Метод возмущений в исследовании проблемы сейсмоизоляции на основе многослойных резинометаллических элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2008, вып. 4

В. М. Мальков, О. А. Смирнов

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ИССЛЕДОВАНИИ ПРОБЛЕМЫ СЕЙСМОИЗОЛЯЦИИ НА ОСНОВЕ МНОГОСЛОЙНЫХ РЕЗИНОМЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ *)

Введение. Рассмотрены математические вопросы моделирования проблемы сейсмоизоляции объектов с применением в качестве амортизаторов многослойных резинометаллических шарниров (рис. 1). При большом числе слоев амортизатора дискретную модель конструкции можно заменить системой с распределенными параметрами [1]. В результате такого перехода начально-краевая задача сводится к решению уравнения в частных производных, по форме близкого к динамическому уравнению сдвиговой теории балок С. П. Тимошенко, но с другими физическими свойствами коэффициентов. Коэффициенты уравнения, имеющие физический смысл сдвиговой и изгибной жесткостей, находятся из решений краевых задач для резиновых слоев. В случае вязкоупругой задачи эти коэффициенты будут интегральными операторами Вольтерра с некоторыми ядрами релаксации [2]. Нестационарная задача движения массы на упругом и особенно вязкоупругом композитном амортизаторе, где приходится решать инте-гродифференциальные уравнения, чрезвычайно сложна, даже при использовании численных методов решения. Положение существенно упрощается, если искать решение в виде рядов по малому параметру. Этот параметр содержится в уравнениях движения и граничных условиях задачи, его физический смысл состоит в том, что отношение модулей сдвига и объемного сжатия резины мало. Задача имеет также другой малый параметр - геометрический: отношение толщины слоя к его диаметру. Оба малых параметра участвуют в уравнениях слоя в виде одного совмещенного параметра. Начально-краевые задачи последовательных приближений по малому параметру сведены на основе метода разложения решения по собственным формам колебаний к решению дифференциальных и интегродифференциальных уравнений по времени, последние решались численно. Приведены результаты расчетов движения объекта при внешних воздействиях типа сейсмических волн, иллюстрирующие эффективность применения многослойных шарниров для уменьшения амплитуды колебаний и ускорения объекта. Соответствие решения по методу малого параметра точному решению показано на задаче гармонических колебаний механической системы.

Постановка задачи. В работе [1] для композитной балки с плоскими слоями получен следующий закон упругости:

д = Кз!, М = Кв ш'х, (1)

где д и М - поперечная (сдвигающая) сила и изгибающий момент; 7 = иХ — м - сдвиг;

Мальков Вениамин Михайлович — профессор кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Автор 3 монографий и более 80 работ. Научное направление: механика деформируемого твердого тела. E-mail: vmmalkov@apmath.spbu.ru.

Смирнов Олег Александрович — инженер-программист Сан майкросистемс. Автор 6 работ. Научные направления: механика деформируемого твердого тела, системное программирование. E-mail: oleg.smirnov @sun.com.

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 06-01-00658).

© В.М. Мальков, О.А. Смирнов, 2008

и, и - перемещение и угол поворота поперечного сечения; Ks, К в - сдвиговая и изгиб-ная жесткости. В задаче вязкоупругости Ks и К в являются интегральными операторами Вольтерра [2]

Ks = К% (1 - ^), К1 и(г) = Ґ Ks(і - т) и(т) йт;

Л —ж

Kв = ^ (1 - ^), ^ и(і)= Ґ Kв(і - т) и(т) йт,

J — оо

(2)

Ks, Kв - ядра сдвиговой и объемной релаксации.

Рис. 1. Резинометаллический шарнир.

Подставив выражения (1) в уравнения движения элемента балки

тиг = дХ, 1 = М'х +

получим уравнения движения композитной балки, моделирующей многослойный резинометаллический шарнир с плоскими слоями:

ти'I - Ksи'' + Ksи' = 0, Іи'І - 1^ви'' + Ks(и - иX) = 0,

(3)

в которых т, I - суммарные масса и момент инерции двухслойного элемента из резины и металла, отнесенные к суммарной толщине слоев Н = Нг + Нт. Сдвиговая и изгибная жесткости вычисляются по формулам Кз = Нсц, Кв = Нс22, где Сц, с22 - сдвиговая и изгибная жесткости резинового слоя [1].

На конце балки х = 0 рассмотрим следующие варианты условий:

1) и = а (і), и = 0;

2) и = 0, и = Ь (і),

(4)

здесь а(Ь), Ь(Ь) - заданные функции времени. Общий случай граничных условий при х = 0 можно получить как суперпозицию граничных условий (4).

На свободном конце балки х = I закреплена масса, величина массы Мо и момент инерции 1о заданы; граничные условия таковы:

Мои'I + Кз (и'х — ш) = 0,

(5)

10ш'хХ + КВшх = °-

Начальные условия предполагаются равными нулю:

и(х, 0) = ш(х, 0) = 0, и[(х, 0) = М(х, 0) = 0. (6)

Вопросы существования решений и разрешимости уравнений и систем уравнений гиперболического типа и начально-краевых задач рассмотрены во многих работах с различной общностью постановки и классов функций, например в [3-7 и др.]. Нас интересует существование и единственность классического решения уравнений (3)-(6). В этих уравнениях коэффициенты постоянны, а заданные функции а(£) и Ь(Ь) дифференцируемы нужное число раз, так что существование и единственность классического решения обеспечены.

Вычисление приведенных жесткостей. Чтобы найти жесткостные характеристики композитной балки, нужно решить соответствующие краевые задачи для слоя резины. Общие методы вычисления жесткостей слоя изложены в книге [1]. Пусть О -модуль сдвига, К - модуль объемного сжатия резины, Б - площадь слоя. Жесткость на сдвиг находится путем решения задачи простого сдвига

Кз = ОБН/К, (7)

жесткость на изгиб - путем решения краевых задач теории слоя и зависит от формы слоя. Для слоя прямоугольной формы со сторонами а = 2Д, Ь и кругового слоя радиуса К соответственно получим

К в = KSR2^~

hr

1 1 chA

77 + Т77 -

К в = KSR2^~

hr

3 A2 AshA

4 I[ (A)

3 Ii(A)

(8)

(9)

где

A2 = 12(1 - 2v)R2/h2r « 12GR2/Kh2r.

Для резиноподобных материалов отношение модулей сдвига и объемного сжатия G/K мало - порядка 10~4-10~3 (коэффициент Пуассона v близок к 0.5); отношение толщины слоя к характерному размеру в плане е = hr/R также мало - порядка 0.02-0.05. Типичное соотношение малых параметров для многослойных элементов G/K ~ е2. Сравнивая выражения (7)—(9), заключаем, что

KS R2 = ее2 KB, c = const = 0(1). (10)

Далее эта оценка будет использована при решении начально-краевой задачи методом малого параметра.

Следует отметить, что вес амортизируемого объекта Р = Мод и параметры шарнира должны удовлетворять определенным условиям, вытекающим из ограничений по устойчивости. Вопросы устойчивости при сжатии композитной балки рассмотрены в монографии [1]. В частности, для балки с одним защемленным, а другим свободным концами

7Г ______

критическая нагрузка Ро ~ — уКвКв- Естественно, вес объекта не должен превышать

критическое значение, взятое с некоторым коэффициентом запаса. Если вес и размеры объекта, например здания, значительны, то под его основание помещают несколько шарниров (иногда десятки и даже сотни).

Метод малого параметра. Перейдем в уравнениях (3)-(6) к безразмерным переменным: х = Е£, и = Ну и учтем равенство (10)

тЕ2 ,, ,, , „ ІЕ2 ,, ,, п, ..

+ и>£ = 0, — и;^ + СЄ (и) - г^) = 0; (11)

х = 0: 1) у = а (і), ш = 0; 2) V = 0, ш = Ь (і); (12)

Мо Е Іо Е

х = 1 : +у^-и; = 0, — шг+ш^ = 0. (13)

Оценим величину отношения коэффициентов при производных по времени в уравнениях (11)

ІЕ2 тЕ2 2 Іс ..

к» :"«Г ’ <*=^ = <*“1 = 0(1). (м)

Для слоев прямоугольной и круговой формы соответственно получим ! = [1/3; 1/2] с.

Для решения уравнений (11)—(13) используем метод малого параметра. Предварительно нужно оценить порядки функций V и ш, эта оценка зависит от вида граничных условий при х = 0. Дальше задачу (11)—(13) с граничными условиями 1) из (12) назовем задачей 1, а с граничными условиями 2) - задачей 2.

Задача 1. Если предположить V = О(ш), тогда для функции ш в нулевом приближении получим однородную задачу, имеющую нулевое решение. Значит, ш ~ є2 V и решение задачи следует искать в виде разложений

ОО ОО

у(£,і)=Х^ є2п Уп, ш(І,г)= є2£ є2п шп. (15)

п=0 п=0

Подставив разложения в уравнения (11)—(13), выведем уравнения последовательных приближений (п = 0,1,...). Уравнения нулевого приближения таковы:

тЕ2 МоЕ

= °; I «о = а (і), —— + г;0 5 = 0; (16)

Кб Кб

ІЕ2 І()Е

~ шо,£ + = с«о,5; I = 0, + ш'0^ = 0. (17)

Черта отделяет уравнения от граничных условий при х = 0 и х = I.

В последующих приближениях имеем

тР // // _ / ІР // // | 2 _ / .

^^ ^п—К в ^п

х = 0:1) уп = 0, шп = 0, п ^ 1; (18)

МоК „ , 1оК ц /

Х = Уп’г = ~Кв Шп’г Шп^ =

Задача 2. Анализ отношений порядков искомых функций показывает, что в этом случае V ~ ш. Разложения функций будут иметь вид

' vr,, ш(ЬЛ) = е2п Шп

t) = ^2e2n vn, t) = ^2 e2

n=0 n=0

Подставим эти разложения в соотношения (11)—(13):

~2____n I_________10

// // . 2 _ о I ___________ 7 IqR // /

wo,t _ + се — 0, \ ivq — b (t), lu0j + iv0£

mR2 и и i i MoR

v0,t - v0,£ — _w0,£j I v0 — U, ^ «0,4 T v0,£

I v0 = 0, —— v'nt + v'0 £ = uj0, (20)

mR2 п и i r, IR2 п и 2 i

vn,t - vn,£ + wn,t “ wn,£ + C£ LOn = CVn_l^]

x = 0:2) vn = 0, шп = 0, n ^ 1; (21)

M0 R 1 0 R

I • Ks Vn,t + Vn,£ - = 0, Wnj + LOn^ = 0.

Целесообразность включения слагаемого се2ш, содержащего малый множитель, в левую часть уравнений для функции ш обусловлена тем, что коэффициент при ш" мал - см. формулу (14). Что дает такое включение, будет понятно из дальнейшего.

Основное упрощение решения задачи, которое дает метод малого параметра, в том, что в каждом приближении уравнения для функций un и шп не перевязаны. Эти функции находятся раздельно из волновых уравнений, которые имеют более низкий порядок, чем исходные. Кроме того, к исходным уравнениям в общем случае не применим метод разделения переменных, что существенно осложняет получение решения, а уравнения последовательных приближений можно решать только этим методом.

Вопросы сходимости метода возмущений, применительно к уравнениям в частных производных, в том числе к уравнениям гиперболического типа, рассмотрены в работах [8, 9 и др.]. На основании общей теории можно утверждать, что решение рассматриваемой задачи, полученное методом последовательных приближений, асимптотически сходится к точному решению при e ^ 0; о сходимости при n ^ ж, когда параметр e фиксирован, в общем случае сделать заключение невозможно.

Гармонические колебания. К этому случаю сводится общая задача, если внешние возмущения на конце балки x = 0 представимы тригонометрическими рядами по времени. Пусть внешнее возмущение меняется во времени по закону sinpt, где p - частота колебаний. В уравнениях (11) положим

v = Aex^ sin pt, ш = Bex^ sin pt.

Параметр Л находится из характеристического уравнения (mR2 2 ,2\ (IR? 2 ,2\ 2 ml

Ы>'+х) W>+п-‘~-к.

mR2 2 2 IR2 2 2 2 mR2 2

Ыг + х) ы»+ л) - "Vp = (22)

2 1 mR2 IR2 2 1 mR2 IR2 2 mR2

д2-2 ( К7 + -в)<;±ЬЫ--в) <>'+ к7!>2' (23)

Для параметра Л имеем два чисто мнимых корня (сопряженных), а два других корня, в зависимости от величины частоты колебаний p, могут быть либо вещественными, либо чисто мнимыми (сопряженными). Они будут вещественными, если выражение Ip2 — Ks отрицательно, чисто мнимыми, если Ip2 — Ks положительно, и нулевыми, если Ip2 — Ks = 0. Для типичных параметров реальных конструкций с круговыми слоями нулевым корням соответствуют частоты p порядка нескольких десятков радиан в секунду.

В случае мнимых корней Л = ± 1Л1 и Л = ± Л общее решение уравнений (11) имеет вид (даны амплитудные значения)

V(£) = Ai sin Л1 £ + A2 cos Л1£ + A3 sin Л2£ + A4 cos Л2С, (24)

Q(£) = B1 cos Л^ + B2 sin Л1 £ + B3 cos Л2£ + B4 sin Л2£,

1 ( mR2 2 2\ 1 (mR2 2 2\

Bi = -\\~k;p “a0Au B2 = m(jqp-Xi)A2’

Вз = -^(^р2-л22)а3, в4 = ^(^-р2-л22)а4.

ЛЛ Ks' V 4 Л2 \ к

Когда два корня мнимые Л = ± 1Л1, а два вещественные Л = ± Л2, общее решение уравнений (11) таково:

V(£) = A1 sin Л1£ + A2 cos Л^ + A3ex2^ + A4e-X2^,

Q(£) = B1 cos Л1£ + B2 sin Л^ + B3eX2^ + B4e-X2^,

1 (mR2 2 2\ 1 (mR2 2 2\

+ A2 j B4 = + A2 j A4'

Постоянные A и B определяются из граничных условий (12), (13).

Асимптотические разложения параметра (23) при e ^ 0

(25)

Из этих формул видно, что параметр Л2 мал по сравнению с параметром Л2: Л2 - е2Л2.

В методе последовательных приближений ограничимся задачей нулевого приближения, задачи следующих приближений решаются аналогично (индекс 0 опускаем).

Задача 1. Положим в граничном условии a(t) = ao sinpt. Решения уравнений (16), (17) получим в виде

v = V (£) sin pt, ш = Q(£) sin pt, (26)

где

mR2

V = Ai sin A£ + A2 cos A£, A2 = ——p2, (27)

Ks

a + (ml/M0)tga Л1

Ai =------7-------ТпйГ~ a°’ 2 = a°’ a = 1? ’

atga — ml/Mo R

/2 Н2

П = В1сов^ +В2вт^ - ц2 = — (1р2 - КБ). (28)

Задача 2. Пусть при х = 0: Ъ(Ь) = Ъ0 эшрЬ. Решения уравнений (19), (20) имеют вид

(26), здесь

П = В\ сов + В2 эт л£, (29)

р р _ Р + {И/1о)ЧР , Я_И1 В1-Ъо’ В2~ /%/?-ВД °’

/2

У = Ах зтЛ^ + А2 соэЛ^ + д2^- (30)

Приближенные решения нулевого приближения (27)—(30) можно вывести из точного решения (24) путем разложения по малому параметру е2, предположив, что корни уравнения (22) чисто мнимые, т. е. 1р2 — Кя > 0. Аналогично можно рассмотреть случай вещественных корней, когда выполняется неравенство 1р2 — Кб ^ 0. Параметры Л2 и /л2 в решении (27)—(30) являются главными значениями разложений (25). Если не учитывать слагаемое се2<л в уравнениях для функции и>, то будем иметь другое значение параметра /л2 и потеряем общность результата.

В формулах величина тI/Мо - это отношение массы балки к массе амортизируемого объекта, а II/1о - отношение моментов инерции балки и объекта. Собственные частоты колебаний системы соответствуют корням уравнений

atga — т//М0 = 0, вtgв — II/1о = 0.

Поскольку отношения т//Мо и II/1о обычно малы, то основные частоты колебаний приближенно таковы:

р2 = — Р2 = — + — = —+ се2^- (31)

Р М0Г Р Ы I Ы 1В2' [ }

Первое выражение отвечает поступательному перемещению массы, второе - ее повороту. Вторая частота состоит из двух слагаемых, которые могут быть сравнимы по величине. Такого явления нет в теории балок С. П. Тимошенко, где модули сдвига Кб и изгиба Кв одного порядка.

Нестационарная задача упругости. Здесь также ограничимся нулевым приближением. Для решения задач используем метод разложения решений по собственным формам колебаний. Задача движения массы на одном слое эластомера при нестационарном возбуждении рассмотрена в работе [10].

Задача 1. Преобразуем уравнения (16) таким образом, чтобы граничные условия стали однородными. Сделаем замену искомой функции

V = IV + ^1 — а(£), (32)

и подставим это выражение в уравнения (16):

тН2 ,, ,, тН2 / х \2 ,,, ч 2Н

Кя г * Кб

х 2 2Н2

_ у) а (^) + _р_а(^)! (33)

0 : и> = 0; х = I : — ги” + ги? = 0. (34)

Кя *

х

Положим т (х,Ь) = X(х)Т(£), из однородного уравнения (32) находим

х"(х) + ^р2х(х) = о, т"(*) +р2т(г) = о.

Кя

Собственные формы колебаний и частотное уравнение таковы:

х т/

Хк{х) = Ака\п\к-, ХкЬ&Хк=щ^' (35)

Собственные функции Хк (х) не ортогональны [7]:

I Хк(х)Хт(х)<Ь = -^Хк(1)Хт(1), к^т. (36)

от

от Решение неоднородного уравнения (33) будем искать в виде разложения

т = ^2 Тк(г)Хк (х). (37)

к=1

Подставим (37) в уравнение (33) (правую часть обозначим f (х, £)):

тН2

]Г — [ВД +Р2тк(г)\ хк(х) = /(*,*). (38)

к Кя

Умножим обе части уравнения (38) на Хт и проинтегрируем в пределах от 0 до I:

тн2 г I г I

[Тк(г)+РкТк(1)] Хк(х)Хт(х) (],х = /(х,г)Хт(х)(1х. (39)

Кя “ Jо Jо

Выражение (37) удовлетворяет первому из граничных условий (34), второе условие приводит к уравнению

^ ^птк{1) + в^ткт'к(1) = о.

Я к к

Преобразуем его с помощью частотного уравнения

^[Т" (г)+р2Тк (*)] Хк (/) = 0.

к

Выделим в сумме слагаемое к = т, тогда

^[т"(;)+р|тк(*)] Хк (/) = —[тт (г)+р2ттт(г)] хт (/), к = т. (40)

к

Заменим интегралы в уравнении (39) выражением (36) при к = т и учтем соотношение (40), в результате этих преобразований в левой части уравнения обратятся в нуль слагаемые для индексов к = т, останется только одно слагаемое, отвечающее индексам к = т:

^ [1 Х2(х)<1х + Щ^х2(1) 1т>>(г)+р2тк(г)}= /'/(*, №(*)<**• (41)

Уо Кя Уо

Начальные условия для уравнения (41) определим из начальных условий (6) и формулы (32):

/ X \2 / X \2

ги(х, 0) + (і — а(0) = 0, «^(0, х) + (і — а;(0) = 0.

X \ 2

Подставим сюда разложение (37), затем умножим равенство на функцию Хт(х) и проинтегрируем по х в пределах [0,/]. После преобразований того же рода, что и выше, получим следующие условия при £ = 0:

[ ХІ(х)сІх + —ХІ(1) Тк(0) = -а(0) [ (і ~^)2 Хк(х)<іх Уо т ]0 \ и

(42)

[ ХЦх)сІх + —ХІ(1) ТЬ(0) = -а'(0) [ (і-у)2 Хк(х)<1х ./о т л о ^ 1 '

(43)

Предполагалось, что начальные условия (6) выполняются и на конце балки х = /.

Решение уравнений (41) с начальными условиями (42), (43) не вызывает затруднений.

Перейдем к задаче (17) для функции ш(х,£), здесь граничные условия однородные. Положив ш (х, £) = X(х)Т(£), найдем

Х"(х) + 4^{1р2 - Кз)Х(х) = 0, Т"(*) +р2Т(г) = 0.

Кв

Собственные формы колебаний и частотное уравнение таковы:

/ \ ■ х I/

Хк\Х) Ак&1П1лк —, [лкЬ^1лк ——.

/ 10

(44)

Неоднородное уравнение (17) решим методом разложения по собственным формам колебаний:

и = тк (г)хк (х).

(45)

к = 1

Используя те же преобразования, что и при решении задачи 1, для функций Тк(і) находим

гп2 рь т о 2 р

— у Х1(х)(1х + Х2к{1) [ТІ!{і)+рІТк{і)\ = ! д{х,і)Хк{х)<1х. (46)

Функция g(x,^) = ею(х,Ь) является правой частью уравнения (17), где функция V получена выше. Начальные условия для уравнения (46): Тк (0) = Т{. (0) = 0.

Задача 2. Начально-краевая задача (19) для функции ш(х,Ь) вполне аналогична задаче (16) для функции v(x,t). Заменим искомую функцию, чтобы сделать граничные условия однородными:

ш = ір+ (і - у) Ь(і).

(47)

Собственные формы колебаний и частотное уравнение даны формулами (44). Подставив (47) в (19), имеем неоднородное уравнение для функции (x,t), которую будем искать в виде разложения (45) по собственным формам. Для функций Tk (t) получим уравнения (46), в которых

, . IE2 ( x\2 . 2E2 , . . . .

i) ь (t) +-р-Щ- (48)

Начальные условия для уравнения (48) будут (42), (43), только функцию a(t) нужно

заменить на функцию b(t).

После решения задачи (19) для функции w(x,t) переходим к решению задачи (20) для функции v(x,t). В отличие от предыдущих задач, здесь неоднородным является граничное условие на свободном конце балки x = l. Чтобы сделать граничные условия однородными, заменим искомую функцию

V = W - ^ (l - у) Uj(l,t). (49)

Подставив (49) в уравнения (20), придем к краевой задаче вида (33), (34). Собственные функции и частотное уравнение есть (35). Решение неоднородного уравнения построим в виде разложения (36). Функции Tk(t) находятся из уравнения (41), где

/ mE ( x \ ч E ,, ч

f(x,t) = —UJ£ + (l — yj шt (M) + yw(M)-

Начальные условия выводятся аналогично условиям (42), (43):

С i I

J Xl(x)dx + jrXl(l)

с i I

J x2k(x)dx + fxl(l)

Нестационарная задача вязкоупругости. В задаче вязкоупругости коэффициенты Ks и К в являются интегральными операторами (2). Для высокоэластичных материалов коэффициент Пуассона близок к 0.5 и практически не меняется во времени [2]: при t получим v ^ 0.5. Поэтому дальше будем считать v числом, а не инте-

гральным оператором. Отсюда сразу вытекает, что отношения модулей G/К и Ks/Kb также будут константами. Все уравнения задачи, включая уравнения последовательных приближений по малому параметру (16)—(21), сохраняют свой вид. Для решения нестационарных задач используем метод разложения решений по собственным формам колебаний. Следует отметить, что собственные формы колебаний и частотные уравнения будут такими же, что и в упругой задаче. Единственное отличие состоит в том, что величины Ks и К в в этих уравнениях надо заменить на К°3 и КВ, т. е. на их начальные значения. Принципиальные различия с упругой задачей начинаются с уравнений для функций Tk(t). Далее будем использовать следующие обозначения (см. (2)):

Ks = KS Ks , Кв = К% Кв, где Ks =1 - KS, Кв = 1 - К%.

Задача 1. Сделав замену функции в уравнениях (16) согласно (32), получим

mE2 ~ .. mE2 ( x\2 ... . 2R2 ~ . .

-Щ-Wt - Kswe = -щ- (l - yj a (t) + -p-Ksa{t); (52)

Tfc(0) = ш(1, 0) J |(l - у) Xk(x) dx, (50)

T'(0) = Jt{l, 0) jf' у (l - y) Xk(x) dx. (51)

х = 0 : V = 0;

1--^™" + К3ы'е = 0.

К Б

Решение уравнения (52) ищем в виде разложения (37)

тЯ2

Е

к 0

П'(і)+рІКбТк(і) Хк(х)= /(х,і),

где ](x,t) - правая часть уравнения (52). Выполнив те же преобразования, что и в упругой задаче, придем к уравнениям для функций Тк (£)

тЯ2 Г' 2, ^ , М0Я22

Хк(х)<1х + ——Хк(1)

К 0

КБ Уо

к о

кБ

[Тк (і) + р2к Кб Тк (і)] = / (х, і)Хк (х) дх. (53)

Начальные условия прежние - (42), (43).

Задача сведена к решению интегродифференциального уравнения Вольтерра (53). Чтобы найти его решение, нужно предварительно задать функцию релаксации, являющуюся ядром интегрального оператора Вольтерра. В качестве функций релаксации применяют разные выражения, некоторые из них приведены в книге [2]. На практике часто используют ядра А. Р. Ржаницина и М. А. Колтунова, в рассматриваемом случае ядра сдвиговой релаксации можно записать так:

с(г - т) = Л(г - т)а-1е-в(г-т\

с(г - т) = Л(* - т)а-1 с-в(г-т^,

где Л, а, в, 7 - параметры ядра: Л > 0, в > 0, 0 < а < 1. Эти параметры находятся экспериментальными методами для конкретных материалов.

Для данных ядер получаем слабо сингулярные интегродифференциальные уравнения

ТІ! (і) +Рі(тк(і) - I Кб (і - т) Тк (т) дт) = Гк (і)

(54)

с начальными условиями (42), (43). Заметим, что правые части уравнений (54) также содержат интегральный оператор от заданной функции. Для нахождения решений уравнений (54) применялись численные методы.

В задаче (17) не требуется замена неизвестной функции, так как граничные условия однородные. Решение уравнений ищем в виде разложений (45). Собственные формы колебаний и частотное уравнение даны формулами (44). Функции Тк (£) находятся из интегродифференциальных уравнений

гп2 гі т г>2

—у Х2(х)<1х + ^-гХ2(1) кв Л кВ

[Т" (і)+р2к кв Тк (і)]

д(х,і)Хк (х) дх. (55)

Функция д(х,Ь) = Кв (сг^), где функция г(х,Ь) получена из уравнений (16). Начальные условия для уравнений (55) однородные.

Задача 2. Начально-краевая задача вязкоупругости (19) для функции ш(х,Ь) аналогична задаче (16) для функции г(х,Ь). Заменим искомую функцию по формуле (47), чтобы сделать граничные условия однородными. Собственные формы колебаний и частотное уравнение даны формулами (44). Подставив (47) в (19), получим неоднородное

х

о

о

уравнение для функции (х, £), которую будем искать в виде разложения (45) по собственным формам. Для функций Тк (£) получим интегродифференциальные уравнения (55), где

, . 1В2 ( х\2,„, ч 2В2 ~ ,,. . .

з(х^) = - у) 6 (1) + -р-квь(г). (56)

в

Начальные условия для уравнения (56) будут аналогичны (42), (43), но функцию а(Ь) нужно заменить на функцию Ь(£).

В начально-краевой задаче (20) сделаем замену функции согласно (49):

тВ2 .. ~ .. . ЫН2 х ( х\ .. 2В ~

^о — (1 - м (/,£) + (57)

х = 0 : и> = 0, х = I : и)" + и)'£ = 0.

Кв

Собственные функции и частотное уравнение даны формулами (35). Решение неоднородного уравнения (57) ищем в виде ряда (37). Для функций Тк (£) получим уравнения (53), где функция ](х, £) есть правая часть уравнения (57). Начальными условиями для уравнений (53) являются (50), (51).

Результаты численных экспериментов. Для задачи 1 вязкоупругости были выполнены расчеты движения объекта на многослойном амортизаторе. Использовалось только нулевое приближение задачи по параметру е2, поскольку в нашем случае величина этого параметра была порядка 1.4 • 10-4 и не имело смысла рассматривать другие приближения. Все применяемые в расчетах параметры задачи были близки к реальным. Для описания вязкоупругих свойств резины принято ядро сдвиговой релаксации А. М. Колтунова с параметрами

Л = 0.01862, а = 0.022, в = 0.45, 7 = 0.2.

Они известны и соответствуют резине марки СКМС-30А.

Параметры шарнира: Нг = 1 см, Нт = 0.3 см, О =1 МПа, К = 2500 МПа, площадь шарнира Б = 22 500 см2. Слои шарнира имели круговую форму, их количество варьировалось от 10 до 50. Вес амортизируемого объекта Р = 100 т.

В качестве функции, задающей движение нижнего основания шарнира, выбрана модель сейсмограммы вида

а(Ь) = 5Ьв-г вт(10£),

которая соответствует достаточно сильному землетрясению (порядка 8 баллов). На рис. 2 показаны зависимости амплитуды движения основания шарнира и амортизируемого объекта от времени. Из них видно, что амплитуда движения объекта п(Ь) существенно меньше амплитуды движения основания шарнира а(£) и она понижается с увеличением числа слоев амортизатора (размерности амплитуд - см). Если для 10-слойного амортизатора она в 2 раза меньше амплитуды движения основания, то для 50-слойного - в 10 раз. Основная собственная частота колебаний шарнира с массой также убывает с ростом числа слоев, все более удаляясь от частоты внешнего воздействия. Для 10-слойного шарнира с массой основная частота (31) равнялась 4.6 рад./с, для 50-слойного - 2.1 рад./с.

Рис. 2. Перемещения оснований шарнира с 10 (а) и 50 (б) слоями.

Одной из основных задач амортизации является снижение ускорения объекта, так как возникающие в конструкции напряжения (например, в элементах здания) определяются величиной ускорения. На рис. 3 изображены графики ускорения основания а"(Ь) и объекта и"(Ь). Из них видно, что максимальное ускорение объекта на амортизаторе в несколько раз меньше, чем ускорение нижнего основания шарнира. Если максимальное ускорение нижнего основания шарнира примерно 400 см/с2 (что соответствует довольно сильному землетрясению 0.4 д ), то ускорение объекта, помещенного на 10-слойный шарнир, будет примерно 60 см/с2 (0.06 g), для 50-слойного шарнира - около 20 см/с2 (0.02 ^.

Рис. 3. Ускорения оснований шарнира с 10 (а) и 50 (б) слоями.

Из приведенных результатов видно, что применение многослойных эластомерных шарниров для решения проблем сейсмо- и виброизоляции различных объектов весьма эффективно. Проведенные нами исследования также показали, что не существует универсальных шарниров, которые были бы одинаково эффективны при всех частотах внешних воздействий на объект. Более того, при неудачном выборе параметров шарнира может получиться обратный эффект, вместо уменьшения амплитуды колебаний и ускорения произойдет их увеличение, т. е. «раскачивание» объекта. Особенно опасно, когда частоты внешних возмущений будут близки собственным частотам колебаний системы шарнир-объект. Поэтому при проектировании амортизаторов нужно обязательно учитывать характер внешних воздействий, которые он должен компенсировать. Здесь будет полезна разработанная нами математическая модель многослойного шарнира.

Summary

Mal’kov V. M., Smirnov O. A. Perturbation method for research of earthquake-resistant structure problem on the base of multilayer rubber-metal bearings.

The seismic isolation problem of objects with the application of multilayered rubber-metal elements as shock-absorbers is examined. It is possible to replace the discrete model of a design system with the distributed parameters at the great number of layers of the shock-absorber. As a result of such a transition the initial-value problem is reduced to the decision of the equations in partial derivatives of hyperbolic type. The equation factors having physical sense shear and bending rigidities are taken from boundary-value problem solution for rubber layers. In case of the viscous-elastic problem these factors are represented as Volterra integrated operators with some kernels of relaxation. The equations contain a small parameter representing the ratio of rigidities on shear and on bending that has allowed to search the solution in the form of sets on a small parameter. Initial-value problems of sequential approximations on a small parameter are reduced to the solution of the ordinary integrated-differential equations on time which are numerically solved on the basis of the decomposition method of solutions of their own forms of fluctuations. The results of calculations of body motions of the shock-absorber at external influence of a seismic wave type for real system parameters illustrating the application efficiency of the multilayered joints for decreasing the amplitude and increasing the mass motion are presented.

Key words: seismic isolation problem, rubber-metal bearings, perturbation method.

Литература

1. Мальков В. М. Механика многослойных эластомерных конструкций. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. - 320 с.

2. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. — М.: Наука, 1977. — 384 с.

3. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. — 400 с.

4. Ладыженская О. А. Смешанные задачи для гиперболического уравнения. — М.: Гос. изд-во теор.-техн. лит-ры, 1953. — 280 с.

5. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — 408 с.

6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981. — 512 с.

7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 2004. — 798 с.

8. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. — М.: Наука, 1988. — 312 с.

9. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. — Киев: Наукова Думка, 1966. — 252 с.

10. Смирнов О. А. Движение массы на вязкоупругом слое при нестационарных нагружениях// Вестн. С.-Петерб. ун-та. — Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2005. — Вып. 2. — С. 171—178.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 29 апреля 2008 г.