CC BY
3
УДК 510.2, 510.8
Елистратов П.И. свободный ученый Россия, г. Санкт-Петербург Елистратов К. П. студент 3 курса факультет «Информационные технологии»
НОУ МФПУ «Синергия» Россия, г. Москва
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕКТОВ И
ДЕЙСТВИЙ
Аннотация: В статье определяются и рассматриваются некоторые фундаментальные понятия математики и естествознания, их связь с существующими объектами и действиями на объектах.
Ключевые слова: вторая разность, действие, действие единицы, действие на объекте, действие нуля, объект, основной объект, отношение, обратное действие, первая разность, прямое действие, разность, разность по существованию, разность действий, разность результатов действий, темп, тренд, тождество, эквивалентность, эквивалентное действие.
Elistratov P.I - free scientist Russia, Saint-Petersburg Elistratov K.P. - third year student the faculty of "Information technology» "Synergy" University, Russia, Moscow BASIC CONCEPTS AND GENERAL DEFINITIONS OF OBJECTS AND ACTIONS
Abstract: The article identifies and discusses some fundamental concepts of mathematics and science and their relation with existing objects and actions on objects.
Keyword: second difference, action, action units, action on object, effect of zero, object, main object, relation, reverse action, first difference, direct action, difference, difference in existence, difference of action, difference between results of actions, rate, trend, identity, equivalence, effect equivalent.
Введение
В математике существуют фундаментальные понятия, такие как, например, «равенство», «тождество», «эквивалентность» и т.д., которые, не являясь аксиомами, не определяются и не доказываются, что, в свою очередь, приводит к смешению понятий и неправильному их использованию. В данной статье определяются некоторые фундаментальные математические понятия, позволяющие исключить двойственность их применения и толкования.
Актуальность: в связи с абстрактностью современной математики
возникают проблемы актуализации полученных математических знаний и их соотнесение с существующими природными объектами. Определенные в данной статье математические понятия создают основу для последующего соотнесения математических знаний с действительными природными объектами.
Цели и задачи: определение и систематизация некоторых фундаментальных понятий математики и естествознания, позволяющего объединить основные разделы естествознания.
Научная новизна: определение и систематизация фундаментальных математических понятий позволяет установить связь данных понятий с соответствующими понятиями общего естествознания, с существующими объектами и действиями на объектах, исключить их неправильное употребление, а также понизить абстрактность самой математики до уровня объектов, действий и действий на объектах, что, в свою очередь, позволяет расширить действие математического аппарата за границы физическим наук и распространить на такие описательные науки, как философия, биология, логика и т.д.
1. Объект и действие на объекте. Общие определения:
1.1. Объект, действие, действие на объекте. Определение:
Пусть существует69 такое ЗА и 38, что 8А = А', тогда А есть объект; 8,8А - действие70; 8А = А - действие на объекте.
Принятые обозначения:
3 - квантор71 существования, определяет, что объект, действие, действие на объекте и т.д. существуют;
= - квантор равенства72; определяет «существование как», «есть»,
69 Термины «существует» и «есть» - различны. Покажем это на примере.
Пример:
Рассмотрим выражения: «существует волк» и «это есть волк». Выражение «это есть волк» предполагает указание волка, в то время как выражение «существует волк» определяет только факт существования. В общем случае, если это не приводит к противоречию, возможна замена терминов.
70 При рассмотрении основания будет доказано, что для обозначения действия оба обозначения 8, ЗА.
71 Квантор - знак, определяющий действие или существование. В данной работе классическое определение квантора как знака, используемого в логике в качестве обозначения существования - см., например, [4, с. 17]
- расширяется на любое действие и существование. В этом смысле, знак равенства - «=», умножения - «х»,
сложения - «+», больше/меньше - «<,>», интеграл - «| » и т.д. есть квантор, определяющий то или иное действие или существование.
72 В естествознании квантор равенства «=» употребляется, прежде всего, в значении непосредственного равенства - указателя равенства объекта, действия другому объекту, действию.
Пример:
- а = 2Ь - « а равняется 2ь ;
- [1, с. 10] аив = виа - «пересечение а ^ в равняется пересечению в ^ а ». При этом квантор равенства также используется в значении «есть, существует».
Пример:
да
- [1, с. 10] I а = А1оА2оА3о......, «пересечение есть, существует как пересечение каждого
П=1
последующего члена»;
«существует»;
& - квантор действия73.
1.2. Действие и результат, основной и производный объект. Определение:
„ 3(&а = а') а' = дм (&а)_ . &
Пусть 4 ;, тогда у ' 74 есть результат действия & на
объектеА , и А есть основной объект - А = Рип(, а А' - объект, производный
от основного объекта, производный объект. Обозначим производный объект
а' = эа| л
как &А=А', где 5 - квантор производного объекта.
1.3. Допустимое действие:
Если действие на объекте существует - (&а а) ^, то данное действие на объекте допустимо.
1.4. Недопустимое действие:
Действие на объекте без основного объекта не допустимо.
1.5. Теорема: существование действия ирезультата75
Утверждение: если действие на объекте существует, то результат
(а' = шг (&а))з| действия также существует - 1э(&а=а) .
Доказательство:
Доказательство следует из определения действия на объекте.
Верно и обратное: если результат действия существует, то действие на
_ (&а = а')| /
объекте также существует - |(а'=ла(&а))3 .
1.6. Теорема: существование основного и производного объект
_ [1, с. 23]Р(X) = а0хп + ах" 1 +... + ап1 X + ап, «Р(х) есть, существует как последовательная сумма членов».
В данной работе квантор «=» используется, прежде всего, в значении «есть, существует, существует как». Значение квантора «=» отличается от значения квантора «есть, существует» - 3 . Покажем это на примере.
Пример:
1. В выражении 3(&, а) квантор 3 употребляется в значении существования объекта и действия: действие, объект существуют.
2. В выражении 3(&а = а') квантор 3 употребляется в значении существования действия на объекте, а квантор «=» - в значении «существования как».
Замена квантора « 3 » квантором «=» в общем случае не допустима.
73 Поскольку в естествознании для обозначения действия могут использоваться собственные знаки и символы, то данное использование допустимо, если это не приводит к противоречию.
74 В выражении а' = ш (&а) квантор «=» используется в значении «есть, существует как». Данное
выражение читается: а - результат действия & на объекте а , равно, а существует как результат действия &А.
75 Условные выражения и соглашение об их написании:
Рассмотрим выражение а' = . В данном выражении определяет производный объект и его
существование, а выражение | - условие, при котором данный объект существует как производный
объект. Выражение читается: « а' - объект, производный от объекта 9А при существовании действия на объекте &а = а'».
Утверждение: если действие на объекте существует, то существует и
а' =
объект, производный от основного объекта - 1э(ж.=а'),а=^ .
Доказательство:
Доказательство сразу следует из определения производного объекта. Верно и обратное: если существует производный объект, то также
_ (А_ Fund )3|, , ч
существует основной объект - ^ла^щл^э .
1.7. Разность действия на объекте, разность по существованию. Определение:
Пусть А) и ЗА такое, чтоА = ^А-А', тогда А есть разность
действия на объекте, равно, разность по существованию или просто разность76.
1.8. Отношение действий и результатов при действии на объекте. Определение:
Пусть ( ) и пусть такое, что А', тогда А' - отношение действия и результата при действии на объекте, где ^ - квантор отношения .
1.9. Индифферентное действие. Определение:
З(йА = А') А' = А|
Пусть ( ' и 1а'=л^//(^а) , тогда есть индифферентное77
действие78, а 8А = А -
индифферентное действие на объекте.
1.10. Лемма: равенство основного и производного объектов при индифферентном действии
Утверждение:А = ^А^а=а . Доказательство:
Пусть А) и А' = А. Осуществим в действии на объекте замену А'^А. После подстановки имеем 8А = А. ПолагаяSA = A>А = <ЭА, имеем доказательство первоначального утверждения.
1.11. Отсутствие действия:
Определим, что если >^А = А, то действие на объекте
отсутствует.
76 Использования термина «разность» для обозначения разности по существованию допускается, если это не приводит к противоречию.
77 Ниже будет определено понятие «различие», в том числе различие объектов при действии на объекте. Поэтому, забегая несколько вперед, укажем, что с учетом различия объектов при действии на объекте вместо термина «индифферентное действие» можно использовать термин «безразличное действие».
78 Индифферентность действия существует только по отношению к данному объекту. Для произвольного объекта индифферентность действия должна быть определена особо.
2. Тождество и его свойства79:
2.1. Тождество. Определение:
Равенство основного и производного объектов при действии на а = а'|
объекте есть тождество 1а'=эа,и=) , где = - квантор тождества.
2.2. Индифферентное действие. Определение:
Пусть А) такое, что А' = А, тогда & есть индифферентное
действие.
2.3. Отсутствие действия. Определение:
Пусть ^(А А), тогда действие на объекте отсутствует.
2.4. Свойства тождества:
2.4.1. ЛЕММА 1: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ80 ИНДИФФЕРЕНТНОГО ДЕЙСТВИЯ И ТОЖДЕСТВА
Утверждение: индифферентное действие эквивалентно действию
(¿а = а', а' = а): (=) тождествау , где : - квантор эквивалентности.
Доказательство:
Доказательство сразу следует из определения индифферентного действия и тождества.
2.4.2. ЛЕММА 2: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОТСУТСТВИЯ ДЕЙСТВИЯ И ТОЖДЕСТВА
Утверждение: отсутствие действия эквивалентно тождеству -(А = А): (.).
Доказательство:
Доказательство сразу следует из определения отсутствия действия и тождества
2.4.3. ЛЕММА: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОТСУТСТВИЯ ДЕЙСТВИЯ И ИНДИФФЕРЕНТНОГО ДЕЙСТВИЯ
Утверждение: отсутствие действия эквивалентно индифферентному
(а = а): (¿а = а', а' = а) действию - 4 ! у 7.
Доказательство:
79 Тождество имеет принципиальное значение для естествознания и не только. Тождество имеет принципиальное значение также для логики, экономики, социологии. Например, в социологии постоянство социума, его сохранение определяется действием тождества.
В данной работе тождество определено в наиболее общей форме. Все иные определения есть следствия данного определения. Покажем это на примере закона тождества логики.
Пример:
[10, с. 16] «,..мысль...должна быть тождественна самой себе (а есть а или а = а, где под а понимается любая мысль).»
В примере объект а - мысль тождественен самому себе или, в терминах данной статьи, заменяя а на а , имеем закон тождества в том виде, в котором он здесь сформулирован: ¿А = ^.
Аналогично к закону тождества логики к закону тождества, определенному в данной работе, может быть приведено любое иное тождество: тождество математики, биологии, социологии и т.д.
80 Т.к. понятие эквивалентного действия еще не определено, то здесь данное понятие используется в своем естественнонаучном значении. Эквивалентное действие определяется ниже.
Доказательство сразу следует из леммы 1,2 после замены тождества на соответствующее действие.
2.4.4. ГРАНИЦЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ТОЖДЕСТВА, ИНДИФФЕРЕНТНОГО ДЕЙСТВИЯ И ОТСУТСТВИЯ ДЕЙСТВИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ НА ОБЪЕКТЕ:
Для исключения путаницы при использовании понятий «тождество», «индифферентное действие» и «отсутствие действия» определим, что тождество определяет следующие действия:
а = а' i
— тождество — '=0А,й=а'.И=) ;
— индифферентное действие - ¿А А 'А А)' (=^;
— отсутствие действия — А = А .
Отсутствие действия и индифферентное действие, в свою очередь, определяют только то, что они есть в соответствие со своим определением.
2.4.5. РАЗНОСТЬ ТОЖДЕСТВА. ДЕЙСТВИЕ НУЛЯ:
Пусть^{¿А = А '¿ = (=)). Разность есть А = ^А-А'. Поскольку ¿а А*=м,
то, осуществляя замену ¿А^А, где ^ — квантор замены, имеем
а = йа-а = а-а.
Определяя А=А-А= 0, окончательно имеем А= 0¿=(=). Отсюда, действие тождества определяет действие нуля.
2.4.6. ТЕОРЕМА: СВОЙСТВО РАЗНОСТИ ТОЖДЕСТВА
т/ а а =ЗА-А ' = 01 ¿а-а' |
Утверждение: если = ¿А=А , то ¿=(=).
Доказательство:
Доказательство сразу следует из определения разности тождества.
2.4.7. ОТНОШЕНИЕ ТОЖДЕСТВА. ДЕЙСТВИЕ ЕДИНИЦЫ:
М - ¿А .
^ 3(£А = А') ^ а = — ¿А = а . ,
Пусть '¿=(_). Отношение есть А . Поскольку ¿=( ), то,
¿А_ А
осуществляя замену ¿А^А, имеем А' А.
а , а =^=А =!
— = 1 = а 'А
Определяя А , окончательно имеем
отношение тождества определяет действие единицы81.
2.4.8. ЛЕММА: СВЯЗЬ ЕДИНИЦЫ И ТОЖДЕСТВА
тг л а = 1 ¿а = а|
Утверждение: если = , то ¿=(=).
Доказательство:
Доказательство очевидно и здесь не приводится.
2.4.9. СООТВЕТСТВИЕ НУЛЯ И ЕДИНИЦЫ.
Отсюда,
81 Введенное здесь понятие единицы отличается от понятия единицы классического естествознания, где единица определяется через умножение 1§3 = а.
Используемое в данной работе понятие единицы - более общее, по сравнению с понятием единицы классического естествознания.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПРИЗНАКИ ТОЖДЕСТВА:
¿a = a'| н = 1, а = 0 Если '¿=(=), то = ' = .
тт ~ н = 1, а = 0
Действие нуля и единицы ' = - характеристические признаки тождества.
2.4.10. ЕСТЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ ТОЖДЕСТВА.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ДЕЙСТВИЯ НА ОБЪЕКТЕ:
^ 3(¿A = A')| a = a,a = a', a' = ca| , . .
Если '¿=(_), то с учетом ¿A=A ¿=(=), тождество
определяет сохранение основного и производного объекта при действии на
объекте.
^ ^ a = a,a = a',a' = sa| , ^ 3(¿A = A')|
Верно и обратное: если ¿A=A ¿=(=), то '¿=(_).
Далее, если AeA, то действие на объекте отсутствует. С другой
a ф a ' i
стороны, если ¿A=A', то действие на объекте существует и отлично от тождества - .
3. Произвольное действие на объекте:
3.1. Произвольное действие. Определение:
т-т 3(¿a = a ' ) ;s ф (=) a ' = Rslt (¿a), a' фд ¿ _ a '
Пусть v h v ', тогда v ' , и ¿Д = Д есть
произвольное действие на объекте.
3.2. Теорема: разность произвольного действия на объекте
тг л А = ЙД-Д'Ф 0| , . .
Утверждение'. ¿A=A ¿ф(=) .
Доказательство:
„ 3(¿a = a',¿*(^)) a' = Rslt (¿a), a' фд
Пусть v v тогда v ' . Разность действия на
, , ¿a = al
объекте есть A = ¿A-A'. Если a = ¿a-a' =0, то ¿a = a и '¿фМ , что
противоречит первоначальному утверждению о произвольности действий.
Отсюда, с учетом противоречия сразу следует доказательство
первоначального утверждения.
3.3. Теорема: отношение произвольного действия на объекте
3=¿r i
Утверждение:
¿A=A ' ,¿*(s
Доказательство:
í ■ \ h=¿a
3(¿a = a 'i ..) н a'
Пусть V . Отношение есть
„ ¿a
* ^ -т ¿a = a'I ,
¿фМ . Поскольку '¿ф(г
н=—ф 1
a'
то, следовательно,
_ , = 1
, т.к. если бы A ' , то действие было бы
тождеством, что противоречит первоначальному утверждению о произвольности действия.
Наличие противоречия доказывает первоначальное утверждение. 3.4. Переопределения действия на объекте через свойства
тождества:
Поскольку разность и отношение однозначно определяет тождество и
произвольное действие на объекте, то с учетом разности и отношения
переопределим действие на объекте.
^ 3(8а = а ' ) Если 1 ', то
8 = н|
8*н
8А=А' ,Д_=0,Е_=1 '
8А=А ',Д*0,Е*1
С учетом свойств тождества, отсутствие тождества есть характеристический признак произвольности действий на объекте.
4. Первая разность и разность действий и результатов
действий:
4.1. Первая разность при действии объекте. Определение: 4.1.1. ПРИ ДЕЙСТВИИ НА ОДНОМ ОБЪЕКТЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Пусть 3 8А = А;' 88 А = А -). Разность
каждого из действий есть
д/ = 8 а-а; , д^зд. а-а;
тт зд д;; =д;-д ; = (8;а-а; )-(8,8 а-а ;)
Пусть, далее ; такое, что ; ; ; ; ; , тогда
д..=д.-д. . г
; ; есть первая разность при действии на одном объекте.
4.1.2. ПРИ ДЕЙСТВИИ НА РАЗЛИЧНЫХ ОБЪЕКТАХ:
Пусть 3(Л;а; а;8а а . Разность каждого действия на объекте и первая разность определяется как
д. = ла; - а-. д = ЗА - а'д = д; - д = 8а; -а)- (за -а -) .
4.2. Разность действий и результатов действий. Определение:
4.2.1. ПРИ ДЕЙСТВИИ НА ОДНОМ ОБЪЕКТЕ:
^ з(д =за-а, д =8 8а-а') ___ „
Пусть ; ; ; ; . Почленная разность действий на
объекте есть
за = а-
8 а а=А
з а- 8,8а = а- - а -
Обозначим выражение слева/справа как
[д,=8 а- 8 & а;
и определим ДлДк, соответственно, как разность действий и результатов действий.
С учетом введенных обозначений первая разность определяется как
д; =дз -дд = (8 а - 88 а) - (а- - а
4.2.2. ПРИ ДЕЙСТВИИ НА РАЗЛИЧНЫХ ОБЪЕКТАХ:
Пропуская промежуточные действия разность действий и результатов
действий и первая разность при действии на различных объектах определяется как
[д = 3а,-3л,;
г г 1 1 д, = д-д = (3д.-3да,.)-(а'-а')
д = а ' - а '1 3 К ^ 1 1 1) \ 1 1/
4.3. Теорема: разность действий и результатов действий, и
первая разность при действии тождества
тг л д, д = 0; д = 0| Утверждение'. 3 К 1 .
Доказательство:
„ 3(3а = а',33а = а' ) 3 =3 3 тг
Пусть v 1 111 '' и 1 =, где 3 - тождество. Почленная
разность действий на объекте есть
3 а = а'
33 а = а'
31а-33 а = а'-а'
С учетом свойств тождества и эквивалентности отсутствия действия и
3 3 а = 3 3 А = 3 а ^ тождества 11 = 1 1 . Осуществляя в почленной разности
соответствующую замену, имеем
3 а = а'
3 а = а ' 1
3 а - 3 а = а' - а '
Поскольку слева 3А-3А =0, то, соответственно, справа - '- 1 = . Отсюда, переходя к разности действий и результатов действий, и к первой разности, окончательно имеем
[д = 3 а-33 а = 0; |д к =а1 -а 1= 0;
^ д3.=м=д -д=(3 а - 33А) - (А' -А 1 )=0 -0=0
у
3=(=)
Что и доказывает первоначальное утверждение.
Следствие: Равенство действий и результатов действий при действии
3 а = 3 3 а, а '=а 'i тождества 1 13(=).
Доказательство сразу следует из равенства нулю разности действий и
результатов действий
[д,=3 а-33 а = 0;
[д к = А; -а 1 = 0;
^3а = 3 3а, а ' = а ' .
1 1 1 1 }\8--
4.4. Теорема: отличие от нуля разности действий и результатов действий при произвольном действии на объекте
Утверждение: Дк * ^3*м. Доказательство:
т-т з(3 а = а; ,33 а = а 1) 3*3*3 -р,
Пусть ^^ ; 1 3 1 3> и 1 1 =. Разность действий есть
3
д =8а-8да
8 г ] г
Предположим, что ¿2 =8, тогда из свойства тождества 8281А = ¿А и = 81А-8281А =0, что противоречит первоначальному утверждению о
произвольности действия - 8 * 8 1 * 8. Отсюда 8А * ¿¿А = ДА - 8281А * 0. Почленная разность действий на объекте есть
8 а = а'
8д а = а2
¿г а-¿д. А=А;-А ;
тт 8а-8 8а* 0 а'-а'* 0
Поскольку слева г 1 г , то, следовательно, справа г 1 .
Отсюда, окончательно для произвольного действия имеем
[д,=8 а- 8 Д а* 0;
[д д =а; -а 1 * 0.
Что и доказывает первоначальное утверждение.
Утверждение, что если Дд'Дл * 8*м, то Д1 =Дд-Дк * 0, в общем случае не верно. Доказательство приводится в п. 4.5.
4.5. Закон сохранения первой разности82:
Если разность действий и результатов есть
[д,=8 а- 8 Д а = £* 0;
|д =аг;-а' = £* 0; то д =Д8-Д я = ^ = 0
Д„=Дд-Дк=4-4 = 0| Выражение 1 |Д8=Д*=£ определяет закон сохранения
первой разности при действии на объекте.
4.6. Естественный смысл разности действий, результатов действий:
Рассмотрим разность действий и результатов произвольных действий на объекте
\Дв=8г а - ¿Д. а; |д,=8; а.-д а;;
1а =а; -а;; [дй =а; -а ;.
Разность действий и результатов действий принимает следующие значения:
дд* 0, дл * 018
18ф
Д8= 0, ДЯ = 08=(=
при произвольном действии на объекте;
- при действии тождества. Отсюда, разность действий и результатов определяет существование действий на объекте, отличных от тождества - произвольных действий, и определяет изменение действий и результатов действий при действии на
82 Данный закон определяет сохранение первой разности, но не определяет действия, при которых разность сохраняется.
одном и некоторых объектах.
5. Пара действий и действия, приводимые к паре: 5.1. Замена действий, эквивалентные действия83. Определение:
Пусть3(81А = А1) и 382 такое, что после замены 81 , где
-о- _
квантор замены в обе стороны, в действии на объекте 82-2 имеем
А' = А' I 8 А • 8 А|
равенство результатов действий - 1 ), тогда 1 2 |8^82 -
эквивалентные действия, где • - квантор эквивалентности84.
5.2. Пара действий. Определение:
_ 3(8а = а';8 = (8) = 81,8,) 8 = (8) = 81.82
Пусть ^ 4 ' 1 2>, тогда v ' 12 - пара действий.
5.3. Перестановка действий. Определение:
Пусть 3(а;8 = 81>82) и существует действие на объекте
3(88 а = а' ;8,8,а = а') 8 8 А 88 А - -о^
у 2 1 12 1 2 21', тогда 8281А;8182А есть перестановка действий85.
5.4. Симметричная перестановка действий, коммутация. Определение:
_ 3(8281а = а,'2;8182 а = а21) 3(88 а; 882 а) а'=а;,
Пусть у 2 1 12 1 2 21' и 421 'I2 / такая, что а12 а21, то
данная перестановка действий симметрична и определяет коммутацию.
5.5. Прямое и обратное действие, композиция действий86. Определение:
Пусть 3(а8 = (8МД) И8А=А'8А'=А, тогда 8А - прямое, а 8А' -обратное действие. Обозначим прямое и обратное действие как
8 -д 8 -д , где 8 А - прямое, 8 А' - обратное действие. С учетом принятых обозначений прямое и обратное действие на объекте есть
8 х а' = Р^8 Х8К=а. Вводя обозначение 8 18А = 8 1 о8А, где 8- 08 - квантор
83 Определение эквивалентных действий распространяется только на действие и не распространяется на объект. Свойства объекта должны быть определены особо.
84 В естествознании и в логике для обозначения эквивалентности используется квантор « ^ ».
Пример:
[4, с.17] «...логическая связка ^ «тогда и только тогда», эквиваленция. Она может быть выражена через остальные логические связки. а ^ в г (а ^ в) а (в ^ а) ».
[4, с.18] «.для любого x имеет место эквивалентность F (л) л е M .»
В данной работе эквивалентность обозначается квантором «: ». Использование иных кванторов допустимо, если это не приводит к противоречию.
85 В общем случае перестановка действий не допустима. Покажем это на примере.
Пример:
Перестановка действий arcsin,sin л функции f = arcsin (sin л) недопустима.
86 Примером применения композиции действий 5~х o 5А = а для формулирования законов естествознания может быть 3-ий закон Ньютона.
[8, с. 41] «Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе - взаимодействие двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.»
композиции действий87, окончательно имеем 8 1 о ЗА-А.
5.6. Внешнее и внутреннее действие. Определение88:
Пусть з(А;8-(8)-8,82) и существует 8А-А' и 8А82 -Ап, тогда
81 -8« ,82 -81п1
есть, соответственно, внешнее и внутреннее действие, а
8 А- А' 8 А8 -А ' ^
^ о^1^ ^ ¡ш _ внешнее и внутреннее действие на объекте.
6. Действия, приводимые к тождеству:
6.1. Теорема: тождество эквивалентных действий89
8, а - з а, а; - а'; д8, дл - 0; д, - 0| Утверждение: 8:88.
Доказательство:
„ а(8а-а',8 а - а ' ) 8 : 8 Пусть V ; ;, 8 ]> и 8 : 8.
Почленная разность действий на объекте есть
8 а - а'
8 а-а'
8а-8,а-а'-а '
А '-А '
Т.к. ' следовательно,
А ' - А',. - 0
то
Отсюда, 8;А-8; А- 0, и,
[д8-8- а-8 а- 0^8, а- а;
|д *-а;-а' - 0^а;-а';
8:8 -д8 д*-(8а-8а)-(а;-а')-0-0-0
8: 8
Что и доказывает первоначальное утверждение.
8а А-8 А а, а; -а; 8А : 8,1 Верно и обратное: 8 8 8 |Дг Д^-0;Д,=0;8.
6.2. Теорема: тождество композиции
Утверждение: ((8 08А) А): ( ).
Доказательство:
3 (81 8^ 1 1
Пусть 3А и ( , ) такое, что 8 о8, тогда 8 о8А-А. Полагая по
почленная разность действий на объекте
свойству тождества ЗА как
за — 8 а-а
87 Поскольку в современной математике прямое и обратное действие записываются как 88~'А - А, то данное написание сохраняется в данной работе, если это не приводит к противоречию.
В общем случае перестановка действий не допускается.
88 Внешнее и внутренне действие определяются через формально математическое написание. При рассмотрении объектов внешнее и внутренне действие будет переопределено из условий существования объекта. Приведем пример внутреннего действия.
Пример:
[9, с. 97] «...во всяком полном психическом рефлексе конец его, как мышечное движение, необходимо сопровождается ощущениями (мышечными)...»
В данном примере «психический рефлекс» есть внутреннее действие, здесь, особи, а мышечное действие -внешнее действие.
89
С учетом эквивалентных действий индифферентное действие, отсутствие действия и тождество есть эквивалентные действия при действии на объекте.
есть
8 а = а 8 8 = а
8а-8-8а' = а-а
Поскольку А-А = 0, то, следовательно, 8-А-8 8А = 0 и |Л = 0;
Лп = 0;
^ 18-108 =Л8-Л* = 0 - 0 - 0
Что и доказывает первоначальное утверждение. 6.3. Теорема: тождество коммутации
(88а = а' ;8182а = ач ) • (-)
Утверждение: 1 12 21; .
Доказательство:
Рассмотрим почленную разность действий симметричной
з(8да = а;. ;8,8;а = а1,.| ) перестановки действий ^ 1 1'. Данная разность есть
88 а = а
88 а = а1.
88 а-88, а = а1 -а1.
тт а.-а'.. = 0
Поскольку перестановка симметрична, то 11 1 и, следовательно,
8 8а-88 а = 0 ~ 11 11 . Отсюда,
^8 = 1. а -88, а = 0; |л * =а1 -а' = 0;
^ л, 8 • 8 = л8 - л = (88 а - 88а) - (а1 - а1) =0 -0 -0
8 • 8
Что и доказывает первоначальное утверждение.
7. Отношение первой разности, тренд: 7.1. Определение:
7.1.1. ПРИ ДЕЙСТВИИ НА ОДНОМ ОБЪЕКТЕ:
Пусть для некоторого произвольного действия на объекте существует разность действий и результатов действий
{Л* = 8а -88а;
1 8 11 , 1 ?
1л * =а1 -а,;
л 8 8а- -8,8 а
к = ■ -
л а' - а'
Отношение к 1 , определяет тренд при действии на одном объекте, где - квантор тренд.
7.1.2. ПРИ ДЕЙСТВИИ НА НЕКОТОРЫХ ОБЪЕКТАХ:
^ =л8_8А1 -8, а,
л а'-а'
Отношение к 1 , определяет тренд при действии на некоторых объектах.
7.2. Свойства тренда:
7.2.1. ОТЛИЧИЕ ОТ НУЛЯ ТРЕНДА ПРОИЗВОЛЬНОГО
ДЕЙСТВИЯ:
С учетом того, что тренд определяется через отношение разностей -
Лз лс
гг = 3
■'л
3*(.
, а разность действий и результатов действий произвольного действии
на объекте отлична от нуля - Лз'Лл * 03=м, то, следовательно, тренд
л, л гг = -3 * о л л
произвольного действия также отличен от нуля -
7.3. Сохранение тренда:
Если разность действий и результатов действий есть
1^=3аг -3;3га = £; [л л =а -а ; = £; то выражение г = л, = 3а- 3а. = £ = 1
лл а; -а . £ определяет закон сохранения тренда.
7.4. Естественный смысл тренда:
С учетом естественного смысла первой разности и сохранения тренда тренд определяет относительное изменение действий и результатов при действии на объекте.
8. Вторая разность и ее свойства:
8.1. Вторая разность. Определение:
Пусть существуют первые разности некоторых произвольных
действий на объекте Л; = Лз; - Лл;; Лкт = Лзкт - Ллкт и Лт, что Л]кт = Л; - Лкт,
Л..^ = Л. -Л> тогда .,кт . кт есть вторая разность.
Группируя действия и результаты действий, разность действий и
результатов действий второй разности определяется как
' Л3;] ,кт Л3;] Л3кт; {ЛК;],кт = ЛШ] - ЛЛкт •
8.2. Отличие от нуля второй разности при произвольном действии на объекте:
Поскольку при произвольном действии на объекте разность действий и результатов действий отлична от нуля
Л3]5 Л3кт * 0; [Лл. 5 Ллкт * 0
то, следовательно, вторая разность действий и результатов действий также отлична от нуля
I Л3;],кт = Л3] - Л3кт * 0; I лл.;],кт = лл-] -Ллкт * 0
8.2.1. ТОЖДЕСТВО ВТОРОЙ РАЗНОСТИ:
Выражение
кт = Д3- — Д3кт = 0; *ум 3 д..ь=д..—д = 0 - 0 = 0
I л — л _ л —о- —кт - кт
[ДЯ,],кт = ДЯ- ДЯкт = 0;
определяет тождество второй разности. 8.2.2. ЗАКОН СОХРАНЕНИИ ВТОРОЙ РАЗНОСТИ:
Выражение
Д3-, кт = Д3- — Д5кт = Я; . .
1 1 Д..1т=Д..—Дь„=с — с = 0
д - Л _ Л - г- '■>'кт 4 кт
[ДЯ-, кт ДЯ- ДЯкт Ь;
определяет закон сохранения второй разности.
8.3. Естественный смысл второй разности действий и результатов действий:
Поскольку разность действий и результатов первой разности определяет изменение действий и результатов при действии на одном и некоторых объектах, то, соответственно, вторая разность определяет «изменение изменений» или скорость изменения действий и результатов при действии на одном и некоторых объектах.
9. Отношение второй разности действий и результатов, темп: 9.1. Определение темпа:
Пусть кт = Д,] Дкт). Отношение второй разности действий и
, Д 3¡1, кт Д 31 Д3¡кт
т = ■ 1 - 1
результатов действий Дя- кт Дя- — Дякт определяет темп, где т -
квантор темпа.
9.2. Свойства темпа:
9.2.1. ТЕМП ПРОИЗВОЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ:
Поскольку для произвольного действия на объекте вторая разность действий и результатов отлична от нуля
' Д3у,кт = Д3- — Д3кт * 0; [дяу,кт = ДЯ,] —ДЯкт * 0;
то, следовательно, темп произвольного действия отличен от единицы
, д 3,, кт д 3, д 3кт л
т = —-— = —1-* 1
ДЯ1],кт ДЯ- — д Якт
—,кт>—я, ,кт ~
9.2.2. ЗАКОН СОХРАНЕНИЕ ТЕМПА:
Выражение
Д3],кт = Д3- Д3кт = £; Д3- кт Д3- — Д3кт £ 1
^ т = —-— = —1-= — = 1
ДЯ-,кт = ДЯ- — д Якт = £; ДЯ-,кт ДЯ- — ДЯкт £
,кт 'АA- ,кт
=£
определяет закон сохранения темпа.
9.3. Естественный смысл темпа:
С учетом естественного смысла второй разности темп определяет скорость относительного изменения действий и результатов при действии на объекте.
10. Заключение:
В статье подробно разобраны фундаментальные понятия естествознания, прежде всего, объект, действие и действие на объекте, тождество, эквивалентность, разность действия на объекте, первая и вторая разность, отношение, темп и тренд. Показана связь, существующая между фундаментальными понятиями и действиями на объекте.
Данная статья служит основанием для последующего развития фундаментальных понятий естествознания таких, как порядок существования объектов и действий, основание и база и т.д.
Использованные источники:
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. Изд. 2-е стереотипичное. М : Едиториал УРСС, 2004. - 368 с.
2. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов, ч. 1. Начало теории множеств. Изд. 2-е, испр. М : МЦНМО, 2002. - 128 с.
3. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. Учеб. пособие для вузов. М : Высшая школа, 2001. - 575 с.
4. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипичное. М : КомКнига, 2006. - 240 с.
5. Лазеры. Измерения. Информация. 2013. Сб. докладов 23-й Международной конференции, т.2, с. 210-230. Елистратов П.И. «Объект и действие на объекте. Общие определения». СПб : Политехнического университета, 2013.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. 2. Теория поля. Изд. исп. и дополненное . - М : Наука, 1967. - 460 с.
7. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М : Факториал Пресс, 2000. - 448 с.
8. Ньютон Исаак. Математические начала натуральной философии, пер. с лат. Крылова А.Н., под ред. Полторака Л.С. М : Наука, 1989. - 690 с.
9. Сеченов И.М. Рефлексы головного мозга. Л : Прибой, 1926. - 126 с.
10.Старченко А.А., Кириллов В.В. Логика, учебник для юридических вузов. Изд. 6-е переработанное, дополненное, ред. Кириллов В.И. М : Проспект, 2008. - 240 с.
11.Федоров В.В. Единая теория поля. Изд. 6-е, доп. СПб : Издательско-полиграфический центр СПб ГЭТУ, 2003. - 248 с.
Ссылки (references in russian):
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. Изд. 2-е стереотипичное. М : Едиториал УРСС, 2004. - 368 с.
2. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипичное. М : КомКнига, 2006. - 240 с.
3. Ньютон Исаак. Математические начала натуральной философии, пер. с лат. Крылова А.Н., под ред. Полторака Л.С. М : Наука, 1989. - 690 с.
4. Старченко А.А., Кириллов В.В. Логика, учебник для юридических вузов. Изд. 6-е переработанное, дополненное, ред. Кириллов В.И. М : Проспект,
