Последовательность квадратурных формул на конкретных функциях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ НА КОНКРЕТНЫХ ФУНКЦИЯХ

© 2007 г. В.Н. Козлов, М.И. Медведева, А.И. Акимов

Square formulas with a boundary layer on concrete functions from a class W^ (a, b) , where a - the order of fractional derivative Ryman- Li-uwill are investigated.

Пусть а, Ь, р, q - действительные числа: 1 < Р < ¥ , д = р/(р- 1); а - нецелое положительное число: аР > 1; п - натуральное число; h - (Ь - а) /п - шаг решетки узлов; Lm - множество функционалов, точных на многочленах степени не выше т. Будем использо-

| х, х > 0, вать обозначение х+ - '

10,х £ 0. Множество функций вида 1 6

f (х) = P(х) + — т K (х - tj (t)dt,

1 (а ) а

(1)

где Р(х) - многочлен степени не выше [а ], образует линейное пространство Жр (а,Ь). В определении (1) предполагается, что функция 9 (х) принадлежит пространству Lp(a,Ь), а ядро Ка (х - t) = (х - t1 (интеграл с данным ядром называется левосторонним дробным интегралом Римана-Лиувилля [1]). Введем в

Жр (а, Ь) полунорму

( ь \1/р

\\A\wl (а,Ь) =1 \А\ь% (а,Ь) = ^ (х) ^ ^ ,

I а

определяющую линейное нормированное пространство 1<ар (а,Ь), элементы которого есть классы

функций (все функции каждого фиксированного класса отличаются друг от друга на многочлен степени не

выше [а]). Пространство, сопряженное к (а, Ь),

обозначим через (¿ар (а, Ь)) .

Пусть 1 £ ¿[а ] - функционал ошибок квадратурной формулы

Ь1 N

(I, /) - | /(х)йх - X ск/(хк), (2)

а к - 1

где [а1, Ь1] с [а, Ь] , хк , ск - соответственно узлы и коэффициенты данной формулы, хк £ [а, Ь] (

1 £ к £ N ).

Далее все функционалы считаются функционалами погрешности квадратурных формул вида (2) (некоторые узлы этих формул могут не принадлежать промежутку интегрирования).

Следующие ниже определения 1 и 2 заимствованы из [2].

Определение 1. Последовательность функциона-

ьм

лов у | называется последовательностью с пограничным слоем, или [а ] -последовательностью, если суще-

ствуют числа r > 0 - целое, A > 0 и функционалы l, l0h, l^ е L[a ], удовлетворяющие условиям

supp l М [- r, r +1], supp М [a, a + Ah], supp lh М [6 - Ah,6], l е (C[- r,r + 1])*, lh е (C[a,a + Ah])*, lhn е (C[6 - Ah,6])*,

lh (х) = lh (х) + е l з .

r и h

ж х - a ц h

g ч + ln (х), ш

o(h") при h ® 0 .

10 * - о(к ) \\1„ *

Г11(^р (а.Ь)) >\\п\\(Ьар (а,Ь))

Определение 2. Если {1к} - последовательность функционалов с пограничным слоем; I - функционал, соответствующий ей в предыдущем определении, то I называется сопутствующим функционалом для {1к}.

Определение 3. Последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем называется [а ] -последовательность с пограничным слоем {1к}, обладающая сопутствующим функционалом

1 £ а ]+1 .

Лемма. Пусть {1к} и {р к} - последовательности функционалов с пограничным слоем. Тогда

¥h -Г I (L( 6))* = o(h )

II "(Lp (a,6))

(3)

при к ® 0 .

Доказательство. В [2] показано, что для любой последовательности функционалов с пограничным

(4)

к

слоем \а | верна асимптотическая оценка

I к||а * - Ака + о(ка)

II \Щ (а,Ь))

при к ® 0 , где А1 - константа, не зависящая от выбора {а к}. Следовательно, для а Р - ка к справедли-

во

во равенство Пусть {lh), {р

1 "(Lp (a,6)*

A1(1 + o(1)) при h ® 0.

Положим l1h (Lav (a, 6))*

h- lh

линейно

удовлетворяют условию леммы. р 1h = h~a р h. Пространство изометрично пространству

*

(¿р (а, Ь)) , которое, в свою очередь, линейно изометрично пространству ¿д (аЬ). Пространства ¿д(a, Ь) являются равномерно выпуклыми [3, с. 92], следовательно, равномерно выпуклы и пространства

(¿р (а, Ь)) . Это значит, что если для любой последо-

вательности

{h(0) ¥= 1 ® 0 и некотором e > 0

выпол-

n- r- 1

h

няется

IL й(о _ ,й(о| " 1 1

(L'„ (ab))

* - e о, то существует d > 0

такое, что

P h(i) + ,h(i) 11

2

£ A1 _ d .

(Lp (ab))

Но это невозможно, так как ввиду оценки (4) должно быть

haph'(') + ha llh(i) P h + lh

2 (Lp (ab))* 2

(4 (а,Ь))

= Лгйа (1 + о(1)) при h ® 0 .

Следовательно, верна оценка (3).

Теорема 1. Пусть {Iй} - последовательность

функционалов с пограничным слоем, f е ^^ (а,Ь).

Тогда (Iй,f) = о(йа) при h ® 0 .

Доказательство. Предположим, что условия теоремы выполнены. Из оценки (4) следует неравенство

Г

4L'p (a,b))

£ Ah

(5)

с некоторой константой A2.

Бесконечно дифференцируемые функции плотны в

пространстве

Lv (a, b),

значит, они плотны и в про-

странстве (а,Ь). Поэтому для произвольного £ > 0 найдется такая функция /1(х) е ]+ 1(а,Ь), что

V fll\Wp (a,b) 1к"21 Wp (a,b) \f2\l'P (a,b)

(здесь j2=f-f\, а A - константа из (5)). Тогда получим

КЛ f) 1£ |И p ( Ь))*11А' £ hPe /2

II II (Lp (a,b))

< A_ le /2

21 Lap (a,b)

(6)

\\lh _ P h равенство ||' у \

hae

(Lap (a,b))

4 f\Lp (ab)

при h ® 0 .

Поэтому

(Iй,/,) = (р й,fl) + (Iй - р й,/,) £

£ й[а 1£/4 + ¡Iй - р й|| - ( Ь) £

II И \\(Ь'р (а,Ь)) 4 (а,Ь)

£ йа £ /4 + йа е /4 = йа £ /2 при й ® 0. Отсюда и из (6) следует, что (Iй,/) = (Iй,/ + /2) £ йа е , а так как £ > 0 - произвольно, то из полученного неравенства сразу же вытекает утверждение теоремы.

Теорема 2. Для любого £ > 0 существуют а-последовательность функционалов с пограничным

слоем {Iй} и функция / е Wav (а, Ь) такие, что

| (Iй, /) |> Л3й а +£ , где Лз - некоторая константа.

Доказательство. Фиксируем £ , 0 < £ < 1. Выберем произвольно натуральное число т и последовательность функционалов с пограничным слоем

{1й} так, чтобы ее сопутствующий функционал I удовлетворял условию (I(х), хт) Ф 0 . В [5] для такой последовательности {¡й} было показано, что (Iй(х),хт) = Л3йт (1 + о(1)) при й ® 0. Поэтому утверждение теоремы справедливо для функции

В [4] было показано, что если т - натуральное число, то для последовательностей с регулярным пограничным слоем, соответствующих параметру т, на

функциях из Wpн(a, Ь) верна асимптотическая оценка (Iй, /) = о(йт) при й ® 0 .

Пусть {р й} - [а ] + 2 -последовательность функционалов с пограничным слоем. Из определения 3 следует, что {р й} будет также [а ] + 1 -последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем. Функция / ф 0 и, следовательно, / Ф 0 (в случае / = 0 утверждение теоремы очевидно). Из леммы следует не-

/(х) = xm, последовательности [/ j и a > m - e .

Замечание. Все приведенные выше оценки и выводы для функций с ядром Ka (х- t) = (х- t)a-1 верны и для функций с Ka (t - х) = (t - x)a,-1 (соответствующий интеграл называется правосторонним интегралом Римана—Лиувилля [1]), так как данный интеграл можно выразить через левосторонний интеграл.

В настоящей работе известная теорема функционального анализа (см. ниже теорему 3) применяется к выводам асимптотических оценок погрешности формул интегрирования. Устанавливается, что для ряда пространств с ее помощью можно получить новые оценки сходимости квадратурных и кубатурных процессов на конкретных функциях и на компактах.

Данная теорема применялась ранее (см., например, [6]) для обоснования сходимости последователь но-стей формул интегрирования на непрерывных функциях. В данной работе метод модернизируется: рассматриваются не функционалы ошибок формул интегрирования, а непосредственно исследуются эти функционалы, умноженные на множители, связанные со свойствами функций.

Примеры таких пространств даны ниже в п. 10 и 20.

Теорема 3. Пусть H - линейное нормированное

пространство; {Iй} - последовательность непрерывных функционалов. Для того чтобы (1, /) ® 0 для любой функции / £ H, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) существует число A4 такое, что Ц1^ * £ A4;

2) существует подпространство H0 всюду плотное в H, такое, что (1, /) ® 0 для любой функции / £ H0.

10. Положим H = Lap(a,b), {¡й} будем считать [a ]-

последовательностью функционалов с пограничным слоем. Так как [a ]+1>a , то за H0 можно взять

Lp]+ 1(a, b). Оно будет всюду плотным в LLp (a,b), так

как содержит множество бесконечно дифференцируемых функций (см. доказательство леммы 7 из [7]).

Пусть {s й} - ([б]+1) -последовательность функционалов с регулярным пограничным слоем. Из доказательства теоремы 1 видно, что если функция

/ £ Lp,]+ 1(a,b), то для любого e верно соотношение

(1к, /) - (а к, /) + (1к -а к, /) £ к а е при к ® 0. Поэтому, положив р к - к~" 1к, получим (рк, /) - о(1),

а из (4) - неравенство р (,а ( Ь))* £ А5.

(¿р (а,ь))

Таким образом, для пространства ¿ар (а, Ь) и последовательности непрерывных функционалов {р к} выполнены условия 1) и 2) теоремы 3.

20. Рассмотрим H- ¿т - пространство периодических функций 9 (х) с матрицей периодов Н, т.е. таких, что 9 (х + ) -9 (х), (х£ Rn) для произвольного целочисленного вектора $ . При этом каждый элемент 9 (х) представим рядом Фурье

всякого e > 0 найдется число N0 такое, что из t > N0

j (x) = ljß

exp (2pi(ßH ~\ x)) и имеет конеч-

1/2

ную норму \j\\= i (2p )2ml | jß |2| ßH- 1|2m 1

следует <- (2p )- 2m l Iß H "1 |-2m h 2m||g||22(1 + e).

Поэтому при фиксированных H и g получаем

оценку

Г £ Ahm\\gl , Л -

6 - константа, не завися-

Здесь т>п/2 и может принимать, вообще говоря, нецелые значения.

Пусть t - целое неотрицательное число, к - (2/ +1)-1. Обозначим В/ - {$ :| Ь г |£ ,,г - 1,...,п} ,

)(х) - ^^Ь ехр(2рг(ЬН-1,х)), А 0 -{х£ Rn : х - Ну,0 £ у} < 1,] - 1,...,п}. Функционал определим следующим образом:

I,/) - | g(х)/(х^х- кп X (Бд)(Нкк)/(Нкк) (7)

а 0 к£ в, > у '

где g - суммируемая функция.

В [8] был получен следующий результат. Теорема. Пусть g £ ¿2, { ^ [, , - 0,1,2,..., - последовательность функционалов вида (7). Тогда для

щая от g.

Множество тригонометрических многочленов образует подпространство всюду плотное в Ьт (Н) (так как любая функция из Щ (Н) представима в виде ряда Фурье, а любой тригонометрический многочлен можно получить отбрасыванием остатка ряда). Функционалы на таких функциях точны (при достаточно больших значениях , и т). Взяв в качестве последовательности функционалы вида р к - к- т1,, приходим к тому, что для любой функции / из ¿2т выполняется (р к, /) ® 0 при к ® 0 .

Литература

1. Самко Л.Б., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их применения. Минск, 1987.

2. Половинкин В.И. // Мат. труды. 2002. Т. 5. № 2. С. 178202.

3. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М., 1974.

4. Половинкин В.И. // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск, 1978. С. 183-191.

5. Половинкин В.И. // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13. № 4. С. 951-954.

6. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М., 1967.

7. Половинкин В.И. // Мат. труды. 2004. Т. 7. № 2. С. 109125.

8. Половинкин В.И. // Мат. заметки. 1968. Т. 3. № 3. С. 319-326.

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

2 октября 2007 г.