CC BY
1
УДК 510.2, 510.8
Елистратов П.И. свободный ученый Россия, г. Санкт-Петербург Елистратов К. П. студент 3 курса факультет «Информационные технологии»
НОУ МФПУ «Синергия» Россия, г. Москва ПОРЯДОК СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ И ДЕЙСТВИЙ ПРИ
ДЕЙСТВИИ НА ОБЪЕКТЕ
Аннотация: В статье рассматриваются такие понятия, как порядок, интервал, порядковые числа и определяются законы существования данных понятий.
Ключевые слова: аналогия, границы, группа, естественный порядок, закон возрастания характеристических чисел, запаздывание, интервал, ковариантные индексы, количество действия, линейный порядок, опережение, ориентация, порядковые числа, последующее, предыдущее, ранг, счетностъ, структура, существование до/после, цикл, характеристические числа, элемент.
Elistratov P.I - free scientist Russia, Saint-Petersburg Elistratov K.P. - third year student the faculty of "Information technology» "Synergy" University, Russia, Moscow
THE ORDER OF EXISTENCE OF OBJECTS AND ACTIONS WITH THE ACTION ON THE OBJECT
Abstract: In article such concepts as an order, an interval, serial numbers are considered and laws of existence of these concepts are defined.
Keyword: analogy, border, group, natural order, law of increasing of characteristic numbers, lag, interval, number of action, linear order, advance, orientation, ordinal numbers, subsequent, previous, rank, countability, before/ after, cycle, characteristic numbers, element.
Введение
В статье [8] были определены такие фундаментальные понятия, как объект, действие, действие на объекте, «равенство», «тождество», «эквивалентность» и т.д. В данной статье, опираясь на эти понятия, рассматривается порядок, последовательность и интервал при действии на объекте, определяются законы существования последовательностей и интервала. Выделяется интервал действий и результатов действий. Определяются порядковые и характеристические числа. Рассматриваются законы существования характеристических чисел, формулируется закон
возрастания характеристических чисел.
В заключении определяется группа действий и определяются действия на объекте, приводимые к группе действий.
Актуальность: в связи с абстрактностью современной математики возникают проблемы актуализации полученных математических знаний и их соотнесение с существующими природными объектами. Определенные в данной статье понятия создают основу для последующего соотнесения математических знаний с действительными природными объектами.
Цели и задачи: определение и систематизация основных фундаментальных понятий математики и естествознания, позволяющего объединить основные разделы естествознания.
Научная новизна: определение и систематизация фундаментальных понятий математики и естествознания позволяет установить связь данных понятий с соответствующими понятиями общего естествознания, с существующими объектами и действиями на объектах, исключить их неправильное употребление, а также понизить абстрактность самой математики до уровня объектов, действий и действий на объектах, что, в свою очередь, позволяет расширить действие математического аппарата за границы физическим наук и распространить на такие описательные науки, как философия, биология, логика и т.д.
1. Порядок существования объектов и действий: 1.1. Порядок существования объектов и действий: 1.1.1. СОВПАДЕНИЕ, РАВЕНСТВО ПО СУЩЕСТВОВАНИЮ ПРИ ДЕЙСТВИИ ТОЖДЕСТВА22:
З(£А-А)| А' = А|
Пусть '^М. По свойству тождества 1м=),^а-а'. Поскольку
А' = ^А, где А'-5А есть объект, производный от основного объекта23, то с
.. ЗА'|
учетом эквивалентности отсутствия действия и тождества 1н=)^а-а' -
ЗА|
производный объект совпадает по существованию Н=)^а-а' - основным
ЗА' - ЗА|
объектом - Н4а'-0а,ла-а' .
^ „„ Д-ЙА-А' = 0| . .
Совпадению по существованию соответствует24 15-(=).
1.1.2. ТЕОРЕМА: НЕСОВПАДЕНИЕ ПО СУЩЕСТВОВАНИЮ
ОБЪЕКТОВ И ДЕЙСТВИЙ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ДЕЙСТВИИ НА
ОБЪЕКТЕ
З(с>А) Ф З(А ');З(5, А)*З(£А)| _ Утверждение: v '.
Доказательство:
З(ЙА-А' )| _л'
Пусть 1л(=), тогда, т.к. у ' и, следовательно, ¿>А-А есть
22 Тождество и его свойства см. [8].
23 Определение основного и производного объекта см. [8].
24 В [8] была определена разность по существованию Д-5А-А '. Здесь дано объяснение названия.
произвольное действие на объекте25. С учетом свойств тождества и разности
_ Д = 5А-А V 0| . ,
произвольного действия при действии на объекте l5*w, т.к. если
бы Д = 5А-А' = 0, то 5 = (=), что противоречит первоначальному утверждению о произвольности действия. Наличие противоречия сразу доказывает первоначальное утверждение.
Аналогично доказывается, что 3(5,А)ф 3(5А).
3(А = Fund ) = А'| . „ ,
Следствие. '=©а;5а=а ', где А = Fund - основной объект;
А' = М - объект, производный от основного объекта.
1.1.3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ И ДЕЙСТВИЙ
«ДО»/«ПОСЛЕ»:
3А' = 3А| 3(5А = А' )|
Пусть 15(=)А =0А,5А=А и 15£(=). Рассмотрим существование
объектов, действий и действий на объекте.
Как было определено выше при действии тождества существование
основного и производного объекта совпадает по существованию -
ЗА' = 3А|
5=М'А'=0А'5А=А' и не совпадает при произвольном действии на объекте
3А'*3А| , А , , 3(5, А)*3(5А)| , ,
l5*W,A =0А 5А=А . С другой стороны, поскольку 5^М'5А=А , то с
учетом совпадения по существованию при действии тождества -
3А' = 3А|
'5=(-),А =9а,&\=а ' и несовпадения при произвольном действии на объекте, а также с учетом того, что А ' есть объект, производный от основного объекта -А ' = ^А, определим, что 5,А существует «до» 5А; 5А существует «до» А '.
Обозначим существование «до» обозначим как (5,А) Р 5А'5А Р А , где Р -квантор существования «до».
Далее, поскольку 5'А существует «до» 5А; 5А существует «до» А ', то
определим, что А ' существует «после» 5А; 5А существует «после» 5'А.
гла А ' f 5А, 5А f (5, А) f
Обозначим существование «после» как , где f - квантор
существования «после».
Очевидно, что
- если 5 А) Р 5А Р А', то (5, А) Р 5А Р А';
- если А'f 5А 5А f 5 А) , то А'f 5А f (5, А).'
1.1.4. ПОРЯДОК ПО СУЩЕСТВОВАНИЮ ОБЪЕКТОВ И ДЕЙСТВИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ НА ОБЪЕКТЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Определим, что если при действии на объекте объекты и действия существуют «до»/«после», то на объектах и действиях определен порядок существования, равно, порядок по существованию объектов и действий, (5,А)Р 5АР А'/А'f 5Аf (5,А) _ /f
v >v v v ^где Р '1 - соответственно, квантор порядка
' Произвольное действие на объекте см. [8].
«до»/«после» 26.
Верно и обратное: если существует порядок по существованию -
(3, А) р 5А р А' / А' 1 ¿А Т (3, А) Л
, то определено существование объектов и
действий «до»/«после».
1.2. Теорема: связь порядка с существованием действия на объекте. Необходимое и достаточное условие для существования порядка. Закон существования порядка27
Утверждение: если действие на объекте существует, то также
З(3,Ар ¿Ар А'/ А'{ ЗА{ 3,А)| , существует порядок по существованию л^Н3^ .
Доказательство:
Доказательство непосредственно следует из определения порядка. Существование действия на объекте есть необходимое и достаточное условие для существования порядка и определяет закон существования порядка.
Верно и обратное: если существует порядок по существованию объектов и действий, то также существует действие на объекте -З(3А - А' )1 Л
^ '1(3,Ар ¿Ар А '/АТ 3,А)
1.3. Опережение и запаздывание объектов и действий по существованию28:
О З(3,ар 3Ар А'/А'{ 3А{ 3,А)| ^
Пусть З(3А-А), тогда ^ ^н,3а-а '. с учетом
существования «до»/«после» определим, что
- 3, А опережает по существованию 3А - 3,А р 3А;
- 3А опережает по существованию А ' - 3А р А';
- А ' запаздывает по существованию относительно 3А - А 1 3А;
- 3А запаздывает по существованию относительно 3, А - 3А 1 3, А; и, соответственно, 3, Ар 3Ар А определяет порядок опережения, а
А^ />А f /> А
А 1 3А1 А - порядок запаздывания.
26 Забегая несколько вперед, отметим, что существование «до»/«после» и существование «раньше»/«позже» - различные формы существования. Существование «раньше»/«позже» - следствие существования «до»/«после» и определяется на стороне времени.
[15, с.19]с.19 «Понятия «одновременно», «раньше» и «позже» для... событий... относительны».
с.19 «Два события могут быть причинно связаны. только., если интервал между ними
времениподобный.. .для таких событий имеют. смысл понятия «раньше» и «позже».»
27 Теорема определяет, что для существования порядка необходимо и достаточно существования действия на объекте, и если существует действие на объекте, то всегда существует порядок.
Из существования порядка с необходимостью следует, что все естественные природные объекты, для которых и на которых существует, определено действие на объекте, всегда упорядочены. Более того, с учетом тождества и эквивалентности отсутствия действия и тождества, даже в отсутствии действия объекты упорядочены.
Форма порядка для каждого существования объектов и действий должна быть определена особо.
28 Забегая вперед, отметим, что опережение/запаздывание по существованию имеет принципиальное значение для естествознания, т.к. на базе опережения и запаздывания выделяется инерции, на основе которой, в свою очередь, определяется временя. Определение инерции и ее свойств выходит за границы данной статьи.
1.4. Теорема: эквивалентность действия на объекте и действия на порядке существования объектов и действий
д (яЛ = А ' ) : 5(порядок существования) г
Утверждение: 4 ' у ^ - ^ ' объектов и
действий.
Доказательство:
Доказательство непосредственно следует из определения порядка и порядка существования объектов и действий.
1.5. Последовательность действий и результатов действий: 1.5.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ
ДЕЙСТВИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ29:
3(яЛ = А' )| ,
Пусть s=(s> и действие есть
^=(^) = ^АА,К ,5п;51 Р Р ^ Р К Р 30 Явный вид действий на объекте есть
¿А =А1;
§2 А1 = А2; я а' = А' •
°3 А2 = А3;
К
я„ АП_1 =АП.
гл ~ я = (я) = я ,к ;Я Р Я Р Я р к р я
С учетом порядка действий к ] 15 2' 3' ' п ^ ^ п
действиям на объекте соответствует последовательность действий на объекте
(51А0 = А1) Р я А! = А2) Р я А2 = А3) р К р (5п АП_1 = А П ) , У(яА, , = А') Р У(я+1А' = А' )
с порядком г г 1 к 1+1 1 1+17, в которой сохраняется
исходный порядок существования действий
, яп; я Р я2 Р я3 Р к Р яп
Собирая действия и результаты действий в соответствии с последовательностью действий на объекте, имеем следующую последовательность действий и результатов действий
[яа^яа^аоДа^я^К ,япЛп_1; |А' = (А') = Л1,Л2,Л3,К ,лп; ЯЛ = (ял), А' = (А')
где \ )> V ) есть, соответственно, последовательность
действий и результатов действий, в которой сохраняет исходный порядок последовательности действий на объекте
29 В данной работе принимается следующий порядок написания действий: каждое последующее действие при действии на объекте стоит слева от предыдущего действия, например, яЛ = (я) Л = 8п К я^я^Л .
Этот порядок определяется последовательностью действий: когда действие «после» следует за действием «до». Перестановка индексов в общем случае недопустима.
30 Выражение я = (я) = я1,я2,яз,К ,яи читается следующим образом: существует некоторое действие, здесь, упорядоченное. Неупорядоченное действие записывается как я = {я}.
Ап р 3А' р 3А' рКр 3А' • , . . .
^12 3 п- -(3А-А')р (3а'-а;)р (3а;-а;)рКр (3иа'-а')
[А' р А' р А' р К р А'; 30 2 1 v 3 2 р v « «)
1.5.2. ИНДЕКСЫ ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ31. МНИМЫЕ ИНДЕКСЫ:
Рассмотрим последовательность действий на объекте с порядком
(3 А - А') р (32А' - А2) р (3зА2 - А3) р К р (3«А«- - А«) . Данной
последовательности действий соответствует последовательность действий
31 Ао - А'; 32А' - А2; 3з А2- А3; к
3« А«-1 -А«..
Осуществляя в каждом последующем действии замену основного объекта на соответствующее действие на предыдущем объекте, имеем
31А0 - А1;
32а1 -а2 ^32 (31 ао )-а2; 33а2 -а3 ^ (32 (3ао))-а3; К
3«а«-1 - а« ^ 3« (к (33 (32 (3ао)))) - а«.
Последовательно раскрывая скобки, окончательно имеем
31А0 - А1; 3231А0 - А2; 333231Ао- А3;
к
3« К 33323а -А«.
Собирая последовательные действия, имеем последовательность действий, с порядком, исходной последовательности действий на объекте
(3А - А)р (323А -А2)р 333А - А3)р К р (3«К333231А0 - а«)--(31А0 - А)р (32А - А2)р (33А2 - А3)р К р (3«А«-1 - А«). Последовательности действий на объекте (3А0 - А1) р (3231А0 - А2) р (8&8А - А3) р К р (3К 33323А0 - А') соответствует последовательность действий и результатов действий \3А-(3А)-31А0,3231А0,3Ъ3231А0К ,(3«К 3,33)А0; |А'-(А')-А;, А2, А3,К , А'«;
в которой сохраняется порядок исходной последовательности
31 Индексы широко используются в дифференциальной геометрии и тензорном исчислении см. [9], [7], [16]. [9, с.57] «.тензоры нижнего, верхнего и смешанного строения будем называть соответственно ковариантными, контравариантными и смешанными.»
действий на объекте.
В последовательности действий и результатов действий
3А-(3А)-31А0,3231А0,333231А0,К ,(3«К 3333 |А'-(А')-А;,А2,А3,К ,А'«;
действия и результаты действий различаются коэффициентами -индексами действий и результатов действий.
Введем следующее обозначение для каждого последовательного действия
3231А0 - 312 А0;
333231А0 - 3123 А0;
34333231А0 - 31234А0;
м
3«К 333231А0 -3123К «А0 .
В результате имеем эквивалентные записи последовательности действий и результатов действий
[3а - (3а) - 3 А0 , 3231А0 , 333231А0 ,К , (3 К 333231 )А0 ^ |3а - (3а) - 31А0 , 312АА0 , 3123 А0 ,К , 3123К «а,
[а'-(а')-а1,а2,а3,К ,а'; ' [а'-(а')-а1,а2,а3,К,а«;
где
[3А-(3А)-31А0,3231А0,333231А0,К ,(3«К 333)А,;
|А'-(А' )-А', А', А' ,К , А'; ,
1 2 3 « - основная форма,
3А - (3А) - 31А0, 312А0 , 3123А0,К , 3123К«А0;
I А' - (А')-А;, А', А' ,К , А';
1 2 3 « - сокращенная или индексная
форма записи последовательности действий и результатов действий.
Порядок следования индексов основной и индексной формы
определяется как
- индексная форма 3шК «А-А« - прямой порядок следования индексов;
- основная форма (3«К 33)А-А « - обратный порядок следования индексов.
В общем случае изменение порядка следования индексов недопустимо.
1.5.3. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ ДЕЙСТВИИ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ. ПОСЛЕДУЮЩЕЕ И ПРЕДЫДУЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ И РЕЗУЛЬТАТ ДЕЙСТВИЯ НА ОБЪЕКТЕ32:
Относительное существование действий и результатов рассмотрим на примере последовательности действий и распространим полученный результат на последовательность результатов действий.
тт 35А = (5А) = 5А,5,А,5ЭТА,К ,5,7ЖЛ 35а);/ = 1,2,3,К ,п
Пусть у ; 1 ' 12 ' 123 ' ' 123К п и 1 г ' , такое,
45 ,А,(¿А) 3(5 а) 45 .А,(¿А)р 5А,(¿А) 45+1А,(¿А)
что г' существует «до» 4 ' - г_1 4 ' 1 к ' и г+1 4 '
3(5а) 5Ар 5 А 45 ,А,(5А)
существует «после» 4 г ' - 1 р г+1 , тогда ^ 4 ' есть предыдущее, а
4 5+1 А, (5А) 35А = (5А)
г+1 4 ' - последующее действие последовательности 4 ' по
3(5 а)
отношению к действию 4 г '.
Буквенная форма(5А) у индексов определяет немые индексы. Собирая предыдущее и последующее действие под знаком
45 .А, (5А) р 45А, (5А) р 45,А, (5А) последовательности действий, имеем г'к г ' V ^ ^ ' V ;.
Аналогично определяется относительное существование результатов
действий, пропуская промежуточные действия относительное
существование последовательности результатов действий определяется как
4Аг'_1, (А) р 4Аг', (А) р 4А'+1, (А).
1.5.4. НАЧАЛО/КОНЕЦ, ПЕРВОЕ/ПОСЛЕДНЕЕ ДЕЙСТВИЕ НА ОБЪЕКТЕ33:
Начало/конец, первое/последнее действие и результат последовательности действий и результатов действий на объекте рассмотрим на примере последовательности действий и распространим полученный результат на последовательность результатов действий.
Пусть 3(5А=А') = (5А = А1) , (512А = А2 ) , (5123 А= А3 ) ,К , (5123К пА = АП ) и пусть
32Понятие «последующее/предыдущее», «раньше/позже» - различные понятие: понятие «последующее/предыдущее» определяет свойство последовательности, а понятие «раньше/позже» -свойство инерции и времени.
Пример:
[15 ,с. 19] События «...причинно связанны.... только если интервал между ними времениподобный....для таких событий имеют. смысл понятия «раньше» и «позже.»
Здесь понятие «последующее/предыдущее» действия совпадает с аналогичным понятием классического естествознания.
Пример:
[2, с.23] «.для некоторых пар X,X' .один из них предшествует другому, например, элемент х
г г п г
предшествует элементу X , что записывается так X р X или XI X .»
33 Определение «первого/последнего» действия на объекте в данной работе отличается от определения классической математики, где данное действие определяется через отсутствие.
Пример:
[19, с.45] « А = {а,К ,Ь,К ,с,К } .множество, в котором ни один элемент не стоит перед а , т.е. а есть первый элемент.» « А = {а,К , Ь,К , с,К } - такое множество, в котором за С не стоит ни один элемент, т.е. С - последний элемент.»
«до» действия З;А каждое действие на объекте есть тождество -
(уг>,А,г>А=А)=нИ1А А, тогда А = А1 есть первое или начальное действия на
объекте. Аналогично, если «после» действия З;23к«А каждое действие на
объекте есть тождество З;23кА = А" АЗА=А», то З;23кА_А З=М иЗ;2зк«А = А» есть последнее или конечное действие на объекте.
Обозначим начало/конец, первое/последнее действия на объекте как
(З А = а; ) = [ёЬе81П А = А ^ ), (^12зк ,, А = АП ) = {ёепа А = А^ )
где {Зье®пА А)''епс'А Аеп) есть, соответственно, начало/конец, первое/последнее действие на объекте.
Для каждой последовательности действий на объекте начальное/конечное, первое/последнее действие на объекте должны быть определены особо.
1.5.5. ОПЕРЕЖАЮЩАЯ, ЗАПАЗДЫВАЮЩАЯ И
НЕОПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПО ПОРЯДКУ СУЩЕСТВОВАНИЯ34:
1.5.5.1. Опережающая последовательность действий и результатов действий:
Пусть существует последовательность действий и результатов действий с порядком
\ЗА = (ЗА) = 3;А,3;2А,б;2зА,к ,ЗАШКп; Г^АЗАр У$.А,ЗАр УЗг+АЗА; [А 1 = (А 1 ) = а;, а 2, А3,к , АП; [УА^, А1 р УА,, А1 р УА,+1, А1;
тогда, поскольку
[У8^А,8А Р уЗа, За р уЗг+аЗа;
|уа_1, а1 р уаг , а1 р уаг+1, а1;
то данная последовательность действий и результатов действий -опережающая по существованию.
1.5.5.2. Запаздывающая последовательность действий и результатов действий:
Последовательность действий и результатов действий с порядком [¿а = (За) = ЗаЗаааК ,ЗА;23кп; Гу$+1А,ЗА { УЗА, ЗА Г У^1А,ЗА;
[А1 = (А1 ) = а;,А2,А3,к; ,ап; [уа;+1,а1 Г уа,, а1 Г уам,а1;
есть запаздывающая по существованию последовательность.
1.5.5.3. Неопределенная последовательность действий и результатов действий:
Последовательность действий и результатов действий с порядком
34 Забегая несколько вперед отметим, что неопределенному порядку по существованию может соответствовать одновременное существование объектов и действий.
\5А = (¿А) = ¿;Ад2Ад23А,К ¿А123Кя; ГУ^А^А р { У ¿А, ¿А р { У^А^А; |А = (А') = а;, А2,А3,^ З А 'п; |уа;_1, Ар Г УАг,Ар Г УАг+1, А';
не определена по существованию.
Пример:
Порядок «белого шума» не определен.
1.5.6. ТЕОРЕМА: СООТВЕТСТВИЕ ПОРЯДКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ
Утверждение:
(У£МА,£А р УЗ А, ¿А р У^1А,ЙА) = (УА'_1, А ' р УАг, А ' р УАг+1, А ' )
Доказательство:
Доказательство сразу следует из сохранения порядка последовательности действий и результатов действий исходной последовательности действий на объекте
¿а = (¿а) = ¿;а0 р ¿;2 Ао р ¿;23 А0 р К р ¿23К п А0;
|а' = (а') = а р а2 р а3 р К р аП;
«(¿1А0 = А1) р (¿12 А0 = А2 ) р (¿123 А0 = А3 ) р К р (¿123К п А0 = АП )
где ° - квантор соответствия.
1.5.7. ПОРЯДКОВЫЙ ЧИСЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ. КОВАРИАНТНЫЕ ИНДЕКСЫ3536:
1.5.7.1. Порядковый номер37:
Порядковый номер рассмотрим на примере последовательности действий и распространим полученный результат на последовательность результатов действий.
Пусть существует последовательность действий на объекте с порядком
(¿1А0 = А1) р (¿12 А0 = А2 ) Р (¿123 А0 = А3 ) Р К Р (¿123К пА0 =А ' ) .
Данной последовательности действий соответствует последовательность действий и результатов действий с порядком
¿А = (¿А) = ¿;А0 р ¿12А0 р ¿123А0 р К р ¿123КпА0;
|а = (а') = а; р А2 р аЗ р К р АП.
Сопоставим каждому последовательному действию
последовательности действий число щ такое, что данное число будет
35 В данной работе используется термин «порядковый номер» - №' и «порядковое число» - щ. Поскольку
порядковый номер и порядковое число, в общем случае, есть некоторые числа, то вместо термина «порядковый номер» и «порядковое число» может использоваться обобщенный термин «порядковые числа», если это не приводит к противоречию.
36 В тензорном исчислении связь между верхними и нижними индексами определяется метрическим тензоромсм., например [9], [15], [10].
37 Понятие порядкового номера неявно используется в естествознании.
[9, с.43] «Греческие индексы будут обозначать номера материальных точек. »
совпадать с соответствующим местом - номером действия в
у№з, (№/) = узп, (за) последовательности действий - у ' [г) х '. В результате имеем
последовательность действий и чисел
за = №з1; з а = №з2;
м23 " ; №З1, №з2, №б\К , №Зп;
З а = №
З123К п а №
Зп.
в которой порядок последовательность чисел
(№З ) = №З1, №З2, №33 ,К , №Зп
у ' совпадает с порядком последовательности
~ ЗА = (ЗА) = ЗА,ЗА,З,А,К З™ А
действий 4 ' 1 12 123 123К п -
(№З1 р №З2 р №33 рК , №Зп ) = (ЗА р З12 А р З123А р К р З123К пА) или в общей форме
(У№з'л(№З)р У№З,(№З)р У№Зг+1,(№з)) = (уЗИ),(зА)р Уз(г),(зА)р Уз(г+1),(зА)) У№Зг, (№З)
и v ' однозначно определяет место каждого соответствующего
УЗ л, (ЗА) г „ „
действия (г) 4 ' в общей последовательности действий
ЗА = (ЗА) = З1А,З12 А,З123А,К ,З123К пА .
Определим У№ '№ как порядковый номером, порядковое место
уз,, (за) г „ „
(г) 4 ' в общей последовательности действий
ЗА = (ЗА) = З1 А, З12 А, З123 А,К , З123К пА.
Порядковый номер последовательности результатов действий определяется аналогично.
Пропуская промежуточные действия, последовательность и порядок порядковых номеров последовательности результатов действий определяется как
[а' = (а')=а;,а;,А2,К,ап; га;р а;р а;рКр ап;
|№З = (№З) = №*\№к2,№К3,К ,№Кп; |№К1 р №К2 р №К3 рКр №Кп; или в общей форме
(У№я''-1,(и?)р У№Кг,(№)р У№ш+1,(№)) = (УА;_!,(А;)р УА;,(А;)р УА;+1 ,(А;)) 1.5.7.2. Порядковое число3839:
38 Введенное в данной работе понятие порядкового числа совпадает с понятием кардинального числа теории множеств, определяемого как числа элементов множества.
Пусть существует последовательность действий
3А = (3А) = 3А,312АД2ЗА,К ,512ЗК иА.
Сопоставим каждому последовательному действию V3W' (3А) число
№si такое, что данное число будет совпадать с соответствующим числом
3ПА , (Ж ) = V3n, (ЗА) „
действий данного действия (i) - 3 \ 3 В результате имеем
последовательность чисел и действий
ж = за; ж, = за;
лг 312 а /31а,312а,3,23а,K ,323K„а; жя, = 3„а; ^
м 33 123 ; 1 №31,№32,№зз,К ,№З„;
= 312зк п а;
^(31А p 312а Р З123а Р K Р 3123K пА) =(M31 Р М32 Р М33 Р K Р M3n ) •
vM (м )
в которой 3"v 3 совпадает с соответствующим числом действий
V3n, (ЗА) VM,, (Ж ) = V3,, (зА) „ VM,, (Ж )
^ v ' - 3 ['ух '. Определим З' у 3 как порядковое число
действий.
Очевидно, порядок последовательности порядковых чисел совпадает с порядком исходной последовательности действий.
Порядковое число последовательности результатов действий определяется аналогично.
Пропуская промежуточные действия, последовательность и порядок порядковых чисел последовательности результатов действий определяется как
Га;,а2,а2,к,ап; Га; р а; р а2 р к р ап;
1ЖК1,2,Ждз,к ,ЖКп;iЖК1 p 2 Р ЖЯ3 Р к p •
Порядок последовательности результатов действий в общей форме определяется как
(V.^;,Ж)Р vм^R',Ж)Р vмЛÍ+;,Ж )) = (VA;_;,(А)Р VA;,(А)p VA^(А))
1.5.7.3. Верхние и нижние индексы. Ковариантные индексы:
С учетом однозначного соответствия порядкового номера и
[19,с.24] Определяя кардинальные числа и мощность эквивалентных множеств «.будем употреблять выражение: А имеет мощность а, а имеет мощность А, иногда (придавая а значение числа) А имеет а элементов.»
с.24 «.конечные множества эквивалентны.тогда, когда они имеют одинаковое число элементов. .эквивалентные множества имеют одинаковое кардинальное число или одинаковую мощность.»
39 Введенное в данной работе понятие порядкового числа отличается от понятия порядкового числа теории множеств, где порядковые числа определяют тип множества.
Пример:
[19, с.59] «Конечные множества[1,2,K ,п]множество всех натуральных чисел(1,2,3,K ), множество (;,3,5,К 2,4,6,К )вполне упорядочены, их порядковые типып, с, с + с суть порядковые числа.». «Порядковый тип вполне упорядоченного множества называется порядковым или трансфинитным числом.»
порядкового числа месту и числу действий, объединяя верхний и нижний индексы, имеем последовательность порядковых чисел
(№3) = №31 №32 №33 К №3п №
\ 3' 31' 32' 33' ' 3п, где у~3 - квантор порядкового числа40 действия, в которой верхний индекс определяет порядковый номер - порядковое место, а нижний индекс - порядковое число действий каждого последовательно действия последовательности действий
3А = (3А) = 3А,312 А,312зА,К Д2зк п А.
Порядковые числа последовательности результатов действий определяются аналогично.
Пропуская промежуточные действия, последовательность порядковых
(№) = , №22, №33 ,к, чисел результатов действий определяется как у К' К 2 , где
№К - - №К № 'к - квантор порядкового числа результатов действий; ~ ' 'К есть,
соответственно, порядковый номер - порядковое место и порядковое число -
число результатов действий.
Объединяя порядковые числа последовательности действий и
результатов действий, имеем последовательность порядковых чисел и
соответствующую им последовательность действий и результатов действий
'(№3) = №31,№3322,№3|,К ,№3"п; |3а = (3а) = 3а,3па,3ша,К ,3,жпа;
№кк ) = №1, №£, №ЙЙ3,К , №£; |а' = (а') = а;, а2, а3,К , ап;
порядок которых определяется как
[У№3£,№3 р У№,№3 р У№3^,№3; = [У^А^р у3(г)А,3Ар У^^ЗА
№ккр У№£,№ккр №кк; [УА^,А'р УА',А'р УА^,А'.
_ №3' №К' Определим верхние и нижние индексы порядковых чисел 3 г кк как
ковариантные индексы41: верхний индекс №' - контрвариантный, нижний
40 С учетом употребления термина «порядковые числа» для обозначения порядкового номера и порядкового числа для исключения путаницы в употреблении терминов там, где это необходимо, будет дано разъяснение по употреблению каждого из терминов. В общем случае из контекста всегда понятно, какой термин употребляется для обозначения порядков.
41 Понятие ковариантных индексов, введенное в данной работе, отличается от понятия ковариантных индексов дифференциальной геометрии и тензорного исчисления, где эти индексы используются для различения векторов и функционалов.
[15,с.29] «Для удобства записи...выражений вводят...компонет 4-векторов, обозначая их буквами А', А с индексами сверху и снизу.Величины А' называются контравариантными, а Д - ковариантными компонентами 4-вектора.»
[13, с. 130,131] ««Ковариантные компоненты любого вектора в пространстве Е одновременно являются компонентами во взаимном базисе линейного функционала, соответствующего этому вектору.» с. 131 «Введение ковариантного базиса необходимо при операциях с линейными функционалами.» [7, с.21] «В тензорном исчислении существуют правила расстановки индексов у различных объектов.Объекты могут иметь верхние (контравариантные), нижние (ковариантные) и смешанные индексы.- е, 3®, Qk.
с.53 В выраженииТ = Т"К® К «Т'называются контравариантными компонентами тензора Т ......
«Ковариантными компонентами тензора Т называются его компоненты в базисе К ® К'.»
№.
индекс 1 - ковариантныи.
1.5.7.4. Теорема: существование порядковых чисел
Утверждение: если существуют последовательности деИствиИ и результатов действий, то существуют порядковые числа и последовательности порядковых чисел.
Доказательство:
Доказательство непосредственно следует из определения порядковых чисел.
Верно и обратное: если существуют порядковые числа и последовательности порядковых чисел действий и результатов действий, то существуют действия и результаты действий и последовательности действий и результатов действий.
1.5.8. СВОЙСТВА ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ:
1.5.8.1. Совпадение порядкового номера и порядкового числа4243:
Совпадение порядкового номера и порядкового числа рассмотрим на примере.
Рассмотрим последовательность действий с порядком
\8А = (ЗА) = ЗА, 32А, 32зА,К , 32зКиА; 3 1 )А,ЗА р У3(г)А,3А р У3(г+1}А,3А.
Данной последовательности действий соответствует последовательность порядковых чисел с порядком
\(№З) = №З1,№З22,№Зз3,К ,№3;
№3 р У№3;, №3 р у№^,№3. Явный вид порядковых чисел есть
№31 _1. =1; №31 = 1; '№31 = 1;
№32 _2. =2; №32 = 2; №32 = 2;
№33 №33 3. ^ №33 = 3; ^ - №33 = 3;
м м м
№3: : =п; №3п = п; №3П = п.
В данной последовательности порядковых чисел порядковый номер
каждого последовательного действия ,№ совпадает с соответствующим
№ (У№3, №3) = (У№3г, №3) порядковом числом этого действия - 3, ~3 - 4 3> \ /.
В общем случае порядковый номер не совпадает с порядковым числом
42 Совпадение порядкового номера и порядкового числа №3, №л. = I ^ №3 = №й. не определяет равенства
порядковых чисел: порядковый номер - место, а порядковое число - число действий. С другой стороны, поскольку в естествознании понятие «совпадение» используется в значении «равенства», то данное использование допустимо, если это не приводит к противоречию.
43 Забегая несколько вперед отметим, что порядковое число и порядковый номер совпадают, например, для последовательности аналогичных действий.
(У№, №) * ('У№т, №), (у№, №) * (', №)
1.5.8.2. Различение порядкового номера и порядкового числа:
Различие порядкового номера и порядкового числа рассмотрим на примере.
Рассмотрим последовательность результатов действий с порядком
|А' = (А') = А;, А;,к , А; ; |уА_1, ар УА;,А;р УА;+ра.
Данной последовательности результатов действий соответствует последовательность порядковых чисел с порядком
[(№ ) = №1, №1 №з3,К , ■
|у№^,№р ,№р №.
Явный вид порядковых чисел есть
г №1 №Я 1 _1. =1; '№к 1 = 1; № №Я 1 = 1;
№2 №Я 1 _2. = 1 ; №к 2 = 2; № 2 = 1
№3 №Я 1 №й3 = 3; ^ • № №Я 3 = 1
м м м
№4 №Я 1 _п. =1 ; №Кп = п; № №-К п = 1
Очевидно,
в данной
у№ ', №
последовательности
чисел
порядковый
порядковый номер У№ ,№ не совпадает с соответствующим порядковым
У№ № (г, №к) ф ( У№ 1, №) числом У , № № - ^ ' .
1.5.9. ОПЕРЕЖАЮЩАЯ, ЗАПАЗДЫВАЮЩАЯ И
НЕОПРЕДЕЛЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ. ОРИЕНТАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ:
В п. 1.5.5 была определена опережающая, запаздывающая и неопределенная последовательность действий и результатов действий. Здесь расширим данные понятие с учетом существования последовательность порядковых чисел.
1.5.9.1. Опережающая последовательность:
Опережающей последовательности действий и результатов действий \ЗА = (6А) = 31А,312А,312зА,К ,За12зк„; ГУ^ДЗА р УЗДЗА р УЗг+1А,ЗА;
|а' = (а) = а;,а;,аЗ,К , а;; [уа;^,а' р уа,,а' р уа,+1,а;;
соответствует опережающая последовательность порядковых чисел с порядком
'(№) = №£,№£,№33,К ,№;; 1,№3 р У№;,№ р У№^1,№в;
[(№йй) = №С№2,№ййз3,К ,№1;; [уЖ^1,№кк р У№|,№ р УЖ^,№йй.
Данная последовательность порядковых чисел ориентирована.
1.5.9.2. Запаздывающая последовательность:
Запаздывающей последовательности действий и результатов действий
[3А = ( 3А) = ЗА, 312А, 3123А,К , 3А123Кп; (V 3г+1А, 3А { V 3гА, 3А { V 3_1А, 3А; [А' = (А') = А[,А2,А3,К1 ,ап; [уа;+1,А' Г УД,А' Г УА'_1,А';
соответствует запаздывающая последовательность порядковых чисел
'(№3) = №31,№322,№33,К ,№3"п; гуЖ'№3Г У№»,№3 Г у№'1,№3;
№) = №1,№2,№Кз3,К ,; |у№£,№ Г ,№К Г у^,№.
Данная последовательность порядковых чисел ориентирована. 1.5.9.3. Неопределенная по существованию последовательность действий и результатов:
Неопределенной последовательности действий и результатов действий
[3А = ( 3А) = ЗА, 32А, 32зА,К , ЗжпА; (V3(<_1}А, 3А р Г V 3(0Д 3А р Г V 3^16Д [А' = (А') = А, А2, А3,К , Ап; [УА^, А'р Г УА', А'р Г УА'+1, А';
соответствует неопределенная последовательность порядковых чисел
'(№3) = №31,№32,№33,К ,№3п; гу№«:1,№13 р Г ,№3 р Г у№3£Ц; |(№) = №1, №2, №К3,К , ; [у^, №>Г , №КрГ №1.
Данная последовательность порядковых чисел не ориентирована. Пример неопределенной последовательности по порядковому номеру44.
Пример:
Последовательность действий с порядком
[3А = ( 3А) = 3(п)А, 3(п)А,К , 3(п)А;
[3(п)Арг 3(п)Аргкрг 3(п)А;
не определена по порядковому номеру и определена по порядковому
У№ № = и числу У ', № 3 п.
1.5.10. ВЕЛИЧИНА ПОРЯДКОВОГО ЧИСЛА:
Пусть существует последовательность порядковых чисел с порядком
{(№) = №, №2, №3 ,К, №„;
|у№-_1, № р У№г, № р У№м, №.
^ ЧУ! |У№ №| = УГ/ Г/
и для данной последовательности № такое, что 1 " 1 №,
УУ! У! VI
тогда УУ1№< ,У'№ есть величина порядкового числа, где № - квантор
величины порядкового числа, и для последовательности порядковых чисел
44 Последовательности, не упорядоченные по порядковому номеру, могут быть упорядочены по порядковому числу, и наоборот.
Забегая несколько вперед, отметим, что неупорядоченные по порядковым числам последовательности могут быть упорядочены по величине.
Возможность введения порядка каждый раз должна определена особо.
Остается открытым вопрос о существовании последовательностей одновременно неупорядоченных по порядковым числам и по величине. Если данные последовательности существуют, то описание данных последовательностей требует специальных математических методов, отличных от современной математики.
по существованию определен порядок порядковых чисел по величине
уу1м,-1ж <уу1т,¥1№ <уу1ж+1ж, где < _ квантор «меньше».
Аналогично, для запаздывающей последовательности порядковых
Уж ж { уж Ж { Уж Жо чисел с порядком Ужж 1 у¥-г—ж, порядок порядковых чисел по
величине определяется как >У^ж' ^ , где > _ квантор
больше.
1.5.11. ТЕОРЕМА: СОВПАДЕНИЕ ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ ПО СУЩЕСТВОВАНИЮ И ПО ВЕЛИЧИНЕ
Утверждение: У¥1ж=У№,,ж. Доказательство:
Из определения порядкового числа _ см. п. 1.5.7 следует, что
порядковое число не принимает отрицательных значений. Отсюда,
iуж, , ж = уж , ж у и№,, и№ = |уж, ж = уж, , ж тт
I >> | г> и, следовательно, ш ж 1 г 1 г . Что и
доказывает первоначальное утверждение.
С учетом совпадения порядковых чисел по существованию и по
величине здесь, и далее, если не оговорено иное, будет рассматриваться
единое существование порядковых чисел: и по существованию, и по
величине.
1.5.12. РАЗНОСТЬ ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
1.5.12.1. Разность порядковых чисел. Определение:
Разность порядковых номеров рассмотрим в общей форме. Пусть существует последовательность порядковых числе с порядком
[(ж) = ж, ж22, ж33 ,К , ж"п;
[уж^1, Ж р уЖ; , ж р уЖ^1, Ж.
Пусть также ЭЛЖ такое, что Лж =Ж- ж = Ж-', тогда ЛЖ есть разность порядковых чисел.
С учетом теоремы о совпадении порядковых чисел по существованию и величине разность ЛЖ однозначно определяет разность порядковых чисел и по существованию, и по величине.
1.5.12.2. Теорема: существование разности порядковых чисел Утверждение: если ЗЛж, то также существуют порядковые числа
3(Ж[;ж/) _ 3(Ж1;Щ^ .
Доказательство:
Доказательство сразу следует из определения разности порядковых чисел.
и г~ 3(Жк;Ж/) злж| )
Верно и обратное: если ^^ к 1', то (ж').
1.5.13. СРАВНЕНИЕ ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ:
Сравнение порядковых чисел рассмотрим в общей форме.
Пусть существует последовательность порядковых числе с порядком
[(№) = №1, №22, №33 ,К , №ии; |У№';!,№р У№',№ р У№':11,№. Разность порядковых чисел данной последовательности есть
Л№ = №' - №1 = №'--/ /-ч
^ ./»_; . Очевидно, данная разность принимает следующие значения:
А№ = №[ - №/ = №П = №ДЙ =0 - 0, №[ = №/
равны;
№ = №fh -№£ = №j<0,№£ < №* _ ^^^ ^^ №¡1
№SJ
порядковые числа порядковое число
-si
меньше порядкового числа
- ^ 5к 51 5к>1,к-1 >0' 5к 51 - порядковое число № ^
больше по порядкового числа №т .
1.5.14. НАИБОЛЬШЕЕ/НАИМЕНЬШЕЕ ПОРЯДКОВОЕ ЧИСЛО:
Пусть 3(№) = №1,№22,№|,К ,№пп и з(№/,№).
1. Наибольшее порядковое число:
т-, А№ = У№' № - №1 = №'-1<0 №1 = №тах /-
Если У№' № -1 ~к-1 <0, то -1 № тах - наибольшее порядковое
число.
2. Наименьшее порядковое число:
т-, А№ = У№' № - №1 = №'-1>0 №1 = №тп
Если А№ ^'№ № 1 >0, то № №тт - наименьшее порядковое число.
Для каждой последовательности действий и результатов действий наименьшее/наибольшее порядковое число должны быть определены особо.
1.5.15. ТЕОРЕМА: СВЯЗЬ НАЧАЛА/КОНЦА ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ С НАИМЕНЬШИМ/НАИБОЛЬШИМ ПОРЯДКОВЫМ ЧИСЛОМ
В п. 1.5.4 было определено начало/конец, первое/последнее действие на объекте. Здесь определим связь данного действия с порядковыми числами.
Утверждение:
| №smn = №s1 = №sbegm №oRmn = №oR1 = №oRbegm ■
1 №smin №S1 №¡begin ' №Rmin №R1 №Rbegin ■>
| №Smax = №Sn = №Send, №Rmax = №R = №Rhbe"d.
1 Smax Sn Send? Rmax Rn R bend
Доказательство:
Пусть существует последовательность действий на объекте с порядком
C(sa=а') = (s а=а; ), (s12 а=а; ), (s123 а=а; ) ,к, (s123K n а=ап ) ^(s1a=a;)p (¡1;а=а2)p (¡12;а=а;)pKp (s^па=а;).
С у4етом порЯдка (S1А = А' ) = (sbegfnА = Аbegin ) ' (S123K n...iА = An ) = (SendА = Aend )
(Sbegin А = А . . ) j ( Send A = Aend ) /
где g begin' v ' есть, соответственно, начальное/конечное и
первое/последнее действие на объекте.
Данной последовательности соответствует последовательность действий и результатов действий с порядком
[ 3А = (3А) = ЗА, 32А, 3шА,К , 32зК„А; jV S^A, 3А p V 3(г)А, ЗА p V 3(г+1)А,ЗА; |А = (А') = а;, А2, А3,К , А„; {vA^, А'p VA;, А' p VA;+1, А';
и последовательность порядковых чисел с порядком
'(№З) = №З1, №З22, №Зз3,К , №З„; jv№3£, №З p V№3j, №З p v№£:1, №З;
\(№) = №R1,№R2,№rr3,K ,№R:;|v№j;,№R p v№R,№R p v№j;,№R.
Т.к. последовательность действий и результатов действий - прямая возрастающая, то, следовательно, для данной последовательности
Е№3mn №3max • №Rmin ,№Rmax №3mn = №31 №Rimn = №R1 ^ /
min , № 3max ; №Rmin , №Rmax и ' 3™n №31 , №Rmin №r1 . Q учетоМ наЧаДа/конЦа,
первого/последнего действия на объекте, очевидно,
Г №3min = №31 = №3begm №Rmin = №R1 = №Rbegin ■
1 №3min №31 №3begin ' №Rmin №R1 №Rbegin ■>
I № 3max = №3n = №3end №Rmax = №Rn = №Rbend-
№3max №3n №3end з №Rmax №Rn №Rbend з № 3begin № R begin ; № 3end № R bend
где "3begin, ~Rbegin; "3end, 'Rbend есть, соответственно, начальное/конечное порядковое число.
Что и доказывает первоначальное утверждение.
Для каждой последовательности действий и результатов действий начальное/конечное, первое/последнее действие и результат, наименьшее/наибольшее порядковое число и его связь с началом/концом действия и результата действия на объекте должны быть определены особо.
1.5.16. ОРИЕНТАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ. ВОЗРАСТАЮЩАЯ, УБЫВАЮЩАЯ, ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПОСТОЯННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ:
В п. 1.5.5 была определена опережающая, запаздывающая и неопределенная последовательность порядковых чисел. Здесь расширим данные понятия с учетом разности порядковых чисел. Ориентацию последовательностей порядковых чисел рассмотрим на примерах.
1.5.16.1. Прямая возрастающая последовательность:
-,-г (№) = №х №2 №3 K №п
Последовательность порядковых чисел v ' 1' 2' 3' ' n есть прямая возрастающая ориентированная последовательность.
1.5.16.2. Прямая убывающая последовательность:
-т (№) = №1 №2 №3 K №n:1 №n
Последовательность порядковых чисел v ' n' n: 1 n:2 ' 2 ' 1 есть прямая возрастающая последовательность по порядковых номерам и убывающая последовательность по порядковым числам. Последовательность ориентирована.
1.5.16.3. Обратная возрастающая последовательность:
т-т (№) = №n, №n-1, №n-2, K , №;
Последовательность порядковых чисел 1 2 2 n есть
обратная, убывающая последовательность по порядковым номерам и
возрастающая последовательность по порядковым числам. Последовательность ориентирована.
1.5.16.4. Обратная убывающая последовательность:
т-т (№) = №", №"-], №я%2 ,к , №1
Последовательность порядковых чисел 4 ' п п:1 п:2 1 есть обратная, убывающая последовательность. Последовательность ориентирована.
1.5.16.5. Постоянная последовательность:
Последовательность порядковых чисел с порядком
У№': № = У№ № = У№г+1 №
VJ . yJ_г,№ не ориентирована и постоянна по величине
порядковых чисел.
1.5.17. ЛИНЕЙНЫЙ ИЛИ ЕСТЕСТВЕННЫЙ ПОРЯДОК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ4546:
Линейный порядок рассмотрим на примере порядка последовательности действий и распространим полученный результат на последовательность результатов действий.
1.5.17.1. Линейный или естественный порядок. Определение: Пусть существует последовательность действий с порядком
\8А = (ЗА) = ЗА, ¿12А, ¿12зА,к , ¿123КпА;
|У З^1)А,ЗАр УЗ(г)А,ЗАр У8{1+1 )А,3А.
Данной последовательности действий соответствует
последовательность порядковых чисел с порядком
У№, №З р , №З р У№З;++;, №3.
Явный вид последовательность порядковых чисел есть
тЗ.
и
( № ) = №[
¡1,2,3,К, п ¡1,2, 3,К , п
№31 = №3 ™п =1 = 1- №Зп = №3 тах =п = п № 31 №3 тт 1 1;№ Зп №3 тах п п
Графически данной последовательность порядковых чисел соответствует прямая линия последовательности натуральных чисел
45 В данной работе понятие линейного порядка отличается от понятия классической математики.
Пример:
[2, с.24] «.для любых двух различных элементовх,х' (множества - Е.П.И.), один из которых
предшествует другому, т.е. верно одно и только одно из двух отношений X р х' или X Г х', частично
упорядоченное множество называется линейно упорядоченным.»..... если в множестве «... хсчитается
предшествующим элементу х', если х < х', этот порядок..называется естественным порядком.» В данной работе линейный или естественный порядок определяется через геометрическую последовательность: линию. В этом смысле, любые последовательности, геометрически образующие линию, также линейны. Например, последовательности (2х) = 2,4,8,16,32,К ,2п;(2х)п = 2,16,36,К ,(2п)п
линейны, т.к. геометрически представляются линией.
46 В современном естествознании ориентация определяется через вектор - пространственно -ориентированный отрезок. В данной работе ориентация, определенная через последовательность порядковых чисел, имеет более общий характер по отношению к ориентации через вектор. Любая иная ориентация есть ограничение данной ориентации.
1,2,3,K, п
рис. 1
Рис. 1. Графическая последовательность действий
С учетом этого последовательность действий
JA = ( JA) = JA, 39A,K , 3,^ „А ~
v ' 1 12 123K п определяет линейный или естественный, здесь,
возрастающий порядок.
Аналогично, определяется линейный убывающий порядок и линейный
порядок результатов действий.
Существуют различные варианты линейных порядков. Например,
порядок линейный по порядковыми номерам и нелинейный по порядковым
A Jf +1 = № i - №£1 =1
числам - J,jj+1 j j+1 *2.
1.5.17.2. Абсолютный линейный порядок:
„ I A№J I = \№f. - №sA = №%-j=1 =1 = 1 „
Если 1 s 1 1 s 1 Sk-1\1 1 , то такой порядок определят
абсолютный линейный порядок.
1.5.17.3. Ориентация линейных последовательностей: Определение ориентации линейная последовательность аналогично
определению ориентации произвольной последовательности, рассмотренной выше, и поэтому здесь не рассматривается.
1.5.18. ЭЛЕМЕНТ И СТРУКТУРА. РАНГ47 ПОРЯДКОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ: 1.5.18.1. Определение:
Пусть существует последовательность действий на объекте с порядком
[( JA = A') = (ЗА = А;), (32А = А2), (З23А = А3) ,K , (З23К пА = АП); {(^А = А;)p (З2А = А2)p (З23А = А3)pKp (323KпА = АП); и пусть каждое последовательное действие на объекте, в свою очередь, образует собственную последовательность действий - порядковую
47 Понятие ранга имеет принципиальное значение для естествознания, т.к. позволяет определить структуру объектов и действий.
Определение ранга структурной последовательности, введенное в данной работе, не совпадает с определением ранга классической математики: тензорной алгебры, где ранг определяется через скалярное и векторное произведение.
Пример:
[13, с. 121] «.... любой вектор а е в евклидовом пространстве можно рассматривать как линейное отображение А, сопоставляющее произвольному вектору х е число х §р . Это отображение А является тензором первого ранга типа (1,0): АеМ1, А:М1 —— >М°.... Тензором нулевого ранга является линейное отображение С из Я в Я ... имеет вид Ух е Я, Зс е Я : С (х) = сх. Любое число можно рассматривать как тензор нулевого ранга.»
[4, с.193] «... аг^К^ ' координаты тензора[А]г в базисе/,/,К ,/ .Верхние индексыц2К 1чназываются контравариантными индексами, нижние индексы К у - ковариантными индексами. Число г = р + д называется рангом тензора.»
последовательность. Например, пусть для действия на объекте (5А Al) данная последовательность действий есть
( 3 A = Al) = ( 5/А = Al1), ( А = А? ), ( А = A31) ,K , ( „ А = Af ). Пусть далее, каждое действие на объекте последовательности действий
(3 A = Ai) также образует порядковую последовательность действий.
( 51 А = Ai1)
Например, пусть для действия на объекте ^ 1 1 ' последовательность действий есть
(51A = Al1 ) = (512A = Al12),( 5122А = А212),( 5123А = A31),K ,(¿^яА = А?2).
Объединяя порядковые последовательности для действия (51 A = Al) имеем следующую порядковую последовательность действий на объекте (51A = Al);
(5 А = Al ) = (51 А = Al1), (512 А = А21), (5123 А = А^) ,K , ( 5^ и А = А);
<( 51 А = А) = ( 51 2 A = Af 2), (42 А = А212), (42А = А3) ,K , ( 5-3K и A = Al12); M
(5" A = Al") = ( 512K" A = Al12K"), (512K" A = Al12) ,K , (^ A = Af12K").
Определенные порядковые последовательности образуют структуру действий, в которой каждая порядковая последовательность определяет уровень последовательности действий в общей последовательность действий. Очевидно, порядок существования последовательностей совпадает со структурой последовательности действий на объекте. Рассмотрим уровневое действие
(51А = Al) = (51 А = Al1),(5/2А = А21),(^А = A31),K ,(^"А = А? ).
Каждое действие на объекте данной последовательности определяет элементарное действие на объекте данной последовательности.
Очевидно, для общей структуры действий на объекте аналогично можно построить структуру последовательности действий и результатов действий.
Далее, сопоставляя каждой уровневой последовательности порядковый
номер - R"g, совпадающий с уровнем данной последовательности в общей структуре действий, имеем последовательность порядковых номеров
('Mg) = R"g,2 R"g,3 R"g,K ," R"g
v ' , совпадающих с номером уровня данной
последовательности в общей структуре действий
('Rüg) = Rüg,2 R"g,3 R"g,K ," R"g;
1 Rrng, Rrng p ' R"g, Rrng p'+1 Rrng, Rüg.
где ^ Rg определяет ранг или уровень последовательности действий на объекте в общей структуре последовательных действий на
объекте, где R"g - квантор ранга.
сопоставляя
,Rng
каждой уровневои последовательности
совпадающее с числом элементов данной имеем последовательность порядковых
окончательно имеем рангов уровневых
Аналогично,
действий на объекте число 7 J уровневой последовательности,
( Rng) = Rng„ Rng,, Rng ,K ,. Rng чиселvJ ' 1 3 4 с порядком, совпадающим с порядком
исходной последовательности действий
( jRng) =1 Rng ,2 Rng 33 Rng,K ,4 Rng; -1 Rng3 Rng p г Rng3 Rng p г+1 Rng3 Rng;
где yiRng>Rng определяет ранг или число элементов уровневой последовательности.
Объединяя верхние и нижние индексы, последовательность порядковых чисел -последовательностей действий на объекте в общей структуре действий
(jRng) =1 Rng ,2 Rng,3 Rng,K ,"„ Rng; 7-1 Rng, Rng p j Rng, Rng p Rng, Rng;
в которой верхний индекс определяет порядковый номер, а нижний -число элементов каждой уровневой последовательности в общей структуре действий на объекте.
Структура, ранг и элементы порядковых последовательностей действий и результатов действий определяется аналогично.
Пропуская промежуточные действия, ранг уровневой последовательности действий и результатов действий в общей структуре последовательности действий и результатов действий есть (>g) =15 Rng,25 Rng,3ssRng,K n Rng; j^Rng,Rngp js Rng,Rng p j^ Rng,Rng;
( RRng) =1R Rng,2R Rng,3R Rng,K * Rng; i^-iRRRng, Rng p Rng, Rng p '¿R Rng, Rng.
В общем случае порядковый номер уровневой последовательности действий и результатов действий в структуре действий и результатов действий не совпадает с порядковым числом элементов этой уровневой последовательности действий и результатов действий.
1.5.18.2. Свойства рангов:
1.5.18.2.1. ОРИЕНТАЦИЯ РАНГОВ ПОРЯДКОВЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ:
Ориентацию рангов последовательностей действий рассмотрим в
общей форме на примере порядка рангов номеров последовательностей.
1. Возрастающий ранг:
1 Rng р г Rng р г+1 Rng'-
и порядковых
'-1 Rng <' Rng <'+1 Rng'-1
возрастающий ранг.
2. Убывающая последовательность:
'+1 <' <'-1 _ убывающий ранг.
3. Последовательность постоянного ранга:
г 1 = =г+1 1 _ постоянный ранг.
1.5.18.2.2. РАЗНОСТЬ РАНГОВ ПОРЯДКОВЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ:
Разность рангов порядковых последовательностей определяется как ак^ =' - =' 7 Rng и принимает следующие значения:
ARng =' ^ -7 ^ ='-7=0 Rng|
_ ранги последовательностей совпадают, данные последовательности есть последовательности одного ранга, равно, уровня, в структуре последовательностей;
AЯng =' Rng -7 Rng ='-7>0 Rng|
_ первая порядковая
последовательность имеет более высоки ранг по сравнению с
последовательностью J Rng; первая последовательность имеет более высокий
уровень в структуре последовательностей;
AЯng =' Rng -7 Rng ='-7<0 Rng| - ь<7 _ первая порядковая
последовательность имеет более низкий ранг по сравнению с
последовательностью J Rng; первая последовательность имеет более низкий уровень в структуре последовательностей.
Ранги порядковых последовательностей определяют структуру порядковых последовательностей.
1.5.18.2.3. ТЕОРЕМА: СОВПАДЕНИЕ ПОРЯДКА ПОРЯДКОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПРИ СОВПАДЕНИИ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Утверждение: если характеристические числа последовательностей совпадают, то совпадают и порядки данных последовательностей. Доказательство:
Для доказательства достаточно определить разность характеристических чисел.
1.6. Аналогия объектов и действий48:
1.6.1. РАВЕНСТВО ДЕЙСТВИЙ, АНАЛОГИЯ ДЕЙСТВИЙ. УМНОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИЙ:
Пусть существует последовательность действий с порядком
[(¿А) = ад2за,К д2з4к пА;
[¿А р ¿12А Р ¿123А Р К Р 31234К пА;
тт УЗА, (¿А) = У5А, (¿А) = ЗА ст
Пусть, далее, ' 4 ' 7 у ' . Явный вид
последовательности действий есть
48 Не путать аналогию с эквивалентностью. Это - различные понятия: аналогия есть равенство и перенесение действий, а эквивалентность _ замена действий.
( ¿ТА) = ЗА, З12А, 323A,K , З234К „А = ¿A, ЗЗА, ЗЗЗА,К , 1К2З§А
n , тогда
V ЗА, ( ЗА) = ЗА ~ g. V ЗА, ( ЗА) = 3А = Analog
1 v ; есть аналогичное действие на объекте 1 v ' .
С учетом аналогии действий каждое последовательное действия
определяется как умножение действия на соответствующее порядковое
V ЗА,( ЗА) = V№,,№яЗА;i = 1,2,3,K ,n число .
Явный вид последовательности аналогичных действий с учетом
аналогии определяется как
( ЗА) = ЗА, ЗЗА, ЗЗЗА,К , 1К2З3 А = №SIЗА, №S2ЗА, ЩъЗА,К , №SnЗА = 1 ЗА, 2ЗА, 3ЗА,К , nЗА
n
т-т ( ЗА) = 1 ЗА, 2ЗА, 3ЗА,К , nЗА
Последовательности 7 определяет умножение
действий при аналогичном действии на объекте.
1.7. Счетность/несчетность последовательностей и
существование счетности:
1.7.1. СЧЕТНОСТЬ/НЕСЧЕТНОСТЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ49: Последовательности действий и результатов действий, которым может
быть сопоставлена последовательность порядковых чисел, счетны.
Последовательности, которым не может быть сопоставлена последовательность порядковых чисел, не счетны.
1.7.2. ПЕРЕНЕСЕНИЕ ДЕЙСТВИЙ, ПОДОБИЕ ОБЪЕКТОВ50:
49 Понятие счетности, введенное в данной работе, с учетом порядковых чисел и отнесения счетности к любой последовательности совпадает с аналогичным понятием теории множеств.
Пример счетных множеств:
[2, с. 14] «Множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел, называется счетным множеством.
.счетное множество - это такое множество А , все элементы которого могут быть занумерованы в
бесконечную последовательность а,а, а,К ,а,К и каждый элемент получил лишь один номер п и
каждое натуральное число п... в качестве номера дано одному. элементу данного множества.
Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным множеством.»
[6, с. 14] «Множество называется счетным, если оно равномощно множеству Г натуральных чисел.и его
можно представить в виде ,х2,%,К}(здесь хг - элемент, соответствующий числу I ...»
[19, с.25] «Множества этой мощности (натуральных чисел - Е.П.И.) мощности, которым.можно придать
вид последовательности ,а, а,К , а,К }, (а ^ а _если _т ^ и), называются счетными.»
«Их элементы могут быть «сосчитаны» (перенумерованы) при помощи натуральных чисел.»
Пример несчетных множеств.
[19, с.34] «.множество всех кардинальных чисел немыслимо.» Иными словами, данное множество не может быть упорядочено. «.все бесконечные множества, кроме счетных, называются несчетными.»
50 Аналогия и подобие - различные понятия: аналогия есть равенство и перенесении действий на объектах, а подобие - равенство результатов действий или объектов при аналогичном действии на объектах. Подобие не определяет равенства объектов, а определяет, что результаты при аналогичном действии на объектах совпадают. Так, в биологии подобие определяет родовую и видовую классификацию биологических объектов.
Пример:
Все псовые подобны и относятся к одному роду псовых, аналогично, все кошки подобны и относятся к роду кошачьих.
Отнесение к определенному роду и виду есть следствие равенства результатов действий при аналогичном действии на объекте.
Пусть Аг;А1 )и 33 такое, что 3А1 -А1,3А2-А2;1 -А2, тогда
- квантор
ЗА1,ЗА2 - Analog, и объекты Ai, А2 подобны - Al' А , где
подобия.
Очевидно, первая разность аналогичных действий при действии на
Д-Ы1
подобных объектов приводится к тождеству51 3-А1,3А-Аг;А1; А2.
(а а ) - (а А )|
Следствие: симметрия52 подобных объектов: ' 'А1 ^.
Доказательство сразу следует из тождества первой разности
д-м| , ,
V /1за1-а;,8а2-а'2;А; А
1.7.3. ТЕОРЕМА: СУЩЕСТВОВАНИЕ СЧЕТНОСТИ
Утверждение: последовательность действий на объекте счетна.
Доказательство:
В соответствии с теоремой о связи порядка с существованием действия п. 1.2 и теоремой о существовании порядковых чисел см. п. 1.5.7.4 если существует действие на объекте, то также существует порядок, если существуют последовательные действия на объекте, то также существуют порядковые числа. Отсюда с необходимостью следует доказательство первоначального утверждения.
1.8. Количество действий и результатов действий:
При рассмотрении последовательностей действий и результатов действий не рассматривались сами действия и результаты действий. Здесь расширим рассмотрение с учетом существования действий и результатов действий.
1.8.1. ВЕЛИЧИНА ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ. ПОРЯДОК ПО ВЕЛИЧИНЕ:
Величину действий и результатов рассмотрим на примере прямой возрастающей последовательности действий и распространим полученный результат на последовательность результатов действий и произвольную последовательность действий и результатов действий.
Пусть существует последовательность действий с порядком |3А - (3А)- ЗА ЗА 3ША,К , Зшк „А; 3 1 )А,3А р У3(0А,3А р У3(г+>)А,3А.
Данной последовательности действий соответствует
последовательность порядковых чисел с порядком
'( №3)- №31, №32, №3з3,К , №3:; ^ №3^ №3 р №3'], №3 р №3У №3.
тт 3У1 , У15-\У3г А, (3А)| VI
Пусть, далее, 3 такое, что 3 3 1 4 Л, тогда 3 есть
51 Тождество и его свойства определены в [8].
52 Определение симметрии и ее свойтв см. [8].
величина действия, где 3 - квантор величины действия.
Если порядок величины действия данной последовательности
определяется как у,1 <у^< VМти1, то данному порядку соответствует последовательность действий по величине
{VI,) = VI,„VI,2,VI,3,К , ^п.
Величина результатов действий, порядок и последовательность результатов действий по величине определяется аналогично. Пропуская промежуточные действия, порядок результатов действий, порядок и последовательность результатов действий по величине, соответствующий данной последовательности действий, определяется как у\к =|уа; , (а');
(VI,) = VI, 1,VI,2,VI,3,К , V/
,п'
Величина произвольного действия, результата действия, последовательности действий и результатов действий определяются аналогично.
В общем случае порядок и величина действий и результатов не совпадают с порядком и величиной порядковых чисел.
1.8.2. КОЛИЧЕСТВО ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ:
Количество действий и результатов действий рассмотрим на примере последовательности действий и распространим полученный результат на последовательность результатов действий.
Пусть существует последовательность действий с порядком
[ ,А = ( ,А) = ЗА ¿12А ,123А,К , ,123К пА
V8{1_1)А, ,А р V ,(0А, ,А р V ,(1+>)А, ,А; и последовательностью порядковых чисел с порядком
'() = №,22,з3,К ,№,"п;
<
Пусть далее, данной последовательности действий соответствует последовательность действий по величине с порядком
/(V/,) = V/,V/,2,V/,3,К у\,п;
\*У1,< VVl,гу\, < VVl,му\,;
v , А, ( ,а)
и пусть для каждого последовательного действия существует
п п = (V V/,,, пя ) и (V№, 1, №, )
81 такое, что данное й 14 ы д' к ь 1 ь', где ^ - квантор
объединения, тогда П * есть количество действия ,А.
С учетом количества действия последовательность действий
П я =(0 *) = П я 1,П я9,К ,П
определяется как 1 2 3 .
Аналогично определяется количество действия последовательности
„а „ = (а „ ) = а „. а „9 ,К , а „. результатов действий R V ^ R2' ' R3.
Количество действий и результатов действий произвольной последовательности действий и результатов действий определяется аналогично.
В общем случае количество действий и результатов действий не совпадает с величиной действий и результатов действий и порядковыми числам действий и результатов действий.
1.9. Характеристические числа последовательностей:
Каждая последовательность действий и результатов определяется
рангом последовательности -
№;
порядковыми числами J; величиной действий и результатов действий - Vl Ранг, порядковые числа и величина действий и результатов действий есть характеристические числа последовательностей.
2. Интервал и границы: При рассмотрении порядка существования объектов и действий была определена последовательность действий и результатов, теперь, опираясь на понятия порядка, определим понятие интервала действий и результатов и рассмотрим свойства интервала.
2.1. Интервал и границы53. Определение:
Определение интервала рассмотрим на примере интервала действий и распространим полученный результат на интервал результатов действий. Пусть существует последовательность действий с порядком \8А = (ЗА) = ЗА, 312А, 5ША,К , ¿>шкяА; (V^)А,ЗА p УЗ(0А,ЗА p V3(i+1}А,ЗА;
3З А = ЗА,З ,А = З9Ж А
и begin 1 ' end 123К n такие что
VSbegln А, (ЗА) р V3\i, (ЗА) р V 5end А, (ЗА) и VЗlЛ,ЗЛp З1л|З1А = (-) ,З123К пА == М^^ЗАЗ ,
5 А = ЗА,З ,а = Зч^ А ,
тогда begin 1 end 123К n есть, соответственно, начало/конец,
первое/последнее действие последовательности действий, и существует
(за) = intervalзл
интервал действий - , для которого определены границы
действий ЗbeginА = З1А, ЗendА = З123К nА .
Начало/конец, первое/последнее действие интервала действий
53 В классическом естествознании интервал также неявно определяется через границы. Пример:
[5,с.15] «Если х,у ,^,^и х2,у2,^,?2- координаты ..двух событий, то величина я12 = с2 (^ -^)2-(х -г2)2 -(У -У2)2 -(21 -22)2 называется интервалом между этими .событиями.» [12, с. 25] «Множество всех элементов х, лежащих между элементами a, Ь называется интервалом (а; Ь)». В последнем примере для г, лежащего между элементами а, Ь, а, Ь - границы множества.
образуют грани интервала54 действий:
- начало, первое действие ¿beginА = определяет нижнюю грань
¿w„ А = Я А = inf ЯА действия - begm 1 ;
я a = Я А
- конец, последнее действие ¿endА ¿123K nА определяет верхнюю
грань действия - я n А = яшк nА =sup ЯА. Вместе нижняя и верхняя грань
j¿begin а = Я1А = inf яа;
1 ¿end а = Я123К n а = sup яа;
определяют границы55 интервала действий.
Интервал результатов действий определяется аналогично. Пропуская
промежуточные действия интервал результатов действий есть
(А') = Interval (А') . A!begin =А;, А^ =An ; •
Нижняя/верхняя грань, границы интервала действий определяются аналогично. Пропуская промежуточные действия нижняя/верхняя грань, границы интервал результатов действий есть
1 Abegin =А'= inf А';
=An = sup А'.
Принятые обозначения:
Правая/левая скобки у интервала действий и результатов ( ЯА)'(А) определяют, соответственно, начало/конец действия и результата:
\( ЯА = ¿begin А;
яА) = Я endА; - начало/конец действия;
| (а' = Abegin;
а') = а' '
end - начало/конец результатов действий. 2.1.1. СВОЙСТВА ИНТЕРВАЛА И ГРАНИЦ:
2.1.1.1. Ограниченный справа/слева, полностью ограниченный интервал56:
54 Определение граней интервала в данной работе совпадает с определением граней интервала в классической математике.
Пример:
[10, с. 100] «Действительное число М есть верхняя или нижняя граница множества & действительных чисел у, если для всех у е 5 , соответственно, у < М или у > М.»
55 Определение границ интервала совпадает с определением классической математики.
Пример:
[10, с100] «Действительное число М есть верхняя или нижняя граница множества 5 действительных чисел у , если для всех у е 5 соответственно у < М, у > М.»
56 В данной работе интервал определен через ограничение последовательности действий и существование начального/конечного действия и результата з( = А;,8епА = А'). На стороне данного определения
неограниченная последовательность не образует интервала.
Пример:
Интервал, для которого существуют грани или справа, или слева, есть ограниченный интервал справа/слева интервал.
(ЗА = Interval ЗА
интервал v ограничен слева; для него существуют
(з А = inf ЗА
граничные условия слева begin ;
ЗА) = Interval8А
- интервал ' ограничен справа; для него существуют
З , А = sup ЗА)
граничные условия справа end '.
т;г ~ , (ЗА) = IntervalЗА
Интервал ограниченный справа/слева полностью
ограничен57. Для него существуют граничные условия справа/слева:
<(3beg,n А = inf ЗА ; 3end А = sup^).
2.1.1.2. Теорема: эквивалентность граней интервалов и тождества
Л 3(inf ЗА, sup ЗА; inf А', sup А') : 3(=) Утверждение: к ^ F ' v '.
Доказательство:
Доказательство сразу следует из определения граней интервала и отсутствия действий и результатов действий «до/после», «начала-конца» действий и результатов действий при действии на объекте, см. 1.5.4.
2.1.1.3. Теорема: существование интервала и границ
Утверждение: если 3((3А),(А)), то существуют границы
3(3beglnа = 31а, 3endа = 3123К nа; АЬegln = А1, Лend = АП ) 3 (3beginА = 31А, 3endА = 3123К nА; АЬegln = А1, Аend = ап (д.))
Доказательство:
Доказательство непосредственно следует из определения интервала. Верно и обратное: если существуют границы, то существует интервал 3((5А),(А'))| , , ,
(3beglnЛ=31Л,3end А=5123К nЛ•Лbegin =Ап )
2.1.1.4. Связь начала/конца, первого/последнего действия и результата интервала действий и результатов с порядковыми числами:
Связь начала/конца, первого/последнего с порядковыми действия и результата действия интервала действий и результатов действий с порядковыми числами устанавливается аналогично связи, рассмотренной в теореме о связи начала/конца, первого/последнего с наибольшим/наименьшим порядковым числом см. п. 1.5.15, и поэтому здесь
1. Последовательность простых чисел образует интервал, ограниченный слева, но не образует интервала по ограничению справа, т.к. первое простое число определено, последнее простое число не определено.
2. Последовательность миров Вселенной не образует интервала, т.к. для этой последовательности не определен ни начальный, ни конечный мир.
57 Ср.: [10, с. 101] «Множество .значений X, удовлетворяющих условию а < х < Ь , есть ограниченный открытый интервал ( а, Ь ).
не рассматривается.
2.1.1.5. Разность интервала действий и результатов:
Пусть существует интервал действий и результатов действий с порядком
\(ЗА) = ЗА, Я12А, ЗшА, К , Я12зК „А; IV ^1}А, ЗА р V ^ }А, ЗА р V ^х}А, ЗА;
[(А)=А;,А2,А3,К,А;; ,А'р VА(г),А' р VА(г+1),А';
и з(А з) '(Ад) такое, что
[(Дз) = З1А-З12А" З123А К - З123КпА
[(А л) = А;-А2-А3 - К-А;;
тогда (А з) '(Ад) есть, соответственно, разность интервала действий и
результатов действий.
Очевидно, для каждой разности существует
VА, . , (А) р VД., (А) р VА ., (А)
ъе&тл гл емл ) и существуют границы.
2.1.2. РАЗНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИ ЧИСЕЛ
ИНТЕРВАЛА ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ:
Здесь разности характеристических чисел рассмотрим в объеме разности порядковых чисел и величины интервала действий и результатов действий.
Разность характеристических чисел рассмотрим в общей форме. 2.1.2.1. Разность прямого возрастающего интервала:
Пусть существует интервал порядковых чисел с порядком и граничными условиями
'(№) = Щ, №22, №33 ,К , Щ;
< №;:1, (№) р щ, (щ) р щ+;, (щ) ; = ЩГ = №1, = щтх = №; №;:;, (№) < №\, (№) < №;+;, (№);
„ (Д№) = №1 - №,2 - №3 - К - №"
Разность интервала порядковых чисел есть 4 ' 1 2 3 п.
Собирая члены разности со знаком минус под знаком суммы, имеем
(Д№) = №1 - №2 - №33 - К - №пп = №1 - £ №); г, ] = 1,2,3, К , п
(г, Л) .
С учетом возрастания интервала и граничных условий, внося первое порядковое число под знак сумм имеем
(Д№) = №1 - ^ №) = №); г, ] = 2,3,К , п
(г 'Л (г,Л .
С учетом произвольности выбора начального и конечного порядкового числа, меняя пределы суммирования окончательно имеем
(Д№) = -£Щ;г, 7 = 1,2,3,К ,п-1 ^(Д№) = -£№};г,7 = 1,2,3,К,п
(г,л) (г,л) .
(Д№) = №); г, ] = 1,2,3,К , п Выражение (г определяет разность прямого
возрастающего интервала порядковых чисел.
2.1.2.2. Разность обратного убывающего интервала:
Пусть существует интервал порядковых чисел с порядком и граничными условиями
'(№) = №"п ,К , №33, №22 №1;
< Шу (№) р №), (№) р Шу (№); №£ = = №П, №£ = №£ = №1
, (№) > №}, (№) > №1-\, (№);
Т, (А№ ) = №п - К - №3 - №2 - №1
Разность интервала порядковых чисел есть 4 ' п 3 2 1.
Собирая члены разности со знаком минус под знаком суммы, имеем
(А№) = №пп - К - №3 - №2 - №1 = №1 - £ №}; 7, j = и, и -1, и - 2,К ,3,2,1
(м) .
С учетом убывания интервала и граничных условий, внося первое порядковое число под знак суммы, имеем
(А№) = №„ - £ №) = -£ №}; 7, j =и - 2,К , 3,2
(м) Ы) .
£ №
Поскольку сумма порядковых чисел (м) не зависит от порядка суммирования, то с учетом произвольности выбора граничных порядковых чисел, меняя пределы суммирования, окончательно имеем
( а№) = -£ №); 7, j = 1,2,3,К , и
(м) .
(а№) = -£№};7, j = 1,2,3,К ,и Выражение (го) определяет разность
порядковых чисел обратного убывающего интервала и полностью совпадает с соответствующим выражением прямого возрастающего интервала порядковых чисел.
2.1.2.3. Разность постоянного интервала:
Пусть существует интервал порядковых чисел с порядком и граничными условиями
Г( № ) = ( №);
< №;;;,(№) = Щ,(№) = №£, (№); = №еп = №Г = ЩГ _ №;;;, (№) = №, (№) = №£, (№) = №|;
Очевидно, разность данного интервала с учетом постоянства порядковых чисел также приводится к выражению
(а№) = -£ №); 7, у' = 1,2,3,К , и М .
2.1.2.4. Разность интервала действий и результатов действий по величине:
Разность интервала действий и результатов действий по величине определяется аналогично разности интервала порядковых чисел. Пропуская промежуточные действия, в общей форме разность интервала действий и результатов действий по величине определяется как
(AVls ) = -£ Vsj;i, j = 1,2,3,K , n
(j) .
2.1.3. СУММА ИЛИ ЗАКОН ВОЗРАСТАНИЯ РАЗНОСТИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ИНТЕРВАЛА ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ58:
Выражение
(aM ) = -£ № j;
(j
' (AVl s ) = -£ Vlsj; i, j = 1,2,3,K , n
( ,J)
(aVl, ) = -ZVlRj
( j
определяет сумму59 или закон возрастания характеристических чисел интервала действий и результатов действий.
Действие данного закона распространяется на любой интервал действий и результатов действий.
2.2. Дополнение порядковых чисел интервала действий и результатов действий60:
2.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Дополнение интервала порядковых чисел рассмотрим в общей форме на примере прямого возрастающего интервал порядковых чисел.
Пусть существует интервал порядковых чисел с порядком
'(№) = №1, №2, №33 ,K , №1; №j-1, (№) p №), (№) p №j++;, (№); , (№) < №), (№) < №'+\, (№).
Разность интервала порядковых чисел есть
(a№) = №1 -£№);i, j = 1,2,3,K ,n
Пусть также существует интервал порядковых чисел 3(№ ) и разность
(A№') 3( №№) (№№ ) = (A№ ) + (A№') = 0
данного интервала есть v и пусть v ', чт^^ ^ v ' v 7 ,
(№') (№) (№) \ (№') (№) тогда v ^есть дополнение интервала v ' - v ' v ', где v ' - основной,
- дополнительный интервал.
58 Закон возрастания разности порядковых чисел определяет только само возрастание, но не определяет скорости возрастания. Скорость возрастания порядковых чисел в каждом случае должна быть определена особо.
59 Сумма, определенная через последовательную разность, с учетом существования разности совпадает с определением суммы классического естествознания, где сумма определяется через сложение.
Пример:
[2, с.28] «Сумма двух кардинальных чисел а, Ъ есть мощность суммы множеств А + В.» [19, с.46] «Пусть А, В - упорядоченные множества без общих элементов, тогда £ = А+В означает сумму этих множеств.»
60 Дополнение имеет принципиальное значение для естествознания, т.к., например, позволяет построить числовую последовательность с положительной и отрицательной ориентацией.
2.2.2. СВОЙСТВА ДОПОЛНЕНИИ:
2.2.2.1. Теорема: симметрия дополнения
л (№) \ (№') (№) \ (№') = ( №') \ (№)
Утверждение: если v / v ', то v ' v ' v ' к '. Доказательство:
Доказательства сразу следует из свойств тождества.
2.2.2.2. Теорема: определенность дополнительного интервала
Утверждение: если (№) \(№ ), то(№ )_ (№). Доказательство:
Доказательство сразу следует из определения дополнения
( №№ ) = (А№ ) + (А№ ') = 0 ^ ( №') = - ( № )
2.2.2.3. Дополнительный интервал закона возрастания интервала порядковых чисел
(д№ ) = -£ №)
Рассмотрим закон возрастания порядковых чисел (lj) . С
учетом дополнения, очевидно, для данного интервала дополнительный
(д№ ' ) = £ №)
интервал определяется через разность .
2.2.3. ЗАМКНУТЫЙ/ОТКРЫТЫЙ ИНТЕРВАЛ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ61:
2.2.3.1. Замкнутый интервал:
Если Э<ЗА) • (А)
и inf 5А = sup 3a, inf А = sup А, то интервал
(ЗА), (А)
замкнут.
Пример:
Функция y =sinx;-ж~x~ж замкнута в интервале -ж-xт.к.
inf (sin (-^)) = sup (sin (^)) = 0
2.2.3.2. Не замкнутый, открытый интервал:
Если 3(ЗА)'(А') и intáA^ sup3A,intA' * supA, то интервал (за) ,(А)
открыт и не замкнут. Пример:
61 В классическом естествознании замкнутый/открытый, полный/неполный интервал определяется не через равенство граней, а через иные свойства интервала. Использование данных определений допустимо, если это не приводит к противоречию.
Пример:
[2, с.25] «Множество всех элементов х, лежащих между элементами а,Ь называется интервалом (а;Ь)..»
«Если к интервалу добавить оба конца, т.е. элементы а,Ь, то получим сегмент [а;Ь]...» и «.... известные
из ... анализа понятия интервала (промежутка) и сегмента (отрезка)...» В данном примере смешиваются понятия интервала и полного/неполного интервала.
[19, с. 101] «.в множестве Я установлена операция замыкания, если каждому подмножеству М с Я
поставлено в соответствие некоторое подмножество М с Я , где М замыканием М .» Здесь определение замыкания осуществляется через вложение.
Определение типов интервала в данной работе - наиболее общее. Любое иное определение так, или иначе, приводится к данному определению.
1 л .11 y = — ;0 < х int — Ф sup-
Функция х - не замкнута, т.к. х х.
2.2.4. ЦИКЛ ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ6263:
2.2.4.1. Определение и свойства:
Определение цикла рассмотрим на примере прямого возрастающего интервала действий и распространим полученный результат на интервал результатов действий и произвольный интервал действий и результатов действий.
Пусть существует интервал действий и результатов действий
[(SA) = ЗА, Я12А, 32зА,К , 32зК иА;
[(А)=А; , А2, A3,K, А; ;
Inf ( SA) = sup ( SA), Inf (A') = sup (A') и каждый интервал замкнут v/ ^v/' v/ v, тогда
интервал действий и результатов действий образует цикл действий и
результатов действий. Вводя обозначения Cr S, CrR, где Cr S, CrR есть, соответственно, квантор цикла действий и результатов действий, имеем
cr, ( sa) = s a, s 7 a, s„a,K , s7ж „a;l , , ,
SV / 1 ' 12 ' 123 ' ' 123K; IInf( SA)=sup( SA)
<
CrR (a?) = ai, A2, A3,K , К;|inf(A')=sup(A') явный вид действий на объекте, действий и результатов действий определяется как
CS ( SA) = (S1A- S12 A) + (S12 A" S123A) + (S123 A" S1234A) + K + (S123K „-1A" S1234K ; A)|inf( SA)=sup( SA) •
cR (а')=(а;-а2 )+(A2 -A3 )+(A3 -A4)+K + K- -A; )| inf (A0=sup(A0; Cr (SA - A') = Crs (SA) - CrR (A').
2.2.4.2. Теорема: эквивалентность цикла действий и результатов и тождества
Утверждение: Cr ( SA = А) =(_). Доказательство:
Доказательство рассмотрим на примере цикла 4-х действий на объекте и распространим полученный результат на произвольное число действий на объекте.
Пусть существует интервал действий на объекте с порядком
[( SA = А') = (ЗА = А;) , (З2А = А2), (З23А = A3), (З234А = A4);
КЗА = А;)p (З2А = А2)p (З23А = A3)p (З234А = A4);
и данный интервал образует цикл действий на объекте. Интервалу ( SA = A) соответствует интервал действий и результатов
62 Определение цикла в данной работе совпадает с определением цикла классической математики см. [18, с.65].
63 При 3-х действиях на объекте цикл приводится к ротору в его классическом определении. В этом легко убедиться, подставив в цикл действий на объекте три последовательных действия.
действий
(¿А) = ^А
(а' ) = А1, А2, А3, А4;
образующий цикл действий и результатов действий СгДЗА) = (ЗА), Стк (А ') = (А ') .
Рассмотрим последовательную почленную разность каждого последующего и предыдущего действия на объекте. Данная разность есть
¿1А = А1 ¿12А = А2 ¿123А = А3
_¿12 А = А2 ._¿123 А = А3_._¿1234 А = А4_
¿1А ¿12А = А1 - А2 ¿12А _ ¿123А = А2 - А3 ¿123А_ ¿1234А = А3 - А4
Сумма последовательных почленных разностей действий и результатов действий есть
(¿1А - ¿12А) + (¿12А - ¿123А) + (¿123А - ¿1234А)
(А1-А2 )+(А2 -А )+(А -А4) Раскрывая скобки каждого из выражений, имеем
(¿1А - ¿12А) + (¿12А - ¿123А) + (¿123А - ¿1234А) = ¿1А - ¿12А + ¿12А - ¿123А + ¿123А - ¿1234А = ¿1А - ¿1
(А1-А2 ) + (А2 -А ) + (А-А4 ) = А1 -А2 +А2-А3 +А3 -А4 =А1 -А4
С учетом цикла действий и результатов действий inf (ЗА) = sup (ЗА) ,inf (А') = sup (А) . Отсюда
[inf (ЗА) = ЗА, sup (ЗА) = З1234А; [inf (А' ) = А;,sup (А' ) = А4; 0
{Т-А™А = 0; ^ Сг8 (ЗА) = 0,Сгл (А ' ) = 0^ Сг(ЗА = А' ) = Сг(ЗА)-Сгл (А') = 0
Что и доказывает первоначальное утверждение.
Очевидно, полученный результат без ограничения общности распространяется на произвольную ориентацию и произвольное число действий на объекте.
2.2.5. ПОЛНЫЙ/НЕПОЛНЫЙ ИНТЕРВАЛ64:
2.2.5.1. Полный интервал:
Если Э<ЗА),<А') и ((ЗА)^ЗЛ(зА);0),((A')3VA;,(A');0), то такой
64 В классическом естествознании существует путаница понятий: замкнуты/не замкнутый, открытый интервал и полный/неполный интервал.
[2, с.25] «Множество всех элементов х, лежащих между элементами а,Ь называется интервалом (а;Ь)..» «Если к интервалу добавить оба конца, т.е. элементы а,Ь, то получим сегмент [а;Ь]... и .... известные из ... анализа понятия интервала (промежутка) и сегмента (отрезка)...»
Здесь интервал (а;Ь) дополняется граничными элементами а, Ь и становится полным, но не замкнутым: а Ф Ъ.
интервал полон.
Обозначим полный интервал как
\[ SA] = ( SA) з V St А, (SA); 0;
[[A'] = (A')3VA;, (А'); 0;
где [ ] - квантор полноты65.
Пример:
Интервал последовательности чисел от 10 до 100 - [10K 100] - полон, [10K 100]3V(10K 100);0 int[10K 100] = 10,sup[10K 100] = 100
2.2.5.2. Не полный интервал:
т- 3( SA), (A') (( SA) 3V SA, ( SA)), ((A')3VA', (A'))
Если v ,л > и w / ' v ))' vv t- г' v t) , то такой интервал
не полон.
Пример:
Интервал функции у e L<*<» - не полон, т.к. (у ^intsupу)=(у ^ 0).
2.2.6. КОМБИНАЦИЯ ЗАМЫКАНИЯ И ПОЛНОТЫ:
Комбинацию замыкания и полноты рассмотрим на примерах.
1. Замкнутый и полный интервал:
Функция у= sinx в интервале ~ж-x -л замкнута и полона, т.к. inf у =sup у и inf У = 0,sup У = 0 - первое и последнее значение функции определены.
2. Не замкнутый и не полный интервал:
1
У = " п
Функция x в интервале 0 <x <да не замкнута и не полна, т.к. inf у * sup у и (У 3inf У ,suP у) = ( У 30)
3. Замкнутый и не полный интервал:
Интервал последовательности целых чисел от 10 до 100 -(10K 100 ) = [10K 100]
полон, т.к.
[10K 100]3V(10K 100);0 = ([10K 100] з int[10K 100],sup[10K 100]) ^ ^ замкнут
тк int 10 * sup100
2.2.7. ЕСТЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ ГРАНЕЙ ДЕЙСТВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ. ИЗМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО ОБЪЕКТА ПРИ ДЕЙСТВИИ НА ОБЪЕКТЕ:
Пусть SA),(A'), тогда 3infsa-supSA;infa',supA'. Поскольку «до» нижней грани и «после» верхней грани действие есть тождество -I SA = А • SA' = А'1
Sp SA ' SendAp S , то сущ е ств о в ани е граней действий и результатов
действий определяет границы изменения действий и результатов действий
65 Для обозначения полного интервала допустимо применение обозначения ( ¿>А), (А'), если это не приводит к противоречию.
при действии на объекте.
2.2.8. ОРИЕНТАЦИЯ ИНТЕРВАЛОВ:
В п. 1.5.5, 1.5.9, 1.5.16, 1.5.17.3,1.5.18.2 подробно рассмотрена ориентация последовательностей действий и результатов действий. Т.к. ориентация интервалов действий и результатов действий с учетом существования интервалов определяется аналогично, то ориентация интервалов здесь не рассматривается.
2.2.9. ГРУППА ДЕЙСТВИЙ:
2.2.9.1. Группа действий66. Определение6768:
Пусть 3(йА = А )и ¿)А Аи=н, тогда ¿ = (3) образуют группу действий Gr¿, где Сг - квантор группы.
2.2.9.2. Действия, приводимые к группе действий: Очевидно, к группе действий приводятся все действия, приводимые к
тождеству.
С учетом того, что данные действия были подробно рассмотрены в данной статье и в (1), то здесь данные действия перечисляются без их определения и без рассмотрения свойств.
Действия, приводимые к группе действий:
- тождество;
- композицию действий;
- коммутацию действий;
- цикл действий.
Использованные источники:
1. Акивис М.С., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М : Наука, 1969. -352.
2. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. Изд.
66 Существует группа объектов. Понятие данной группы выходят за границы предмета данной статьи.
67 Определение группы в данной работе, отличается от определения группы классической математики, где группа определяется через свойства симметрии см. [4].
[10, с.371] «Класс G объектов (элементов) а,Ь, с,К называется группой, если определена бинарная операция, которая каждой паре элементов а,Ькласса G ставит в соответствие...объект (результат операции) а е Ь так, что
1. а е Ь является элементом класса G (замкнутость по отношению к определяющей операции); ^ а е (Ь е с) = (а е Ь) е с
3. С содержит (левую) единицу Е такую, что для каждого элемента а из G и Еа = а;
4. для каждого элемента а из С в С существует (левый) обратный элемент а-1 из С такой, что ае а = а.
(16)с.171 «.множества преобразований координат.могут обладать определенной симметрией. образовывать группы.»
Определение группы здесь совпадает с определением [10, с.371].
Определение группы в данной работе - наиболее общее, любое иное определение приводится к данному определению.
68 В классическом естествознании в качестве свойства, определяющего группу, указывается симметрия. В данной работе основное свойство, определяющее группу, есть тождество.
Определение группы действий через тождество - более общее по сравнению с определением через симметрию. Как было определено в [8], симметрия приводится к тождеству.
2-е стереотипичное. М : Едиториал УРСС, 2004. - 368 с.
3. Банах С. Теория линейных операций. Ижевск : НИЦ "РХД", 2001. - 272 с.
4. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. Уч. пособие, под ред. Бутузова В.Я. М : Физматлит,
2001. - 248 с.
5. Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию, пер. с англ. Колгушкина П.А., под. ред. Чернавского А.В. М : МЦНМО, 2005. - 288 с.
6. Верещагин Н.К., Шень А.,. Начала теории множеств. Изд. 2-е, испр. М : МЦНМО, 2002. - 128 с.
7. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. Учеб. пособие для вузов. . М : Высшая школа, 2001. - 575 с.
8. Елистратов П.И., Елистратов К.П. Основные понятия и общие определения объектов и действий [Электронный ресурс] Библиотека "Форум молодых ученых", Международный научно-практический журнал. URL: http://forum-nauka.ru/_2_18_fevral_2018 (дата обращения:25.02.2018).
9. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. Уч. пособие для вузов. М : МФТИ, 2000. - 240 с.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, пер. со 2-ого англ. перераб. изд. Араманович И.Г. и др., под ред. Арамановича И.Г. Изд. 4. М : Наука, 1978.
11.Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. Задачи и примеры с подробными решениями. Уч. пос. Изд. 2-е, испр. М : Едиториал УРСС, 2002. - 176 с.
12.Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. Уч. для вузов. СПб : Лань, 2003. - 416 с.
13.Курбатова Г.И., Филиппов В.Б. Элементы тензорного исчисления. Основы моделирования движущихся спошных сред. Уч. пос. СПб : СПб ГУ,
2002. - 232 с.
14.Лазеры. Измерения. Информация. 2013. Сб. докладов 23-й Международной конференции, т.2, с. 210-230. Объект и действие на объекте. Общие определения. Елистратов П.И. СПб : Политехнического университета, 2013.
15.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Уч. пособие. С/с в 10 т. Том 4 Берецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Патаевский Л.П. Кватовая электродинамика. Изд. 3-е, испр. М : Наука, 1989. - 728 с.
16.Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М : Факториал Пресс, 2000. - 448 с.
17.Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М : Факториал, 1995. - 448 с.
18.Халмош П. Конечномерные векторные пространства, пер. с англ. Боросовой Д.Ф., Райкова Д.А. Москва-Ижевск : НИЦ "РХД", 2002. - 264 с.
19.Хаусдорф Феликс. Теория множеств, пер. с нем. Под ред. и с доп. Александрова П.С. и Колмогорова А.Н. Изд. 2-е, испр. М : Едиториал, 2004.
- 304 с.
Ссылки (references in russian):
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. Изд. 2-е стереотипичное. М : Едиториал УРСС, 2004. - 368 с.
2. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. Уч. пособие, под ред. Бутузова В.Я. М : Физматлит,
2001. - 248 с.
3. Верещагин Н.К., Шень А.,. Начала теории множеств. Изд. 2-е, испр. М : МЦНМО, 2002. - 128 с.
4. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. Учеб. пособие для вузов. . М : Высшая школа, 2001. - 575 с.
5. Елистратов П.И., Елистратов К.П. Основные понятия и общие определения объектов и действий [Электронный ресурс] Библиотека "Форум молодых ученых", Международный научно-практический журнал. URL: http://forum-nauka.ru/_2_18_fevral_2018 (дата обращения: 25.02.2018).
6. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. Уч. пособие для вузов. М : МФТИ, 2000. - 240 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, пер. со 2-ого англ. перераб. изд. Араманович И.Г. и др., под ред. Арамановича И.Г. Изд. 4. М : Наука, 1978. - 832 c.
8. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. Уч. для вузов. СПб : Лань, 2003. - 416 с.
9. Курбатова Г.И., Филиппов В.Б. Элементы тензорного исчисления. Основы моделирования движущихся спошных сред. Уч. пос. СПб : СПб ГУ,
2002. - 232 с.
10.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Уч. пособие. С/с в 10 т. Том 4 Берецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Патаевский Л.П. Кватовая электродинамика. Изд. 3-е, испр. М : Наука, 1989. - 728 с.
11.Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М : Факториал Пресс, 2000. - 448 с.
12.Халмош П. Конечномерные векторные пространства, пер. с англ. Боросовой Д.Ф., Райкова Д.А. Москва-Ижевск : НИЦ "РХД", 2002. - 264 с.
13.Хаусдорф Феликс. Теория множеств, пер. с нем. Под ред. и с доп. Александрова П.С. и Колмогорова А.Н. Изд. 2-е, испр. М : Едиториал, 2004.
- 304 с.
