Проектирование симметричных полосовых фильтров и развязанных резонансных звеньев Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Павел МИХАЛЕВ

Постановка задачи проектирования полосового фильтра

Задача проектирования полосового фильтра (ПФ) задается, как правило, параметрами амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), представленной в обобщенном виде на рис. 1.

Данная АЧХ характеризуется следующими параметрами:

• юНП, аВП — соответственно нижняя и верхняя границы полосы пропускания;

• X — величина допустимой неравномерности АЧХ ПФ в пределах полосы пропускания;

• юНЗ, аВЗ — соответственно нижняя и верхняя границы зон задерживания;

• ю0 — средняя частота полосы пропускания;

• КНЗ, КВЗ — соответственно нижнее и верхнее значение коэффициента передачи в зонах задерживания.

Если величина отношения ^п/Нп<5, то такой ПФ относится к классу узкополосных. Его оптимальная реализация с точки зрения минимально необходимого числа элементов строится в виде каскадного соединения развязанных резонансных звеньев (контуров). Очевидно, что это предопределяет полино-

0 (!)НЗ а)нп “о (;)вп ЮВЗ (0

Рис. 1. АЧХ полосового фильтра в терминах обобщенных параметров

Проектирование симметричных полосовых фильтров

из развязанных резонансных звеньев

В статье приводится методика расчета полосовых фильтров с симметричной АЧХ полиномиального типа Баттерворта и Чебышева в виде каскадного соединения развязанных резонансных звеньев. Методика рассчитана на произвольные параметры задаваемой АЧХ. При реализации могут быть использованы звенья любой схемотехники. Приведены примеры наиболее популярных схем звеньев и даны методы их расчета.

миальный характер реализуемой АЧХ. Такие ПФ называют симметричными полосовыми фильтрами (СПФ). Симметричность АЧХ в данном случае подразумевается в геометрическом смысле и определяется выполнением следующих условий:

®0 = ^Нп^ВП = ^Юнзх®ВЗ, (1)

КНЗ = КВЗ- (2)

Простейшим СПФ является резонансное звено 2-го порядка, передаточная функция которого имеет вид:

j—хсі №

П/ю) = м----------^-----,-, (3)

Л .СО ,00

1+у—Х6?------5-

®0 ®0

где М — масштабный множитель (коэффициент плоского усиления); і — затухание, величина, обратная добротности резонансного контура:

1/і = = ©о/(®вп — ®нп) = (4)

Здесь ширина полосы пропускания (^П-НП) определяется по уровню 0,707 (-3 дБ).

Решение задачи аппроксимации — определение параметров передаточной функции — производят через ФНЧ-прототип. Для этого передаточную функцию ПФ преобразуют с помощью реактансного (частотного) преобразования в передаточную функцию ФНЧ-прототипа. Покажем этот переход на примере передаточной функции одиночного резонансного контура. Для этого разделим числитель и знаменатель выражения (3) на числитель, в результате чего получим:

Введем в рассмотрение новую переменную, называемую относительной расстройкой:

У = (ю/ю0)-(ю0/ю). (6)

Данное выражение и описывает реактанс-ное, или частотное преобразование.

В результате такого перехода к новой переменной передаточная функция резонансного конура второго порядка (5) преобразуется в передаточную функцию ФНЧ-прото-типа первого порядка:

Г(]У = M(1/(1+jQУ)). (7)

Таким образом, формально решение задачи проектирования СПФ в виде каскадного соединения развязанных резонансных контуров сводится на первом этапе к определению порядка передаточной функции ФНЧ-прототипа, что с учетом билинейного характера частотного преобразования (6) определяет требуемое число резонансных контуров, а также добротностей и частот настроек контуров. На втором этапе реализации осуществляется выбор схемы резонансного звена и рассчитываются по соответствующим методикам величины его элементов.

Рассмотрим методику решения первой задачи, ограничиваясь полиномиальными АЧХ чебышевского и баттервортовского типов. Полиномиальные АЧХ характеризуются монотонным характером спада за пределами полосы пропускания. В пределах полосы пропускания чебышевская АЧХ имеет равноволновый колебательный характер, а баттервор-товская — монотонный.

Порядок расчета чебышевского СПФ

Порядок расчета СПФ, заданного параметрами АЧХ (рис. 1), может быть представлен в виде следующего вычислительного алгоритма.

1. Производится симметризация (в геометрическом смысле) заданных граничных частот АЧХ из условия выполнения соотношения (1).

Примечание. Если строго задана центральная частота и ширина полосы пропускания, то одна из границ полосы уточняется в соответствии с равенством (1). Если же строго задана только ширина полосы пропускания, то точно вычисляется значение центральной частоты, и при выбранном значении аНЗ или аВЗ вычисляется другая частота границ зон задерживания. Как правило, за исходное значение принимается аВЗ. Тогда:

®НЗ

- ®02/®ВЗ.

1п

п>-

1 -к2вз ,1

І2ХКІ3 Ч ч ■5*1 гч

1п(^дз+х/^ю Ї)

Примечание. Если выполняются условия: КВЗ ^ 1; X ^ 1, то можно вместо (14) воспользоваться упрощенной формулой:

п>

Л —ТС

0 3+1а вз

(^83 +ЛІ^ВЗ ~ О

(15)

Возникающая при этом ошибка не превышает 0,6% даже при КВЗ = 0,3 и X = 0,3.

5. Уточняется величина КВЗ вследствие округления п:

кв

1

о,5Х(авз+^Р\)\\

:. (16)

(8)

2. Осуществляется переход к параметрам АЧХ ФНЧ-прототипа на основе частотного преобразования (6):

¥вп = (®ВП/ШоНЮо/Ювп). (9)

¥вз = (швз/©о)-(шо/швз)- (10)

Очевидно, что при этом преобразовании будет выполняться следующее условие:

¥вз = Кз/©0)-(ш0/шВЗ) = -^НЗ =

= (©ЯЗ/®0)-(®0/®НЗ)- (11)

3. Осуществляется переход к нормированной частоте АЧХ ФНЧ-прототипа:

о = ¥/¥Вп. (12)

При этом получим:

°ВП = ^ВП/^ВП = 1 °ВЗ = ^вз/^вп- (13)

4. Определяется порядок ФНЧ-прототипа — количество необходимых резонансных контуров. Фактически здесь определяется порядок полинома Чебышева, использующегося для аппроксимации АЧХ ФНЧ-про-тотипа.

е=>№+1г'+х

\2

(14)

Знак неравенства в данном выражении предполагает округление получаемой величины до ближайшего большего целого числа. Очевидно, что такое округление предопределяет образование некоторого «запаса» по величине КВЗ или ОВЗ по сравнению с исходно заданными значениями.

Е = Ч\

2(1+А.)

(23)

Возникающая при таком упрощении ошибка может быть оценена следующими примерами:

• при X = 0,1- ЪЕ = 0,1%;

• при X = 0,3-ЪЕ = 0,5%.

8. Определяются параметры (частоты настроек и добротность) двух симметрично расстроенных резонансных контуров СПФ, соответствующих звену второго порядка ФНЧ-прототипа.

Значение добротности определяется следующим выражением:

А+-

7

1вп

2йГ

+

Л+р-

1вп

\2

Ж

г] хУ

ац Х 1 ВЦ

.(24)

Примечание. Уточнение величины КВЗ предполагает сохранение неизменными величин X и ПВЗ. Но если неизменными величинами считать X и КВЗ, то уточнять следует величину ПВЗ. Для этого необходимо решить уравнение:

ОВЗ = (а2+1)/2а; где а = (((Шв2з)-1)/(0,5xX))2n. (17)

6. Определяется число звеньев ФНЧ-прото-типа:

Примечание. Звено первого порядка ФНЧ-прототипа соответствует одиночному резонансному контуру СПФ, настроенному на частоту ю0. Звено второго порядка ФНЧ-про-тотипа соответствует двум резонансным контурам СПФ с одинаковой добротностью, симметрично расстроенным влево и вправо относительно ю0.

7. Определяются параметры звеньев второго порядка ФНЧ-прототипа:

= 2Б Бт^), (18)

Лч = В2 с082(у?)+О2 б1п2(^?), (19)

В = 0,5(Е+1/Е), Б = 0,5(Е-1/Е), (20)

-1, (21)

Частоты настроек определяются согласно

= X ^ ®Р?= ®о/хч> (25)

Хв = 0,5хdqQqУвп+V(0,5xіqQqУвп)2 1- (26)

9. Определяются параметры резонансного контура, соответствующего звену первого порядка ФНЧ-прототипа. Частота настройки этого контура равна центральной частоте СПФ — ю0, а его добротность определяется соотношением:

(27)

= (п/2п)х[1+2(к-1)], к = 1, 2, ... 2п. (22)

Фактически значения углов определяются только для первого квадранта.

Примечание. Если выполняется условие X ^ 1, тогда вместо (21) можно воспользоваться упрощенной формулой:

Примечание. Если проектируемый СПФяв-ляется узкополосным, то есть если выполняется условие

®ВП/©НП — l,2■■■l,25,

тогда при расчете добротности и частот настроек пары расстроенных контуров вместо формул (24) и (26) можно использовать упрощенные выражения:

Qq = (Хч/Увп)х(1/(В 8т(^)); (28)

Х^ = 1+0,5 УвпВ соб(^?)- (29)

Порядок расчета баттервортовского СПФ

Расчет баттервортовского СПФ, АЧХ которого имеет монотонный характер в пределах полосы пропускания, в целом аналогичен рассмотренному выше. Отличие обусловлено лишь двумя обстоятельствами. Во-первых, решение задачи аппроксимации основано на применении полиномов Бат-терворта. Поэтому порядок фильтра определяется иным выражением. Во-вторых, АЧХ баттервортовского ФНЧ-прототипа формально имеет неизменную величину неравномерности в полосе пропускания -3 дБ. Тем не менее, СПФ с баттервортовской АЧХ можно рассчитать для произвольного значения неравномерности. Все это отражено в приводимом далее порядке расчета, который основан на задании параметров АЧХ СПФ в виде рис. 1.

1. В соответствии с (1) производится симметризация частотных параметров:

Ю0

= V®

'впХ®нп

= V®

взх®нз :

= V®

ВП*хшНП*'

(30)

Здесь введены две частоты, определяющие границы полосы пропускания для произвольного значения неравномерности X (помечены значком *). Частоты тНПи тВПопределены для неравномерности -3 дБ (X = 0,293).

2. Переход к параметрам АЧХ ФНЧ-прототи-па осуществляется аналогично предыдущему, за тем исключением, что в данном случае вычисляем

Увп* = (ЮвП*/®0)-(®0/®ВП*)- (31)

Далее — по формулам (10), (13).

3. Определение порядка ФНЧ-прототипа (числа резонансных контуров) производится в данном случае по следующей формуле:

ґі -к£

п > 0,5х-

2 ХКІ

ІІ

Гу ^ *вз

у*

\вп;

Здесь также знак неравенства предполагает округление до ближайшего большего целого числа.

4. Уточнение величины КВЗ вследствие округления п:

Кв,

1

При каскадировании следует располагать звенья в порядке нарастания величины их добротности.

Вторым этапом проектирования СПФ является выбор схемы резонансного звена и расчет величин его элементов по заданным значениям добротности и частоты настройки.

Резонансные АИС-звенья подразделяются на низкодобротные (Q < 5), среднедобротные (Ю < 20) и высокодобротные (Ю > 20). Количество схемотехнических решений резонансных звеньев достаточно велико и насчитывает много десятков известных вариантов, построенных по различной идеологии [1-3]. В рамках данной работы ограничимся лишь несколькими примерами практических схем звеньев.

Низкодобротное резонансное звено на ОУ с отрицательной обратной связью [3]

Схема звена приведена на рис. 3.

(32)

(33)

Коэффициент передачи звена имеет вид, аналогичный выражению (3):

Дальнейший порядок расчета полностью соответствует приведенному выше чебышев-скому варианту СПФ: пункты 6, 7, 8, 9 сохраняются полностью с одним уточнением, связанным с необходимостью для данных пунктов вычисления значения УВП для X = 0,293 (-3 дБ) в соответствии с выражением:

7*

V — ВП ,

вп~^. (34)

Резонансные ARC-звенья и их расчет

В результате расчета по приведенной выше методике определено требуемое число резонансных контуров и их параметры: добротности и частоты настроек. Иными словами, полностью определена структура СПФ в виде рис. 2.

Т(М = -Мх-

7----ХСІ

, .со ,00 1+7—хс?—ї

(35)

оо„

ОД

Для случая равноемкостного варианта схемы С1 = С2 = С основные параметры звена определяются следующими соотношениями:

• частота настройки:

®0

1^гхЯ3хС 2; добротность:

Q = 1/і = 0,5^^;

(36)

(37)

Расчет схемы сводится к определению величин элементов по заданным значениям Ю, М и ю0 = 2ге_/д.

Методика расчета в предположении идеальности ОУ состоит в следующем.

1. Из конструктивных и технологических соображений выбираем величину емкости С.

2. На основе выражения (36) вычисляем вспомогательную величину а:

= уГхЕ3 = 1/(®охС).

Затем вычисляем:

Я3 = 2Qа, г = а/ Q.

3. Вычисляем:

Яі = (г/M)x2Q, Я2 = (Я1Хг)/(Я!-г).

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

Замечание: при неудачном выборе величины С последнее выражение может дать отрицательную величину сопротивления Я2. В этом случае следует вернуться на шаг №1 и выбрать другое значение С.

Резонансное звено на основе обобщенного конвертора импеданса Схема звена, приведенная на рис. 4, позволяет реализовать резонансную характеристику с добротностью от единиц до двух сотен в диапазоне частот до 1 МГц в зависимости от типа используемых ОУ [4].

• масштабный множитель (коэффициент плоского усиления):

М = ^2/(^!+^2)х2Ю2= (т/К1)х2Ю2. (38) В этих выражениях

г = (Я^ЖЯ^)- (39)

Отметим, что величина плоского усиления в данной схеме прямо пропорциональна квадрату добротности.

Рис. 4. Резонансное звено на обобщенном конверторе импеданса

Передаточная функция звена имеет вид (3),

где:

• масштабный множитель (коэффициент плоского усиления):

М = 1+(Ях/Ян); частота настройки (резонанса):

соп =

1

СхС^х/^х^х—

(45)

(46)

а

1*1

Рис. 5. Схема универсального звена второго порядка

• добротность:

е=Д4£х

я

С3

(47)

Поскольку частота настройки не зависит от Я, изменяя его, можно изменять добротность при сохранении неизменными значений частоты.

Порядок расчета звена в предположении идеальности ОУ состоит в следующем.

Задано: М, Q, ю0. Полагаем С3 = С — равноемкостный вариант.

1. Вычисляем вспомогательный параметр в:

в = М-1.

(48)

2. Вычисляем оценочную величину резистора Я2:

Я2 = 1/(®охС). (49)

Полученное значение округляем до ближайшего удобного номинала из ряда.

3. Рассчитываем вспомогательную величину г

г = Vв/(ю0xC)

4. Вычисляем:

К-4 = Г г/Я2,

Я = Q (г^в).

(50)

(51)

(52)

5. Резисторы Я1 и Ян входят в выражения (45-47) своим отношением. Поэтому далее выбираем Я1 из ряда номиналов величиной, близкой к величине Я2, и затем определяем Ян:

Я» = Яі/Р.

(53)

Данная схема в зависимости от точки съема выходного сигнала реализует передаточную функцию резонансного контура (ВЫХ ПФ) или два варианта передаточной функции ФНЧ второго порядка (соответственно ВЫХ НЧ1 и ВЫХ НЧ2), которые различаются видом коэффициента числителя передаточной функции. Реализуемые звеном передаточные функции имеют соответственно следующий вид:

ГпфС/ю) = М1((;(ю/®0)х^)/(Р(;ю))); (54) ТНЧ1(]&) = М2 (1/(Р(У©))); (55)

ТНЧ2(]<Л) = Мэ(1/(Р (/ю))); (56)

где:

• Р(;ю) = 1+;(ю/ю0)х^-(ю2/ю02) (57) — полином знаменателя второго порядка;

• ю0 = 1/ЯС (58) — частота настройки звена (для ПФ — это частота резонанса);

• й = Я/Я6 = 1/Ю (59) — затухание звена, величина, обратная добротности.

Частота настройки и затухание определены при условии равнономинальности:

• С1 = С2 = С;

• Я1 = Я2 = Я3 = Я4 = Я5 = Я;

• масштабный множитель ПФ —

М1 = Я6/Я3; (60)

• масштабный множитель ФНЧ-1 —

М2 = (Я1хй4)/(й3хй5); (61)

• масштабный множитель ФНЧ-2 —

М3 = Я1/Я3. (62)

Порядок расчета звена ПФ для данной схемы сводится к следующей процедуре:

• задано М, Ю, ю0 = 2ге/0;

• выбираем из конструктивных и/или технологических соображений величину емкости конденсатора С (желательно из ряда номиналов);

• вычисляем на основе (58) величину Я:

Универсальное звено второго порядка

Другой схемой высокодобротного резонансного звена является универсальное звено второго порядка, реализованного на основании метода аналогового моделирования (рис. 5) [1].

Я = 1/2л/0С;

(63)

на основе (59) вычисляем величину сопро-

тивления Я

Я6 = ЯxQ;

(64)

• на основе (60) вычисляем Я3:

Я3 = Я6/М = Я^/М). (65)

Примечание. Универсальные звеньярассмо-тренного типа в настоящее время выпускаются в виде микросхем рядом фирм, производящих микросхемы. Примером могут служит микросхемы фирмы МАХІМ МАХ274, МАХ275. Микросхема МАХ274 содержит в одном корпусе два звена второго порядка, каждое из которых позволяет реализовать звено ФНЧ-2 или резонансное звено ПФ-2. Микросхема МАХ275 содержит в одном корпусе четыре таких универсальных звена.

Подробную информацию об этих и других микросхемах активных фильтров можно найти на сайте данной фирмы [5].

Активное LCR-звено резонансного контура второго порядка

При реализации СПФ, предназначенного для работы в области достаточно высоких частот — сотни килогерц, единицы мегагерц, требующих к тому же больших значений добротности составляющих резонансных контуров, вполне допустимо применение катушек индуктивности. Для таких частот современная промышленность выпускает широкий ассортимент готовых индуктивных компонентов с весьма высокими показателями, малыми габаритами (выпускаются даже катушки для поверхностного монтажа) и относительно низкой стоимостью.

Простейшим примером реализации резонансного контура в этом случае может служить схема, приведенная на рис. 6.

Передаточная функция данного звена имеет вид (3).

Частота настройки определяется параметрами 1С-резонансного контура:

®0 = 2л/0 = 1/^1С. (66)

Добротность резонансного контура есть отношение сопротивления Я1 и характеристического сопротивления р:

Q = Я/р = Я/<ІІС. (67)

Усилитель на ОУ выполняет роль буферного усилителя для обеспечения развязки при каскадном включении таких звеньев. Кроме того, он может использоваться как масштабный усилитель, причем результирующий коэффициент усиления фильтра в целом можно распределить между всеми входящими в фильтр усилительными фрагментами.

Коэффициент усиления отдельного усилителя в звене и, следовательно, масштабный множитель данного звена не влияет ни на частоту настройки, ни на добротность и определяется простым соотношением:

К = 1+Я3/Я2. (68)

Заключение

Предложенная в статье методика, основанная на развитии идей, заложенных в работе [6], представляет собой хорошо алгоритмизированную последовательность простых вычислений. Вычислительная процедура легко реализуется в пакете “MathCAD” и позволяет определять с высокой точностью основные параметры резонансных контуров (частоты настроек и добротности) практически для любого порядка СПФ с полиномиальными АЧХ. Ограничения налагаются только на величину максимальной добротности требуемого резонансного контура, поскольку это определяется реализационными возможностями выбираемой схемотехники.

В приложении 1 приведен пример расчета чебышевского СПФ 6-го порядка, реализованный в пакете “MathCAD 2001”, который можно найти на сайте журнала http://www. e.ru/assets/rasschetChebyshevsky.mcd.

Приведенные примеры реализации резонансных контуров сопровождены методиками расчета элементов схем по вычисленным добротностям и частотам настроек контуров. При этом выбор схемы и изначально задаваемых величин элементов схем может быть произвольным, что позволяет при многовариантном расчете получить наиболее оптимальную реализацию в смысле соотношения величин элементов и их абсолютных значе-шт. ■

Литература

1. Хейнлейн В. Е., Холмс В. Х. Активные фильтры для интегральных схем. М.: Связь, 1980.

2. Справочник по расчету и проектированию АИС-схем / Под ред. проф. А. А. Ланнэ. М.: Радио и связь, 1984.

3. Мошитц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.: Мир, 1984.

4. Коротков А. С., Михалев П. Г. А. с. 1385260 (СССР). Полосовой активный ИС-фильтр // БИ. 1988. № 12.

5. www.maxim-ic.com

6. Славский Г. Н. Активные ИС- и ИСХ-фильтры и избирательные усилители. М.: Связь, 1966.