Построение электронных траекторий в эмиссионной системе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 10. 2010. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 537.533.2

А. Ю. Антонов, Н. С. Демченко

ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТРАЕКТОРИЙ В ЭМИССИОННОЙ СИСТЕМЕ

1. Введение. Рассмотрим эмиссионную систему, состоящую из катода и анода. При подаче достаточного напряжения на электроды в прикатодной области можно добиться такой высокой напряженности поля, что будет наблюдаться полевая электронная эмиссия - процесс, не требующий дополнительных затрат энергии на возбуждение электронов, как это происходит при фотоэмиссии или термоэмиссии [1]. Энергетический спектр электронов полевой эмиссии достаточно узок, что позволяет считать его моноэнергети-ческим. Полевые источники электронов практически безынерционны. Перечисленные достоинства делают катоды, работающие на туннельном эффекте, перспективным инструментом для исследования разного рода явлений.

Геометрические размеры диодной системы могут быть весьма разнообразными. Если расстояние между катодом и анодом много больше дебройлевской длины волны электрона, то справедливо провести постановку задачи построения траекторий электронов, покидающих катод. Такая задача представляется актуальной по нескольким причинам. Траектории дают представление о распределении объемного заряда в меж-электродном пространстве, который может влиять на сам процесс эмиссии, а также о транспортирующей способности эмиссионной системы. Рассчитанные электронные траектории позволяют получить распределение тока по коллектору, что дает возможность моделировать эмиссионные изображения. Эта информация полезна также для изучения влияния температурных градиентов на процесс старения вещества анода.

2. Математическая модель. Для того чтобы электроны покинули катод в процессе полевой электронной эмиссии, требуются поля, напряженность E которых составляет величину порядка 109 В/м. Для этого полевые эмиттеры выполняют в форме острий или лезвий, достигая за счет большой кривизны требуемых значений E при относительно небольших напряжениях между электродами. Идеализированную

Антонов Андрей Юрьевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: около 20. Научные направления: эмиссионная электроника, математическое моделирование. E-mail: antonov_emsm@hotmail.com.

Демченко Наталья Сергеевна — студент 1-го курса магистратуры факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научные направления: эмиссионная электроника, математическое моделирование. E-mail: N.Demch@gmail.com.

© А.Ю. Антонов, Н.С. Демченко, 2010

поверхность электрода, не учитывающую особенности кристаллической структуры и возможные дефекты, можно описать с помощью функции двух переменных. Однако гораздо выгоднее использовать для описания математической модели эмиссионной системы координатные поверхности некоторой криволинейной системы координат, что значительно упрощает запись граничных условий и решение требуемых задач [2].

2.1. Система координат вытянутого эллипсоида вращения. Рассмотрим в качестве аппроксимации поверхности катода полость двуполостного гиперболоида вращения. Данная модель находит успешное применение в теоретических исследованиях [3, 4]. Уравнение такой поверхности удобно записать в координатах вытянутого эллипсоида вращения Л, ц, р, связь которых с декартовыми имеет вид [5]

{x = а0 sin ЛбЬ^ cos р, у = а0 sin ЛбЬ^ sin р, z = а0 cos ЛеЬ^,

где Л Е [0,п], ^ Е [0, го) и р Е [0, 2п).

Плоскостью z = 0, получающейся при Л = Ла = п/2, можно аппроксимировать анод. Остаются невыясненными координата поверхности катода Лс и фокусное расстояние а0. Они могут быть вычислены, если заданы расстояние d от анода до вершины острия и радиус кривизны r0 при вершине острия (рис. 1; d и r0 реальной эмиссионной системы могут быть определены экспериментально).

Z

I■... I■... I■... I ■ ... I ■ ... I ■ ... I ■ ... I ■ ... I ■ ... I

0 х

Рис. 1. К определению геометрических параметров катода

Средняя кривизна распределена по поверхности катода следующим образом:

1 2sin2Ac + shV /1Х

= W-ctg\c-— ------------7-372 • (!)

0 (sin Лс + sh jj)

Выражение (1) при j = 0 приравняем обратному значению радиуса кривизны на вершине катода:

Н(0) = = I

а0 sin Лс го

Расстояние от вершины катода до анода равно (полагаем, что Лс Е (0, Ла) - рассматриваем полупространство z ^ 0)

d = z |м=о = ао cos Лс.

Из получившихся уравнений находим

а0 = \]d(d + r0), Ас = arctg \Jr0/d.

Изначально в качестве параметров моделируемой эмиссионной системы были взяты следующие значения: d = 2 см, го = 1 мкм. С указанными параметрами система представляет собой классический полевой диод и позволяет рассматривать задачу построения электронных траекторий. Для ее решения и определения напряженности электрического поля вблизи острия необходимо иметь представление о распределении потенциальной энергии электрона в пространстве между катодом и анодом.

2.2. Распределение потенциала. Предположим, что в зазоре между электродами объемная концентрация электронов настолько мала, что распределение потенциала и подчиняется уравнению Лапласа Дм = 0 с граничными условиями

I 0, если Л = Лс,

и=

и0, если Л = Ла.

Решение такой краевой задачи получается разделением переменных [2]:

lntg^/2)

((Л) = uo

1 -

lntg^c/2)

(2)

Л Є [Ас,Аа]. Таким образом, потенциальная энергия электрона имеет вид и (А) = —еи(А), где е - элементарный заряд. Ее распределение в декартовых координатах представлено на рис. 2 для ио = 20 кВ. Легко понять, что эквипотенциальные поверхности в рассматриваемой задаче представляют собой также полости двуполостного гиперболоида вращения.

Градиент выражения (2), взятый со знаком «минус», дает значение напряженности электрического поля Е в межэлектродном пространстве:

руд N _ _____ио_______________1________

^ ао 1п(^(Ас/2) эт А^ізїї?~А~+^ї^

Электрон, попавший в зазор между катодом и анодом, оказывается в силовом поле —еЕ (рис. 3; ио = 20 кВ, эквипотенциальные линии проведены через 1 кВ). Направление поля вдоль вектора —вл говорит о том, что силовые линии поля получаются пересечением

Рис. 2. Распределение потенциальной энергии

-2 -1 О

Рис. 3. Эквипотенциали и силовое поле

плоскостей, проходящих через ось 0г, и эллипсоидов, т. е. являются дугами (четвертями) эллипсов с теми же фокусными расстояниями ао.

На поверхности катода (при Л = Ас) модуль напряженности

Е (М) =

ио

а08тЛс1пйё(Лс/2) ^іп2 Ас + вії V

(3)

Величина напряженности электрического поля на поверхности катода является определяющим фактором для полевой эмиссии электронов. Зависимость ее от криволинейной координаты 1± иллюстрирует рис. 4 для разных значений радиуса кривизны (0.5, 1.0 и 2.0 мкм) на вершине острия и при том же напряжении между катодом и анодом. Результаты показывают, что величина Е достаточно быстро убывает от вершины катода к его периферии. Экспоненциальная зависимость плотности эмиссионного тока от напряженности поля [1] приводит к тому, что существует некоторое предельное значение координаты ц для каждой конфигурации, которое отвечает границе эффективной об-

ласти эмиссии.

Рис. 4. Напряженность поля на поверхности катода

3. Расчет траекторий. После того, как все геометрические параметры математической модели эмиссионной системы определены, можно построить траектории электронов. В введенной криволинейной системе координат удобно воспользоваться уравнениями движения в форме Лагранжа. Это позволит при дальнейших исследованиях использовать энергетическое и угловое распределения электронов полевой эмиссии для постановки начальных условий с ненулевыми скоростями.

3.1. Запись уравнений Лагранжа. Запишем сначала уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы в обобщенных координатах [6]:

(I дЬ ві дд_і

дЬ

дді

= 0, і = 1,2,3,

1

где Ь - функция Лагранжа (кинетический потенциал), являющаяся разностью кинетической и потенциальной энергий:

2

Ь = \¥ — и = - и,

т - масса электрона.

Вектор скорости в выбранной системе координат связан с их производными посредством коэффициентов Ламе [6]

v = HXAex + HMjieM + Hv(pev; Их = H^ = a0\Jsin2 A + sh2 j, Hv = ao sin Ashy. Кинетическая энергия принимает следующий вид:

W =

2

(A2 + j2) (sin2 A + sh j + ф2 sin2 Ash j

Осталось выписать функцию Лагранжа:

L

2

(/A2 + j2) (sin2 A + sh2 j + ф2 sin2 Ash2 j

+ euo

1 -

In tg(A/2) lntg(Ac/2)

Проведя необходимое дифференцирование, можно записать систему уравнений движения в форме Лагранжа

A(sin2 A+sh2yU,) + A/ish2/x-|------------------------------------(X2 —/j,2— cp2sh2/л) = — -0 °,

ч2

In tg(Ac/2) sin A’

/i(sin2 A+sh2yU,) + A/i sin 2A+S ^ (jj2 — A2 — y>2 sin2 A) = 0, (sin2 Ash2 j+A(sin2Ash2j+ji( sin2 Ash2j = 0.

(4)

Приведем уравнения (4) к нормальной форме Коши. Для этого введем обозначение: (£ь£2, £з, £4, £5,£в) = (А, А, л, \1, ф, ф). Уравнения движения примут вид

а = 6,

£ (-1)

2 sin2£i+sh2£3

£3 = а £4 = 2(-1) 2 sin £i+sh £3 £5 = £б,

-1~-2

ЬС481126+22|«1(Й-Й-Й81г6)+

lntg(Ac/2) sin £i_

£2 £4 sin 2£i H------(£| - £| - £2 sin2 £1)

(5)

4Тб = -2£e

£2 ctg £1 + £4 cth £3

3.2. Выбор метода интегрирования. В ходе решения поставленной задачи была получена система уравнений (5), описывающая движение электронов, вылетающих с поверхности катода. Для ее решения разумно брать самостартующие (одношаговые) явные методы типа Рунге-Кутты. Для решения системы (5) реализованы решения задачи методами Рунге-Кутты с коэффициентами Дорманда-Принса

2

та

o

2

та

o

5-го и 8-го порядков на языке C++ [7]. Выбор такой реализации алгоритма построения траектории обусловлен тем обстоятельством, что конечная точка интегрирования системы (5), время t достижения электроном анода, неизвестна. Чтобы ее найти, метод интегрирования должен содержать непрерывное расширение, так называемую плотную выдачу (dense output) [8]. Сама процедура нахождения конечной точки интегрирования по заданному условию (z(t) = 0 или A(t) = Aa) носит название неявной выдачи. Семистадийный метод Дорманда-Принса rkdp54 был рассмотрен по причине свойства FSAL (first same as last), т. е. каждый раз результат последнего вычисления может быть использован на следующем шаге, как первая стадия. Таким образом, семистадийный метод Дорманда-Принса 5-го порядка ведет себя, как шестистадийный. Непрерывное расширение метода rkdp54 имеет 4-й порядок точности и не требует лишних вычислений правой части интегрируемой системы. Метод Дорманда-Принса 8-го порядка rkdp853 имеет 13 стадий и лишен особенности FSAL. Его непрерывное расширение имеет 7-й порядок и требует лишних трех вычислений правой части. У обоих методов минимизированы глобальные погрешности. Метод rkdp54 оценивает локальную погрешность вложенным методом 4-го порядка; rkdp853 делает то же двумя вложенными методами (3-го и 5-го порядков).

Проведя некоторые сравнительные вычисления, мы пришли к выводу, что для достижения одинаковой точности методу Дорманда-Принса 8-го порядка понадобилось меньше вычислений правой части, что показывает его преимущество, несмотря на большее количество стадий. Задача о нахождении времени t решалась методом дихотомии.

3.3. Сравнение электронных траекторий с силовыми линиями поля. На рис. 5 изображены траектория частицы, покинувшей катод с нулевой начальной скоростью, а также силовая линия поля, проведенная из той же точки. Для построения изображения были использованы параметры эмиссионной системы, соответствующие последней строчке табл. 1. Невооруженным глазом видно, что в этом случае траектории нельзя аппроксимировать силовыми линиями поля. Отметим, что в случае плоской или сферической геометрии диода силовые линии и траектории с нулевыми начальными скоростями совпадают.

В качестве параметра эмиссионной системы рассмотрим отношение радиуса кривизны катода ro к расстоянию между электродами d. Варьируя его, попытаемся определить условия, при которых возможна замена траекторий силовыми линиями в рассматриваемой системе. Одновременно важно следить за величиной напряженности на поверхности катода, поскольку при ее значениях порядка 1010 В/м в образце нарушается металлическая связь, что приводит к его разрушению [9].

Таблица 1. Погрешность замены траекторий силовыми линиями

d, мкм го, мкм ro/d /; г г || «о, кВ Погрешность, %

5.0 50.0 10.0 0.596 16.5 3.13

5.0 25.0 5.0 0.574 15.5 5.93

5.0 5.0 1.0 0.453 10.9 21.1

5.0 2.5 0.5 0.374 8.19 31.8

- \

■ ~ Ах V

Г ^ = Л ; х + Ах

1 \2

' 1 .... 1 .... 1 < > 1 . . . . 1 . . . < >

X Ах X

Рис. 5. Силовая линия поля (1) и траектория частицы (2)

Связь напряженности электрического поля с напряжением между катодом и анодом определяется формулой (3). Зафиксируем значение напряженности на вершине острия Е = 3.5 • 109 В/м (см. рис. 4). При использованных параметрах d = 2 см и го = 1 мкм эффективная граница области эмиссии (^тах = 0.005) соответствует уменьшению Е примерно в 1.2 раза [10]. Исходя из этой информации, будем при варьировании отношения г0 ^ пересчитывать напряжение и0 и граничное значение ^тах.

В табл. 1 приведена погрешность замены траекторий силовыми линиями, которая вычислялась как относительное отклонение силовой линии от крайней траектории при нулевых начальных скоростях. Рассматривалась конечная точка (Аа ,^тах, 0) - рис. 5. Расстояние между электродами - 5 мкм. Видно, что погрешность становится приемлемой только при г0^ = 10, что приводит нас к плоской геометрии системы.

В табл. 2 приведена погрешность замены траекторий силовыми линиями для систем с малыми значениями геометрических параметров. Принято считать, что напряженность поля, рассчитанная по формуле (3) для рассматриваемой формы катода, является адекватной только на расстоянии от поверхности более 3/4 размера атомных неровностей поверхности [11], что составляет около 1-2 нм [12]. Чтобы учесть усиление поля вблизи поверхности катода, напряженность поля, вычисленную по формуле (3), необходимо умножить на коэффициент усиления, равный 40 [13]. Таким образом, напряженность может быть принята равной 108 В/м, что после умножения на 40 дает на поверхности катода значение Е = 4.0 • 109 В/м. Как видно из табл. 2, ситуация принципиально не изменилась - погрешность по-прежнему принимает меньшие значения при увеличении отношения г0/d.

Таблица 2. Погрешность замены траекторий силовыми линиями (малые напряжения)

(1, мкм го, нм Г0/(1 /; г г || е о ГО Погрешность, %

2.0 20.0 0.01 0.0660 5.97 84.0

2.0 10.0 0.005 0.0468 3.34 88.2

2.0 5.0 0.0025 0.0331 1.84 91.4

1.0 20.0 0.02 0.0928 5.26 78.4

1.0 10.0 0.01 0.0660 2.98 84.0

1.0 5.0 0.005 0.0468 1.67 88.2

0.5 20.0 0.04 0.130 4.54 71.1

0.5 10.0 0.02 0.0928 2.63 78.4

0.5 5.0 0.01 0.0660 1.49 84.0

0.2 20.0 0.1 0.199 3.56 58.7

0.2 10.0 0.05 0.144 2.15 68.3

0.2 5.0 0.025 0.103 1.26 76.2

0.1 20.0 0.2 0.268 2.82 47.5

0.1 10.0 0.1 0.199 1.78 58.7

0.1 5.0 0.05 0.144 1.08 68.3

Проведенные расчеты показали, что проекции точки поверхности катода (Ас, ц, ц>) на анод с помощью силовых линий и траекторий будут отличаться не более чем в 2 раза при весьма неблагоприятных условиях. Добиться такого результата позволяет лишь увеличение радиуса кривизны катода, что приводит к необходимости повышения напряжения между катодом и анодом до нескольких сотен киловольт, что нежелательно. Вторым выходом из ситуации является уменьшение расстояния между катодом и анодом, что ослабляет ценность решения задачи о траекториях - при малых (менее долей микрометра) линейных размерах системы такую задачу надо решать методами квантовой механики.

4. Заключение. В работе была рассмотрена физическая модель диодной системы с металлическими электродами, на основе которой построена математическая модель с катодом в форме острия. В качестве идеализированной модели острия выбрана полость двуполостного гиперболоида вращения, анод - экран полевого эмиссионного микроскопа - был аппроксимирован плоскостью. Выбор математической модели позволил в координатах вытянутого эллипсоида вращения аналитически решить уравнение Лапласа - задачу о нахождении распределения потенциала в межэлектродном пространстве. Было установлено распределение модуля напряженности электрического поля по поверхности острия, играющее определяющую роль в процессе полевой электронной эмиссии. Наличие информации о потенциальной энергии позволило выписать уравнения движения частиц в обобщенных координатах - уравнения Лагранжа второго рода. Для решения полученной системы дифференциальных уравнений рассматривались численные методы с непрерывным расширением, благодаря которым с помощью интерполяционного многочлена была получена неизвестная конечная точка интегрирования (время достижения электроном анода). Подходящими были признаны мето ды Рунге-Кутты с коэффициентами Дорманда-Принса 5-го и 8-го порядков. Проведено сравнение траекторий с силовыми линиями электрического поля при различных значениях геометрических параметров системы.

По результатам работы можно сформулировать ряд выводов. Сравнительный анализ численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений показал преимущество метода Дорманда-Принса 8-го порядка, несмотря на большее количество стадий по отношению к методу 5-го порядка. Было выяснено,

что аппроксимация траекторий силовыми линиями возможна лишь при значительном увеличении радиуса кривизны катода, а это приводит к необходимости повышения напряжения между электродами до величины порядка сотни киловольт (при использованных нами геометрических параметрах). Практически такое решение проблемы невыгодно. Избежать использования высоких напряжений позволяет уменьшение расстояния между катодом и анодом, что, вообще говоря, способно сделать рассматриваемую задачу чисто квантово-механической.

Литература

1. Добрецов Л.Н., Гомоюнова М.В. Эмиссионная электроника. М.: Наука, 1966. 546 с.

2. Souza C.F.A., Andion N.P., de Castilho C.M. C. Electric potential and field near pointed shaped surfaces // Journal de Physique IV. 1996. Vol. 6, N 5. P. C5-55-C5-58.

3. Pan L.-H., Perdier V.J., Sullivan Th.E. Quantum filtering of electron emission from ultrasharp tips // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 71. P. 035345.

4. Yuasa K., Shimoi A., Ohba I., Oshima Ch. Modified Fowler—Nordheim field emission formulae from a nonplanar emitter model // Surf. Sci. 2002. Vol. 520. P. 18—28.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.

6. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999. 572 с.

7. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. 3rd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. 1256 p.

8. Hairer E., N0rsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations. I. Nonstiff Problems. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 2008. 528 p.

9. Батраков А.В., Попов С.А., Проскуровский Д.И. Наблюдение предвзрывного состояния начального момента взрыва автоэмиссионного центра в электронном проекторе // Письма в Журн. экспер. и теор. физики. 1998. Т. 67, вып. 4. С. 280-285.

10. Грибкова И. М. Математическое моделирование изображений в полевом электронном микроскопе // Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. Н.В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Изд. Дом С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 116-121.

11. Birdseye P.J., Smith D.A., Smith G.D.W. Analogue investigation of electric field distribution and ion trajectories in the field ion microscope // J. of Physics D: Applied Physics. 1974. Vol. 7. P. 1642-1651.

12. Forbes R. G, Edgcombe C. J., Valdre U. Some comments on models for field enhancement // Ultramicroscopy. 2003. Vol. 95. P. 57-65.

13. Татаренко Н.И., Кравченко В. Ф. Автоэмиссионные наноструктуры и приборы на их основе. М.: Физматлит, 2006. 192 с.

Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым.

Статья принята к печати 1 апреля 2010 г.