Математическое моделирование нелинейной деформации эластомерного слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2011. Вып. 3

УДК 539.3

В. М. Мальков, С. А. Кабриц, С. Е. Мансурова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ЭЛАСТОМЕРНОГО СЛОЯ*)

Резины и резиноподобные материалы - эластомеры широко применяются в различных отраслях промышленности и техники. Среди большого разнообразия резинотехнических изделий особое место занимают композитные конструкции, состоящие из тонких чередующихся слоев резины и армирующего материала, существенно более жесткого, чем резина. Эти конструкции используются в качестве упругих шарниров и амортизаторов деформаций, например при решении проблемы сейсмо- и виброизоляции строительных объектов. Резиновые слои в многослойных резинометаллических элементах обычно испытывают большие деформации, потому изучение влияния таких деформаций на технические характеристики этих элементов, в том числе на их жесткость, имеет практическое значение. Раньше в работе [1] с помощью асимптотического метода была построена нелинейная теория эластомерного слоя для материала Сен-Венана-Кирхгофа. В работе [2] на основе ее уравнений была решена задача для полосы. Ниже в краткой форме приведен вывод уравнения теории слоя и сделаны некоторые уточнения принимаемых гипотез. Основной результат настоящей работы состоит в проведении расчетов деформаций, напряжений, соотношений жесткости и других параметров для слоя кольцевой формы по уравнениям теории слоя и по общим уравнениям нелинейной теории упругости. Решение краевых задач осуществлялось численными методами: методом ортогональной прогонки в случае теории слоя и методом конечных элементов (МКЭ) для нелинейной краевой задачи упругости. Результаты численных экспериментов по двум методам позволили установить некоторые важные закономерности деформации слоя и оценить пределы применимости нелинейной теории слоя в зависимости от параметров задачи. На основе анализа жесткостных характеристик слоя сделана оценка области применимости модели материала Сен-Венана-Кирхгофа в зависимости от величины относительной осадки слоя. Были выполнены расчеты деформации

Мальков Вениамин Михайлович — профессор кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 4 монографии и более 85 статей. Научное направление: механика деформируемого твердого тела. E-mail: vmmalkov@apmath.spbu.ru.

Кабриц Сергей Александрович — доцент кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 48. Научные направления: механика деформируемого твердого тела, численные методы. E-mail: skabrits@yandex.ru.

Мансурова Светлана Евгеньевна — доцент кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного горного института (технического университета). Количество опубликованных работ: 23. Научные направления: механика деформируемого твердого тела, численные методы. E-mail: svetik_332@mail.ru.

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы РФ (2009—2010 годы)» (проект №4504) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект №09-01-00656).

© В.М. Мальков, С.А. Кабриц, С.Е. Мансурова, 2011

кольцевого слоя МКЭ по уравнениям нелинейной теории упругости для модели полулинейного материала. Выяснилось, что эта модель материала также ограниченно применима в случае больших деформаций.

Рассмотрим следующую краевую задачу теории упругости для упругого слоя, занимающего область П с границей дП [3]:

ё1у 8 = 0, ^ : и = И±, Г: = V ■ 8 = 0, (1)

здесь 8 - тензор условных (номинальных) напряжений, и - вектор перемещений, и+

и и- - его заданные значения на лицевых поверхностях слоя Б±, Г - боковая поверх-

ность слоя, V ± Г, дП = Б + + Б- + Г.

Уравнения (1) формально эквивалентны уравнениям в вариационной форме [3], которые дальше используются при решении краевой задачи упругости МКЭ:

У 8 : SG ЗУ = у Е ■ ¿и ЗУ + ^ q ■ ¿и ЗБ, (2)

О О дО

в которой О - градиент деформации, Е и q - векторы внешней объемной и поверхностной нагрузок. Уравнения (1) и (2) записаны в отсчетной конфигурации.

Закон упругости материала Сен-Венана-Кирхгофа имеет вид [3]

X = ХвI + 2ц Е, = \e6ij + 21ле^ , г,] = 1, 2, 3, (3)

где X = аав еаев - тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа; Е = £ар еаер - тензор деформаций Грина-Лагранжа; в = ^ Е - след тензора; Х, ц - параметры Ляме материала.

Для построения нелинейных уравнений теории эластомерного слоя используем асимптотический метод. Введем следующие допущения. Первое из них касается геометрии и деформации слоя. Слой считается тонким, а деформации лицевых поверхностей Б+ и Б- малыми. В многослойных конструкциях лицевые поверхности резиновых слоев соединены со слоями из более жесткого материала, например металла, и потому их деформации малы. Это означает, что компоненты тензора деформации Грина £11, £22 и £12, которые характеризуют тангенциальную деформацию лицевых поверхностей, - малы (порядка £ по сравнению с единицей, где £ = Н/К - отношение толщины слоя к размеру в плане). Если лицевые поверхности жесткие (не деформируются), то £ц = £22 = £12 = 0. На компоненты деформации £13, £23, £33

ограничения не накладываются, предполагается, что они могут быть порядка единицы. Ввиду малой толщины слоя, сформулированные условия будут выполняться и во всей области П, возможно, кроме окрестности боковой поверхности Г ширины порядка Н. Хотя на относительные перемещения и повороты лицевых поверхностей не накладывается ограничений, реально перемещения имеют порядок толщины слоя, а повороты - порядок £. Второе допущение относится к материалу эластомер-ного слоя, он считается слабо сжимаемым, отношение модулей ц/Х « 1 — 2v мало, V - коэффициент Пуассона.

Следствием принятых гипотез являются асимптотические оценки

£ = Н/К << 1, ц/Х << 1, ХН2/(^Н2) = 0(1); (4)

щ = О (Н), (u,i¡l, и12) = О (£), Щз = О (1) г = 1 %

и3 = 0 (£Н), (и3,1, и3,2) = 0 (£2^ и3,3 = 0 (£), (5)

(912,Я21, g31, 932) = 0 (£), (9И, gl3, 923) = 0 (1),

(£11, £12, £22) = 0(£), (£13, £23, £33) = 0(1),

где д^ - компоненты градиента деформации.

С учетом соотношений (3)-(5) уравнения равновесия (1) принимают вид

дв д ди дв

ХАМ+д~г{р + Хе)^=0' г=1>2; д~г =°’ (6)

здесь в.1 - ортогональные координаты на срединной поверхности слоя, Ai - параметры Ляме системы координат.

Функция в = £ц + £22 + £33, являющаяся следом тензора деформации Грина-Лагранжа, относится к числу искомых наряду с перемещениями. Используя оценки (4), (5), получим приближенное выражение для функции в

ди3 1

е = и + —---------------Ь -

дг 2

22 ди1 ди2

дг I V дг

(7)

Нахождение решения системы уравнений (6), (7) существенно облегчается тем, что функция в не зависит от координаты г, т. е. постоянна по толщине слоя, это видно из третьего уравнения системы (6).

Интегрируя уравнения (6), (7) по г, определим перемещения

1 1 Л

иг = 2 №г+ + ) + С (^г+ ^ (1 “ к д дд , * = 1, 2,

и3 = ^2(Ш+ +Ш-) + С№+ -Ш-) + ^(1-4С2)(А + СВ), (8)

А = Н^ (И+ — И-) — Н (И+ — И-) ■ (к Уз в), в = ~\^ {кУ3е)-{кУ3е)2], к = А/(м + Ле).

Функцию в находим из уравнения на срединной поверхности слоя Б

^ Ь2 к е) - е + Ь2 (к е)2 =

= (и^+ <Иу3 (и+ + и-) - 11 (и+ - и-)2. (9)

Граничное условие для уравнения (9) таково:

в = 0 на Гд, (10)

где Гд - граница срединной поверхности слоя. Операции ё1у,5 и Уз в формулах (7)-(9)

вычисляются на срединной поверхности слоя.

Таким образом, принятые гипотезы позволили свести краевую задачу теории упругости (1) с помощью асимптотического метода к краевой задаче теории слоя (9), (10). Линеаризация формул (8) дает следующие выражения для перемещений:

иг-\(иг+ + иг ) + С ~ ^ \ О1 ~ 4С") ^,

«з = \ (№+ +Ш~)+С (^+ - \Г~) + 1- (1 - 4С2) {А + С В),

1 хн3

А = ЛсИуз (и+ - и-), В =---------(Нув(У5е).

3 и

(11)

Для функции в из (9) выводим уравнение

^ сИуй е) - е= - ^с11у5(и+ +и-). (12)

Выражения (11), (12) совпадают с уравнениями линейной теории слоя, полученными раньше в работе [1].

Далее рассмотрим задачу сжатия плоского слоя кольцевой формы (рис. 1). Ее решение получим двумя способами: по уравнениям нелинейной теории слоя и по точным уравнениям нелинейной теории упругости и результаты расчетов сопоставим. Лицевые поверхности слоя считаем жесткими, задача осесимметрична. Используем полярные координаты (г, в): г1 ^ г ^ г2, 0 ^ в ^ 2^, толщина слоя Н, внешний радиус К = г2.

Рис. 1. Кольцевой слой Уравнение (9) для кольцевого слоя можно записать в виде

1 З х Зв 1(1 Зв

------------1-'у I------

х Зх 1+ ^в Зх 2 \ 1+ ^в Зх

__ аг (л . 1 аг

~ 6 ~ ~~к V 2 7Г

(13)

г Х 2

х = ср = с—, 7=->>1, с =12—2,

К и ХН2

где аг/Н - относительное изменение толщины слоя. Граничные условия для уравнения

(13)

в = 0 при г = г1 и г = г2. (14)

Радиальное и и осевое w перемещения находим по формулам

3 К 2 1 Зв

и = ^-(1 “4СЬ----------

2 с 1+ ^в Зх

Н

™ = С,аг- —С(1 - 4£ )

1 З х Зв х Зх 1+^вЗх

1 с1е 1+^вЗх

Компоненты градиента деформации таковы:

ди ди дw дw и

9и = 1 + тр, 913 = 9 31 = т—, 9зз = 1 + т—, 922 = 1 Н—,

дг дг дг дг г

компоненты тензора деформации Коши сц = ¿ц + 2£ц = да1 дац

2

2

2 2 2 2 2

сіі = д її + 9 зі , сіз = сзі = дії діз + дзз дзі, дзз = д із + 9зз , с22 = д22 ,

а компоненты тензора условных (номинальных) напряжений віЗ = Оіадза, ЪчЗч а =1, 3; 5ц = О22д22.

Граничная задача нелинейной теории слоя (13), (14) решалась численно методом ортогональной прогонки. Параметры Ляме материала брались такими: /л = 1 МПа, А = 2500 МПа и А = 250 МПа. Параметры слоя были следующими: гі =2 см, г2 = Я = 8 см, толщина слоя варьировалась в широких пределах, на графиках представлены результаты расчетов для толщин Н = 0.4 см и Н = 1 см. На рис. 2 слева показаны графики зависимости функции е от координаты х для разных относительных осадок слоя аг /Н от 0.01 до 0.20. На рис. 2 справа приведены жесткостные характеристики слоя, верхняя кривая соответствует толщине слоя 0.4 см, а нижняя — 1 см. Модуль упругости А = 2500 МПа. Из рисунка видно, что зависимость силы сжатия ¥г от величины осадки слоя существенно нелинейная уже при малых осадках порядка 2%.

0.2 0.3 0.4 0.5 V Р2, кг

а2/к

Рис. 2. Функция е(х) и жесткостная характеристика слоя при А = 2500 МПа

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 х /^,кг

а2/к

Рис. 3. Функция е(х) и жесткостная характеристика слоя при А = 250 МПа

На рис. 3 показаны те же характеристики деформации слоя, но модуль Л был взят на порядок меньше, т. е. Л = 250 МПа.

Из графиков слева видно, что по мере увеличения осадки функция е приближается к своему предельному значению, равному е = —і/Л. Графики справа показывают, что начиная с некоторых значений осадок слоя сжимающая сила слабо растет с увеличением осадки. Это может быть связано с моделью материала. Известно, что модель материала Сен-Венана-Кирхгофа ограниченно применима при больших деформациях.

Были выполнены численные эксперименты для изучения деформации слоя на основе уравнений нелинейной теории упругости. Для решения нелинейной краевой задачи применялся метод конечных элементов [4]. Граничная задача нелинейной теории упругости решалась в вариационной постановке (2). На рис. 4 приведены жесткостные характеристики слоя толщиной 0.4 см (кривая 1) и 1.0 см (кривая 2). Модули упругости

1 = 1 МПа, Л = 250 МПа.

7^, кг 1600

1200 800 400 0

0.00 0.05 0.10 0.15

а2/Ъ

Рис. 4. Жесткостная характеристика слоя, рассчитанная по уравнениям теории упругости

Объяснение в тексте.

Г

0.25 0.40 0.55 0.70 0.85 1.00

4

///

0.02___ 0.04

-'''''006

е * 103

Рис. 5. Функция е(р) при осадках аг/К = 0.02, 0.04, 0.06

На рис. 4 видно, что при относительных осадках слоя 0.03 для кривой 1 и 0.06 для кривой 2 произошла потеря устойчивости. Величина силы сжатия начинает уменьшаться, хотя осадка увеличивается. Наблюдается закритическая деформация слоя. Это также говорит об ограниченности области применения рассматриваемой модели материала.

Зависимость функции е от переменной р (рис. 5) при тех же параметрах слоя примерно совпадает с полученной на основе нелинейной теории слоя (см. рис. 3) при осадках аг/Н менее 0.01, при больших значениях параметра наблюдается качественное и количественное отличие.

Представляют интерес графики рис. 6, где показаны компоненты тензора деформации Грина-Лагранжа £ц, £22, £33 (кривые 1, 2, 3) и след тензора е (кривая 4).

Рис. 6. Компоненты деформации слоя при осадке а г /К = 0.06 Объяснение в тексте.

Максимальные значения нормальных компонент тензора деформации £ц по абсолютной величине почти в 20 раз больше, чем след тензора. Компоненты поперечной деформации £¿3, г = 1, 2, в 5 раз больше нормальных компонент (рис. 6, справа). Нелинейная теория слоя дает приемлемые результаты в расчетах резинометаллических элементов при толщинах слоя Н/Я < 0.2.

На рис. 7, а, б показаны жесткостные характеристики слоя, полученные МКЭ по уравнениям теории упругости, для двух моделей материалов - Сен-Венана-Кирхгофа (кривые 1) и полулинейного гармонического материала (кривые 2). Параметры слоя были прежние, т. е. т\ =2 см, т2 = 8 см, Н = 1 см. Модули упругости ц = 1 МПа, А = 250 МПа (рис. 7, а), А = 2500 МПа (рис. 7, б). Модели полулинейного гармонического материала соответствует упругий потенциал [3] (Л - тензор кратностей удлинений)

Ф = 0, 5А("Ъг Л — 3)2 — 2^^г Л — 3) + 2^е.

Для полулинейного материала жесткость слоя оказалась существенно больше, чем для материала Сен-Венана-Кирхгофа. Здесь также наблюдаются потеря устойчивости и закритическая деформация при осадках более 0.03.

Рис. 7. Жесткостная характеристика слоя для двух моделей материала а - Л = 250 МПа; б - Л = 2500 МПа. Объяснение в тексте.

Расчеты показали, что уравнения линейной теории упругости (11), (12) в задаче сжатия слоя можно использовать только при малой величине осадки аг /Н - порядка 0.005.

Литература

1. Мальков В. М. Механика многослойных эластомерных конструкций. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 320 с.

2. Мальков В. М., Кабриц С. А., Мансурова С. Е. Нелинейные уравнения плоского слоя для трех моделей эластомерного материала // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 2001. № 1. С. 38-47.

3. Ма>льков В. М. Основы математической нелинейной теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 216 с.

4. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / пер. с англ.; под ред. Э. И. Григолюка. М.: Мир, 1976. 464 с.

Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым.

Статья принята к печати 10 марта 2011 г.