CC BY
50Борис ЗМИЙ, д. т. н., профессор РоманАНТИПЕНСКИЙ, к. т. н.
Александр АНАНЬЕВ
Построение фильтровых устройств
на ARC-звеньях третьего порядка
В статье рассмотрены вопросы построения фильтровых устройств в АРС-базисе с расширенным частотным и динамическим диапазоном и малой неравномерностью группового времени запаздывания.
введение
Применение ARC-элементного базиса во многих случаях ограничивается невысокими частотными и динамическими свойствами активных элементов и неоптимальной топологией ARC-звеньев. В работе [1] доказано, что на двух активных элементах можно построить ARC-звенья, обладающие потенциальными возможностями значительного снижения чувствительности передаточных функций к отклонениям параметров звена, что позволит достичь расширения частотного и динамического диапазонов.
При построении сложных фильтровых устройств на основе оптимальных звеньев второго порядка необходимо большее число активных элементов, а следовательно, и увеличение потребляемой энергии. Поэтому в работе [5] доказаны преимущества каскадной реализации сложных фильтровых устройств на ARC-звеньях третьего порядка.
Там же получены новые Z-полиномы с равноволновой аппроксимацией постоянной АЧХ в виде множителей третьего порядка. Однако применение равноволновой аппроксимации не позволяет достичь минимальной неравномерности группового времени запаздывания (ГВЗ). В работе [6] установлено, что наименьшей неравномерностью ГВЗ обладают инверсные полиномы Чебышева, поэтому возникает необходимость построения Z-полиномов с плоской АЧХ в полосе пропускания и с нулями в полосе задерживания.
Целью статьи является осуществление наилучшей аппроксимации частотных характеристик по неравномерности группового времени запаздывания, разработка оптимальных ARC-звеньев третьего порядка с нулями передачи и методики расчета их параметров для фильтровых устройств с расширенным частотным и динамическим диапазонами.
Таблица 1. Коэффициенты Z-полиномов с наименьшей неравномерностью ГВЗ
Затухание в полосе задерживания ат|п, дБ
30 35 40 45 50 55 60
6-й порядок (m = 2)
bÜ1 1,2873 1,2691 1,2552 1,2271 1,2051 1,1591 1,1384
bn 0,3981 0,3872 0,3853 0,5004 0,5222 0,5252 0,5351
b02 1,1664 1,0513 0,9661 1,0832 1,0683 1,0593 1,0489
b12 0,9855 0,9933 0,9944 1,1251 1,1643 1,2172 1,2509
b 1,5911 1,4374 1,3221 1,3313 1,2831 1,2501 1,2233
wz1 1,3511 1,4141 1,4923 1,6533 1,7862 1,9281 2,0961
wz2 1,8662 1,9543 2,0671 2,3242 2,5183 2,7273 2,9688
КП при 8max = 3 дБ 1,31 1,37 1,44 1,59 1,72 1,86 2,02
*гр
4,4 4,3 4,1 3,5 3,3 3,2 3,1
1 9-й порядок (m = 3)
b01 1,4201 1,3361 1,2482 1,2211 1,1818 1,1432 1,1371
bii 1,0678 1,0818 1,1291 1,2053 1,3532 1,3902 1,4382
b02 1,3002 1,2962 1,2814 1,2382 1,2032 1,2001 1,1934
b12 0,6241 0,6764 0,6852 0,6981 0,6351 0,6892 0,7004
b03 1,0663 1,1081 1,1127 1,1203 1,0971 1,0671 1,0961
b13 0,1522 0,1822 0,2067 0,2337 0,2791 0,2863 0,3302
b 2,1012 1,9100 1,7653 1,6712 1,6381 1,5751 1,5369
wz1 1,1359 1,1833 1,2252 1,2752 1,3291 1,3861 1,4679
wz2 1,2957 1,3512 1,4001 1,4603 1,5271 1,5981 1,6961
wz3 1,8489 1,9214 1,9903 2,0851 2,1963 2,3032 2,4462
КП при атах = 3 дБ 1,12 1,16 1,21 1,26 1,31 1,37 1,44
Atrn 14,7 11,5 10,5 9,5 9,0 8,7 7,5
Построение передаточных функций в виде множителей третьего порядка с наименьшей неравномерностью группового времени запаздывания
Для того чтобы построить фильтр на основе каскадного соединения звеньев третьего порядка, необходимо вначале требуемую характеристику аппроксимировать физически реализуемой функцией в виде множителей третьего порядка:
М(р2+ ЮІ)... (р2+ (йуЫ)
Н(р) = -¡¡т^———, (1)
\[(рЧрга2і+раи+а^
¡=1
где p = ja — комплексный оператор; М — постоянный множитель; aZi — частота нуля; а^ — коэффициенты аппроксимирующих полиномов; m — число множителей третьего порядка.
Задача аппроксимации сводится в этом случае к определению коэффициентов передаточной функции (1) по заданным требованиям к частотным характеристикам фильтра.
Классических методов решения задачи аппроксимации в виде множителей третьего порядка не существует. В работе [5] решена задача равноволновой аппроксимации с использованием минимаксного критерия близости:
min max
1 со
где сое 0... 1 — нормированная частота; A = {A0i, A1;, A2i} — вектор варьируемых параметров; 8н — допустимая величина неравномерности. Задача (2) решена в [5], где приведены значения коэффициентов аппроксимирующих Z-полиномов при n = 3, 6, 9, 12 для различных величин неравномерности характеристики затухания. Для осуществления максимально плоской аппроксимации с нулями передачи воспользуемся преобразова-
1-Я
а, А
<5„
(2)
нием полученных в [5] результатов на основе следующего выражения:
Х,±7'Ц =
Кп
1 Г ^ ^ .1 Г ^
у о.*/- у+- Щ
2 У V ч 2 У ^ ч
, (3)
где X, Оі — вещественная и мнимая части корней инверсных Z-полиномов, КП — коэффициент прямоугольности; а,, ю і — вещественная и мнимая части корней Z-полиномов; у — число, учитывающее неравномерность характеристики затухания.
В результате расчетов по формуле (3) получены инверсные Z-полиномы, коэффициенты которых приведены в таблице 1 для аппроксимирующих функций в виде произведения звеньев второго и первого порядков:
Я(А) = П
Л+со,
п
1
ы Л +АЬи+Ьш м А+Ь
где Ън, Ъ0, Ъ — коэффициенты аппроксимирующих полиномов; т — количество звеньев третьего порядка.
Коэффициенты множителей получены из (3) на основе равенств:
Ь і — 2Е(, Ь01 — Х2+О2,
Ьі = °Ьг =
: КП/Ь,
(4)
При необходимости коэффициенты множителей третьего порядка можно найти по формулам я2 ; = (Ъ+Ън), аи = (ЪЪ1;+Ъ0 ;), а0 ; = ЪхЪ0 . По заданным требованиям к граничным частотам затухания /¡¿^атах, /¡^■атш определяется соответствующий коэффициент прямоуголь-ности КП = // и по таблице 1 выбираются соответствующие значения коэффициентов. Например, для /, = 120 кГц, /к = 209 кГц, атах = 3 дБ, атах = 50 дБ находим КП = 1,72, и порядок функции п = 6. Далее записываем передаточную функцию в виде множителей третьего порядка (4.1).
В работе определены требуемые порядки классических аппроксимирующих полиномов и инверсных Z-полиномов и вычислено групповое время запаздывания. На рис. 1 представлены частотная зависимость группового времени запаздывания в полосе нормированных значений частот для различных аппроксимаций и заданных требований.
На графиках видно, что инверсные Z-полиномы дают наименьшую неравномерность группового времени запаздывания в полосе пропускания. Поэтому можно сделать вывод, что наиболее целесообразно с точки зрения устойчивости и неравномерности ГВЗ выбрать для построения передаточных функций фильтровых устройств инверсные Z-полиномы.
В соответствии с денормированием посредством подстановки Л = р/юж для приведенных требований к характеристикам фильтра получим (5).
Рис. 1. Частотная зависимость группового времени запаздывания в полосе нормированных значений частот
Таблица 2. Звенья третьего порядка, обеспечивающие требуемые характеристики и функции чувствительности
Вид фильтра
ФНЧ
ФВЧ
Расчетные соотношения
С1С3С4 + С1С3С5 + С3С4С5 = Й3, 0304(2^ + (^2) + (5(13 С5 = 02> Сі (2(3 г = Д[, ^2(3(5^ — ао,
(г((2((з)/(С3С5) = ю32, ( = (5, С3 + С4 + С5 = гС^,
(4 = Z ((2 + ($), 0'2 —
С2С3С52 — 03, СіС2С32 — 02, (3(4^1 + С2 + (25) — йр + *(5) = ао,
С4 — + С3),
(3 + (4 + (5 — С, (5 — т(-3,
С — тС$, С — С5, ((^/(СС — (0.2, т, г> 0.
Я(Л) =
Л2+1,78622
Л2+2,51832
Л3+Л2х 1,8048+Лх 1,8743+1,5451 Л3х2,4463+Л2х2,5608+Лх 1,3702
(4.1)
г > 0.
Н(р) =
1,2x10^+55,116 x10і'
/+/72х2,166х105+^х2,699х1010+2,67хЮ10
1,2х105х/>+1,096 x10і'
У+/>2х2,936х105+/>3х688х1010+2,368хЮ10
(5)
Результаты вычисления характеристики по выражению (5) представлены на рис. 2, по этим результатам видно, что требования к характеристике затухания выполняются.
В тех случаях, когда требуется построение фильтра верхних частот по коэффициенту прямоугольности КП — fk/f¡в, определяются коэффициенты аппроксимирующих полиномов фильтра нижних частот для такого же коэффициента прямоугольности и производится денормирование посредством замены комплексного оператора Л — ю^/р.
Реализация фильтровых устройств на АРС-звеньях третьего порядка
Для реализации ARC-звеньев третьего порядка предлагается метод раздельного формирования коэффициентов RC-ветвями [5] модифицированного моста третьего порядка (рис. 3).
Н(р) =
Чр) . /(р)
КЛ(.Р)
где Д(р) — определитель пассивной части, -Р0(р) — сумма передач от входа цепи к входам усилителей, Р1 (р) — сумма передач путей обратной связи с выхода на вход перво-
го усилителя, Р2(р) — сумма передач путей обратной связи с выхода на вход второго усилителя. Минимизация функций чувствительности Г = ЗН(1ю)К1 осуществляется путем минимизации разности Д'ю)-^^'»)! и выбором коэффициента усиления К2^ю. Схема звена ФНЧ формируется на основе RC-моста третьего порядка, а звена ФВЧ — на основе замены Gio■Ci. В таблице 2 представлены звенья третьего порядка, обеспечивающие
требуемые характеристики и функции чувствительности тахГ1(ю)+тахГ2(ю) < 2 и соответствующие им соотношения для расчета параметров элементов.
В работе [5] доказана связь частотного и динамического диапазонов с функциями чувствительности передаточных функций к отклонениям параметров усилителей (Г ) и определены расчетные соотношения для параметров элементов, обеспечивающие минимизацию этой чувствительности.
Результаты расчета параметров элементов для выдвинутых требований к ФНЧ в нормированном виде представлены в таблице 3.
После проведения денормирования и замены расчетных значений параметров
Применение простой RC-цепи третьего порядка (число емкостей равно трем) не позволяет минимизировать до предельно низких значений чувствительности передаточных функций к отклонениям параметров элементов [5], поэтому используется RC-цепь с мостами третьего и второго порядков.
В работах [1, 5] доказано, что для минимизации функций чувствительности в пространстве структур необходимо использование последовательной пары усилителей (рис. 4а) или пары с общим входом (рис. 4б).
В рамках таких структур имеется возможность построения оптимальных топологий звеньев, обеспечивающих минимизацию функций чувствительности.
Схемы описываются передаточной функцией:
А(Р)-КА(Р)~К2Р2(Р)
(6)
и
О----------- 1?С ►
-о о--------------------- 1*С
И
-о о-
Рис. 4. а) Последовательная пара усилителей; б) пара усилителей с общим входом
Рис. 5. Схема полученного ФНЧ шестого порядка
Таблица 3. Результаты расчета параметров элементов ФНЧ в нормированном виде
Нормированные значения номиналов
1-го звена 2-го звена
С,, = 0,538 С12 = 0,583
С21 = 9,49 С22 = 11,474
С31 = 0,729 С32 = 0,878
С4, = 0,522 С42 = 0,271
С51 = 2,03 С52 = 1,147
G11 = 0,288 G12 = 0,481
G21 = 5,291 G22 = 4,577
Gз1 = 3,742 Gз2 = 3,507
G41 = 2,171 G42 = 1,618
G51 = 0,288 G52 = 0,481
I, МКС 9
О 20 40 60 80 100 120 , к[-ц
Рис. 7. Результаты анализа группового времени запаздывания ФНЧ шестого порядка
номиналов значениями 1% ряда получим ФНЧ шестого порядка, представленный на рис. 5.
Результаты анализа характеристики затухания и испытаний по методу Монте-Карло приведены на рис. 6.
Из графика следует, что в рабочем диапазоне частот АЧХ мало чувствительна к отклонениям параметров элементов, но при этом заметно смещение нулей АЧХ (или всплесков затуханий).
Особенностью приведенной аппроксимации является возможность обеспечения наименьшей неравномерности группового времени запаздывания, что очень важно при использовании фильтровых устройств для обработки дискретных сигналов.
Результаты анализа группового времени запаздывания фильтра (рис. 5) представлены на рис. 7.
Неравномерность группового времени запаздывания в полосе пропускания составила 4,72 мкс. Экспериментальные результаты сов-
пали с рассчитанными, динамический диапазон составил 85 дБ в диапазоне частот до 1,2 МГц на операционных усилителях АД 482.
Заключение
Таким образом, при проектировании фильтровых устройств с расширенными частотным и динамическим диапазонами, а также с наименьшей неравномерностью группового времени запаздывания целесообразно использовать инверсные Z-полиномы и оптимальную реализацию ARC-звеньев третьего порядка на двух усилителях. ■
Литература
1. Змий Б. Ф. Вопросы оптимальной реализации АШС-звеньев второго порядка. Избирательные
системы с обратной связью. Вып. IV. Таганрог: ТРТИ, 1983.
2. Капустян В. И. Проектирование АШС-фильтров высокого порядка. М.: Радио и связь, 1986.
3. Масленников В. В., Сироткин А. П. Избирательные ШС-усилители. М.: Радио и связь, 1986.
4. Букашкин С. А., Власов В. П., Змий Б. Ф. и др. Справочник по расчету и проектированию АШС-схем / Под ред. А. А. Ланнэ. М.: Радио и связь, 1984.
5. Змий Б. Ф. Синтез линейных устройств обработки сигналов на активных звеньях высших порядков. Воронеж: ВАИУ, 2008.
6. Антипенский Р. В., Змий Б. Ф. Выбор метода аппроксимации частотных характеристик фильтровых устройств // Компоненты и технологии. 2008. № 10.
7. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров / Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
