Построение дифференциально-алгебраических уравнений динамики систем с учетом уравнений связей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946+531 О. В. Шемелова

ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ СИСТЕМ

С УЧЕТОМ УРАВНЕНИЙ СВЯЗЕЙ

Ключевые слова: моделирование систем, управление системой, уравнения динамики, уравнения возмущений связей.

В работе осуществляется построение уравнений динамики управляемых систем, предусматривающих наличие элементов различной физической природы. Уравнения динамики составляются в форме уравнений Лагранжа и в форме уравнений Гамильтона. Рассматривается пример построения уравнений динамики в форме Гамильтона для механической системы.

Keywords: simulation of systems, control of system, dynamics equations, equations of disturbance of constraints.

The construction of equations of dynamics of controlled systems involving the presence of elements of different physical nature is implemented in the work. Dynamic equations are presented in the form of the Lagrange equations and Hamilton's equations. An example of constructing of the equations of dynamics in the form of Hamilton for mechanical systems is considered.

Моделирование обширного класса систем, в которых содержатся элементы различной физической природы и на уравнения которых накладываются голономные и неголономные связи, приводит к построению уравнений динамики. В соответствии с некоторой систематизацией входящих в эти уравнения динамических величин [1, 2, 3, 4], уравнения движения могут описываться в форме уравнений Лагранжа или в форме уравнений Гамильтона.

Дифференциально -алгебраические уравнения (ДАУ) в форме Лагранжа записываются в виде:

<7 = /, М/ + Ф< к + ц = Y, (1) ф = 0, ¥ = 0, где < = (<1,_,<п) - обобщенные координаты, / = (/1,_, /п) - обобщенные скорости,

) = у ,

Y(я,q,t) = Q - - (V +У , £ - функция

Лагранжа, Фч =

aq

y, =

v j у

Ф, (q,t) = 0;

i = 1,..., т1 - уравнения голономных связей, (/,q,t) = 0 , i = 1,..., т2 - уравнения

неголономных связей, / = 1,___, п, к , ц -

соответствующие векторы множителей к1,_, к , ц1, _, Лагранжа, Q - вектор обобщенных сил.

Для учета стабилизации связей вводятся уравнения возмущений связей [4], уравнение (1) разрешается относительно / . Полученные для него явные выражения вместе с < = / составляют

множество 2п явных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка для неголономных систем:

< = /,

f = M 1 <! Y -

где A1(f ,q,t) = ФqMФ,

Ф q " T " A A2 " -1

.A3 A4 _

Ф qM-1Y + Z1 -Ф YfM-1Y + Z2 - Y

,(2)

А2(/,q,t) = Ф <М -1Т/", А(/) := Ф<М-1Ф<, А4(/, t) := ¥,М-1Т/", ^,q,t) := 2Ф/ + Ф „,

^,q,t) :=чу + .

При составлении уравнений динамики управляемой системы с помощью функции Лагранжа £ и, в дальнейшем, выводимых из нее уравнений Лагранжа, а также интегралов движения предполагается задание обобщенных координат q и расходов q [1, 3]. Как известно, такое представление не является единственно возможным. Ряд преимуществ дает описание системы с применением обобщенных координат q и импульсов р, характерных при решении различных задач механики.

Известно, что при моделировании движения некоторой системы с помощью уравнений динамики в форме Лагранжа для системы с s степенями свободы строится s ДАУ второго порядка относительно s обобщенных координат q(t), зависящих от времени t.

Использование уравнений динамики в форме Гамильтона приводит к равносильной системе, содержащей 25 уравнений первого порядка относительно 5 обобщенных импульсов р^) и 5 обобщенных координат q(t) как функций времени

[5, 6].

Итак, перейдем к переменным t, q, р, где р = (р1,_, рп), р. - обобщенные импульсы.

п

Обозначим через Н величину ^ рД - £,

/=1

рассматриваемую как функцию переменных (^, р,. ,t), (/ = 1.....п). Тогда

n

SH = 8p(. - p, Sq,.)

, =1

или

сСд,. дН сСр, дН Л . ч

— = —, — =--, (, = 1,_,п i. (3)

С др,. С ад, 4 '

Движение любой системы, содержащей элементы различной физической природы, может быть описано дифференциальными уравнениями вида (3), которые называются каноническими уравнениями или уравнениями Гамильтона. Зависимыми переменными в этих уравнениях являются величины д,, р,, (, = 1,___), а система

состоит из 2п дифференциальных уравнений первого порядка. В то время как система уравнений динамики в форме Лагранжа содержит п дифференциальных уравнений второго порядка.

д=V рн, (4)

р + фчгк + Т/ ц = и , (5)

которая вместе с уравнениями связей представляет собой систему ДАУ в форме Гамильтона. В выражении (4) функция Н представляет собой функцию Гамильтона, а и = Q - VдН .

Также как и для уравнений Лагранжа для стабилизации связей в уравнениях Гамильтона составляются уравнения возмущений связей. Решение уравнения (5) относительно р позволяет получить явные выражения для р , которые вместе с уравнениями (4) составляют множество основных ОДУ для систем с неголономными связями:

д ^ рН,

р = и - 4 1 2 4 1 . , (6) В ] |_0з 04в^и + Р2-Т]

где 01 (р,д,:) = ф, й2 (р,д,:) = ф ,

0з( ) = В1Аф,

04( р, д,:) = вювТ, и( р,д,д,:) = Q -V ЧН, ^ (р,д,:) = V , рд р, д,д,:) = ф дV рдНд + ф дV ,н+2ф д:д + ф ::

р2(р,д,д,:) = вv рдНд+вv р1н+(вд+ь)дд+(вд+ь).

ОДУ в (6) являются, в общем, неявными, так как и, р и Р2 зависят от д. Эта зависимость устраняется посредством замены (4) для и, р и Р2 и ОДУ станут явными.

В результате преобразований из системы уравнений второго порядка и уравнений связей строится система ОДУ первого порядка с известными частными интегралами. Для полученной системы ОДУ можно использовать стандартные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений.

В работе [7, 8] описаны известные динамические аналогии, которые можно встретить в кинетических и динамических показателях разнообразных систем. Вследствие чего, предложенные методы могут быть использованы для построения уравнений динамики

обширного класса систем, в которых содержатся элементы различной физической природы [9].

Решим задачу, состоящую в построении уравнений динамики в форме Гамильтона, учитывающих уравнения возмущений связей, для известной механической системы. На рис. 1 показаны координаты перемещения д, и обобщенные импульсы р,. (, = 1,2,3,4).

Для кинетической энергии такой системы справедливо выражение:

Т = р2 + р2 + рз2 + р2

(6)

2т1 2т2

А потенциальная энергия системы V = 0 и диссипативная функция 0 = 0.

Уравнения голономных связей с учетом уравнений возмущений связей запишем следующим образом:

Ф1 - д2 + д2 - /2 = У1; (7)

Ф2 -(дз- д1)2+(д4- д2)2 -122 = у 2,

где уравнения возмущений связей удовлетворяют соотношениям у1 = с1у1 + с2у1, у2 = с3у2 + с4у2. Виртуальная работа:

51^ = Р,5д1 + Р,5д2 + Рз5дз + Р4 5д4. (8) Из выражения (8) следует, что обобщенные силы Q1 = Р,, Q2 = Р2, Q3 = Рз, Q4 = Р4. Тогда, принимая во внимание выводы (5), ДАУ в форме Гамильтона для представленной механической системы можно записать в виде:

д=/,

>1 - + 2 (дз - д1 )к

р=

р2 - 2д2К1 + 2 (д4 - д2 )к2

к

рз + 2(д1 - дз)

Р + 2(д4 - д2 )1

У

д4, р4

д2, р2 Р4 I 1-»д^ р1 г-

Т 1—► дз,

рз

= 0.

Рис. 1 - Двухзвенная рука робота

" 1- А/ тГ

/2 - р2/ т

1з - р^ ™2

/4 - р^ ™2 " д22 + д2 - /2 _(дз - д)2+(д4 - д2 )2 - ¡.

" У1"

_У 2 _

X

где q = (q1,^,q4), f = Cl.....) и p = (pi — ,p4).

Математическая модель динамики

представленной системы, построенная на основе фундаментальных положений аналитической динамики, позволяет исследовать ее поведение при введении дополнительных условий. Для полученных уравнений динамики системы в форме Гамильтона предусмотрено построение алгоритмов интегрирования этих уравнений.

Работа выполнена при финасовой поддержке РФФИ, проект №16-08-00558.

Литература

1. R.A. Layton, Principles of analytical system dynamics. Springer-Verlag New-York, 1998. 156 p.

2. Г. Ольсон, Динамические аналогии. Гос. изд. иностр. лит-ры, Москва, 1947. 224 с.

3. О.В. Шемелова, Вестник Казанского технологического университета, 18, 6, 192-195 (2015).

4. Р.Г. Мухарлямов, Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского, 49, 42-60 (2014).

5. О.В. Шемелова, Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы, 35, 184-191 (2003).

6. О.В. Шемелова, Теоретические и практические проблемы развития современной науки сборник материалов IX Международной научно-практической конференции (Махачкала, Россия, 29 ноября, 2015). Тезисы. Махачкала. 2015. С. 18-20

7. О.В. Шемелова, Вестник Казанского технологического университета, 16 , 12, 285-288 (2013).

8. О.В. Шемелова, Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, 1, 64-70 (2004).

9. О.В. Шемелова, Международный научно-исследовательский журнал. 1-1(8), 17-19 (2013).

© О. В. Шемелова - канд. физ-мат. наук, доц. каф. математики НХТИ КНИТУ, olgashemelova@yandex.ru. © O. V. Shemelova - the associate professor of mathematics of NCHTI KNRTU, olga-shemelova@yandex.ru.