Постоянная распространения в прямоугольном волноводе с боковыми стенками в виде конфокальных эллипсов Текст научной статьи по специальности «Математика»

зенцева Л.Т. - М.: Транспорт, 1981. 8.

4. Радиолокационные устройства. Под ред. Григорина-Рябова -

М.: Советское радио, 1970. 9.

5. Бакулев П.А. Степин В.М. Методы и устройства селекции движущихся целей. - М., Радио и Связь, 1986. 10.

6. Бункин И.Б.,Воронов В.С.,Каспирович А.Г.,Кононович В.Я., Лаврентьев В.Н./ а.с. СССР №210353.

7. Жук Н.Н.,Каспирович А.Г.,Кононович В.Я.,Лаврентьев В.Н./ а.с. СССР №323712.

Жук Н.Н.,Каспирович А.Г.,Кононович В.Я.,Лаврентьев В.Н., Мирутенко В.С. / а.с. СССР №278378.

Кононович В.Я., Кукольницкий А.Ф., Лаврентьев В.Н., Мирутенко В.С. / а.с. СССР №275280.

Кузьмин С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. - М.: Радио и связь. 1986.

Надшшла 29.09.99

УДК 621.372.852

ПОСТОЯННАЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ, С БОКОВЫМИ СТЕНКАМИ В ВИДЕ КОНФОКАЛЬНЫХ ЭЛЛИПСОВ

Л. М. Логачева, В. П. Бондарев

Предлагается анализ нерегулярного прямоугольного волновода, который образован конфокальными эллипсами. Продольная ось волновода изогнута в плоскости E. Анализ представляется с использованием системы координат "эллиптический цилиндр", а также аппарата функций Матье.

До уваги пропонуеться аналгз нерегулярного прямокутного хвилеводу утвореного конфокальними елгпсами. Повздовжня в1сь хвилеводу скривлена у площинг E. Для аналгзу застосову-еться система координат "елттичний цилтдр" та апарат функцгй Матье.

The analysis of irregular rectangular waveguide constructed of confocal ellipses is presented. Axe of the waveguide is curved in the E -plane. The analysis was done in elliptic cylinder coordinates and with the help of Mathieu functions.

ВВЕДЕНИЕ

Задача о волноводах нерегулярного характера решалась во многих работах. Некоторые из них посвящены теории волноводов переменного сечения, но постоянного направления. Другие авторы излагают теорию изогнутых волноводов постоянного сечения.

Волновые процессы в изогнутых трубах изучены далеко не так тщательно и всесторонне, как вопросы распространения волн в прямых трубах постоянного сечения. Эти задачи имеют не только математический интерес, но и большое прикладное значение.

До последнего времени в основном рассматривались волновые процессы, которые происходят в трубах постоянного сечения с осью, изогнутой по окружности. В данной работе предлагается способ, позволяющий изучить произвольные изгибы волновода при одновременной деформации его боковой поверхности.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим нерегулярный волновод, который представляет собой отрезок волновода с меняющимся поперечным сечением, внутренняя поверхность которого представляет собой конфокальные эллиптические цилиндры. Продольная ось волновода изогнута в плоскости E и стенки являются идеально проводящими.

Введем систему координат "эллиптический цилиндр" и рассмотрим ее так, чтобы вертикальная ось совпала с осью, вокруг которой изогнут волновод, а начало координат лежало в одной плоскости с нижней стенкой волновода (рис.1).

Криволинейные координаты u , v связаны с прямоугольными соотношением [4]:

x = Cgchu cos v,

y = CQshusinv, - (1)

z = z,

где 0 < u ; 0 < v < 2n ; < z ; CQ - фокусное расстояние.

Параметр u определяет степень эллиптичности цилиндра, а величины C^chu и C oshu дают характерные размеры сечения (полуоси).

В этой системе координатными поверхностями являются поверхности, определяемые уравнениями

2

2

c0ch2u

_У_

c0sh2u

=1

(u = const) 2

С 2 2 fi2 • 2 0 cos v C0 sin v

v = const z = const

=1

+

2

эллипса можно определить:

а)

X

У=271

иссопе!

- и^сог^

+У

б;

а - общий вид исследуемого волновода; б - сечение волновода плоскостью г=0

Рисунок 1

Первое из этих уравнений описывает уравнения семейства эллиптических цилиндров с межфокусным расстоянием 2Со , второе уравнение - семейства софокус-

ных двуполостных гиперболических цилиндров [6].

Так как большая и малая полуоси координатных эллиптических цилиндров равны, соответственно

а = СдсЬм , Ь = СдзЬм , то эксцентриситет семейства эллиптических цилиндров будет определяться соотношением

е = 4-= 1 - (Ь

сЬи V V а.

Изменяя эксцентриситет е, можно в значительных пределах варьировать форму поперечного сечения. При этом можно легко осуществить предельные переходы, с одной стороны, к равномерноизогнутому волноводу (е ^ 0), с другой - к плоскопараллельной системе (е ^ 1 , Со ^ , где Со - большая полуось эллипса).

При известных размерах большой и малой полуосей

Со = л/а2 - Ь2 ;

и = Лг1ЬЬ = ЛгсЬ1 , ае

(3)

(4)

где и - координата границы эллиптического цилиндра.

Выходное сечения рассматриваемого волновода - стандартное ( а х Ь ). Вдоль длины волновода размер широкой стенки остается неизменным; размер узкой стенки изменяется в зависимости от величины эксцентриситета.

Введем обозначения:

Ь1 - размер малой полуоси внутреннего эллиптического цилиндра;

а1 - размер большой полуоси внутреннего эллиптического цилиндра;

Ь2 = Ь1 + Ь - размер малой полуоси внешнего эллиптического цилиндра;

а2 = а1

+ Ь' - размер большой полуоси внешнего эллиптического цилиндра;

Ь - размер узкой стенки волновода (входное сечение);

Ь' - минимальный размер узкой стенки волновода в направлении больших полуосей конфокальных цилиндров;

а - размер широкой стенки волновода (входное сечение) .

Считаем, что размеры больших и малых полуосей конфокальных эллипсов значительно больше длины волны ( а1 » X , а2 » X , Ь1 » X , Ь2 » X ).

Знание одной из плуосей эллипса и величины минимального размера узкой стенки волновода дает возможность установить аналитическую зависимость размеров конфокальных эллипсов.

Ь1

Исходя из вышесказанного, задавая отношения — и

Ь

Ь , получим формулу, позволяющую определить остальные размеры конфокальных эллипсов (рис.1).

Используя условие равенства фокусных расстояний, можно записать:

где

2 2 2 2 а1 - Ь1 = а2 - Ь2 ,

а2 = а\ + Ь'

Ь2 = Ь1 +Ь

(5)

(6)

Подстановка (6) в выражение (5) дает следующую формулу:

а_\_ = 2 а + в! 2 + 1

2 ав

(7)

Ь1 о Ь' где а = — , в = - . ЬЬ

1

Выражение (7) позволяет установить зависимость коэффициентами [6] вытекает, что уравнение (15) имеет

между размерами конфокальных элементов и определить решение вида

координатные границы эллипсов: ж ж

Ь1 Ьг) N(v) = ецу £ B2mei2mv + е-цу £ B2n¡e-i2п, (16)

m = -ж п = -ж

где ц - некоторая постоянная, называемая характери-

u. = Arth—- , u2 = Arth-2- . (8)

1 п . 2 /í„

'1 "2

стическим показателем, который зависит от параметров РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ а и д . Для полосы заграждения параметр ц является

Рассмотрим распространение электромагнитных волн действительньш или комплексным числом, а для полосы в исследуемом волноводе. В случае установившихся ко- пропускания - мнимым (ц = гс). Под с понимается

лебаний (временная зависимость е^' опускается) зада- число, заключенное в пределах 0 <с < 1 [1]. Полагая ча сводится к решению волнового уравнения ц = гс, получаем

AU + k2U = 0 (9)

= 0 . (10) или в тригонометрической форме

N( V) = e'cv V B 2mv + e-icv v B e-i2mv (17) с грэничным условием N(v> e £ B2me +e £ B2me ' ( )

dU - m = -ж m = -ж

д n

S

Запишем уравнение (10) в выбранной системе коорди_ Nv = £ в2mcos(c + 2m)v + £ B2msin(c + 2m)v .(18) нат, взяв за исходную величину продольную составля-

m = -ж m = -ж

ющую магнитного поля H Ряды вида

z

Hz = N(v)F(u) sin—z , (11) cec + 2m(v, q) = £ B(fn+ 2m)cos(c + 2m)v , (19)

mn a

где N - функция переменной v ; F - функция пере-

. mn „ se + 2 (v, q) = Y BÍc + 2m)sin(c + 2m)v (20)

меннои u ; sin —z - множитель, характеризующий зави- c + 2m z^2m 4 '

m = —<*>

симость поля H от координаты z . называются функциями Матье, а Bm - табулированные

Волновое уравнение коэффициенты, зависящие от q .

AHz + k2Hz = 0 (12) Функция cec + 2m(v, q) является четной угловой функ-

приобретает в случае системы "эллиптический цилиндр" цией Матье действительного дробного порядка, а

следующий вид sec + 2 ^ (v, q) - нечетной угловой функцией того же 2 2

д Hz д Hz порядка.

-z +-z + H 2q( ch2u - cos2 v) = 0, (13) ^ ,

du 2 dv2 z Решение уравнения (15) называются модифицирован-

^2 2 ными функциями Матье. Модифицированные функции

где q = KС2-4° ; KС = K2 - ^П) ' K = ^ , получаются из (20, 21) подстановкой туда iu вместо v :

C0 - параметр преобразования координат; параметр q ce (u ) = ce (iv q) =

0 c + 2m^ ' ^ c + 2m'

всегда является положительным.

Воспользовавшись методом разделения переменных, ~ ~ (d)

представив решение (14) в виде (12) получим: = ^ B2mch(c + 2m)u = e CU ^ B2me mU 2

(a - 2 q cos2v) N = 0, (14) sec + 2m(u, q) = sec + 2m (iv, q) =

dv2

- (a - 2qch2u)F = 0, (15) = у sh(c + 2m)u = ecu у r e2mu . (22)

d^ ¿-1 2m y ' A-t 2m

в котором a - постоянная разделения. Следовательно, общее решение уравнения (16) можно

Уравнение (15) есть уравнение Матье в канонической выразить в виде форме. Постоянная a должна иметь такую величину, которая при заданном q дает периодическое решение урав-

m = m = —~

нения Матье для функции N(v) . Уравнение (16) явля- Выбирая форму решения уравнения в частных

ется модифицированным уравнением Матье. производных с постоянными коэффициентами, обычно

Из общей теории таких уравнений с периодическими ссылаются на те°рему флоке [4L в °сн°ве которой

лежит представление решения в виде бесконечного

F(u) = ^ B2mch(c + 2m)u + £ B2msh(c + 2m)u . (23)

m--^

набора пространственных гармоник.

Учитывая вышесказанное, для уравнения

2

д N

д V2

+ (а — 2дcos2v)N = 0 ,

(24)

справедлива теорема Флоке, которая устанавливает существование решения, вида (18).

Так как нас интересует область пропускания, ищем решение (25) в виде

Щ(V) = £ В2те>(с + 2т)v ,

Обозначив

е2 =--д-

2т

е_Ав_б + в_4 + е_4В_2 = о

е-2 В—4 + В—2 + е-2В0 = 0 е-0В-2 + В0 + е0В2 = 0 е2В0 + В2 + е2В4 = 0 е4 В 2 + В 4 + е4 В 6 = 0

(31)

(25)

что соответствует распространению волны в сторону возрастания координаты V .

Различные составляющие Щ( V) называются пространственными гармониками распространяющейся волны. Физически величины В = с + 2т имеют смысл постоянных распространения этих пространственно гармонических вкладов в полном поле. Пространственные гармоники не существуют независимо, они в совокупности -составляющие полного решения.

Подставляя (25) в волновое уравнение (24), получаем

(с + 2т )2ес £ В2те2'т +

т = —<

+ (а + 2д cos2v) е'^ £ В2те2'т = 0, откуда имеем

Из равенства нулю определителя системы, что является необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения однородной системы линейных алгебраических уравнений, получается дисперсионное уравнение в матричной форме, решением которого является постоянная распространения С . Выбор порядка определителя позволяет учесть любое число пространственных гармоник.

Таким образом, получено дисперсионное уравнение относительно постоянной распространения:

Д( С) =

(26)

. е—4 1 е—4 0 0 0 0 .

. 0 е—2 1 е—2 0 0 0 .

. 0 0 е0 1 е0 0 0 .

. 0 0 0 е2 1 е2 0 .

. 0 0 0 0 е4 1 е4 .

= 0 .

(32)

—(с + 2т)е'^ £ В2 е2'т + ае£ В2 е2т + 4 ' 2 т 2 т

т = —< т = —<

+ ае'^е2 ^ £ В2 е2 ш v + (27)

2

т = —<

+ де'^е-2 ^v £ В2т е2гт v = 0.

Приравнивая соответствующие слагаемые для различных значений т , получим рекуррентные соотношения

[а — (с + 2т)2 ] В2т — Ч (В2т + 2 — В2т — 2) = 0. (28) Рекуррентная формула (28) дает возможность получить бесконечную систему линейных уравнений, устанавливающих соотношения между коэффициентами

В2 . 2

Матрица системы является разряженной и содержит ненулевые члены только на трех диагоналях. Определитель (32) будет абсолютно сходящимся [2].

Найдя постоянную распространения С из (32), определим затем из (31) величины коэффициентов В2т, а

тем самым, и окончательное решение уравнения (24). Отметим, что выражение (32) есть дисперсионное уравнение рассматриваемого волновода. Набор корней этого уравнения даст совокупность значений постоянной распространения электромагнитных волн в данном волноводе.

При решении дисперсионного уравнения (32) основные трудности заключаются в подробном анализе этих корней. Можно обойти эту трудность, обратившись ко второму модифицированному уравнению Матье (16), решение которого можно записать в виде (33)

Я и) = С1 Сес + 2т(и Ч) + С2^ес + 2т(и Ч)

(33)

(29)

[а — (с + 2т)2 ] ' найдем из (28)

В2 + е2 (В2 2 + В2 + 2) = 0. (30)

2т 2тч 2т — 2 2т + 2' 4 7

Придавая в (30) последовательно значения

... — 2, —1, 0, 1, 2,... , образуем систему линейных уравнений

Функции Сес + 2т(и, д) и Бес + 2т(и, д) выбраны так, чтобы нормальные производные и) обращалась в нуль

du

du

= 0 .

(34)

Применив граничные условия (34) к выражению (33), получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов С1 и С2 :

С1Се'с + 2т(и1, Ч) + С25е' с + 2т(и1' Ч) = 0,

С1Се' с + 2т(и2' Ч) + С25е'с + 2т(и2' Ч) = 0,

}

(35) Се

(36) 5

(и, Ч) =

в которых Се'с + 2т(и1, ч), Се'с + 2т(и2, ч) - производные четной радиальной функции Матье действительного дробного порядка; 5е'с + 2т(и1, д) , 5е'с + 2т(и2, д) - производные нечетной радиальной функции Матье того же порядка.

Потребовав выполнения граничных условий (34), приходим к характеристическому уравнению

Се'с + 2т(и1, Ч)5е'с + 2т(и2' Ч) —

— Сес + 2т(и2, Ч)5е'с + 2т(и1' Ч) = 0 . (37)

Переменной в этом уравнении служит не аргумент

функции Матье, а их порядок Рт = с + 2т , который является постоянной распространения рассматриваемого волновода. Аргументы зависят от частоты и размеров волновода и остаются постоянными, если эти величины выбраны правильно. При отсутствии потерь в волноводе аргумент действителен. Поэтому постоянные распространения является либо чисто действительные, либо чисто мнимы, как и следовало ожидать из физических соображений.

Действительные постоянные распространения соответствуют распространяющимся волнам; остальные мнимые - соответствуют затухающим типам волн.

Трансцендентное уравнение (37) решается численно. При решении уравнения встречаются трудности, так как даже при малых значениях эксцентриситета е могут получится большие значения д , а поэтому пользоваться представлениями функций Матье вида (22, 23) следует с осторожностью. С ростом параметра д появляется неустойчивость вычислительных алгоритмов расчета постоянных распространения, которая объясняется ухудшением сходимости рядов вида (22, 23).

Эти ряды пригодны для численного счета при сравнительно небольших значениях параметра д, величина которого зависит от фокусного расстояния и от длины волны возбуждения.

Численная оценка полученного выражения затруднительна, в силу сложности теории эллиптических волновых функций и отсутствии их табуляции. Если таблицы функций Матье целого порядка для сравнительно небольших отношений межфокусного расстояния С0 эллипса к длине волны еще встречается [6], то таблицы функций Матье дробного порядка встречаются редко, а в случае большого д отсутствуют вовсе. Поскольку в рассматриваемой задаче д достаточно велико (40...130), то возникает проблема о сохранении устойчивости системы в области больших значений д . Этого можно достичь с помощью представлений модифицированных функций Матье в виде произведения функций Бесселя [1]:

(38)

= £ (—1)"1В2т[1т(11 )1с + т(Ь)± 1с + т^1 )№)] где Г1,2 = 4де±и .

Ряды (38) при и конечном абсолютно и равномерно сходятся, а, следовательно, функции Матье, представляемые этими рядами, непрерывны в любой конечной плоскости и [1]. В соответствии с теоремой о дифференцировании функциональных рядов [6] выражение (38) представляет собой разложение в ряды функций

Г Се— (и, ч)! для любого конечного и , то есть d^Sec + 2 т -1

^У^т(" Ч ^ =

= £(—1)тВ2т{[1с + т (^еи )^т (^) +

+ !тиче-и)^с + т(№)] ±

±[1тичеи) ^с + т^Че-и) +

+ ^ + т^Че-1^т(</чеи)]\ (39)

" (4че±и)

где ^т^Че±и) = т Хиче±и) — (^±и) , (40)

^с + т ^Че±и) =

du

= ^ + т 1 (^±и )■

с + т

1с + тиче±и) . (41)

(4Че~и) с + ^

Найденные выражения для производных (39, 40, 41) от представлений (38) с учетом граничных условий (34) подставляют в характеристическое уравнение (37). В результате подстановки, задача сводится к нахождению постоянной распространения из набора ее значений, которые являются корнями дисперсионного уравнения (32), дающей минимум выражения (37). Обсуждение результатов расчета не предусмотрено в этой статье.

ВЫВОДЫ

1. Получено выражение (1.7), позволяющее установить зависимость между размерами конфокальных эллипсов.

2. Получено дисперсионное уравнение в матричной форме (32) решение которого дает набор значений постоянной распространения электромагнитных волн в данном волноводе.

3. Для оценки корней дисперсионного уравнения (32) составлено характеристическое уравнение (37). Переменной в этом уравнении служит порядок функции Матье, который является постоянной распространения.

3. А. Никонова, О. Ю. Небеснюк, Е. В. Друзева: АНАЛОГИЯ МЕЖДУ СИСТЕМАМИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ И ЗАКОНОМЕРНОСТЯМИ РАБОТЫ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ СВЧ ДИАПАЗОНА

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. - М.: Иностр. литература, 1953. - 475 с.

2. Уитткер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Трансцендентные функции, Т.2. - М.: Физматгиз, 1962. -525 с.

3. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. - Л.: Из-во Военной Краснознам. акад. связи, - 1949. - 425 с.

4. Бейтман Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции,

Т.2. /Пер. с англ. - М.: Наука, 1974. - 296 с.

5. Таблицы для вычисления функций Матье, собственные значения, коэффициенты, множители связи. - М.: ВЦ АИ СССР, 1967, вып. 42. - 610 с.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. - Н.: Наука. Гл. ред. ФНЛ, 1974. - 832 с.

Надшшла 25.01.99 ГОсля доробки 14.09.99

УДК 621.385.6

АНАЛОГИЯ МЕЖДУ СИСТЕМАМИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ И ЗАКОНОМЕРНОСТЯМИ РАБОТЫ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ СВЧ

ДИАПАЗОНА

3. А. Никонова, О. Ю. Небеснюк, Е. В. Друзева

Принципы построения многоустойчивой логической схемы на СВЧ микроэлектронных структурах, моделирующей КВЧ управляющую систему живых клеток.

Принципи побудови багатостткоЧ лог1чноЧ схеми на НВЧ мжроелектронних структурах, яка моделюе КХЧ управляючу систему живо'1 клгтки.

The principles of construction of multisteady logical scheme on super-high-frequency structures, simulating KHF controlling system of living cells.

Наиболее интересными областями нетрадиционного использования СВЧ электромагнитных колебаний (ЭМК) является медицина, биофизика, биотехнология. В результате исследований был обнаружен ряд закономерностей взаимодействия излучения с биологическими объектами. Как указывалось [1,2], в некоторых практически важных случаях взаимодействие носит не энергетический характер, т.е. не обусловлено тривиальным нагревом вещества. В этом случае обычно говорят об информационном характере взаимодействия. Биологический объект, как любое физическое тело, является источником равновесного электромагнитного излучения (ЭМИ). Для тела с температурой около 300К такое тепловое излучение наиболее интенсивно в инфракрасном диапазоне волн. В этом диапазоне биологический объект, например, человек, излучает очень большую мощность, примерно 10 мВт с квадратного сантиметра поверхности своего тела, в целом около 100 Вт [3]. Это излучение далеко уходит от человека, попадая в окно прозрачности атмосферы (длина волны 8 - 14 мкм). Интерес представляют не сами по себе ЭМИ, которые уходят от биологических объектов, а возможность переноса по этим каналам информации, связанной с работой внутренних органов. Измеряя распределение полей в пространстве, окружающем объект, можно получить информацию о распределении температуры и

источниках электрических, магнитных, акустических полей в глубине объекта. Это открывает возможность дистанционной диагностики функциональной активности внутренних органов. Установлено, что информационными могут быть воздействия от постоянных напряжений и до ЭМК самых высоких частот. При этом выбор частот ЭМК определяется рядом факторов: глубиной проникновения ЭМК в организм; достаточностью энергии квантов для разрыва внутримолекулярных связей; наличием собственных электромагнитных колебаний в организме и резонансных частот при воздействии на него ЭМК; использованием источников когерентных и некогерентных колебаний; выбором времени воздействия, возможность использования многократных воздействий.

Рассматривая аналогию между некоторыми системами живых организмов и техническими СВЧ устройствами, установлено, что особенности и закономерности работы технических устройств диапазона СВЧ, будучи приложенными к изучению влияния электромагнитных колебаний на процессы управления в живых организмах, могут облегчить понимание некоторых из этих вопросов.

Поступающие извне электромагнитные колебания по эффекту информационного воздействия на организм могут быть подобны сигналам, вырабатываемым системами обработки информации организма.

Задачей исследований явилось определение максимального повышения скорости перестройки элементов, представляющих аналогию клетки, с помощью внешнего сигнала. Для решения этой проблемы разработана модель КВЧ управляющей системы живых клеток, которая представляет собой многоустойчивую логическую схему на КВЧ микроэлектронных структурах. Принципы построения: многоустойчивая логическая схема состоит из СВЧ приборов, управляющие электроды которых расположены на расстоянии « 0, 25X собственных колебаний