Построение динамической теории эластомерного слоя вариационным методом Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 10. 2010. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 539.3

В. М. Мальков, С. С. Колесникова

ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛАСТОМЕРНОГО СЛОЯ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ ЛАГРАНЖА*)

Введение. Эластомерные композитные конструкции, благодаря своим уникальным свойствам - механическим, технологическим и др., находят широкое применение в различных областях современной техники в качестве упругих шарниров и опор, амортизаторов и виброзащитных устройств, компенсаторов различного вида деформаций и т. д.

По многим параметрам - простоте конструкций, надежности, габаритам, стоимости и др. - эластомерные элементы превосходят традиционные системы того же назначения. Они позволяют находить принципиально новые конструктивные решения ответственных узлов современных технических систем (например, шарниры ракетных двигателей и вертолетов, антисейсмические опоры сооружений). Часто эти конструкции работают в условиях динамических нагрузок. Динамическому расчету эластомерного слоя и многослойных конструкций посвящено ограниченное число работ, двумерные динамические теории слоя до настоящего времени не разработаны. В основном рассматривались линейные задачи установившихся колебаний. После исключения временной переменной применялись те же методы решения уравнений, что и в статических задачах.

Цель работы - построение динамической теории эластомерного слоя вариационным методом Лагранжа с учетом предположения о малой толщине слоя по сравнению с другими геометрическими размерами, благодаря чему трехмерная нестационарная динамическая задача сводится к двумерной - интегрированию волнового уравнения для функции относительного приращения объема. Для частного случая гармонических колебаний сделано сопоставление с решением аналогичной задачи асимптотическим методом [1].

Расчет многих типов резинотехнических изделий проводят, используя предположение о несжимаемости материала. Такой подход оправдан для массивных деталей, оболочек и мембран. Деформация тонкого слоя резины в эластомерных элементах стеснена кинематическими граничными условиями на лицевых поверхностях, и гипотеза о несжимаемости оказывается неприменимой. Этот важный факт для теории

Мальков Вениамин Михайлович — профессор кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 3 монографии и более 85 статей. Научное направление: механика деформируемого твердого тела. E-mail: vmmalkov@apmath.spbu.ru.

Колесникова Светлана Сергеевна — магистр факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 1. Научное направление: механика деформируемого твердого тела. E-mail: vmmalkov@apmath.spbu.ru.

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы РФ (2009—2010 годы)» (проект № 4504) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00656).

© В.М. Мальков, С.С. Колесникова, 2010

и расчета слоя был установлен экспериментальным путем В. Кейсом [2] для сжатия плоского слоя и впоследствии получил подтверждение во многих работах.

1. Постановка задачи. Рассмотрим трехслойный резинометаллический элемент постоянной толщины. Металлические слои считаются жесткими. Поэтому изучается деформация только резинового слоя с недеформируемыми лицевыми поверхностями. Предположим, что отношение толщины слоя к характерному размеру в плане мало: £ = Н/Я << 1. Материал слоя считаем малосжимаемым - отношение модуля сдвига к модулю объемного сжатия О/К << 1. Дальше будем полагать, что О/К ~ е2. Такие же гипотезы использовались при получении статических уравнений эластомерного слоя [1]. Вводятся также ограничения на частоту колебаний. При высоких частотах колебаний появляется быстрая изменяемость деформированного состояния, и построение двумерной теории слоя становится невозможным. Более конкретно об ограничениях на частоту будет сказано позже. С помощью вариационного метода Лагранжа следует перейти от трехмерных динамических уравнений упругости к двумерным, учитывая принятые гипотезы. Этот метод применялся в работах К. Ф. Черныха и Л. В. Миля-ковой [3, 4] для статического случая задачи. Введем декартовы координаты (х,у,г). Верхнюю и нижнюю лицевые поверхности слоя обозначим соответственно 5 + и 5_, а боковую поверхность - Г. Исследуемый объект изображен на рис. 1.

Уравнения движения в перемещениях имеют вид

(Л + fi) grade + fiAU — pU" = 0, (1)

где U = Ue1 + Ve2 + Wn - вектор перемещений точки слоя; e = div U - относительное

изменение объема; p - плотность резины; Л, i - параметры Ляме.

Рассмотрим задачу растяжения-сжатия и изгиба слоя. С учетом того, что лицевые поверхности слоя не деформируются, граничные условия задачи для уравнений (1) будут такими:

S+ I U + = V + = 0, W + = a — xuy;

S- I U- = V- = W- = 0; (2)

Г і = p,

здесь a(t), uy(t) - вертикальное перемещение и поворот верхней поверхности слоя; av - вектор напряжений на площадке с нормалью v; p - внешняя нагрузка на боковой поверхности; U+, U- - смещения верхней и нижней поверхностей слоя.

Начальные условия зададим в виде

U|t=o = Uo, Ut |t=o = U0. (3)

бо

2. Редукция задачи вариационным методом Лагранжа. Чтобы свести поставленную задачу к задаче меньшей размерности, будем использовать принцип возможных перемещений Лагранжа. Согласно ему, сумма работ всех действующих на тело внутренних и внешних сил на любой системе возможных перемещений должна равняться нулю (силы инерции F = —р U" рассматриваем как массовые)

J SAdV = J F • SUdV + У q • SUdS.

У У 5

После преобразований получим

У [(А + л) grade + /лАи + F] • SU dV + J (аи — p) • SU dr = 0. (4)

у г

Введем безразмерную переменную по толщине слоя: Z = z/h, |Z| ^ 1/2.

Вектор перемещений точек слоя динамической задачи зададим в том же виде, который был применен при выводе статических уравнений слоя [1]:

и = Q + cj и+ + Q - cj U~ + Q - С2^ [«ei + ve2 + (wo + сW) е3]. (5)

Функции u, v, w, wo зависят от двух переменных (x, у) и являются искомыми.

Такой выбор перемещений обусловлен тем, что (5) удовлетворяют граничным условиям (2) на лицевых поверхностях слоя. Кроме того, выражение (5) было успешно

использовано ранее для получения статических уравнений слоя В. М. Мальковым [1], а также К. Ф. Черныхом и Л. В. Миляковой [3, 4].

Вариация вектора перемещений равна

SU = g(Z)[Su ei + Sv e2 + (Swo + ZSw) ез],

где g(Z) = (1/4 — Z2). Перемещения точек лицевых поверхностей слоя считаются заданными и не варьируются (точнее, их вариации равны нулю).

Приведем основные формулы, которые будем применять в дальнейшем. Закон Гука имеет вид

@ii Ае + 2|llGii, ffij fieij, (6)

e = ец + e22 + езз = div U. (7)

Запишем линейные компоненты деформации по формулам Коши

eii = U'x, e22 = Vy, езз = W'z,

ei2 = vx + uy, ei3 = uz + wx, e23 = vy + wy.

Введем следующие обозначения:

d2 d2 du dv

^0 о о о 2 7 Д Д *

dx2 dy2 dx dy

Используя выражение (5), вычислим деформацию e по формуле (7):

1 2Z 1

е = div U = -W+ + д(С) е0 - у (w0 + О) + -д(() w. (8)

Применив к уравнению (4) тот же метод преобразований, что и в [1], перейдем от объемного интеграла к повторным, затем приравняем к нулю коэффициенты при вариациях функций. В результате будем иметь четыре интеграла по переменной £ = г/к. После взятия этих интегралов получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными функциями переменных (х, у):

(Л + р) (Л + р)

1 део 1 ди)

10 дх 20Ь, дх

1 део 1 дги

10 ду 20 Ь, ду

1 л М 1 //

10м ~~ ь? и ~ \Ьриг

1 л Р 1 //

+ То"*0” “ ТГ ~ юп :

0,

(9)

(А + 2/х)- — рА0и)0 + р —

(Х + 2р)-^ + (А + м)т^ - и) + р = °-

Продифференцировав первое из уравнений (9) по х, а второе - по у и сложив их, после преобразований находим

(Л + м)

11

10 0 + ш ои)

1

+ Т7ТМлоео - -^-ео - —рео

1

10

к2

10

0.

(10)

Слагаемые рДо^о, р^о'1, рДо^, рш'1 в третьем и четвертом уравнениях (9) малы по сравнению с (Х/к2)то, (Х/к2)т, в дальнейшем будем ими пренебрегать:

(Х + 2р)-ф +р-\У+

(11)

0.

Рассмотрим первые два уравнения системы (9). Так как Доп ~ п/К2 и До« ~ ъ/К2, то слагаемые (1/10)^Доп и (1/10)^До« оказываются пренебрежимо малыми по сравнению со слагаемыми (р/к2)п и (р/к2)и соответственно. Опуская их, получим

(Л + м)

(Л + м)

1 део 1 дги

10 дх 20 к дх

1 део 1 ди)

10 ду 20 к ду

——^и----------ри'1 = 0,

к2 ИГ 4 ’

(12)

3. Преобразование уравнений. Из уравнений (11) находим

к(Л + м)е0 рк2Ш+

3(Л + 2/х) 6(Л + 2/х)’

——----------Ж+"

4(Л + 2/х) 4

л /г(А + /х)

= _з(лТад

Преобразуем уравнение (10) с учетом выражений (13):

6Д2

Д2Доео — 12сео = 2 (1 — 2г/)ео(/, (14)

где Ь = у/р/р - скорость поперечных волн (волн сдвига); с = С?Д2/(КЪ2).

Подставив функции (13) в формулу (8) и опустив малые слагаемые, определим связь между функциями е и ео

е = \ш+ + \е0. (15)

к6

Используя (15), уравнение (14) запишем так:

2 6Д2 ч .. 12с^ + 6Д2 ЧЖ+" , ч

Д Д0е - 12се - -^“(1 - 2г/)ег-----^ "5&2"1'1 “ ('16')

В уравнениях (12) сделаем замену переменных х = Д£, у = Д-ц и вместо функций т и ео возьмем выражения (13), (15). После пренебрежения малыми слагаемыми получим

к? п Д де к2 п Д де

" + ТоР Щ = 2сТе "+ШЪ'-=2сЖ]- (17)

Для функций т и то из (13) можно использовать приближенные выражения

кД2

6с

-Дое, то ~ 0. (18)

Формулы (18) не содержат дифференцирования по времени.

Рассмотрим статический случай задачи и сравним с полученным ранее в работе [1] результатом. Опустив в уравнениях (16), (17) слагаемые, содержащие производные по времени, имеем

12с

Д2Д0е — 12се =----— И^+, (19)

к

Д де Д де

“=2сЩ’ ” = (20)

Результаты (18)—(20) совпадают с уравнениями, полученными в работе [1] асимптотическим методом, что говорит о достоверности построенной модели.

4. Определение функций п и V. Для решения уравнений (17) воспользуемся

методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа). Начальные условия

для них зададим в виде

п(0) = по(£,п), п'(0) = по'а,п). (21)

^0) = Vо(£,n), ^(0) = (22)

Общие решения уравнений можно записать так:

п(Ь) = С1п1(г) + С2п2^Ь) + п*(*), (23)

где

,, ,, . (ъ^До '

и ЛЬ) = VI (І) = 8И1 -----і

V к /

.. .. (ЬлДо ^

и2{і) = У2{і) = сое I ——і

Символом «звездочка» отмечены частные решения уравнений (17). Найдем их методом вариации постоянных:

и* (і)

V* (і)

и2(і)

V2 (і)

Як

де ,

тттСЙ;

2 сЬл/ЇО д£

Як

де

— Л

2 сЬл/ЇО дг,і

иі(і) —

П(і) -

’ . . Як де 1

и\Щ--------—

П 2сЬл/ЇО д£

'и1(і)

Як

де

— Л

2 сЬл/ЇО дг,і

и2(і),

V2 (і).

Из начальных условий (21), (22) рассчитаем константы в решениях (23), (24):

и'0(^,п)к

Сі =

В =

Ьл/ЇО ’

^ (І,гп)к

С2 = и0(£,Г)).

В = vo(£,n)■

Ьл/10 ’

Заметим, что функции ио^о,и'о^0, которые участвуют в условиях (21) и (22), находятся из начальных условий исходной задачи (3), взятых на серединной поверхности слоя.

5. Вывод граничных и начальных условий. Определим условия на боковой поверхности для функции относительного изменения объема. Предположим, что граничные условия на боковой поверхности слоя имеют вид = ри, где р - нормальное давление. Используя те же преобразования поверхностного интеграла в формуле (4), что и в работе [1], придем к такому граничному условию для функции е:

Ке |г= р.

(25)

Начальные условия для уравнения (16) можно получить, воспользовавшись начальными условиями (22) и (23) для функций и и V и выражением (15):

е'(0) = 1^'+(0) + 1(^ + ^].

6 V дх

ду[

ду

(26)

Таким образом, трехмерная динамическая задача сведена к решению одного волнового уравнения (16) для функции относительного изменения объема с условием на границе (25) и начальными условиями (26). После решения уравнения (16) по формулам (23), (24) и (13) находятся соответственно искомые функции и^ад^о, затем перемещения (5) и напряжения (6).

І

І

е

6. Динамика эластомерного слоя в случае гармонических возмущений.

Рассмотрим решение динамической задачи теории слоя в случае гармонических колебаний. Зададим условия на верхней и нижней поверхностях слоя в виде

W + = (a — xuy) sin ut, W- = 0,

остальные перемещения лицевых поверхностей равны нулю. Положим также, что

e = с(х, y) sin ut.

После подстановки этих функций в уравнение (16) оно станет таким:

R2 /\qc — 12 се — —12с — (а — xujy\ h у

где

с = c(1 — 0,1k2), к =

hu

~Ь'

(27)

(28)

Решив уравнение (27), получим функцию с, а через нее можно найти все другие искомые функции.

В работе [1] показано, что применимость двумерной теории слоя имеет ограничение по частоте, которое сводится к неравенству к < п или и ^ пЬ/Н, причем выражение ио = пЬ/Н является низшей собственной частотой колебаний слоя. При этой частоте слой деформируется как несжимаемый, т. е. е = 0.

В работе [1] асимптотическим методом получено такое значение параметра с для случая гармонических колебаний:

с = ck2 /

121Ь4 -1

(29)

В ней также указано, что при малых величинах параметра к имеет место приближенная формула, в точности совпадающая с (28).

Рис. 2. Зависимость динамической жесткости от к

Сравним теперь параметры с, вычисленные по формулам (28), (29), и оценим малость к, при котором допустимо использование приближения (28).

Возьмем средние значения параметров: О = 1.0 МПа, р = 1.2 г/см3, Н = 0.10.3 см. Произведя расчет, получим Ь = 3100 см/с, и < 500-1500 Гц.

На рис. 2 приведены зависимости параметра с от к, построенные при помощи формул (28) и (29). На нем видно, что при к < п графики для параметра с, полученного асимптотическим (сплошная линия) и вариационным (пунктирная линия) методами, практически совпадают, что говорит о справедливости использования выражения (28) в пределах применимости двумерной теории по частоте. При к > п динамическая теория слоя не работает. Математически это выражается в том, что в уравнении Гельмгольца (27) параметр с меняет знак, решение уравнения будет выражаться через другие функции и иметь иные свойства.

7. Гармонические колебания кругового слоя. Рассмотрим задачу растяжения-сжатия кругового слоя радиуса Я и толщины Н. Эта задача осесимметрична, уравнение (16) в полярных координатах (т,ц>) имеет вид

здесь 10(р) - функция Бесселя нулевого порядка.

Во многих приложениях эластомерных конструкций практическое значение имеют их жесткостные характеристики - зависимости между внешними силами и моментами на основаниях пакета и смещениями оснований под этой нагрузкой.

Армирующие слои обычно существенно жестче, чем слои резины, и допустимо при определении жесткостных характеристик многослойных конструкций рассматривать их как недеформируемые. Тогда жесткости всей конструкции находятся суммированием жесткостей отдельных слоев резины. Исследованию жесткостных свойств слоя резины и эластомерных конструкций посвящено значительное число экспериментальных и теоретических работ. Примеры вычисления суммарных статических жесткостей пакета со слоями различной формы приведены в работах Л. В. Миляковой, К. Ф. Чер-ныха, В. И. Кругляковой [3-6].

Для плоского слоя коэффициенты динамической жесткости при растяжении-сжатии находим по соотношению

Таким образом, коэффициент динамической жесткости при растяжении-сжатии слоя определяется выражением

(30)

где р = Хг/Я; X = а/12 с. Решение краевой задачи (30) таково:

(31)

где е - решение (31). После вычисления интеграла получим

Отметим, что формула (32) для коэффициента динамической жесткости совпадает с формулой, полученной ранее асимптотическим методом [1]. Несущественное отличие имеется только в параметре Л.

Уравнение Гельмгольца (30), к которому сводится анализ краевых задач динамики для гармонических колебаний, отличается от уравнения статики только коэффициентами. Здесь они зависят от частоты. Поэтому такая важная практическая проблема как вычисление динамических жесткостей слоя полностью эквивалентна проблеме вычисления статических жесткостей, и дополнительных проблем при этом не возникает.

9. Исследование коэффициентов динамической жесткости слоя в зависимости от частоты колебаний. Рассмотрим теперь зависимость найденного коэффициента динамической жесткости слоя от частоты колебаний. Построим график функции d, заданной формулой (32).

В качестве входных параметров возьмем О = 1.0 МПа, К = 2.5 • 103 МПа, Н = 1 см, Я = 50 см, Ь = 3100 см/с.

с1, МПа/см 1

0 -1

Рис. 3. Зависимость динамической жесткости от частоты колебаний

Для сравнения приведем график для статической жесткости (пунктирная прямая на рис. 3). Формула для вычисления статической жесткости такова:

<1Н = тгКЕ,2Н-1 ( 1 - 2/о(А°)

Л01о (Л0 )

где Ао = л/12 с, с = СВ2 / КЬ?. Как видно из рис. 3, при частоте колебаний и = 9.85 • 103 рад/с происходит смена знака динамической жесткости, и формула (32) становится неприменима при больших и. Статическая жесткость слоя не сильно отличается от динамической при малых частотах колебаний, и ее можно использовать в задачах динамики. Однако при увеличении частоты, когда она начинает приближаться к собственной частоте колебаний слоя, коэффициенты жесткости отличаются значительно, и в расчетах нужно использовать динамический коэффициент.

Заключение. Вариационным методом построена динамическая двумерная теория эластомерного слоя постоянной толщины. Ее создание позволило свести расчет эласто-мерного слоя к интегрированию одного волнового уравнения - обобщенного уравнения Гельмгольца для функции относительного изменения объема. Для нестационарных задач динамическая теория эластомерного слоя построена впервые. Для случая гармонических колебаний было сделано сравнение с предложенной раньше В. М. Мальковым асимптотической теорией слоя [1]. В пределах применимости динамической теории слоя по частоте колебаний результаты асимптотического и вариационного методов

оказались близки. В работе также было уделено внимание вычислению коэффициентов динамической жесткости слоя и исследованию их зависимости от частоты колебаний ш.

Литература

1. Мальков В. М. Механика многослойных эластомерных конструкций. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 320 с.

2. Keys W. C. Rubber springs designe calculations — some representative uses // J. Mech. Engs. 1937. N 59. P. 345.

3. Милякова Л.В., Черных К.Ф. Общая линейная теория тонкослойных резинометаллических элементов // Изв. АН СССР. Механика деформируемого тела. 1986. № 3. С. 110—120.

4. Черных К. Ф., Милякова Л. В. Тонкие резинометаллические элементы // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1981. Вып. 4 (№ 19). С. 88—96.

5. Круглякова В. И. Жесткости сферического и конического тонкослойных резинометаллических элементов // Изв. АН СССР. Машиноведение. 1987. № 6. С. 65—69.

6. Круглякова В.И., Милякова Л.В. Конический тонкослойный резинометаллический элемент // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. № 2. С. 96-100.

Статья рекомендована к печати Н.В. Егоровым. Статья принята к печати 1 апреля 2010 г.