CC BY
10
УДК519.711.3, 531 О. В. Шемелова
КЛАССИФИКАЦИЯ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
РАЗЛИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ
Ключевые слова: системы различной физической природы, унифицированное множество переменных, математическое
моделирование.
В работе рассматривается возможность систематизации и составления унифицированного множества переменных, которые описывают кинематику и динамику систем различной физической природы. Аналогии между физическими характеристиками позволяют использовать методы классической механики для исследования динамических процессов в таких.
Keywords: .systems of different various ofphysical nature, the unified set of variables, mathematic simulation, dynamics equations.
The article considers the possibility of systematization and compilation of a unified set of variables that describe the kinematics and dynamics of systems of different physical nature. The analogy between the physical characteristics allow the use of methods of classical mechanics for the study of dynamic processes in similar systems
При изучении самых многообразных явлений различной физической природы зачастую встречаются подобные явления, проявляющие практически одни и те же признаки и закономерности. В таких случаях указывают на наличие физических аналогий, или говорят об аналогичных системах [1, 2]. Современные системы управления имеют достаточно непростую структуру, включающую элементы различной физической природы. В первую очередь, проведение анализа динамики таких систем требует построения общей описывающей динамику системы математической модели [3]. Существующие между механическими, электрическими, акустическими и другими системами кинематические и динамические аналогии успешно используются при построении и исследовании математических моделей. Методы анализа систем, построенные на применении таких аналогий, очень часто оказываются весьма успешными при решении задач моделирования динамики. Такие методы позволяют сводить решения некоторых задач к решениям других ранее разрешенных задач часто из других разделов физики.
В работе предлагается обобщение и унификация множества переменных, которые описывают кинематику и динамику широкого класса систем.
В [1] определяется так называемое унифицированное множество переменных, которое включает следующие известные величины: перемещение, расход, усилие и импульс.
Предложенное унифицированное
множество может быть довольно успешно использовано для получения уравнений динамики не только механической системы. Применение динамических аналогий дает возможность получать уравнения динамики для широкого класса систем, содержащих элементы различной физической природы [1, 3, 4, 5, 6].
Наиболее известные к настоящему времени динамические аналогии позволяют воспользоваться известными методами классической механики для решения задач управления динамикой широкого
класса систем, содержащих элементы различной природы, в том числе производственными, экологическими и биомеханическими системами, а также экономическими объектами [3]. Процессы изменения состояния таких систем описываются дифференциально-алгебраическими уравнениями второго порядка, в основу составления которых входят кинематические соотношения, уравнения связей, уравнения динамики и целей управления, содержащих обобщенные координаты и скорости системы.
Соответствующие физические величины можно представить унифицированным множеством в виде таблицы 1.
Данная таблица позволяет сопоставить величины, подобные в каждой из четырех представленных в ней систем. Определенное сходство между этими величинами указывает на динамическую аналогию, существующую между этими четырьмя системами.
Таблица 1 - Унифицированные множества переменных для физических систем
Система Усилие е Расход Перемещение Я Момент Р
Механическая поступательная Сила Р Скорость V Положение X Импульс Р
Механическая вращательная Крутящий момент х Угловая скорость ю Угол 0 Момент импульса Н
Электрическая Напряжение е Сила тока / Заряд Я Магнитный поток X
Акустическая Давление Р Объемная скорость О Объем У Импульс давления Рр
Для проведения исследования динамики физических систем, в первую очередь, составляются системы дифференциальных уравнений, исходя из постановки задачи и соответствующих физических законов, а в дальнейшем осуществляется решение построенной системы дифференциальных уравнений и решается задача управления.
Для построения дифференциальных уравнений динамики рассматриваются величины, которые характеризуют динамическое поведение физических систем [6]. А так как уравнения динамики системы могут быть составлены в форме уравнений Лагранжа или в форме уравнений Гамильтона, среди динамических величин, входящих в эти уравнения, возможно провести некоторую систематизацию.
Одним из основополагающих условий в фундаментальных науках является принцип сохранения энергии. Как известно, в механической поступательной, механической вращательной, электрической и акустической системах энергия может быть представлена в трех видах: кинетическая, потенциальная и тепловая. Кинетическая энергия системы определяется скоростями, присутствующими в системе; потенциальная энергия обуславливается
конфигурацией системы или ее деформацией. Во всех четырех системах энергия, превращается в
Таблица 2 - Функции, характеризующие динамическое поведение физических систем
Система Механическая поступательная Механическая вращательная Электрическая Акустическая
Кинетическая энергия T = T (р, q, t) и кинетическая коэнергия T = T (, q, t)
T (р, q,t) р2 2m H2 2I X2 2L Рр2 21,
т ( ^) 1 2 —mv2 2 —I®2 2 —L . / 2 2 —о'
Потенциальная энергия V = V ^, t) и коэнергия V* = V* (е, t)
V t) — kx2 2 — —^2 2 ° q2 2С V2 2С,
V Ы) F2 2к х2 2к0 — С. е2 2 —о2
Диссипативная функция D = D(f, t) и кофункция G = G(e, t)
D(f ^) —bv2 2 К 2 — ЬМ2 2 ° q2 2С — —ъо2
G(e, t) F2 2Ь х2 2Ь0 е2 2Я Р2 2Я,
тепло в рассеивающей части системы. Такая энергия определяется как диссипативная функция или функция рассеяния.
Как известно, кинетическая энергия может быть выражена через импульс (р), либо же является
функцией скорости (расхода f). В [1] предлагается называть кинетическую энергию, выраженную через расход T = T (^, q,t) кинетической коэнергией.
При этом при составлении уравнений динамики физических систем в форме уравнений Лагранжа используется функция Т' = Т'((, q, t), т.е. кинетическая коэнергия, а уравнения Гамильтона составляются с использованием функции T = T (р, q, t), т.е. кинетической энергии. Подобным образом определяются понятия потенциальной энергии V = V^, t) и потенциальной коэнергии
V' = V' (е, t), а также D = D(f, t) - диссипативной
функции и G = G(e,t) - диссипативной кофункции.
В таблице 2 представлены наиболее известные динамические аналогии для величин, которые характеризуют динамическое поведение систем различной физической природы.
Рассмотрим пример составления выражения для кинетической коэнергии для системы, представленной на рисунке 1.
m
железный сердечник
катушка
Рис. 1 - Соленоид
Так кинетическая коэнергия T соленоида функционально зависит от скорости передвижения v = х железного сердечника, а также от силы тока i = q в катушке. А поскольку индуктивность катушки L(x) функционально зависит от перемещения сердечника, кинетическая коэнергия Т' также является функцией от перемещения x .
Поэтому в итоге выражение для кинетической коэнергии представленной системы имеет вид:
1 1
Т ((,)(, x) = [ mX dx + [ L(x)q dq = — mX2 + — L(x)q2. .) л 2 2
Как уже упоминалось ранее, построение уравнений динамики широкого класса систем, содержащих элементы различной физической природы можно проводить в форме уравнений Лагранжа или Гамильтона (в канонических переменных) [4, 7, 8, 9]. При этом полученные уравнения содержат неопределенные множители Лагранжа к и ц .В результате определения аналитических выражений для множителей
Лагранжа строится система дифференциальных уравнений динамики, для которой заданные уравнения связей являются интегралами.
Построенные уравнения Лагранжа второго рода путем математических выкладок преобразовывается к виду, разрешаемому относительно старших производных.
Преобразование системы уравнений Лагранжа второго порядка и уравнений связей к виду системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с известными частными интегралами дает возможность использования стандартных численных методов для решения уравнений движения.
В конечном итоге, можно сказать, что аналогии, встречающиеся в динамических показателях разнообразных динамических систем, дают возможность описывать фазовое состояние широкого класса систем, содержащих элементы различной физической природы, с помощью унифицированных переменных. А для исследования процессов динамики таких сситем позволяют использовать методы и модели классической механики.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ,
проект № 13-08-005.
Литература
1. R.A. Layton, Principles of analytical system dynamics. Springer-Verlag New-York, 1998. 156 p.
2. Г. Ольсон, Динамические аналогии. Гос. изд. иностр. лит-ры, Москва, 1947. 224 с.
3. Р.Г. Мухарлямов, О.В. Матухина, А.А. Ахметов. Вестник ТГГПУ, 24, 2, 25-37 (2011).
4. О.В. Шемелова, Вестник Казанского технологического университета, 16 , 12, 285-288 (2013).
5. А.Г. Багоутдинова, Я.Д. Золотоносов, О.В. Шемелова, Вестник Казанского технологического университета. 17, 14, 199-201 (2014).
6. Р.Г. Мухарлямов, Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского, 49, 42-60 (2014).
7. О.В. Шемелова, Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, 1, 63-71 (2003).
8. О.В. Шемелова, Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, 1, 64-70 (2004).
9. О.В. Шемелова, Международный научно-исследовательский журнал. 1-1(8), 17-19 (2013).
© О. В. Шемелова - канд.физ.-мат.наук, доцент кафедры математики НХТИ КНИТУ, olga-shemelova@yandex.ru. © O. V. Shemelova - the associate professor of mathematics of NCHTI KNRTU, olga-shemelova@yandex.ru.
