CC BY
21
Том 154, кн. 2
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
2012
УДК 510.53
ЛИНЕЙНЫЕ ПОРЯДКИ. ТЕОРЕМЫ КОДИРОВАНИЯ
А.Н. Фролов
Аннотация
В работе рассмотрен ряд 0'- и 0''-кодирующих теорем. Получены две общие теоремы, обобщающие все известные на данный момент 0'- и 0''-кодирующие теоремы. Используя одну 0' -кодирующую теорему, получено описание рангов п-функций п-схожих линейных порядков, не имеющих вычислимых представлений.
Ключевые слова: лилейные порядки, вычислимые представления, теоремы кодирования.
Введение
Основным объектом построения любого алгоритма является множество натуральных чисел N = {0,1, 2, 3,...}. Этого вполне достаточно для построения любой компьютерной модели. В частности, для кодирования целых чисел Z = {..., — —2, —1,0,1, 2,...} можно использовать кодировку вида {..., 4, 2,0,1, 3,... }. Более
сложная кодировка позволяет также закодировать множество рациональных чисел Q.
Каждое из вышеприведенных множеств имеет естественное отношение порядка, которое является линейным, то есть таким, что любые два числа являются сравнимыми. При кодировании этих множеств нетрудно индуцировать естественное отношение порядка. Построенные линейные порядки изоморфны исходным порядкам, и поэтому имеют аналогичные свойства. Класс линейных порядков, изоморфных исходному, называется типом порядка. Типы линейных порядков N Z и Q соответственно обозначаются w, Z и п •
Рассмотренные порядки являются тривиальными. Они вычислимы и, более того, разрешимы, то есть любая формула первого порядка вычислима. Нетривиальные линейные порядки, с точки зрения их алгоритмической сложности, впервые были построены Л. Фейнером [6, 7]. Линейный порядок, упорядоченный по типу Z + a0 + Z + a1 + Z + + • • • , называется сильным Z-представлением множества A = {a0 < a1 < a2 < •••}• Здесь натуральное число обозначает тип конечного линейного порядка, мощность которого совпадает с этим числом.
Теорема 1 [6, 7]. Линейный порядок, являющийся сильным Z-представле-A
когда A является £3 -множеством.
Здесь для оценки алгоритмической сложности используется так называемая арифметическая иерархия множеств £n. Множест во X называет ся £n -множеством, если x G X ^ Ф(х), где Ф - £n-формула над вычислимым отношением (то есть содержит n переменных кванторов, начиная с квантора 3). Множество А" называется Пп -множеством, если А" является £п -множеством. Если X является и и Пп -множеством, то X называет ся Д^-множеством.
В дальнейшем Д"+1 -множества называются 0(п) -вычислимыми. Все вышеприведенные определения переносятся на тыоринговые степени, содержащие соответствующие множества. Например, тыоринговая степень является 0(п) -степенью, если она содержит 0(п) -множество. Для краткости 0« и 0(2) обозначаются как 0' и 0'' соответственно. Некоторые другие необходимые определения теории вычислимости будут излагаться далее в работе, а подробное изложение этой теории можно найти в [16].
Как мы видим, идея построения нетривиального линейного порядка заключается в кодировании в порядок некоторого множества. Ясно, что это кодирование
допускает релятивизацию (впрочем, как и все приведенные в настоящей работе).
0'
лимый линейный порядок, не имеющий вычислимого представления. В качестве искомого линейного порядка достаточно взять сильное С~представление любого -множества, те являющегося £3-множеством.
Приведенное кодирование имеет предмет кодирования, которое является множеством А = |ао < а,1 < а2 < • • •}, и объект кодирования - линейный порядок Ф(А) = С + а0 + С + а1 + С + а2 + •••. Связь предмета и объекта кодирования осуществляется с помощью оракула £3, поэтому такое кодирование называется £3 -кодированием, а теорема Фейнера - £3 -кодирующей теоремой.
Следующее кодирование является примером кодирования одного линейного порядка в другой. Данный пример стал первым примером такого рода кодирования.
Теорема 2 [4]. Линейный порядок Ь имеет 0'-вычислимое представление тогда и только тогда, когда линейный порядок (п + 2 + п) • Ь имеет вычислимое пр едет а в л е 1 е и е.
Как не трудно видеть, теорема связывает предмет кодирования (линейный порядок Ь) с объектом кодирования (линейным порядком Ф(Ь) = (п+2+п)-Ь). Связь
0'
такие теоремы носят название 0'-кодирующих теорем, а Ф - 0'-кодированием. Если в теореме вместо оракула 0' используется оракул 0(п), то такие теоремы называются 0(п) -кодирующими и выглядят следующим образом.
Теорема 3 0(п)-кодирующая теорема. Линейный порядок Ь имеет 0"-вычислимое представление тогда и только тогда, когда линейный порядок ФП(Ь) имеет вычислимое представление.
Здесь ФП(Ь) является 0(п)-кодированием. Требуем, чтобы такие кодирования допускали релятивизацию. Другими словами, Ь имеет х" -вычислимое представление тогда и только тогда, когда линейный порядок ФП(Ь) имеет х-вычислимое
х
следующее предложение, связаны между собой и порождают новые кодирования.
Предложение 1. Если Фп является 0("^-кодированием, а Фт - 0(т) -кодированием, то Ф" о Фт являет ся 0("+т) -кодированием.
Доказательство. Так как Фт являет ся 0т-кодированием, линейный порядок Ь имеет 0("+т)-вычислимое представление тогда и только тогда, когда линейный порядок Фт(Ь) имеет 0(п)-вычислимое представление. Тогда из того, что Фп является 0(п) -кодированием, следует, что Фт(Ь) имеет 0(п)-вычислимое представление
тогда и только тогда, когда Фп(Фт(Ь)) имеет вычислимое представление. □
0(")
были замечены в частном случае в ранней работе автора [18]). Напомним, множество X является п-низким, если X(п) <т 0(п), 1-низкое множество называется просто низким.
Ф" 0(") п
низкий линейный порядок, имеющий вид Фп(Ь) для некоторого Ь, является вы-числилш преОст авшшм.
Доказательство. Пусть Ь0 = ФП(Ь) для некотор ого Ь и Ь0 является X-вычислимым, где X - п-низкое множество. Так как Фп является 0(п)-кодированием и X - п-низкое множество, то Ьо имеет X-вычислимое представление тогда и только тогда, когда Ь имеет X(п)-вычислимое представление, а это, в
Ь 0(")
что равносильно тому, что Ьо имеет вычислимое представление. □
Предложение 3. Если Фп является 0("^ -коОировани^, то существует (п+ + 1) -низкий линейный поряОок, имеющий виО Фп (Ь) Оля некотор ого Ь и не являющийся вычислимо преОставимым. Более того, поряОок ФП(Ь) имеет преОстав-ление в кажОой Д2-степени, не являющейся п-низкой.
А0
копию в каждой такой степени а, что 0(п) < та < т0("+1). Пусть Ьо = Фп(Ао). Зафиксируем произвольную не п-низкую Д2-стеиень е.
Так как Фп является 0(п) -кодированием, получаем, что Ьо имеет копию в е
А0 е(") е п Д2
степень, то 0(п) < те(п) < т0("+1). Тогда Ао имеет копию в е(п), и следовательно, Ь0е
е п Д2
Ьо имеет (?? + 1)-низкое представление. □
0(")
п
К. Джокуш н Р. Соар [10] доказали, что не каждый низкий линейный порядок имеет вычислимое представление (в отличие от булевых алгебр [3]). Однако, рассматривая дополнительные условия, накладываемые на порядковые типы, условие «низкости» может обеспечить вычислимую представимость линейных порядков. Так Р. Доуни и М. Мозес [5] установили, что для каждого низкого дискретного порядка существует вычислимая копия (линейный порядок называется дискретным, если каждый элемент имеет последователя и предшественника). Естественно возникает вопрос об описании порядковых типов, для которых условие «низ-кости» достаточно для вычислимой представимости (Р. Доуни [2]). Этот вопрос
п
0(") п 0' 0''
нем и вопрос, поставленный Р. Доуни, и вопрос, обобщающий вопрос Р. Доуни.
0'
Как уже было сказано выше, первым 0'-кодированием является Ф(Ь) = (п + + 2 + п) • Согласно предложениям 2 и 3 из 0'-кодирующей теоремы 2 следуют
Следствие 1 [18]. КажОый низкий линейный поряОок, имеющий виО (п + 2 + + п) • Ь Оля некоторого Ь, является вычислимо преОставимым.
2
(п + 2 + п) • Ь Оля некоторого Ь и не являющийся вычислимо преОставимым.
Линейный порядок называется к -блочным, если все его блоки имеют мощность не более к. Блоком является множество [ж]^ = {у | ^(ж,у) V ^(у,ж)}, где
^ь(ж,у) ^ (ж < ¿у) & (|[ж, у]ь| < и [ж, у]ь ^ (г | ж < ¿г < ьу}- Отношение
у) называется отношением блока линейного порядка Ь и порождает отношение эквивалентности ж ~ ¿у ^ (ж = у) V (ж, у) V ж). Не трудно видеть, что блоки - это классы эквивалентности относительно ~ ь.
Например, 1-блочными линейными порядками являются только лишь плотные порядки. Линейные порядки, имеющие вид (п+2+п)^Ь для некоторого Ь, являются 2-блочными. Таким образом, последние два следствия утверждают, что существует 2-низкий 2-блочный линейный порядок, не имеющий вычислимого представления, с другой стороны, каждый низкий 2-блочный линейный порядок имеет вычислимую копию. Чтобы обобщить эти следствия для произвольного к-блочного порядка вместо 2-блочного, необходимо следующая 0'-кодирующая теорема, обобщающая теорему 2.
Теорема 4 [18]. Линейный порядок (п + к +1 + п) • Ь имеет вычислимое представление тогда и только тогда, когда Ь имеет 0' -вычислимое представление.
Теперь согласно соответственно предложениям 2 и 3 мы имеем
Следствие 3 [18]. Каждый низкий линейный порядок вида (п + к + 1 + п) • Ь Ь
Следствие 4 [18]. Существует невычислимо представимый 2-низкий (к + 1) -блочный линейный порядок, не являющий к-блочным.
Линейный порядок Ь называется сильно п-схожим, если он является к-блоч-к
пк
ют мощность не более к. Чтобы доказать, что для всех к каждый низкий к-
п
ставление, необходима следующая теорема, которую можно назвать специфической 0'
Ьп Ь 0' 0'
Ь
п
морфен некоторому вычислимому порядку.
В работе автора [18] предложена следующая теорема, позволяющая обобщить
0'
Теорема 6 [18]. Пусть т является вычислимым линейным порядком без наи-
Ь 0'
порядком, то т • Ь имеет вычислимое представление.
Нетрудными рассуждениями можно показать, что теоремы 2 и 4 являются следствиями теоремы 6. Более того, из теоремы 6 выводится ряд следствий, которые ранее были неизвестными и требовали собственного доказательства, например, следующее следствие и многие другие (включая следствие 7 из следующего раздела).
Следствие 6. Линейный порядок Ь имеет 0'-вычислимое представление тогда и только тогда, когда (п +1+ п + 2 + ••• + п + к +1 + п) • Ь имеет вычислимое пр едет а в л е ч е и е.
Доказательство. (Теоремы 2 и 4 выводятся из теоремы 6 аналогичными рассуждениями. )
Непосредственно следует из теоремы 6.
(^) Очевидно, что множество таких наборов (ах,..., а^+х), что (а^, а^+х) является парой соседних элементов для любого г < к, является 0'-вычислимым. Ясно, что это множество наборов с индуцированным порядком изоморфно Ь. □
2. Одно применение 0'-кодирующей теоремы
Линейный порядок называется п-схожим (ц-Uke), если его можно представить в виде f (q) для некоторой функции f : Q ^ N такой, что 0 / rng(f). Функция
qe Q
f называется п-функцией линейного порядка L. Не трудно видеть, что если об-пп п
п
пейпого порядка п~ФункЦия может быть выбрана из класса Д3, и следовательно, ее ранг будет из класса £3- С. Феллнер [8] показал, что если f G П2, то линейный порядок f (q) имеет вычислимое представление. Однако не каждая qe Q
Д03 п
Первый пример такой функции (с бесконечным рангом) был построен в совместной работе М. Лермана и Дж. Розенштейна [11]. Позже Р. Доуни [2, теорема 4.16] построил Д°-вычислимую фупкцию f такую, что rng(f) = {1, 2, 3,4} и линейный порядок f (q) не имеет вычислимого представления, qe Q
Естественно возникает вопрос: какие еще ранги могут иметь аналогичные при-
п
лннейных порядков. В частности, можно ли доказать утверждение Р. Доуни для rng(f) = {1, 2} вместо rng(f) = {1, 2, 3, 4}? Следующая теорема, опубликованная ранее автором в кратком сообщении [20], отвечает на эти вопросы.
Теорема 7. Пусть f - произвольная X -вычислимая п -функция с неодноэлементным рангом. Тогда существует X©0''-вычислимая п -функция g такая, что rng(g) = rng(f) и g(q) не имеет вычислимой копии. Причем если f имеет ко-
qe Q
нечный ранг или хотя бы degT(f) < 0'', то функция g может быть выбрана 0''
Доказательство. Из теоремы 6 аналогично доказательству следствия 6 выте-0'
Следствие 7. Пусть a0 < a1 < • • • < an, a0 = 0 и n > 1. Тогда линейный L 0'
нейный порядок L' = (а0п + a1 + а0п + • • • + а0п + an + а0п) • L имеет вычислимое пр едет а в л е i е и е.
Понятно, что линейный порядок (аоп+ai + аоп + • • • + аоп+an + аоп) • L является пп
ее вычислимо относительно оракула X такого, что X вычисляет L. Зафиксируем X-равномерно вычислимую последовательность {QX}xeL такую, что Q = Y1 Qx
xeL
является X-вычислимым линейным порядком, Qx - плотным линейным порядком без концевых точек для каждого x G L. Тогда Q = Q. n
номером) qX < q ••• < QqX го каждого Qx. Определим вспомогательную функцию /: положим /(qX) = ai Для всех x G Ln 1 < i < n и /(q) = ao для всех
остальных q G Q. Заметим, что Y1 /(q) — а0п + a1 + а0п + • • • + а0п + an + а0п-
qeQx
Так как ф = существует X-вычислимый изоморфизм ^ : ( ^ Q. Положим теперь /(д) = /(<^>(д)) для всех д € Понятно, что функция / является X-
вычислимой. Причем ^ /(д) /(д) — 2 /(д) = (аоп + а1 + аоп +
деО деЦ жеЬдеЦх ®еь
+-----+ аоп + а" + аоп) = (аоп + а1 + аоп +-----+ аоп + а" + аоп) • Ь.
Таким образом, доказано, что для X-вычислимого линейного порядка Ь существует X-вычислимая п~Функция / такая, что ^ /(д) = (аоп + а1 + аоп + • • • +
де<в
+ аоп + а" + аоп) • Ь, где ао = 0 и п > 1.
Пусть Б = {ао < а1 < • • • < а"}, где ао = 0 и п > 1. Предположим, что Ь - 0''-
0'
казанному выше существует 0'' -вычислимая п-функция / такая, что ^ /(д) = Ь
и rng(/) = Б, где Ь = (аоп + а1 + аоп + • • • + аоп + а" + аоп) • Ь. Так как Ь
не имеет 0'-вычислимого представления, из следствия 7 вытекает, что Ь не имеет вычислимой копии.
Таким образом, доказано, что для конечного множества Б такого, что 0 € Б и |Б| > 1, существует 0''-вычислимая п-функция /, что линейный порядок ^ /(д)
де<в
не имеет вычислимого представления при г^(/) = Б. /п
новую функцию ^, имеющую тот же самый ранг, что и /, то ^ д(д) не имеет вы-
де<в
числимой копии. Зафиксируем конечное множество Б С г^(/): 0 / Б и |Б| > 1. Из доказанного выше следует, что существует 0''-вычислимая п-функция /, причем г^(/) = Б и ^ /(д) не имеет вычислимого представления. Пусть и
де<в
— два плотных линейных порядка без концевых точек. Имеем вычислимые изоморфизмы : ( ^ : ( ^ и ^ : ( ^ + 1+ Зафиксируем произвольный элемент ао из г^(/). Построим новую функцию д:
1) положим д(д) = /(^-1(^(д))) для любого д € ( такого, что у(д) €
2) положим д(д) = /(^-1(^(д))) для любого д € ( такого, что у(д) €
3) положим, наконец, д(д) = ао для единственного д € иричем <^>(д) /
и ^(д) £
Имеем
Ед(д)— Е д(д) + ао + Е д(д) =
де<в деО,^(д)еЦ1 де<в,^(д)еЧ2
— Е л^г1(д)) + ао + Е / (^-1(д)) = Е /(д) + ао + Е/(д)-
деЦ1 деЦ2 де<в де<в
Так как линейный порядок ^ /(д) не имеет вычислимого представления, ли-
деО
д(д)
де«2
очевидно, = Таким образом, теорема доказана. □
0''
0''
Теорема 8 [15]. Линейный порядок Ь имеет 0'' -вычислимое представление тогда и только тогда, когда С • Ь имеет вычислимое представление.
Модифицируя исходное доказательство. К. Эш и Дж. Найт [1] предлагают следующую 0''-кодирующую теорему.
Теорема 9 [1]. Линейный порядок L имеет 0'' -вычислимое представление тогда и только тогда, когда и • L имеет вычислимое представление.
Оба доказательства используют так называемый приоритетный метод с бесконечными нарушениями, или метод 0''-приоритета. Все известпые 0'-кодирующие теоремы доказаны с помощью приоритетного метода с конечными нарушениями, или метода 0'-приоритета. Метод 0''-приоритета явно сложнее метода 0'-приоритета. Имеющаяся картина кажется логичной. Однако в этом разделе получим некоторые обобщения известных 0''-кодирующих теорем с использованием только лишь метода 0'-приоритета, то есть более простым методом.
Для этого используется понятие отношения соседства на линейных порядках. Говорим, что элементы x и y линейного порядка L находятся в отношении соседства, если x < Ly и для любого z те верно x < Lz < Ly. Отношение соседства на линейном порядке L обозначается <SWcL.
Теорема 10. Пусть т является вычислимым линейным порядком с вычисли-мьш, отношением соседства и выполнено
(Vx)(Vn)(3x',y')[(x < тx' < тy')& |[x',y']T| = n] (1)
(Vx)(Vn)(3x', y')[(x > тx' > тy') & |[x', у']т | = n]. (2)
Тогда если L является 0'-вычислимым линейным порядком, то т • L имеет вычислимое представление, обладающее вычислимым отношением, соседства.
Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что выполнены оба условия (1) и (2). Будем строить вычислимое представление линейного
порядка L0 = т • L из блоков Lj, то есть L0 = Y1 Lj, где Lj - копия т. В каж-
¿еь
дом блоке необходимо объявлять некоторые пары элементов соседними и никогда не добавлять между ними новых элементов. Так как L являет ся 0'-вычислимым, то существует такая 0'-вычислимая последовательность конечных линейных порядков {At}tew, что A0 = 0, At С At+i и L = УAt. Следовательно, существует
t
равномерно вычислимая аппроксимация {At s}t такая, что At = lim At s.
s—'
Строим L0 следующим образом. Если на некотором шаге s появляется новый элемент i Е At , s и x < i < y - элементы в At , s, то добавляем в L новый
блок Lj между блоками LK и Ly. же некоторый j ^^^^одит из At ,s' на неко-
тором шаге s', то элементы соответствующего блока Lj присоединяем к одному L
соседний только один, то присоединяем к нему. Если есть соседний и слева — La, и справа — Lb, то выбираем наименьшее из a и b (наименьшее как натуральное число) и присоединяем «лишние» элементы старого блока Lj к блоку с выбран-
L
теорема очевидна. Поэтому предполагаем, что хотя бы один соседний блок имеется. Присоединение «лишних» элементов к некоторому блоку Lp справа или слева
xy
которые расположены по соседству на данном шаге, но которые еще не объявлены соседними, положим новый «лишний» элемент z между ними и объявим пары (x, z) и (z, y) соседними. После этого все «лишние» элементы будут попарно соседними. В силу условий (1) и (2) всегда можно расширить блок Lp слева или справа
т
т
т
соответствующие пары элементов соседними.
Пусть в = в(£) такой шаг, что для любого в' > в Лг = Л^у, тогда после этого шага никакой блок Ь^ для г € Лг не будет присоединен к другому, а только, может быть, некоторые другие будут присоединены к нему слева или справа, но, как
т
соседних элементов. Таким образом, Ьо = т • Ь и Ьо имеет вычислимое отношение соседства. □
Обозначим класс линейных порядков, которые либо имеют вычислимые представления, либо не имеют низкого представления, как Ьх . Другими словами, если Ь - низкий линейный порядок и Ь € Ьх, то Ь имеет вычислимое представление. В этом обозначении вопрос Р. Доуни [2], озвученный в первом разделе, теперь означает описать класс Ьх.
Теорема 11. Пусть т является 0' -вычислимым с 0' -вычислимым отноше-
(1) (2) 10 что т • Ь € Ьх для любого линейного порядка Ь. Тогда если линейный порядок Ь
имеет 0'' -вычислимое представление, то т • Ь имеет вычислимое представление.
т 0' 0'
Ь
0'' 0'
ный порядок т • Ь имеет 0'-вычислимое представление с 0'-вычислимым отношением соседства.
В работе автора [19] и независимо в работе А. Монталбана [13] доказано, что линейный порядок имеет низкое представление тогда и только тогда, когда он имеет 0' 0'
0'
рема.)
Отсюда следует, что порядок т • Ь имеет низкое представление. Так как г • Ь £ Ьх , то т ■ Ь имеет вычислимую копию. Что и требовалось доказать. □
Из теоремы 11 следует целый ряд следствий (теоремы 8 и 9 также являются следствиями теоремы 11). Покажем только некоторые из них.
Следствие 8. Линейный порядок Ь имеет 0''-вычислимое представление тогда и только тогда, когда (С + 1 + С) • Ь имеет вычислимое представление.
Следствие 9. Линейный порядок Ь имеет 0''-вычислимое представление тогда и только тогда, когда (ш* + п + С) • Ь имеет вычислимое представление.
Доказательство. Проведем одновременное доказательство теорем 8 и 9, следствий 8 и 9.
Для любого Ь линейные порядки £•Ь, ш-Ь, (С +1+С)-Ь и (ш* +п+С)-Ь являются О-квазидискретнымп. (Линейный порядок К называется 0-квазидискретным, если либо [ж]д = либо [ж]д = ш, либо [ж]д = ш* для любого ж.)
В работе [17] доказано, что каждый О-квазидпскретный линейный порядок содержится в классе Ьх. И следовательно, по теореме 11 если Ь является 0''-вычислимым, то С • Ь, ш • Ь (С +1 + С) • Ь и (ш* + п + С) • Ь имеют вычислимые копии. Обратное утверждение устанавливается непосредственной проверкой.
Стоит отметить, что данное доказательство опирается на работу автора совместно с П. Алаевым и Дж. Тёрбером [17], а также на теорему 10, доказательства
которых используют лишь метод приоритета с конечными нарушениями. А исходное доказательство теорем 8 и 9 использует метод приоритета с бесконечными нарушениями. □
Естественными модификациями доказательств теорем 10 и 11 доказывается следующая теорема.
Теорема 12. Пусть т является 0' -вычислимым к -блочным линейным порядком с 0'-вычислимым отношением соседства и выполнено
(Vx)(3y)[(y> тx)& |[у]т| = к] (3)
(Vx)(3y)[(y< тx)& |[y]T| = к)]. (4)
Пусть т • L е Li для любого линейного порядка L. Тогда если линейный порядок L имеет 0'' -вычислимое представление, то т • L имеет вычислимое представление.
Эта теорема позволяет получить некоторые новые 0''-кодирования, например, такие, как следующее следствие, и многие другие.
Следствие 10. Пусть к > п. Тогда линейный порядок L имеет 0''-вычислимое представление тогда и только тогда, когда (••• + п + к + 1 + п + к + 1 + п + + п +1+ п + к +1+ п + к +1 + п + •••) • L имеет вычислимое представление.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 10-01-00399 и 12-01-97008), гранта для поддержки ведущих научных школ НШ-5383.2012.1, а также гранта Президента РФ МК-611.2011.1.
Summary
A.N. Fruluv. Linear Orderings. Coding Theorems.
In this paper, we consider 0'- and 0''-coding theorems. We obtain two general theorems which generalize all 0'- and 0''-coding theorems known at this moment. Using one 0'-coding theorem, we describe ranges of n-functions of n-like linear orderings with no computable representations.
Key words: linear orderings, computable representations, coding theorems.
Литература
1. Ash C.J., Knight J. Computable structures and the liyperarithmetical hierarchy. Amsterdam: North-Holland Pub. Co., 2000. XVI — 346 p.
2. Downey R.G. Computability theory and linear orders // Ersliov Yu.L., Goncharov S.S., Nerode A., Rommel J.B. (eds.) Handbook of Recursive Mathematics. V. 1. Elsevier, 1988. P. 823 976.
3. Downey R.G., Joekuseh C.G. Every low Boolean algebra is isomorphic to a recursive one // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 122, No 3. P. 871 880.
4. Downey R.G., Knight J.F. Orderings with a-th jump degree 0(a) // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V. 114, No 2. P. 545 552.
5. Downey R.G., Moses M.F. On choice sets and strongly nontrivial self-embeddings of recursive linear orderings // Zeit.sclir. f. Math. Logik und Grundlagen d. Math. 1989. Bd. 35, H. 3. S. 237 246.
6. Feiner L.J. Orderings and Boolean Algebras not. isomorphic to recursive ones: PliD Thesis. Cambridge. MA: MIT. 1967. 89 p. URL: http://dspace.mit.edu/bitstream/ handle/1721.l/60738/29976019.pdf?sequence=l.
7. Feiner L.J. The strong homogeneity conjecture // J. Symb. Logic. 1970. V. 35, No 3. P. 373 377.
8. Fellner S. Recursive and finite axiomat.izabilit.y of linear orderings: PhD Thesis. New Brundswick. N. J.: Rutgers Univ.. 1976.
9. Frolov A., Zubkov M. Increasing n-representable degrees // Math. Log. Quart. - 2009. -V. 55, No 6. P. 633 636.
10. Juekuseh C.G. Jr., Suare R.I. Degrees of orderings not isomorphic to recursive linear orderings // Ann. Pure Appl. Logic. 1991. V. 52, No 1 2. P. 39 64.
11. Lerman M., Rusenstein J.R. Recursive linear orderings // Pat.ras Logic Symposion (Proc. Logic Sympos. Pat.ras, Greece, Aug. 18 22, 1980) (Stud. Logic Found. Math. V. 109). 1982. P. 123 136.
12. Miller R. The Д2 spectrum of a linear ordering //J. Symbolic Logic. - 2001. - V. 66, No 2. P. 470 486.
13. Montalban A. Notes on the jump of a structure // Mathematical Theory and Computational Practice. Berlin: Heidelberg: Springer-Verlag, 2009. P. 372 378.
14. Rusenstein J.R. Linear orderings (Pure and Applied Mathematics. V. 98). N. Y. London: Acad. Press Inc., Hart.court. Brace Jovanovicli Publ., 1982. 487 p.
15. Watnik R. A generalization of Tennenbaum's Theorem on effectively finite recursive linear orderings // J. Symb. Logic. 1984. V. 49, No 2. P. 563 569.
16. Coup Р.И. Вычислимо перечислимые множества и степени. Казань: Казан, матем. о-во, 2000. 576 с.
17. Алаев П., Тёрбер Дон:., Фролов А. Вычислимость па липейпых порядках, обогащенных предикатами // Алгебра и логика. 2009. Т. 48, Л' 5. С. 549 563.
18. Фролов А.Н. Д2 копии линейных порядков // Алгебра и логика. - 2006. - Т. 45,
3. С. 354 370.
19. Фролов А.Н. Лилейные порядки низкой степени // Сиб. матем. журп. 2010. Т. 51, Л» 5. С. 1147 1162.
20. Фролов А.Н. Ранги n-функций n-схожих линейных порядков // Изв. вузов. Матем. -2012. Л» 3. С. 96 99.
Поступила в редакцию 14.02.12
Фролов Андрей Николаевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры высшей математики и математического моделирования Казанского (Приволжского) федерального университета. Е-шаП: Апйгеу.Fruluvek.su.ги
