Собственные волны прямоугольного волновода с импедансными узкими стенками Текст научной статьи по специальности «Физика»

Л.М.Логачева, В.П.Бондарев: СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА С ИМПЕДАНСНЫМИ УЗКИМИ СТЕНКАМИ

подложки £j = 9, 8, кривые 1 соответствуют толщине подложки h = 0,5, 2 - 1.0, 3 - 1.5 мм

поверхностных волн в исследуемой структуре потребуются только дополнительные операции по нахождению полюсов функций Гт и Г2 .

Представленные зависимости с графической точностью совпали с результатами численного интегрирования несобственных интегралов (4), (11) и (5), (12). В расчетах значения к2, найденные по (28), составили

210.424, 214.253, 225.669, соответственно для к = 0,5, 1.0 и 1.5 мм. Эти значения близки к точным координатам полюса функции Г : 210.424, 214.242, 225.33.

ВЫВОДЫ

Предложенный метод составления замкнутой формы функции Грина позволил получить соотношения, описывающие в явном виде связь пространственных координат векторного потенциала с параметрами микрополосковой структуры. Полученные соотношения просты, расчеты по ним требуют минимальных вычислительных затрат, обеспечивая достаточно высокую точность в широком диапазоне расстояний. При необходимости, точность расчетов может быть увеличена за счет повышения точности аппроксимации гиперболических функций в коэффициентах отражения Гт и Г2 .

Рассмотренный метод без существенных затруднений может быть обобщен и использован для составления функций Грина многослойных структур. Ограничение (14) не является принципиальным, при наличии спектра

Результаты работы могут быть использованы в

системах автоматизированного проектирования микропо-

лосковых устройств и антенн, а также при решении задач

зондирования многослойных сред.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Katehi P., Alexopoulos N.G. Frequency-dependent characteristics of microstrip discontinuities in millimeter-wave integrated circuits // IEEE Trans. MTT. - 1985. - V. 33. - № 10. - P. 1029-1035.

2. Tsai M.J, De Flaviis F., Fordham O., Alexopoulus N.G. Modeling planar arbitrarily shaped microstrip elements in multilayered media // IEEE Trans. MTT. - 1997. V. 45. № 3. - P. 330-336.

3. Fang D.G., Yang J.J., Deliste G.Y., Discrete image theory for horizontal electric dipoles in multilayered medium // IEE Proc. Pt. H. - 1988. V.135 (5). № 10. - P. 297-303.

4. Kinayman N., Aksum M.I. Efficient use of closed-form Green's functions for the analysis of planar geometries with vertical connections // IEEE Trans. MTT. - 1997. V. 45. № 5. - P. 593-602.

5. Карпуков A.M. Алгоритм расчета тензоров Грина для полосково-щелевых структур в слоистой среде // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 1999. - №1. -С. 11-15.

6. Дмитриев В.И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычислительные методы и программирование. -M.: Изд-во МГУ, 1968. -С. 55-65.

7. Потехин А.И. Излучение и распространение волн в анизотропной среде. - М.: Наука, 1971. -75 с.

8. Карпуков A.M. Модель для расчета тензора Грина микропо-лосковой структуры в пространственной области // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2001. - № 2. -С. 28-33.

9. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. -.M.-A.: изд-во АН СССР, 1948.-728 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - M.: Наука, 1971. -1100 с.

УДК 621.372.8

СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА С ИМПЕДАНСНЫМИ УЗКИМИ СТЕНКАМИ

Л.М.Логачева, В.П.Бондарев

Представлены результаты исследования собственных волн прямоугольного волновода с периодическими импедансными стенками. Анализ проводится с применением импедансных граничных условий. Получены дисперсионные характеристики рассматриваемого волновода.

До уваги пропонуються результати досл1дження власних хвиль прямокутного хвилеводу з перюдичними 1мпедансними сттками. Анал1з проводиться з застосуванням 1мпедансних граничних умов. Отримат дисперсшт характеристики хвилеводу, що розглядаеться.

The results of research of own waves at the rectangular waveguide with periodic impedance walls have been presented to your attention. The analysis is being carried out with application of impedance boundary conditions. The dispersion charac-

teristics of considered waveguide have been received.

ВВЕДЕНИЕ

Интенсивное развитие техники СВЧ привело к появлению разнообразных электродинамических задач. Одной из этих задач является исследование фильтров с утечкой волны, рассчитанных на высокий уровень мощности. С технической точки зрения такие фильтры представляют основной волновод, связанный с боковыми волноводами через систему отверстий круглой или эллиптической формы. В качестве связи в таких устройствах может использоваться и система щелей разнообразной формы и

РАДЮЕЛЕКТРОН1КА

размеров. Несмотря на многообразие элементов связи, общим для всех является их периодичность.

Как известно, с математической точки зрения расчет электромагнитных полей в таких структурах сводится к решению краевой задачи. При этом удовлетворение граничным условиям составляющих электрического и магнитного полей на элементах связи чрезвычайно сложно. Одним из подходов при решении таких задач является использование приближенных граничных условий [ 1 ]. Если Ет и Нт являются касательными

составляющими электромагнитного поля на некоторой поверхности раздела двух областей, то вводят понятие импеданса поверхности (в общем случае комплексного и анизотропного), связывающего эти компоненты соотношением

Ет - .

Обзор большого количества задач, эффективное решение которых стало возможным благодаря введению импеданс -ных граничных условий, приведен в работах [2-4].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим прямоугольный волновод, у которого на узкой стенке вдоль линии, параллельной оси г расположен ряд отверстий круглой формы, как показано на рис. 1.

Электромагнитное поле в таком волноводе определяется через продольную Ш-составляющую, которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца

д2Нг д2Нг д2Нг ,2 . —^ + —^ + —т + к2 Нг = 0 ,

дх2 ду2 дг2

(1)

, _ 2п

где к - — - волновое число,

и неоднородным импедансным граничным условиям на узкой стенке при х = а

Еу - г)Нг .

(2)

Остальные стенки считаем идеально проводящими.

Периодический поверхностный импеданс можно представить в виде двойного ряда Фурье

го го

Ъ (у,г) - ^ I К^О • С08 тг

р - 0 г - 0

, „ рп . гп + СРГС0^ТУ •81П тг

(3)

Рисунок 1 - Прямоугольный волновод с отверстиями в узких стенках

В прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с одной из вершин прямоугольника введем следующие обозначения: а - размер широкой стенки основного волновода, Ь - размер узкой стенки основного волновода, Я - радиус отверстия, Н - расстояние между центрами отверстий.

Рассмотрим распространение магнитных волн в таком волноводе при условии, что поверхностный импеданс узкой стенки известен и может быть вычислен из соотношений, приведенных в [5].

РЕШЕНИЕ

где коэффициенты АрГ и СрГ вычисляются из соотношений, приведенных в [5].

Так как поверхностный импеданс является периодической функцией координаты г, то решение уравнения (1) будем искать в виде ряда Флоке

Н - II АМсозуХПхсоз^уе-в*г , (4)

п - 0, - 0

где в, - в0 + Р^ , УХП)2 - к2 - в,2 - (Ь) 2, в0 -

комплексная постоянная распространения, подлежащая определению.

Исходя из уравнений Максвелла для магнитных волн, можно получить следующее выражение, связывающее

электрическую Еу и магнитную Нг составляющие

Еу - -•

1 дН дх ,

(5)

где

УЙ2 - У(хП)2 + (у) - поперечное

волновое число.

Учитывая соотношения (4) и (5), для Еу компоненты получим

™ ю уМ

Еу -*0 I I -(х^81птХП)хс°8ппуе-в,г . (6)

п - 0 , - 0 ^п

Используя граничное условие (2) и выражение (6), путем несложных преобразований получим следующее соотношение

+

26

1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2002

Л.М.Логачева, В.П.Бондарев: СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА С НМПЕДАНСНЫМИ УЗКИМИ СТЕНКАМИ

I I ПЧг) cosbye-^2

n =0 s=-(

((

+ ~ pn rn ~ p n .m , =I I)Aprcos^-—y • cos—z + Cprcos^-—y • sin — z* x

p = 0 r = 0

((

/( s)

x I I U(s)A(s)cosn*ye-jVs2, ¿^ La Yf)2 n n ЪУ

(7)

где коэффициенты V^) и иП) определяются

выражениями

МП Yïn

Us) = cosyjnd, vns) = -if sinyWd . (8)

rn . rn

Заменив тригонометрические функции cos—z , sin — z

n n

экспоненциальными, получим

((

y I Vns)Ans)cosfye-^2

n=0r=—(

((

rn . rn

2 I I - -pr eJnZ + V ^7nZ| cos--—y x

p = 0 r = 0

((

/( s)

I

k = 0

1

[(Zp+0 + zp0 )Uks) - (1 + hk)Kk • Vks)W +

+ 2 I (Zp+ Uks -r)Aks-r) + Zp-r Uks + r)Aks + r))

= 0,

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассматриваемый прямоугольный волновод с импеданс-ными узкими стенками является электродинамической моделью поглощающего фильтра гармоник. В нем ячейкой фильтра является соединение вторичного круглого волновода с основным прямоугольным волноводом. Сечение основного волновода а X Ь = 48 X 24 мм; радиусы вспомогательных волноводов равны Я = 9 мм; расстояние между соседними ячейками фильтра равно к = 19 мм. Анализ дисперсионного уравнения (10) показывает, что при выбранных параметрах влияние высших пространственных гармоник на значения постоянных распространения несущественны. Основной вклад вносят центральные элементы определителя системы (10), стоящие на главной диагонали

Коэффициенты Apr и Cpr нормированы к волновому сопротивлению свободного пространства Z0 = I— .

Z00TÍcosTxa + jkíxsinlxa = 0 ,

(11)

2 2 , í n% где yf = Y2 +

, n = 0, 1, 2 ...

Дисперсионное уравнение (11) описывает объемные (быстрые) волны в направляющей структуре. Для поверхностных волн, распространяющихся в импедансном волноводе, в (11) необходимо сделать замену ух ^, тогда получим

Z00YÍchYxa-jtíxshYxa = 0 ,

(12)

(9)

x I I -ЦU(ns)A(s)cos^ye-P*z, ^ L Y(s)2 n n Ъ7

n = 0 r = -( 'ln

где Zp+r = Apr + jCpr , Zpr = Apr~jCpr .

Учитывая ортогональность поперечных собственных

функций волновода и экспоненциальных функций e j ^sZ на периоде структуры, получим систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно

амплитуд волн A(s )

2 2 , +пП,2

где п =-ТХ + + Ь, .

Дисперсионные уравнения (11), (12) позволяют получить спектр как объемных, так и поверхностных волн, распространяющихся в такой структуре. В результате анализа были получены частотные характеристики постоянных распространения объемных и поверхностных волн в зависимости от различных значений поверхностного импеданса и длин волн. Результаты численных расчетов представлены на рис. 2, 3, 4.

На рис. 2 приведена зависимость модуля мнимой части эффективного импеданса от длины волны для отверстий с указанным выше радиусом. Расчеты показывают, что реактивная часть эффективного импеданса имеет емкостной характер. Вычисления проводились для эффективного значения поверхностного импеданса, полученного на основании формул статьи [5]:

(10)

^s эфф

где п = 0, 1, 2 ...; 2 = 0, ±1, ±2 ...; р = \п - к ; §пк -символ Кронекера.

Система (10) имеет нетривиальное решение, если ее

определитель, образованный из коэффициентов при А^

равен нулю. Раскрывая определитель системы (10), получаем дисперсионное уравнение в матричной форме, из которого определяются постоянные распространения 00 .

H

bh

^ • ЦZs(y, z) • Z/(y, Z)dydZ , (13)

00

где %(у, z) - поверхностный импеданс, определяемый по формуле (3);

2*(у, z) - комплексно-сопряженный импеданс.

На рис. 3 приведены частотные зависимости нормированных к волновому числу свободного пространства постоянных распространения объемных волн (квази Н^ ,

0

оо

РАДЮЕЛЕКТРОШКА

квази Нпл , квази H30 ) и поверхностной волны, которая импеданса.

отсутствует в регулярном волноводе.

Рисунок 2 - Зависимость модуля эффективного импеданса |Ъ,эфф| от длины волны а/Х

ß

1,5

0,5

1

2 3 Л-*

/

При Ъ,эфф ^ 0 волна квази Ню переходит в волну Н10 регулярного волновода, а поверхностные волны вырождаются. Из рисунка также видно, что при некоторых значениях Ъ,эфф объемная волна (кривая 1)

претерпевает отсечку. С увеличением Ъ,эфф значения

постоянных распространения в уменьшаются, причем у

одной из поверхностных волн (кривая 3) в стремится к единице, но волна остается поверхностной, а другая волна (кривая 2) переходит из поверхностной в объемную.

2,5

1,5

3

2

\ 1

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 у^

Рисунок 3 - Зависимость нормированной постоянной

распространения в(а/Х) для объемных и поверхностной волн в случае одной импедансной стенки; 1 - поверхностная волна; 2 - первая объемная (квази Ню ) волна; 3 - вторая объемная (квази Н20 )

волна; 4 - третья объемная (квази Н30 )

Как следует из рис. 3, емкостной характер поверхностного импеданса одной стенки волновода смещает Хг,„ в

кр

сторону больших значений длины волны. К тому же, с уменьшением длины волны происходит возбуждение высших типов волн. Расчеты показывают, что с увеличением Ъ эфф| постоянная распространения увеличивается.

Численный анализ проводился также и для волновода с двумя импедансными стенками. В такой структуре, как показывают расчеты, возможно распространение двух поверхностных волн. На рис.4 рассмотрен такой случай при а/Х =0,8 и различных значениях поверхностного

8 9 Zs

Рисунок 4 - Зависимость в (эфф| ) при а/Х =0,8 в случае двух импедансных стенок 1 - объемная (квази Н10 ) волна; 2 - первая поверхностная волна; 3 -вторая поверхностная волна

ВЫВОДЫ

Получено дисперсионное уравнение в матричной форме для волновода с бесконечным числом отверстий вдоль узкой стенки. Для такой структуры вычислены значения эффективного поверхностного импеданса и получены дисперсионные характеристики в зависимости от его величины и длины волны. Показано, что в такой структуре возможно распространение как объемных, так и поверхностных волн. Установлено, что в волновод с двумя импедансными стенками возможно существование двух поверхностных волн которые при определенных параметрах структуры вырождаются.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Использование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных электромагнитных волн../ Миллер М.А., Таланов В.И.//Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1961, 4, №5. - C.795-830.

2. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. Электродинамика периодических структур. М.: Наука, 1977. - 425 с.

3. Курушин Е.П., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Дифракция электромагнитных волн на анизотропных структурах. М.: Наука, 1975. - 375 с.

4. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: МГУ,

2

0,5

2

0

1

0

28

ISSN 1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2002