономической кибернетики, Национальный авиационный университет (пр. Космонавта Комарова, 1, Киев, 03058, Украина) Горбачева Оксана Николаевна - кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры финансов, учета и аудита, Национальный авиационный университет (пр. Космонавта Комарова, 1, Киев, 03058, Украина)

UDC 656.71:004.231(045j Oleshko T. I., Leshchinsky O. L., Horbachova O. M. The Theoretical Foundations of Enhancing the Degree of Survivability of the Fuzzy Network of Airports up to the Specified Level

The article provides the theoretical foundations of building a graph model of the survivability of a fuzzy network in terms of the theory of fuzzy sets of the second type. The possibility and the correctness of generalizing the concept of the fuzzy graph G * in terms of presentation of the set of n-ary relations for an arbitrary finite n s N have been studied. Definitions of the fuzzy hypergraph

GG*HMi have been introduced. The natural spread of the concept of the

degree of survivability on the hypergraph GGthm . has been displayed. The main cases of reducing the survivability of the fuzzy oriented graph

G thm 2 have been specified. Analyzes of the task of increasing the degree of survivability of a fuzzy transportation network by the criterion of least cost and its interpretation in the matters of air transportation have been carried out. The authors suggest a modification of the known algorithm that allows to increase the sum value of the functions of membership of the fuzzy graph edges so that its survivability can reach the desired value. It has been substantiated that, using the considered theoretical foundations, the proposed algorithm allows to enhance the degree of survivability of the fuzzy network of airports up to the specified level. Keywords: degree of survivability, fuzzy network of airports, fuzzy oriented graph, conjunctive toughness. Fig.: 2. Tbl.: 3. Formulae: 8. Bibl.: 10.

Oleshko Tamara I. - D. Sc. (Engineeringj, Professor, Head of the Department of Economic Cybernetics, National Aviation University (1 Kosmonavta Koma-rova Ave, Kyiv, 03058, Ukrainej E-mail: ti_oleshko@ukr.net

Leshchinsky Oleg L. - PhD (Physics and Mathematicsj, Associate Professor of the Department of Economic Cybernetics, National Aviation University (1 Kosmonavta Komarova Ave, Kyiv, 03058, Ukrainej Horbachova Oksana M. - PhD (Economicsj, Associate Professor of the Department of Finance, Accounting and Auditing, National Aviation University (1 Kosmonavta Komarova Ave, Kyiv, 03058, Ukrainej

Аослцжуючи питання життевих циклiв конкретного аеропорту, автори дшшли висновку щодо доцiльностi розгляду мережi аеропортiв i зна-ня його ступеня живучостЬ Поняття живучостi транспортно1 мережi на сьогодш знаходиться на почат-ковому еташ вивчення, а загальних термшв «живучiсть мережi авiаперевезень», «живучiсть системи аеропор-тiв» взагалi не кнуе. Пiд економiчною живучктю мере-жi аеропортiв будемо розумiти здатнiсть И економiчних об'ектiв i зв'язкiв мiж ними протидшти внутрiшнiм i зовншшм впливам полiтичних, соцiальних, економiч-них iнцидентiв, зберiгаючи при цьому здатшсть по-внiстю або частково вцновлювати об'екти, якi зазнали негативного впливу. Вводячи поняття економiчноí жи-вучост мережi аеропортiв, маемо на мет розробку ш-струментарiю оцiнки ризиюв виникнення економiчноí нестабiльностi системи аеропорйв та можливих загроз банкрутства, який, своею чергою, доповнить iснуючi методи вимiрювання економiчноl безпеки окремих ае-ропортiв (елементiв дослцжувано1 мережi), виявляючи в системi додатковi якiснi характеристики. Враховуючи те, що живучiсть мережi аеропортiв залежить вiд вилу-чення або доповнення певного елемента, розриву деяко! плки зв'язку, доцкьно вивчати мережу аеропорпв на основi теоретико-графового шдходу як складну систему з властивими 1й характеристиками. Майже вйм склад-ним системам, до яких, зокрема, належать економiчнi та соцiально-економiчнi, притаманна проблема невизначе-ностi. На сьогодш ця проблема передбачае застосування нових шформацшних технологiй, складовою частиною яких е iнтелектуальнi засоби обробки шформаци.

Задачi, що включають в себе умови невизначено-стi, являють собою слабо структурованi або неструкту-рованi. Слабо структурованi задачi в^^зняються не-вiдомими або невимiрюваними компонентами, тобто компонентами, ккьюсно неоцiнюваними. Таю задач^ своею чергою, характеризуються вцсутшстю методiв розв'язання на основi безпосереднього перетворення даних. Застосування теорй нечиких множин (ТНМ) до-зволяе побудувати формальш схеми розв'язання задач, що характеризуеться тим чи шшим ступенем невизна-ченостi, яка може бути обумовлена неповнотою, вну-трiшнiм протирiччям, неоднозначнiстю та розмитiстю початкових даних, що являють собою наближеш ккь-кiснi або якiснi оцiнки параметрiв об'ектiв.

Останнiми роками разом зi звичайними нечики-ми множинами першого типу (HM) [4, с. 5-49] бкьшого застосування знаходить теорш нечиких множин друго-

го типу (THM2), хоча 11 використання супроводжуеться шдвищенням обчислювально! складностi алгоритмiв [9; 10]. Використання THM2 доцкьно у випадках очжуван-ня суттевого покращення результайв (зокрема, шдви-щення «точностi» прогнозування, покращення якост кластеризаци). Аналiз теорш невизначеностей показуе, що задачi в умовах невизначеност в багатьох випадках належать до класу №Р-повних задач, розв'язання яких можливе з використанням вкладених методiв «м'яких обчислень» [1; 6].

Наведеш мiркування вказують на актуальшсть даних дослiджень з використанням THM2 при вивченнi задачi шдвищення ступеня живучостi нечп,ко1 системи аеропорив i побудови на и основi нечiткого графа

^ тнм 2'

Теорш живучостi транспортних систем i проблема пiдвищення ступеня живучост нечiтких транспортних мереж на сьогодншнш день знаходиться на стади становлення. Авторам вiдомi лише такi публжаци в даному напрямку: [3; 8].

Метою стати е вивчення теоретичних засад шдвищення ступеня живучост нечггко1 множини аеропорйв.

Для розв'язання конкретних практичних задач за-пропонована така iнтерпретацiя нечиких множин типу 1HM1 та типу 2HM2: Визначення 1.

А1 = ■

Р А( х)

х е и, 0 < Р (х) < 1},

(1)

де и - ушверсальна множина; цA(x) - функцш належ-ност елемента множинi A с C, яка називаеться нечп1-кою множиною типу 1 [5]. Визначення 2.

А

Р А( х,и)

тнм 2 I

Ух е X, Vи е Зх с [0,1]} (2)

де X - ушверсальна множина; u) - множина функ-цiй належностi цA(x), що характеризуе ступiнь належ-ност символiв x i u - множина, що характеризуе вто-ринну функцш належностi множинi A, називаеться нечеткою множиною 2-го типу.

Пропонуеться така класифжацш теорiй нечиких множин першого типу (THM1) залежно вiд визначення операцiй перетину та об'еднання нечиких множин (табл. 1).

Таблиця 1

Класифiкацiя теорiй нечiтких множин першого типу

Назва ТНМ1 Операщя перетину Операцiя об'еднання

Максимальна Р (Апв) (х) = т1п {РА (х)'Рв (х)} Р(АиВ) (х)= тах{РА (х), Рв (х)}

АлгебраТчна Р(Апв) (х)=Ра (х)'Рв (х) Р(АиВ) (х) = Р А( х) + Рв (х) - Р А( х) • Рв( х)

Обмежена Р(АПВ) (х) = тах{0, РА (х) + Рв (х)-1} Р(АиВ) (х) = т1п{1,РА (х)+РВ (х)}

<

т 2

о

=Г

о

о

<

о

Ш

Джерело: авторська розробка.

У теоршх HM2 вирiзняють, зокрема, загальну (3HM2) та iнтервальну (IHM2) He4iTKi множини [8]. KpiM того, автори статтi виокремлюють теори HM2 (аналопч-но THM1) залежно вiд визначення операцiй об'еднання та перетину, заданих у них.

Н

аведемо завдання дискретно! НМ2 таким чином. Нехай елемент х е X може приймати зна-чення х1, х2, ..., хт. Тодi функцiя належностi

^1 (х) е [0,1], I = 1, т, 1 = 1, п. Цей факт можна опи-

сати матрицею (табл. 2) i множиною точок у декартовш системi координат на площинi (рис. 1).

Таблиця 2

Матриця значень функцИ належностi

x ^Ч 1 \ x) ^xi( x) n r \ Px (x) i

A v = x1 a11 a12 an

^imX n x2 a21 a22 a2n

x m a , m1 a . m2 a mn

Джерело: авторська розробка.

1 А

f t *

0 xi x 2 x3 xi

0 < akt < 1, к = 1, m.t = 1, n, к, t, n e N

Рис. 1. Графш дискретно! функци належност He4iTK0Ï множинитипу 2 Джерело: авторська розробка.

Зауваження. У випадку, коли для кожного неод-накова кiлькiсть цх, (x), тобто не iснуe единого n, матри-цю Amxn доповнюють нулями.

Кожне значення aH = u]x (x) мае свою функцш

■> xi

належностi

Ы. ( x ) aj = Vj.( x )( ^ Хг ( x))

(3)

Цей факт, своею чергою, можна описати матрицею (табл. 3) i множиною точок в декартовш системi координат в тривимiрному проекторi (рис. 2).

Третш вимiр - ^ (x)(цХ((x)) - характеризуе

вторинну функцш належност нечiткiй множинi

A : ^a (x, u) - функц1я належност для цА(х). Ïï ще на-зивають слiдом невизначеностi (FOU).

При побудовi графових моделей нечетко! мере-жi аеропортiв виникае задача представлення знань у вигляд^ що дозволяе компактно зберь гати i формально опрацьовувати необхцну рiзноманiт-ну шформацш, залишаючи при цьому первiсний змкт i взаемозв'язки. Природними моделями, яю пiдтримують об'ектно-предикатний пiдхiд, е неорiентованi та орiен-тованi гiперграфи, що е суттевим узагальненням понят-тя графiв з точки зору представлення ними сукупност п-арних вiдношень для довкьного скiнченного п еЫ [2]. Нечеткий орiентований гiперграф можна розглядати або як довкьний набiр нечетких пiдмножин, визначених в однiй множиш, або як сукупнiсть нечiтких симетричних вiдношень рiзноl n-остi [7].

Вивчаючи питання живучостi мережi аеропортiв

для врахування природно'1 невизначеностi, скористае-

~ *

мося поняттям нечiткого орiентовного графа О [8] та введемо поняття нечеткого орiентованого гiперграфа.

Визначення 3. Нечетким орiентованим гшергра-~ ~ *

фом (}Отнм = (Х ^) будемо називати пару множин:

нечгтку множину X ■

,Ux(x)

\ xi I

i e I = {1,2,...,n} -

множину вершин i чггку множину D = {d} i e J = {1,2,...,m} - множину орiентованих ребер, при-чому кожна

X i =

Ux( x^

Ux( xt 2)^

Ux(xi У

-верши-

Ч I \ l2 / \ ts на е розпливчатим кортежем у D. Тут х^, X/ , ..., X/ e X. Деяка вершина xy e X може зустрiчатися в кортежi

xôj неодноразово, причому Px.(xy) може мати рiзнi значення залежно вiд мiсця xxy в кортежЬ

— —*

Якщо кожне ребро dj e D гiперграфа G G тнщ мю-тить рiвно двi вершини (елемента) в кортежi, то отриму-еться нечiткий орiентований граф. Величину

MXг)=Л 1=1^ Jxik)

(4)

будемо називати мщшстю вершини х^.

Будь-який в1дршок ребра й,, який складаеться з попарно суйдни елеменпв i мiстить не менше двох суйдни елементiв, називаеться фрагментом. Можна визначити мщшсть фрагмента як мшмальне значення функцiй на-

лежностi вершин, що входить у нього. Кожна вершина

— —*

х{ гшерграфа С0тнМ} однозначно зображуеться не*

чгтким орiентованим графом 0тнм = (Хр який

*

мае ту ж саму множину дуг, що й гшерграф 00 тнм..

X

Таблиця 3

Матриця значень функцп належност

ВтХп Л(Лхг (х)) х, Лл(х)(л\ (х,)) лл(х)(л\(х,)) лл(х)(л!,,-(х,))

х1 Ь11 Ь12 Ь1п

х2 Ь21 Ь22 Ь2п

X т Ьт1 Ьт2 Ь тп

Джерело: авторська розробка.

к 1 <% (х)(<" , (х)) - ГО^

/I / | ~ / 1 / 1 / | -/ 1 / 1 ¡0 1/| 1 / у 1 1/

/ уГ // / 1/ / /хъ х

¡/~~7 / / /

Их. (х)

О < Ьр < 1;I = 1, т; р = 1,и;I, р е Ж

Рис. 2. Графiк неперервноТ функцГГ належност нечiткоi' множини типу 2 Джерело: авторська розробка.

Двi вершини - ха i Xр - будемо називати су- де Ь(х,, х,) = тах л *(х,, X,) - ступiнь досяжностi

мiжними по ребру , якщо вони розташованi в кортежi ^ на суйдни позицiях, а величину

ЛА (XаXр) = лх (Xа)АЛхя(Xр) - ступенем сУмiж-

] а р

ностi вершин ха i Xр по ребру

Визначення 4.

Величину

л о( XX а' X р) = Уагев ЛА( X а, X р) (5)

будемо називати ступенем сушжност вершин ха i Xр

~ *

в гiперграфi оТНМ1

~ *

Ступенем живучостi нечiткого графа Отн_М\ на-~ *

зивають величину ¥{(} ) е [0,, що визначаеться ви-разом

У(&Тнм 1) = ^хехЛхе Ь (ХР х р, (6)

вершини X, з вершини X,; Ь(х,хр- сш'я нечiтких шляхiв з вершини х, до вершини х,;

Ь* е Ь(х ,, X,), Ь(X,-, X,) = яирр I(х„ XР. (7) Останне поняття природно узагальнюеться для

гiпеPгPафа оо *тнм 2-

Визначення 5. Нечетким орiентованим графом

~ ~ * ~ *

ООтнм2 будемо називати пару множин, XXТНМ2 -

нечiтку множину типу 2 вершин у деякш унiверсальнiй множинi X, тобто

| лх

(х,ы )

ТНМ 2 I (X, Ы)

Ух е х, Vы е 3 х с [0,1]'

(х,ы)

• * • 1Л,И I -

з множинною функцiй належностi лх . Функциями

належност i R = (Xp, Xk) - ч^ку множину ре-

бер, де {Xp,xk]c X.

1ншими словами, кон'юнктивна мiцнiсть шляху

~ *

нечикого графа Gthm2 визначаеться найменшим

значенням вторинно! функци належностi вершин, що входять до нього, за виключенням початково! та кшце-во! вершин вц найменшого значення первинних функ-цш належностi.

Поняття ступеня живyчостi нечетких графiв

~ * ~ *

&THM\ = &THM2 Фактично спiвпадають, базуючись на сшвпадаючих поняттях ступеня досяжностi [8].

Де gTHM2(XTHM2RS) - суграф нечiткого орiентованого графа gTHM2(XTHM2R)XTHM2£ ХШм2RS £ R.

Якщо позначити через G*THM 2 = (X1THM2, R1) дея-кий пiдграф нечiткого графа G*THM 2, X1 £ X, то стyпiнь

його живyчостi визначаеться виразом:

F (G*thm 2) = л xj е X1A xj е x]// X,, X j) =

/ N

= л Xj е X1л

v4-

(8)

IPax*'м/*(X„XJ) ■ V/ е£

Для аналiзy ступеня живyчостi нечiткого тдграфа можна ввести поняття внyтрiшнього ступеня живучост

У (г;*1 ) який визначаеться шляхами, що прохо-

у ins yGTHM 2>'

дять через вершини ткьки з множини X i зовншнього ступеня живyчостi у i(G*1 ) який визначаеться

шляхами, що проходять через вершини, хоч би одна з яких не належить пiдмножинi нечiтких вершин X'.

Питання живyчостi нечiткого орiентованого графа

Gthm2 'як i для Gthm\ ) повязане, зокрема, з двома

можливими випадками:

f руйнування частин шляхiв (ребер) мiж вершинами (зокрема, руйнування (вершин) може при-звести до порушення сильно! зв'язност графа, i живyчiсть суграфа буде дорiвнювати 0; f руйнування частин шляхiв (ребер) зберiгае сильну зв'язшсть вае! мережi. Це означае,

що аналопчно, як i в графi G , який е сильно

зв'язаним, мiж будь-якими двома вершинами кнуе шлях з кон'юнктивною мiцнiстю, не мен-

шою У(G ), i вилучення одного або деккькох

ребер не зменшуе ступшь живyчостi отримано-го графа.

З наведених мiркyвань випливае така властивкть. Властивiсть 1.

Якщо руйнування шляхiв (ребер) мiж вершинами нечеткого графа G*THM2 зберiгае його сильну зв'язшсть, то мае мкце нерiвнiсть

V(GmM2) Gm2

Характеризуючи нечеткий граф 0тнм1 (для спро-щення усвiдомлення постановки задачi та збкь-шення ступеня живучостi нечгтко! транспортно'1

мережi в подальшому - 0 ), розглянемо вказану задачу за критерiем найменших витрат. Тут шд витратами при вивченнi системи аеропорпв можуть розумiтися дода-вання нових ребер (поява нових авiарейсiв), збкьшення значень функцiй належностi вершин (аеропорпв) тощо. У загальному випадку розв'язання тако'1 задачi зводить-ся до громiздкого перебору i значних часових витрат. З iншого боку, модифжуючи вiдомий алгоритм [3] для нечеткого графа другого роду, який дозволяе знаходити найменшу величину, на яку необхцно збкьшити сумар-не значення функци належностi ребер нечiткого графа

другого роду 0, щоб ступшь його живучост досягла

необхiдного значення V(oreg)' можна розв'язати по-

дiбну задачу для нечiткого графа 0*. Для цього можна

~ *

застосовувати перетворення 0 (Х,и) в

~ * ~

0 (Х,и) = Ш1П{цX(Хр),ЦX(Хк)}'хр,Хк е X.

Тодi основну ^ею цього алгоритму можна сфор-мулювати таким чином.

Вводимо чотири вектори-стовпчики i чотири вектори-рядочки розмiрнiстю (п х 1) i (1, п) вiдповiдно: + вектор-стовпчик необхiдного збкьшення значення функци належностi вершин i ребер

Ау(х,), тобто значення, на яке треба збкьши-ти функцiю належност цх(х,) вершини х1 та ци(х,, ху) ребра (х,х}) для досягнення не-

обхцно! величини V (0 )reg; + вектор-стовпчик Ь - довжина шляху вiд зафж-совано'1 вершини ^ названо! першою) до роз-глядувано!;

+ вектор-стовпчик попереднк вершин ХР, де Хр(х,) - це номер вершини, з яко! шлях при-

водить до вершини хг;

вектор-стовпчик розгляду вершин Рк. Якщо вй шляхи з вершини х1 розглянутi, то навпроти дано! вершини в усьому стовпчику ставиться «1», у протилежному випадку - «0»; вектор-рядок необхцного збкьшення значення функци належност вершин i ребер VV, де

VV(ху) - значення, на яке треба збкьшити

функцiю належностi цх(ху) вершини ху i

^(ху,х,) ребра (х^х), щоб досягнути не-

обхiдно! величини V (0 )reg;

+ вектор-рядок Ь - довжина шляху (юльюсть ребер) вiд дослцжувано! вершини до першо!;

+ вектор-рядок попереднк вершин хР, де

Хр(х,) - номер вершини, в яку можна прийти з вершини Хр + вектор-рядок розгляду вершин РЯкщо всi шляхи, по яких можна прийти до вершини х1, розглянутi, то, вцповцно, данiй вершинi при-своюеться «1», у протилежному випадку - «0».

Вибираючи в першу чергу хк, для яко!

л х( хк) = { л( х-},

ми обходимо ткьки тi вершини нечiткого графа О (х, и), яких достатньо для досягнення необхцного

значення V(О)ге§-

ВИСНОВКИ

Шдсумовуючи результати проведеного дослджен-ня, можна зазначити, що вказаний метод сприяе шдви-щенню ступеня живучостi мережi аеропортiв з урахуван-ням шформаци про об'екти мережi до заданого значення без урахування вартост необхцних для цього заходiв.

Поглиблення вивчення питань, розглянутих у да-нiй стати та у [8], а також вивчення питання мшшшаци витрат на шдвищення ступеня живучост нечпто! мере-жi аеропортiв е перспективним напрямком подальших дослiджень. ■

Л1ТЕРАТУРА

1. Аверкин А. Н. Нечеткие множества в моделях управления и искуственного интелекта/под. ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986. 312 с.

2. Берштейн Л. С., Боженюк А. В. Нечеткие графы и гиперграфы. М.: Научный мир, 2005. 256 с.

3. Боженюк А. В., Розенберг И. Н., Ястребинская Д. Н. Нахождение живучести нечетких транспортных сетей с применением геоинформационных систем. М.: Научный мир, 2012. 176 с.

4. Заде Л. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений/пер. с англ. // Математика сегодня: сборник статей. М.: Знание, 1974. 193 с.

5. Заде Л. Понятия лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 100 с.

6. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств/ пер. с фр. М.: Радиосвязь, 1982. 432 с.

7. Круглов В. В., Дли М. М., Голунов Р. Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физмалит, 2001. 224 с.

8. Олешко Т. I., Лещинський О. Л., Горбачова О. М. По-будова графовоТ моделi живучосп нечтоТ' мережi аеропор^в. Проблеми eKOHOMiKU. 2015. № 1. С. 366-371.

9. Фрэнк Г., Вриш И. Сети. Связь и потоки. М.: Связь, 1978. 488 с.

10. Monderson J. N., Nair P. S. Fussy graphs and fussy hy-pergraphs. Heidelberg; New York: Physica-Verl., 2000. 248 p.

REFERENCES

Averkin, A. N. Nechetkiye mnozhestva v modelyakh upravleni-ya i iskusstvennogo intellekta [Fuzzy sets in management models and artificial intelligence]. Moscow: Nauka, 1986.

Bershteyn, L. S., and Bozhenyuk, A. V. Nechetkiye grafy i giper-grafy [Fuzzy graphs and hypergraphs]. Moscow: Nauchnyy mir, 2005.

Bozhenyuk, A. V., Rozenberg, I. N., and Yastrebinskaya, D. N. Nakhozhdeniye zhivuchesti nechetkikh transportnykh setey s prime-neniyem geoinformatsionnykh sistem [Finding the survivability of fuzzy networks with the use of geographic information systems]. Moscow: Nauchnyy mir, 2012.

Frenk, G., and Vrish, I. Seti. Svyazipotoki [Network. The connection and threads]. Moscow: Svyaz, 1978.

Kofman, A. Vvedeniye v teoriyu nechetkikh mnozhestv [Introduction to the theory of fuzzy sets]. Moscow: Radiosvyaz, 1982.

Kruglov, V. V., Dli, M. M., and Golunov, R. Yu. Nechetkaya logi-ka i iskusstvennyye neyronnyyeseti [Fuzzy logic and artificial neural network]. Moscow: Fizmatlit, 2001.

Monderson, J. N., and Nair, P. S. Fussy graphs and fussy hypergraphs. Heidelberg; New York: Physica-Verl., 2000.

Oleshko, T. I., Leshchynskyi, O. L., and Horbachova, O. M. "Pobudova hrafovoi modeli zhyvuchosti nechitkoi merezhi aero-portiv" [Building a graph model of survivability of a fuzzy network of airports]. Problemy ekonomiky, no. 1 (2015): 366-371.

Zade, L. "Osnovy novogo podkhoda k analizu slozhnykh sistem i protsessov prinyatiya resheniy" [The foundations for a new approach to the analysis complex systems and decision processes]. In Matematikasegodnya. Moscow: Znaniye, 1974.

Zade, L. Poniatiye lingvisticheskoy peremennoy i yego prime-neniye k prinyatiyu priblizhennykh resheniy [The concept of a linguistic variable and its application to making approximate solutions]. Moscow: Mir, 1976.

<C

QQ 2

о

-j-

о

о

<

о

Ш