Эффективный метод расчета критических длин волн собственных мод эллиптического волновода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Итигщюв Г. Б., Сажин В. И., Ширапов Д. Ш. УДК 621.372.823

эффективный метод расчета

критических длин волн собственных мод эллиптического волновода

Эллиптические волноводы находят в настоящее время довольно широкое применение в технике СВЧ [1-4]. Отметим, что математический анализ эллиптических волноводов значительно сложнее, чем круглых и прямоугольных. Поэтому определение параметров распространяющихся в них электромагнитных волн получается весьма громоздким, требующим применения численных расчетов на ЭВМ.

Решения задачи для эллиптического волновода можно получить методом разделения переменных, однако для уравнений Матье собственные значения вычисляются лишь приближенно и при помощи различных итерационных методов, например, метода Келлога [3]. Данный метод является достаточно эффективным, но недостатком является то, что вместо стационарной динамической задачи решается последовательность соответствующих ей статистических задач. При анализе эллиптических волноводов также используются методы Ритца, Релея-Ритца, Галеркина [3,4,5] и другие. Но основной проблемой при реализации проекционных методов является выбор базисных и проекционных систем функций [6]. Кроме того, возникает необходимость разработки специальных алгоритмов и программ, реализующих эти алгоритмы. В связи с тем, что при вычислении собственных значений и корней функций Матье итерационными методами существуют определенные трудности, является актуальным использование пакетов прикладных программ для того, чтобы избежать громоздких математических выкладок.

Целью данной работы являются вычисление критических длин волн для различных мод эллиптического волновода с применением стандартного пакета Maple 10 [7] , имеющего встроенные функции Матье, тестирование аналитических решений дисперсионных уравнений ЕН и НЕ волн в регулярном эллиптическом волноводе с гиротропным заполнением при продольном подмагничивании,

полученных в [8]. Также проводится дальнейший анализ полученных в [8] дисперсионных уравнений для эллиптического волновода с длиной большой оси 2$ = 2 см и эксцентриситетом Е =0,5 на основе вычисления критических длин волн различных мод.

При анализе электродинамических характеристик волновода форма поперечного сечения определяет выбор подходящей системы координат [8]. Эллиптическая система координат, используемая при анализе эллиптических волноводов, определяется как пересечение двух взаимно-ортогональных семейств софокусных эллипсов и гипербол [8]. Каждая точка пересечения имеет координаты х = е ■ ск£ ■ собр, у = е ■ ■ Бтр,

V2 2

$ — О - половина расстояния между фокусами, $ и О - большая и малая полуоси эллипса, радиальная эллиптическая координата, р - угловая эллиптическая координата. Координата ф меняется от 0 до 2к (когда точка описывает один раз полный эллипс), а координата £ меняет-

( 1 ^ е ся от 0 до = агссЫ — I, где Е = — - эксцен-

^ Е ) $

триситет.

Тензор магнитной проницаемости феррита при продольном подмагничивании имеет вид [6]:

и 0

И = - jK И 0 , (1)

0 0 И | _

где л, к - составляющие тензора, являющиеся функциями циклической частоты w , намагниченности М0 и приложенного магнитного поля Н0, направление которого в данном случае совпадает с продольной координатой 2; компонента тензора Л не зависит от напряженности магнитного поля.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

У=

w^Sj

Kl Xf} ±л!w4s2k2 + 2e2 d2

K% x Kl )

4e4d 4

, (2)

где s, ju- диэлектрическая и магнитная проницаемости; К? = -l X 2qch2%; K = l - 2q cos2i; l

2 2 SS- 2

-постоянная разделения; q = —e -параметр

4a

модифицированного уравнения Матье; S ± = w2s(j± k)-y2; a 2 = w2sju-y2;

у = ßx ja - постоянная распространения; ß -коэффициент фазы; a - коэффициент затухания; e - полуфокусное расстояние;

d2 = 0,5(ch2% — cos2i), k - компонента тензора магнитной проницаемости феррита.

А для НЕ волны дисперсионные уравнения примут вид [8]:

у = w j

U(k% X Kl)

2 je d

„2„,_ U\K% ' Ki)± Iw4s2k2 xU(k% ' Ki

'2K% XKl) w2sk2

4ujie d je d

(к] х к;). (3)

В выражении (3) параметр q немного отличается от значения в формуле (2), а именно:

2 2

q = J S4- e 2

U 4c

2

(4)

2 1^2 ,2 ,.,2„ U — k

где c = w s-

U

у2.

K 2 X K 2

' = ß = Vw^su-K2 = Jw2sj -kL_k1

4q

(5)

к] х к;

где К =--—---поперечное волновое число.

ей

Из (5) при / =0 вычисляется критическая длина волны:

т®Е

ЛКр

'

(6)

где 5 - большая полуось эллипса; Е - эксцентриситет.

Применив метод разделения переменных к волновым уравнениям ЕН и НЕ волн в эллиптиче-

Дисперсионные уравнения для ЕН волны в эллиптическом волноводе с гиротропным (ферри-товом) заполнением при продольном подмагничи-вании имеет вид [8]:

ском волноводе с гиротропным заполнением при продольном подмагничивании [10], получим по два отдельных уравнения. Для ЕН волны имеем:

d2E

i

dl2

d E

d%

X (l - 2q cos 2i)El = 0; % -(l - 2qch2%E = 0,

(7)

где q =

22

Sx S- 2

4a2

e , l - постоянная разделения.

Первое уравнение системы (7) называется обыкновенным уравнением Матье, а второе - модифицированным (присоединенным) уравнением Матье [9]. А для НЕ волны получим:

d2 И, dl d2 И

d%'

x(b - 2q cos 2l)H = 0; % -(b - 2qch 2%)И = 0,

(8)

Для изотропного случая (к = 0; ^ = ц)

выражения (2) и (3) полностью совпадают и примут вид (при а =0) [8]:

Только в выражении (8) параметр модифицированного уравнения q будет равен формуле

(4).

Обыкновенные уравнения Матье имеют 2п периодические решения, называемые функциями Матье целого порядка т и обозначаются согласно [9]: сет (;, q) -четные решения и 5ет (;, q) -нечетные решения. Модифицированные же уравнения Матье имеют 2ж- ] периодические решения ( ] - мнимая единица), называемые модифицированными функциями Матье целого порядка т и обозначаются следующим образом [9]: Сет (], q) - четные решения; $>ет (], q) - нечетные

решения. Модифицированное уравнение Матье сводится к обыкновенному уравнению Матье путем замены ] на .

Обыкновенное и модифицированное уравнения Матье связаны соотношениями [11]:

\Сет (]) = Сет и^

1^ет (]) =~] ■ 5е т (};)

Отметим, что в изотропном случае (к = 0) параметры модифицированных уравнений Матье q в формулах (7) и (8) совпадают, как и должно быть:

w su - ß 2

q = —^—— e .

4

(10)

Для вычислений критических длин волн в эллиптическом волноводе с большой осью 25 =2

<

2

2

e

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

(11)

(12)

см и эксцентриситетом E =0,5 воспользуемся формулой (6). При этом для волн электрического типа используется выражение (7), а граничное условие при граничном наружном эллипсе равном £ = £0 имеет вид [9]:

\Cem (£0, q) = 0 \Sem (£0, q) = 0.

Для волн магнитного типа применяется формула (8), а граничное условие примет вид [9]:

jCe'm (£0,q) = 0 [Se'm (£0, q) = 0.

Для граничных условий (11) и (12) для каждого m существует n значений q, удовлетворяющих данным уравнениям. Корни уравнений (11) и (12) обозначаются как cqmn, sqmn для четных и нечетных волн соответственно ( m — порядок функции, n - номер корня).

Нули модифицированных функций Матье (для Е волн) и их производных (для Н волн) определяют критические частоты (критические длины волн) собственных мод эллиптического волновода.

Для определения корней модифицированных функции Матье и их производных будем использовать встроенные функции пакета Maple 10. Так как в данном пакете есть только обыкновенные функции Матье, то формула (9) позволяет осуществить переход к модифицированным функциям. В Maple 10 для Е- волн это будет выглядеть следующим образом:

(13)

plot(f (X), Xmn..Xmax ), (15) где f (X) - некоторая функция, XMIN, XMAX - диапазон значение параметра X.

В эллиптическом волноводе существуют четыре различных вида волн [9]: c Emn - поперечно-магнитная четная волна ( m -порядок функции, n - номер корня ), s Emn - поперечно-магнитная нечетная волна; cHmn - поперечно-электрическая

четная волна, sHmn - поперечно-электрическая

нечетная волна.

Для вычисления корней модифицированных уравнений Матье в Maple 10 при анализе поперечно-магнитных четных волн, применим встроенную функцию (15), подставив вместо f (X) выражение (13) и применим граничное условие (11):

plot(MatheuCE(m, q, £ •j), q = qmin..qmax ) . (16)

Радиальная эллиптическая координата граничного эллипса при эксцентриситете Е=0,5 будет равна:

С

£0 = arcch

1

i

— I = arcch

v E J

Л

v 0,5 у

= 1.316957897 .(17)

jMathieuCE(m, q,£0 • j) [- j • MathieuSE(m, q, £0 • j) , где m - порядок функции; q - параметр функции;

£0 = arcch — | -граничный эллипс; E - эксцен-

V Е у

триситет; j - мнимая единица.

Для анализа Н-волн в Maple 10 используются первые производные модифицированных функций Матье в виде:

j— j • MathieuCEPrime(m, q, £0 • j) [MathieuSEPrime(m, q, £0 • j) ,

Для нахождения корней уравнений модифицированных функций Матье и их производных, на функции (13) и (14) наложим граничные условия (11) и (12) и построим графики этих функций. В Maple 10 для построения графиков используется встроенная функция plot в виде:

Например, для поперечно-магнитных четных волн типа cEln выражение (16) примет вид:

рк*(ЫаЛшСЕ(1, ^ 1.316957897 ■ ), q = 0..13), (18)

На рис.1,2,3 представлены графики четных и нечетных модифицированных функций Матье и их первых производных, полученных в Мар1е10.

С использованием этих графиков определяются п корней соответствующих мод. Для более точного определения корней, применим другую встроенную функцию из пакета Мар1е10:

йо1уе(ф, {х},{х=а..Ь}), (19)

где функция, х- аргумент, а и Ь- интервал, где находится корень.

Например, из рис.1а. видно, что первый корень функции Ce\ (£0 ,с q11), соответствующий

моде cTEllСИуу), принимает значение х~0,2. Взяв интервал q =(0; 0,5) и применив формулу (19) получим точное значение корня, которое равно =0,2141380128.

1

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Рис. 1. Графики модифицированных функций Матье Се\ (£0, д), 8е\ (£0, q), 8е\ (¿0, д):

а) график первой производной четной модифициро-

ванной функции Матье 1-го порядка;

б), в) графики первой производной нечетных модифицированных функций Матье 2-го и 3-го порядков

соответственно.

Рис. 3. График первой производной четной модифицированной функции Матье 0-го порядка

Се'о fc,Я)

Полученные результаты представлены в таблице 1. Также представлены и результаты, полученные в работах [1] и [5] для этого же волновода.

Таблица 1

Критические длины волн (см) в эллиптическом волноводе (длина большой оси 5 =2см., эксцентриситет Е =0.5)

Порядок Мода [1] [5] Данный метод

1 cTE11 3,39447796 3,39447781 3,39447796

5 sTE21 1,90795125 1,90795097 1,90795125

10 sTE31 1,39790776 1,39790732 1,39790776

20 cTE51 0,9 1 607 1 69 0,91607066 0,91607169

30 sTM41 0,77560113 0,77560109 0,77560113

50 sTM61 0,59214061 0,5921451 0,59214061

70 cTE14 0,49402711 0,49402571 0,49402711

90 STM62 0,43415539 0,43415506 0,43415539

100 cTE11 0,41616560 0,41616329 0,41616560

Рис. 2. Графики модифицированных функций Матье Се' 5 (4, д), д), 8е6 д):

а)- график первой производной четной модифицированной функции Матье 5-го порядка;

б), в) графики нечетных модифицированных функций Матье 4-го и 6-го порядков соответственно.

Выводы:

1. Проверка аналитических решений [8] дисперсионных уравнений ЕН и НЕ волн в регулярном эллиптическом волноводе с гиротропным заполнением при продольном подмагничивании путем сравнения с результатами [1] и [5] показали корректность этих решений.

2. Аналитические решения [8] дисперсионных уравнений ЕН и НЕ волн с использованием стандартного пакета Maple 10, имеющего встроенные функции Матье позволяет значительно упростить расчет критических длин волн любого эллиптического волновода по сравнению с традиционными итерационными методами.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Shan-jie Zhang, Yao-chun Shen. Eigenmode Sequence for an Elliptical Waveguide with Arbitrary Ellipticity // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1995. V. 43, № 1. P. 227230.

2. Sen Li, Bai-Suo Wang. Field Expression and Patterns in Elliptical Waveguide // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2000. V. 48, № 5. P. 864-867.

3. Поплавский Р. П. К расчету эллиптических волноводов // Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22, № 1, С. 2407-2410.

4. Analysis of Hollow Conducting Waveguides Using Superquadric Function- A Unified Reperesantation / Sheng-Li Lin, Le-Wei Li, Tat-Soon Yeo, Mook-Seng Leong // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2000. V. 48, № 5. P. 876880.

5. Beneto Gimeno, Marco Guglielmi. Full Wave Network Representation for Rectangular, Circular, and Elliptical to Elliptical Waveguide Junctions //

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1997. V. 45, № 3. P. 376-384.

6. Неганов В. А., Нефедов Е. И., Яровой Г. П. Современные методы проектирования линий передач и резонаторов сверх- и крайневысоких частот. М. : Педагогика-Пресс,1998. 328 с.

7. Дьяконов В. П. Maple 9. 5/10 в математике, физике и образовании. М. : СОЛОН-Пресс. 2006. 720 с.

8. Итигилов Г. Б., Сажин В. И., Ширапов Д. Ш. Решения дисперсионных уравнений эллиптического волновода с ферритовым заполнением при продольном подмагничивании // Оптика атмосферы и океана. 2007. Т. 20, № 12. С. 1147-1149.

9. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функций Матье : пер. с англ. В. А. Братановского. М. : Изд-во Иностр. лит., 1953. 475 с.

10. Базаров Б. Б., Итигилов Г. Б., Ким Ю. А. Анализ эллиптического волновода с гиротропным заполнением при продольном подмагничива-нии // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. 2001. Т. 9, № 2 (30). С. 29— 33.

11.Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров : пер. с фр. / под общ. ред. К. С. Шиф-рина. М. : Наука, 1965. 778 с.

Мадыев А. П., Могнонов П. Б., Ширапов Д. Ш.

УДК 681.51:621.398

приближенным метод оценки текущего значения дисперсии первой производной асимптотически нестационарного сигнала типа переходных режимов

1. Постановка задачи.

Анализ и синтез систем цифровой обработки сигналов во многом опирается на модели обрабатываемых сигналов. В [1] рассмотрены модели асимптотически нестационарных сигналов в виде реакции линейных динамических систем (ЛДС) в трех видах переходных режимах (рисунок 1) от взаимодействия со стационарными случайными воздействиями (ССВ).

11,(1) S(t) R«(i) ¿.(t) t 0 «0

S(t)

а) включение ССВ

W

ад

б) отключение ССВ

*(-и

в) инверсия знака ССВ

Рис. 1. а) включение ССВ; б) отключение ССВ; в) инверсия знака ССВ

Анализ свойств рассматриваемых нестационарных сигналов значительно затруднен сложностью получаемых выражений. Так дисперсия ) первой производной сигнала на выходе ЛДС 2-го порядка и выше определяется аналитически одним из следующих способов: t t

о(«) = Л к'(р)к '(у)Яв (р - , (1)

0 0

(¡0) = о((да) - 2К(р)И(у)К1(р-у)йр1у Ь'(р)Ь'(у)Я1(р-у)йр1у ' 0 0 0 0

(2)

t t t о(() = о((т)-4к'(р)кг(у)Кв+ к'(р)кг(У)Кв{р-у^йрйу '

0 0 0 0

(3)

где к' ^) - производная от импульсной характеристики ЛДС, Яв - корреляционная функция ССВ, О"2 (да) - установившееся значение дисперсии по

t t